GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ KHI KHÔNG SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ ĐẢO VỀ DẤU TAM THỨC BẬC HAI

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI Đơn vị: TRƯỜNG THPT HỒNG BÀNG   Mã số: ……… SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GIẢI CÁC BÀI TỐN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ KHI KHƠNG SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ ĐẢO V

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI Đơn vị: TRƯỜNG THPT HỒNG BÀNG

  

Mã số: ………

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

GIẢI CÁC BÀI TỐN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ KHI KHƠNG SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ ĐẢO VỀ DẤU TAM THỨC BẬC HAI

Người thực hiện: Lê Thị Thúy An

Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị của hàm số khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC

I THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN

1 Họ và tên: LÊ THỊ THÚY AN

2 Ngày tháng năm sinh: 26/03/1983

- Chuyên nghành đào tạo: Toán – Tin.

III KINH NGHIỆM KHOA HỌC

- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Giảng dạy bộ môn toán học ở trường THPT.

Số năm kinh nghiệm: 07 năm.

- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây:

1 Một số dạng toán thường gặp của hình học không gian.

2 Phương pháp dạy học toán cho học sinh yếu kém.

Tên SKKN: GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

KHI KHÔNG SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ ĐẢO DẤU TAM THỨC BẬC HAI

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

1 Đặt vấn đề

Như chúng ta đều biết các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số là một trong những bàitoán không thể thiếu trong các kì thi tốt nghiệp THPT và tuyển sinh đại học Trong đó thườnggặp nhiều bài toán “Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu hoặc có cực trị trong khoảng K ” Khigiải bài toán này sẽ đưa đến vấn đề “tìm điều kiện để y < 0 (yy > 0) trên K hoặc phương trìnhy= 0 có nghiệm trên K” Đây thực chất là vấn đề so sánh nghiệm của một phương trình bậc haivới số thực  Nếu theo chương trình sách giáo khoa cũ lớp 10 thì học sinh có thể vận dụngđịnh lí đảo về dấu của tam thức bậc hai và các hệ quả của nó để giải bài toán Tuy nhiên cónhiều bài toán đưa đến việc phải xét nhiều trường hợp do đó lời giải khá dài dòng và phức tạp.Hơn nữa, theo chương trình sách giáo khoa mới của Bộ giáo dục đang phát hành thì phần kiếnthức liên quan đến định lí đảo và các hệ quả của nó đã được giảm tải Do đó chúng ta gặp phải

vấn đề “Làm thế nào để giải bài toán trên một cách hiệu quả mà chỉ cần vận dụng các kiến

thức được học trong chương trình sách giáo khoa hiện hành” Với suy nghĩ nhằm giúp các

em tìm tòi, sáng tạo và hứng thú hơn trong việc học tập môn toán, đồng thời nâng cao chất

lượng giảng dạy nên tôi viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm “ Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị của hàm số khi không sử dụng định lý đảo về dấu tam thức bậc hai”.

2 Nội dung sáng kiến

I Lý do chọn đề tài

II Tổ chức thực hiện đề tài

A.Cơ sở lý thuyết – Ví dụ minh họaB.Bài tập thực hành

III Hiệu quả của đề tài

IV Đề xuất, kiến nghị khả năng áp dụng

V Tài liệu tham khảo

Xuân Lộc, ngày 15 tháng 12 năm 2011

Người viết

Lê Thị Thúy An

Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị của hàm số khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai

II TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI

c)Định lý Vi-et – Dấu các nghiệm.

