Toán học Vấn đề 6: Cực trị của hàm số39242

Xác định m để đồ thị của hàm số có hai điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung.. Với những giá trị nào của a thì đồ thị của hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu, các điểm

Vấn đề 6 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

TÓM TẮT GIÁO KHOA

I Định nghĩa

Giả sử hàm số f x  xác định trên tập D ฀ và x0D

1) được gọi là một điểm cực đại của hàm số x0 f x  nếu tồn tại một khoảng  a b; chứa điểm sao cho x0  a b; D và f x  f x 0 , x    a b; \ x0

Khi đó f x 0 được gọi là giá trị cực đại của hàm số f x 

2) được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số x0 f x  nếu tồn tại một khoảng  a b; chứa điểm sao cho x0  a b; D và f x  f x 0 , x    a b; \ x0

Khi đó, f x 0 được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f x 

Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị

II Điều kiện để hàm số có cực trị

1) Điều kiện cần

Giả sử hàm số f x  đạt cực trị tại điểm Khi đó, nếu x0 f x  có đạo hàm tại x0

thì f ' x0 0

2) Điều kiện đủ

Dấu hiệu 1. Giả sử hàm số f x liên tục trên khoảng  a b; chứa điểm và có x0

đạo hàm trên các khoảng a x; 0 và x b0;  Khi đó:

 Nếu f ' x đổi dấu từ âm sang dương khi x qua điểm thì hàm số đạt cực tiểu tại x0

điểm x0

 Nếu f ' x đổi dấu từ dương sang âm khi x qua điểm thì hàm số đạt cực đại tại điểm x0

0

x

Dấu hiệu 2. Giả sử hàm số f x có đạo hàm trên khoảng  a b; chứa điểm , x0

và có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm Khi đó:

 0

 Nếu f '' x0 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm x0

 Nếu f '' x0 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x0

III Các phương pháp tìm cực trị của hàm số

Phương pháp 1

 Tìm f ' x

 Tìm các điểm x i i 1, 2,  mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm

 Lập bảng xét dấu f ' x Nếu f ' x đổi dấu khi x qua thì hàm số đạt cực trị tại x i x i Phương pháp 2

 Tìm f ' x

 Giải phương trình f ' x 0tìm các nghiệm x i i 1, 2, 

 Tính f '' x i

Nếu f '' x i 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm x i

Nếu f '' x i 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x i

A CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1 Với giá trị nào của tham số m thì các hàm số sau có cực đại và cực tiểu

1

y

x







Giải

Tập xác định: D  ฀

Hàm số có cực đại và cực tiểu y' 0 hay     2 có hai nghiệm

phân biệt

m

m m





 

2

m







2

m m





 

 Vậy giá trị cần tìm là: 3 m 1 và m2

1

y

x





 Tập xác định: D฀ \ 1

Đạo hàm:

2

2 '

1

y

x





 Hàm số có cực đại và cực tiểu y' 0 hay   2 2 có hai nghiệm phân

biệt khác –1

 

2 2

m





 





1

m m





Vậy giá trị cần tìm là: 1 m 1

Ví dụ 2 Với giá trị nào của tham số m thì các hàm số sau đây không có cực trị

2) y mx2 x m







Giải

Tập xác định: D  ฀

Đạo hàm:   2

(1)

  2

 Xét m3 :

y    x  x

đổi dấu khi x đi qua

'

y

Hàm số có cực trị không thỏa

 Xét m3 :

Hàm số không có cực trị  y' không đổi dấu  phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép

2

m

m





 





3 0

m m





Vậy giá trị cần tìm là m0

2) y mx2 x m







Tập xác định: D฀ \ m

Đạo hàm:

2 2 2

2

y







(1) ' 0

Hàm số không có cực trị  y' không đổi dấu  phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép

 Xét m0:

thỏa ' 0,

 Xét m0:

Yêu cầu bài toán 4 : vô nghiệm

Vậy giá trị cần tìm là: m0

Ví dụ 3 Cho hàm số 2 Chứng minh với mọi m hàm số luôn luôn có cực

1

y

x





 trị và khoảng cách giữa các điểm cực trị là không đổi

Giải

Tập xác định: D ฀ \ 1 

Đạo hàm:

2 2

2 '

1

y

x





 0 ' 0

y







Vậy y'0 luôn luôn có hai nghiệm phân biệt m

Hàm số luôn luôn có cực trị



Tọa độ các điểm cực trị A0;m B , 2; 4 m

Khoảng cách giữa hai điểm A, B là:

= const (đpcm)

Ví dụ 4 Cho hàm số y x2 mx 1 Định m để hàm số đạt cực đại tại





Giải

Tập xác định: D฀ \ m

Đạo hàm:

2

y





 Điều kiện cần

Hàm số đạt cực đại tại x2 y' 2  0

2

2

0 2

m







2

2

m

 





1 3

m m







 Điều kiện đủ

+ Với m1:

2

2

0 2

2 1

x

y

x x







Bảng biến thiên

x  0 1 2 

y' + 0 - - 0 +

y

CT

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại x2

không thỏa

1

m



+ Với m3:

2

2

2

4 3

x

y

x x







Bảng biến thiên

x  2 3 4 

y' + 0 - - 0 +

y

CT

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại x2

thoả yêu cầu bài toán

3

m



Vậy giá trị cần tìm là: m3

Cách khác

Ta có:

1





Tập xác định: D฀ \ m

 2

1

' 1

y





 3

2

'

y





Hàm số đạt cực đại tại x2  

 

'' 2 0

y y





 





2

3

1

2

2

0 2

m

m

 



 

 



2

2 2

m m





 



2

m





Vậy giá trị cần tìm là: m3

Ví dụ 5 Cho hàm số y ax2 bx ab Tìm các giá trị của a, b sao cho hàm số đạt cực trị

ax b





 tại x0 và x4

Giải

Hàm số xác định khi ax b 0

2

2

y

ax b







 Điều kiện cần

Hàm số đạt cực trị tại x0 và x4

 

 

y

y





 





2 2

2

2

0

0 4

b

a b







2 2

0 0

b

a b

 

 



 







2

2

2

0

 







2 4

a b







 Điều kiện đủ

Với a2,b 4, ta có:

 

2

2

0 4

4 2

x

y

x x







Bảng biến thiên

x  0 2 4 

y' + 0 - - 0 +

y

CT

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại x0 và đạt cực tiểu tại x4

Vậy giá trị cần tìm là: a2,b 4

Ví dụ 6 Cho hàm số 3   2  2  Xác định m để đồ thị của

hàm số có hai điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung

(Trích ĐTTS vào Trường Đại học Đà Nẵng, 2000)

Giải

Tập xác định: D  ฀

Đạo hàm: y'3x2 2 2 m 1x m2 3m 2

Hàm số có cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung y' 0 hay

có hai nghiệm phân biệt thoả

 

3.g 0 0

Vậy giá trị cần tìm là: 1m 2

Ví dụ 7 Cho hàm số y2x3 ax2 12x 13 (a là tham số) Với những giá trị nào của a thì đồ thị của hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu, các điểm này cách đều trục tung

(Trích ĐTTS vào Đại học Quốc gia Hà Nội, 1997)

Giải

Tập xác định: D  ฀

Hàm số có cực đại và cực tiểu cách đều trục tung y' 0 hay g x 3x2 ax 6 0 có hai nghiệm phân biệt x x1, 2thoả x1x2 0

2

1 2

72 0,

0 3

a





 



Vậy giá trị cần tìm là: a0

Ví dụ 8 Cho hàm số 1 3 1 2 Định m để hàm số đạt cực đại và cực tiểu tại

các điểm có hoành độ xm

(Trích ĐTTS vào Trường Đại học Y Dược TPHCM, 1996)

Giải

Tập xác định: D  ฀

Đạo hàm: 2

'

Yêu cầu bài toán y' 0 hay   2 có hai nghiệm phân biệt thoả

0

1 2

  2

1 4 0

1

2 2

m

S

m











 