 Định lý: Nếu phương trình bậc hai ẩn x R : ax2bx c 0 1  a0 có hai nghiệm x x1, 2 thì S x1 x2 b, P x x1 2 c



 Phương trình (y1) có hai nghiệm trái dấu  P0

 Phương trình (y1) có hai nghiệm cùng dấu 0

P S

P S

ii)Điều kiện cần và đủ để hàm số đơn điệu

Cho hàm số y = f(yx) có đạo hàm trên K

 Điều kiện cần và đủ để hàm số y = f(yx) đồng biến trên K là '(y ) 0,f x   x K

đồng thời f x '(y ) 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc K

 Điều kiện cần và đủ để hàm số y = f(yx) nghịch biến trên K là '(y ) 0,f x   x K

đồng thời f x '(y ) 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc K

iii) Điều kiện cần và đủ để hàm số có cực trị

 Định lí 1 : Giả sử hàm số y = f(yx) đạt cực trị tại x0 , khi đó nếu f có đạo hàm tại x0

thì f x '(y ) 00

 Định lí 2 : Giả sử hàm số y = f(yx) liên tục trên khoảng (ya;b) chứa x0 và có đạo hàm trên các khoảng (ya;x0) và (yx0;b) klhi đó :

 Nếu f x'(y ) 0,  x (y ; )a x0 và f x'(y ) 0,  x (y ; )x b0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x0

 Nếu f x'(y ) 0,  x (y ; )a x0 và f x'(y ) 0,  x (y ; )x b0 thì hàm số đạt cực đại tại x0

2 Phương pháp giải toán

* Bài toán 1: Cho hàm số: y = ax3 + bx2 + cx + d (y1) (ya 0)

Tìm điều kiện để hàm số (y1):

b)Hàm số (y1) đồng biến trong khoảng (y ; )  h m(y )g x(y ) , x (y ; )  h m(y ) [ ;Max g x ) (y )

c) Hàm số (y1) đồng biến trong khoảng (y ; )   h m(y )g x(y ) , x (y ; )   h m(y ) Max g x[ ; ]  (y )

b) Hàm số (y1) đồng biến trong khoảng

y g t  at  ab t a  bc.a) Hàm số (y1) đồng biến trong khoảng (y ; )(y ) 0, 0

000000

a

a

S P

a

a

S P

Nhận xét: Khi nhìn vào bài toán nhiều người sẽ nghĩ ngay đến việc sử dụng định lí đảo về dấu của

tam thức bậc hai và các hệ quả của nó Nhưng với cách làm như trên ta đã hướng dẫn học sinh

Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị của hàm số khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai giải quyết bài toán một cách dễ dàng bằng cách ứng dụng đạo hàm hoặc sử dụng định lý Viet, tránh sử dụng các kiến thức đã được giảm tải trong sách giáo khoa

*Ví dụ 1: Cho hàm số : y = 1  3   2  

3 m x  m x  m x (y1) (ym 1)Tìm các giá trị của m để hàm số:

a) Đồng biến trên khoảng (y  ; 1)

b) Đồng biến trên khoảng (y1;)

c) Đồng biến trên khoảng (y 1;1)

x x m

+

g(x)

4

11 -1

Từ bảng biến thiên ta được : 4

b) Hàm số đồng biến trong khoảng (y1;)

- 0 +

g(x) 0 -1

2

1 0

Kết luận : m 0 thì hàm số (y1) đồng biến

trong khoảng (y1;)

Từ bảng biến thiên ta được : m 0

Kết luận : m 0 thì hàm số (y1) đồng biến trong khoảng (y1;)

c) Hàm số đồng biến trong khoảng (y 1;1)

2.1 0' 0

01

1

24

Nhận xét: Với bài toán này nếu sử dụng định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai thì ta đã phải sử

dụng kiến thức đã được giảm tải hơn nữa lời giải khá phức tạp, với cách giải quyết như trên ta có được lời giải khá ngắn gọn và dễ hiểu sẽ tạo được nhiều hứng thú cho học sinh.