1 4

1 2

m

m

 









 



2

m



Vậy giá trị cần tìm là: m2

Ví dụ 9 Cho hàm số 3   2  2  2 Định m để hàm số

đạt cực tiểu tại một điểm có hoành độ nhỏ hơn 1

Giải

Tập xác định: D  ฀

Yêu cầu bài toán y' 0 hay   2    2  có hai

nghiệm phân biệt x x1, 2 thoả

 

 

1 2











(a)

 1 3.g 1 0  2 



' 0

2 3 1 0

1

2

g

S











 



2

1 1

m





 



2

0

m

m









 



4 4

1 3

0

m

m















4 (b)

3

m



Kết hợp (a) và (b) ta có giá trị cần tìm là: m1

Ví dụ 10 Cho hàm số 3 2   Hãy xác định tất cả các giá trị của a để điểm

cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị (C) ở về hai phía khác nhau của đường tròn (phía trong

x y ax ay a

(Trích ĐTTS vào Trường Đại học An Ninh, 2000)

Tập xác định: D  ฀

Đạo hàm: 2

' 0

y







Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị

a

C x y ax ay a

Hai điểm A, B ở về hai phía của hai đường tròn  C a /   /   0

A C B C



5a 8a 3 5a 4a 7 0



2

5a 8a 3 0

5a 4a 7 0, a

3

1



Cách khác

Phương trình đường tròn  C a được viết lại:

  2 2

có tâm và bán kính

Ta có:

  2 2

2

5a 4a 8



2

Điểm B nằm ở ngoài

Do đó:

Điểm A nằm phía trong đường tròn  C a IA 1

 2

2

5a 8a 3 0



Ví dụ 11 Cho hàm số 1 3   2   1 Với giá trị nào của m thì

hàm số có cực đại và cực tiểu đồng thời hoành độ các điểm cực đại và cực tiểu x x1, 2 thoả

1 2 2 1

x x

Giải

Tập xác định: D  ฀

Hàm số có cực đại và cực tiểu y' 0 hay 2     có hai nghiệm

phân biệt x x1, 2

0

m





 



0

m





 





(*)

0

m

m









Theo định lí Vi-ét và theo đề bài, ta có:

(1)

1 2

2 m 1

m





(2)

1 2

x x

m





(3)

1 2 2 1

x x

Từ (1) và (3), ta có: 1 3m 4, 2 2 m





Thế vào (2), ta được:









(do ) 2

(thoả (*))

2

3

2

m

m

 











Vậy giá trị cần tìm là: 2 2

3

Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu và viết phương trình đường thẳng qua cực đại, cực tiểu đó

(Trích ĐTTS vào Học viện Kĩ thuật Mật mã, năm 1999)

Giải

Tập xác định: D  ฀

(1)

 Hàm số có cực đại và cực tiểu  y'0 có hai nghiệm phân biệt

Lấy y chia cho y’, ta có:

Gọi A x y 1; 1 ,B x y2; 2 là các điểm cực trị của đồ thị hàm số thì x x1, 2 là nghiệm của (1)

Ta có:

 

1

y x







Tương tự ta cũng có:

Vậy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực đại và cực tiểu là:

Ví dụ 13 Cho hàm số 3 2   Định m để hàm số có cực đại và

cực tiểu đồng thời hai giá trị cực trị cùng dấu

Giải

Tập xác định: D  ฀

(1)

2

 Hàm số có cực đại và cực tiểu  y'0 có hai nghiệm phân biệt

(*)

Lấy y chia cho y’, ta có:

1

3

Gọi A x y 1; 1 ,B x y2; 2 là các điểm cực trị của đồ thị hàm số thì x x1, 2 là nghiệm của (1) Theo định lí Vi-ét, ta có:

1 2 4, 1 2 2

Ta có:

 

1

1

3

y x

 









Tương tự ta cũng có: y2 2m 2x2 m 2

Yêu cầu bài toán y y1 2 0



1 2 1 2

 



17

4

2

m

m

 



 

 