*Bài toán 2: Cho hàm số : y = ax3 + bx2 + cx + d (y1) (ya0)

a)Tìm điều kiện để hàm số (y1) nghịch biến trên (y ; )

b)Tìm điều kiện để hàm số (y1) nghịch biến trên (y ; )

c)Tìm điều kiện để hàm số (y1) nghịch biến trên (y ; ) 

Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị của hàm số khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai

b)Hàm số (y1) nghịch biến trong khoảng (y ; )  h m(y )g x(y ) , x (y ; )

y g t  at  ab t a  bc.a)Hàm số(y1) nghịch biến trong khoảng (y ; )(y ) 0, 0

000000

a

a

S P

a

a

S P

*Ví dụ 2: Cho hàm số : y = 1 2  3   2

3 m  x  m x  x (y1) (ym 1)Tìm các giá trị của m để hàm số (y1):

a) Nghịch biến trên khoảng (y ; 2)

b) Nghịch biến trên khoảng (y2;)

Txđ : D = R

y’ = f(yx) = (ym21)x2 2(ym1)x 2

a)Hàm số (y1) nghịch biến trong khoảng

Txđ : D = Ry’ = f(yx) = (ym21)x2 2(ym1)x  2

Đặt t = x – 2 ta được :y’ = g(yt) =

a

a

S P

b) Hàm số (y1) nghịch biến trong khoảng

a

a

S P

Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị của hàm số khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai

Kết luận: Với  1 m1 thì hàm số (y1)

nghịch biến trong khoảng (y2;)

2 2 2 2 2

*Nhận xét : Trong bài toán này ta đã dùng phương pháp đổi biến số để chuyển từ bài toán phải sử

dụng kiến thức đã được giảm tải về bài toán quen thuộc chỉ sử dụng kiến thức về định lý Viet đã được học trong chương trình lớp 10.Với cách làm này sẽ tạo sự hứng thú đối với học sinh.

*Bài toán 3: Cho hàm số :

a)Tìm điều kiện để hàm số (y2) đồng biến trên (y ; )

b)Tìm điều kiện để hàm số (y2) đồng biến trên (y ; )

c)Tìm điều kiện để hàm số (y2) đồng biến trên (y ; ) 

0(y ) 0

g x h m x e

[ ; )

(y ) (y ),

e d

g x h m x e

c) Hàm số (y2) đồng biến trong khoảng (y ; ) 

 

 

[ ; ]

;(y ) (y ), (y ; )

;

e d

g x h m x e

0(y ) 0

g t adt  a de t ad   aebe dca)Hàm số(y2) đồng biến trong khoảng (y ; )

(y ) 0, 0 (y )

e d

000

a

a ii

S P

(y ) 0

00(y ) 0(y ) 0

ad

ad

f S f S

ad

f f

000

a

a iii

S P

*Nhận xét: Đây là bài toán thường xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh đại học với cách làm như

trên có thể giúp các em giải quyết hầu hết các bài toán dạng này mà không cần sử dụng kiến thức lien quan đến đinh lý dảo về dấu của tam thức bậc hai đã được giảm tải

Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị của hàm số khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai

a)Tìm điều kiện để hàm số (y2) đồng biến trên (y  ; 1)

b)Tìm điều kiện để hàm số (y2) đồng biến trên (y2;)

c)Tìm điều kiện để hàm số (y2) đồng biến trên (y1; 2)

9

trên (y  ; 1)b)Hàm số (y2) đồng biến trên (y2;)

m m m

Kết luận: Vậy m 3 thì hàm số (y2) đồng

biến trên (y2;)

c)Hàm số (y2) đồng biến trên (y1; 2)

1

Kết luận:

Vậy m 1 thì hàm số (y2) đồng biến trên (y1; 2)

*Nhận xét: Qua bài toán này thêm một lần nữa giúp chúng ta thấy rõ đối với các bài toán có thể

ứng dụng đạo hàm để giải thì lời giải của bài toán sẽ ngắn gọn và dễ dàng hơn rất nhiều.