So với điều kiện (*) ta có giá trị cần tìm là: 17 2



Ví dụ 14 Cho hàm số 3 2 2

3

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng 1 5

y x

(Trích ĐTTS vào Đại học Quốc gia Hà Nội, 2001)

Tập xác định: D  ฀

(1)

 Hàm số có cực đại và cực tiểu  y'0 có hai nghiệm phân biệt

2

Gọi A x y 1; 1 ,B x y2; 2 là các điểm cực trị của đồ thị hàm số và I là trung điểm của đoạn

AB

Do x x1, 2 là nghiệm của (1) nên theo định lí Vi-ét, ta có:

,

1 2 2

3

m

Hai điểm A, B đối xứng nhau qua đường thẳng : 1 5



AB

I

 



   



Đường thẳng và AB có hệ số góc lần lượt là:

1

1

2

2 1

2

3

k



1 2 1 2 3 1 2



3

m

m



2 2 6

3



1 2 1

m

 

Với m0:

2





Đồ thị hàm số có hai cực trị là

Trung điểm của AB là:

T a có: I 

Vậy: m0 thoả yêu cầu bài toán

Ví dụ 15 Cho hàm số 4 2 4 Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu,

đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu lập thành một tam giác đều

(Trích ĐTTS vào Học viện Quan hệ Quốc tế, 1997)

Giải

Tập xác định: D  ฀

Đạo hàm: 3

 

2

0 ' 0

*

x

y







Hàm số có cực đại và cực tiểu y' 0 có ba nghiệm phân biệt và y’ đổi dấu khi x qua các nghiệm đó

Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0

Khi đó :

4

4 2

' 0

2

y

 

 





Đồ thị hàm số có một điểm cực đại là  4  và hai điểm cực tiểu là

Các điểm A, B, C lập thành một tam giác đều AB AC







(do )

4

m m

Vậy giá trị cần tìm là: m 33

Ví dụ 16 Cho hàm số 4   2 Xác định các giá trị của tham số k để

đồ thị của hàm số chỉ có một điểm cực trị

(Trích ĐTTS vào Trường Đại học Kiến trúc Hà Nội, 1999)

Giải

Tập xác định: D  ฀

 

2

0 ' 0

x

y







Hàm số chỉ có một cực trị y' 0 có một nghiệm duy nhất và y’ đổi dấu khi x đi qua nghiệm đó

Phương trình (*) vô nghiệm hoặc có nghiệm

0

0

k

k

k k





  





0

k





Vậy giá trị cần tìm là: k0 k 1

Ví dụ 17 Cho hàm số 1 4 2 3 Xác định m để đồ thị của hàm số có cực tiểu

mà không có cực đại

(Trích ĐTTS vào Trường Đại học Cảnh sát, 2000)

Giải

Tập xác định: D  ฀

Đạo hàm: 3

 

2

0 ' 0

*

x

y







Hàm số có cực tiểu mà không có cực đại y' 0 có một nghiệm duy nhất và y’ đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua nghiệm đó

Phương trình (*) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép

Vậy giá trị cần tìm là: m0

Ví dụ 18 Cho hàm số 2 2.Tìm m để điểm cực tiểu của đồ thị hàm số nằm

1

y

x





Giải

1

m

x



   

 Tập xác định: D ฀ \ 1 

Đạo hàm:

2

2

'

1

y

x





(1)

y   g x x  x m   x

Hàm số có cực đại và cực tiểu  y'0 có hai nghiệm phân biệt khác 1

(*)

 

m



 

   



3

m m

 



   

   m 3 Khi đó:

3

3 ' 0

3

3

m

m y

m

m





 





Bảng biến thiên

y’ + 0 - - 0 +

y1  

y

  y2

Từ bảng biến thiên, ta thấy:

CT

CT

y  y   m m

Điểm cực tiểu là

(thỏa (*))

3 1

m

     m 3 1   m 2

Vậy giá trị cần tìm là: m 2

Ví dụ 19 Cho hàm số 2   2 Tìm tất cả các giá trị của tham số

1

y

x





m thì hàm số đã cho có cực trị Tìm m để tích các giá trị cực đại và cực tiểu đạt giá trị nhỏ nhất