*Bài toán 4: Cho hàm số :

a)Tìm điều kiện để hàm số (y2) nghịch biến trên (y ; )

b)Tìm điều kiện để hàm số (y2) nghịch biến trên (y ; )

c)Tìm điều kiện để hàm số (y2) nghịch biến trên (y ; ) 

0(y ) 0

g x h m x e

[ ; )

(y ) (y ),

e e

d d

d d

0(y ) 0

ad

ad II

f S

000

a

a ii

S P

Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị của hàm số khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai

c) Hàm số (y2) nghịch biến trong khoảng

(y ) 0

00(y ) 0(y ) 0

ad

ad f S f S

ad f f

000

a

a iii

S P

b)Tìm điều kiện để hàm số (y2) nghịch biến trên (y1;)

(y1) 02.1 0

I

f S

00

i

S P

m m m

b)Hàm số (y2) nghịch biến trên (y1;)

(y1) 02.1 0

II

f S

Kết luận: Với m  2 3thì hàm số (y2)

nghịch biến trên (y1;)

b)Hàm số (y2) nghịch biến trên (y1;)

00

ii

S P

m m m

*Bài toán 5: Cho hàm số : y = ax3 + bx2 + cx + d (y1) (ya0)

Tìm điều kiện để hàm số (y1) :

P

S P

P

S P

Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị của hàm số khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai c) Hàm số(y1) có hai cực trị x 1 , x 2 thỏa mãn:

g t

  có hai nghiệm t1 ,t 2

thỏa mãn : t1t2 0' 0

00

S P

S P

Nhận xét: Thoạt nhìn bài toán này thể hiện rõ phải dùng kiến thức về so sánh các nghiệm của một

tam thức bậc hai với một số thực  Nhưng với cách làm trên ta đã đưa về bài toán quen thuộc so sánh các nghiệm với số 0 Đây là bài toán tổng quát học sinh có thể dùng cách này để giải quyết được rất nhiều bài toán tương tự mà không cần sử dụng các kiến thức liên quan đến định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai

P

S P

Kết luận: Với m 1 thì hàm số(y1) có cực trị

trong khoảng (y1;)

b)Hàm số(y1) có cực trị trong khoảng (y1;)(y ) 0

P

S P

Kết luận: Với m 1 thì hàm số(y1) có cực trịtrong khoảng (y1;)

c)Hàm số(y1) có hai cực trị x 1 , x 2 thỏa mãn:

Kết luận: Không có giá trị nào của m thỏa

mãn yêu cầu của bài toán

d) Hàm số(y1) có hai cực trị x 1 , x 2 thỏa mãn :

1 2 1

x x  (y ) 0

g t

  có hai nghiệm t1 ,t 2

thỏa mãn : t1t2 0' 0

00

S P

Kết luận: Không có giá trị nào của m thỏa

mãn yêu cầu của bài toán

e) Hàm số (y1) có hai cực trị x 1 , x 2 thỏa mãn:

g t

  có hai nghiệm t1 ,t 2 thỏa mãn:

1 2

0 t t

Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị của hàm số khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai

S P

và chỉ khi :Phương trìnhg t (y ) 0 có nghiệm t < 0 (i)

00

P i

S P

00

P ii

S P

S P

phương trình f x (y ) 0 có nghiệm trong

khoảng (y ;1) (yI) và f m (y2 ) 0(yI’)

(yI)

(y1) 0

' 0

(y1) 02.1 0

và chỉ khi phương trình:g t (y ) 0 có nghiệm t

< 0 (i)

và g m (y2 1) 0 (i’).

0' 0(y )

00

P i

S P

 



Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị của hàm số khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai

0

m m

b)Hàm số (y2) có cực trị trong khoảng (y1;)

khi và chỉ khi: phương trình f x (y ) 0 có

nghiệm trong khoảng (y1;) (yI) và

Kết luận: Với m  2 3thì hàm số (y2) có

cực trị trong khoảng (y1;)

B )Hàm số (y2) có cực trị trong khoảng (y1;)khi

và chỉ khi phương trình :g t (y ) 0 có nghiệm t

> 0 (i)

và g m (y2 1) 0 (i’).