(Trích ĐTTS vào Đại học Quốc gia Hà Nội, 1999)

Giải

1

x





 Tập xác định: D ฀ \ 1 

Đạo hàm:

2

'

1

y

x





 Hàm số có cực đại và cực tiểu y' 0 hay   2 2 có

g x x x m m x1

hai nghiệm phân biệt x x1, 2 khác 1

(*)

 

' 0

g







2 2





 



Gọi A x y 1; 1 ,B x y2; 2 là các điểm cực trị của đồ thị hàm số thì x x1, 2 là nghiệm của (1) Khi đó:

' 0

y

 





 



Ta có:



2

5m 14m 9



2

5

m







, đạt được khi

 1 2

4

5

Min y y

5

So với điều kiện (*) ta có giá trị cần tìm là: 7

5

Ví dụ 20 Cho hàm số 2   Với giá trị nào của m thì hàm số đã cho

1

y

x





 có cực đại và cực tiểu đồng thời giá trị cực đại và giá trị cực tiểu cùng dấu

(Trích ĐTTS vào Trường Cao đẳng Sư phạm TPHCM, 2000)

Giải

1

m

x





 Tập xác định: D ฀ \ 1 

Đạo hàm:

2

2

'

1

y

x





 Hàm số có cực đại và cực tiểu y' 0 hay   2 có hai nghiệm

g x x x m

phân biệt x x1, 2 khác 1

(*)

 

' 0

g







m m





 

Gọi A x y 1; 1 ,B x y2; 2 là các điểm cực trị của đồ thị hàm số thì x x1, 2 là nghiệm của (1) Khi đó:

' 0

m

m y

m

m



 







 



Hai giá trị cực trị cùng dấu y y1 2 0

1 m 2 2m 2 1 m 2 2m 2 0



2

So với điều kiện (*) ta có giá trị cần tìm là: 1 m 5 4 2 m 5 4 2

Cách khác

Tập xác định: D ฀ \ 1 

Đạo hàm:

2

2

'

1

y

x





 Hàm số có cực đại và cực tiểu y' 0 hay   2 có hai nghiệm

g x x x m

phân biệt x x1, 2 khác 1 và đổi dấu khi x qua hai nghiệm đóy'

(*)

 

' 0

g







m m





 

Hai giá trị cực trị cùng dấu  Đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt

0

y

2





 





2

m

 





1

m

 



 





So với điều kiện (*) ta có giá trị cần tìm là: 1 m 5 4 2 m 5 4 2

Ví dụ 21 Xác định p sao cho hàm số 2 3 có giá trị cực đại M và giá trị cực

4

y

x



 tiểu m với m M 4

Giải

4

p

x



   

 Tập xác định: D ฀ \ 4 

Đạo hàm:

2

2

'

4

y

x





(1)

y   g x   x x p  x

Hàm số có cực đại và cực tiểu  y'0 có hai nghiệm phân biệt khác 4

(*)

 

p



 

  



4

p p

 



Gọi A x y 1; 1 ,B x y2; 2 là các điểm cực trị của đồ thị hàm số thì x x1, 2 là nghiệm của (1) Khi đó:

4

4 ' 0

4

4

p

p y

p

p





 



Bảng biến thiên

y’ - 0 + + 0

y

y1  

Từ bảng biến thiên, ta thấy:

M y    p

1 5 2 4

m y     p

Do đó:

(thoả (*))

4

m M    5 4   p  5 4 p4  4 p 1  p 3

Vậy giá trị cần tìm là: p3

Ví dụ 22 Cho hàm số y x2 m x2 2m2 5m 3 Tìm để hàm số đạt cực tiểu tại

x



0; 2 

Giải

Tập xác định: D ฀ \ 0 

Đạo hàm: ' x2 2m22 5m 3

y

x



 Bảng biến thiên

x  0 2m x1 x2 

y’ + 0 - - 0 +

CĐ  

y