0' 0(y )

00

P i

S P

trị trong khoảng (y1;)

c)Hàm số(y2) có hai cực trị x 1 , x 2 thỏa mãn:

số (y2) có hai cực trị x 1 , x 2 thỏa mãn: x1 1 x2

c) Hàm số(y2) có hai cực trị x 1 , x 2 thỏa mãn:

1 1 2

x  x khi và chỉ khi :phương trìnhg t (y ) 0 có hai nghiệm t1 ,t 2

(y2) có hai cực trị x 1 , x 2 thỏa mãn: x1 1 x2

d)Hàm số(y2) có hai cực trị x 1 , x 2 thỏa mãn:

S P

hai cực trị x 1 , x 2 thỏa mãn : x1x2 1

B BÀI TẬP THỰC HÀNH

Bài 1: Cho hàm số : y = 1 2 3  2 2  8 2 1

3 m x  m x  m x m  (y1) (ym 1)Tìm các giá trị của m để hàm số:

a) Đồng biến trên khoảng (y ;1)

b) Đồng biến trên khoảng (y1;)

c) Đồng biến trên khoảng (y1; 2)

Bài 2: Cho hàm số : y = 1 2  3   2

3 m  x  m x  x (y1) (ym 1)Tìm các giá trị của m để hàm số (y1):

a) Nghịch biến trên khoảng (y ;1)

b) Nghịch biến trên khoảng (y1;)

x



a)Tìm điều kiện để hàm số (y2) đồng biến trên (y  ; 1)

b)Tìm điều kiện để hàm số (y2) đồng biến trên (y2;)

c)Tìm điều kiện để hàm số (y2) đồng biến trên (y1; 2)

b)Tìm điều kiện để hàm số (y2) nghịch biến trên (y1;)

Bài 5: Cho hàm số : y = 2x33(ym1)x26(ym 2)x1 (y1)

Tìm điều kiện để hàm số (y1):

a) Có cực trị trong (y ;1)

b) Có cực trị trong (y1;)

c) Có hai cực trị x 1 , x 2 thỏa mãn : x1 1 x2

d) Có hai cực trị x 1 , x 2 thỏa mãn : x1x2 1

III HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI

Khi áp dụng chuyên đề này vào giảng dạy học sinh bộ môn Toán ở trường THPT, tôinhận thấy rằng các em học sinh rất hứng thú với môn học, nhiều em cảm thấy bất ngờ khi màmột số bài toán tưởng chừng như không thể giải quyết nếu không có công cụ là định lý đảo về

Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị của hàm số khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai

dấu tam thức bậc hai và các hệ quả, thì nay lại được giải quyết một cách đơn giản, dễ hiểu bằngcách ứng dụng đạo hàm và một định lý quen thuộc là định lý Vi-et Chính vì các em nhận thấyvới mỗi bài toán nếu ta chịu tìm tòi sáng tạo thì sẽ phát hiện được rất nhiều điều bổ ích neân rấthứng thú với môn học Do đó mỗi năm học tôi nhận thấy chất lượng của môn toán nói riêng, vàkết quả học tập của các em học sinh nói chung được nâng lên rõ rệt, có nhiều em đầu năm làhọc sinh yếu, trung bình nhưng cuối năm đã vươn lên để trở thành học sinh trung bình, khá vàgiỏi Trong các kỳ thi tuyển sinh vào các trường Đại học, Cao đẳng có nhiều em đạt điểm khácao góp phần nâng cao chất lượng giáo dục của nhà trường Cụ thể:

IV ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG

Đất nước ta đang trên bước đường xây dựng, phát triển và giáo dục đã được Đảng, Nhànước coi là quốc sách hàng đầu, để chấn hưng nền giáo dục của nước nhà thì việc đổi mớiphương pháp giảng dạy được Bộ Giáo dục luôn coi là một nhiệm vụ cấp thiết cần phải thực hiệnmột cách có hiệu quả Muốn làm tốt công việc đó thì người thầy phải phấn đấu tự học, tự rènluyện nhằm nâng cao nhận thức, nghiệp vụ chuyên môn, từ đó tìm ra cho mình phương phápgiảng dạy đạt hiệu quả cao nhất, tạo được sự hứng thú và niềm tin ở học trò nhằm góp phầnnâng cao chất lượng giáo dục Một trong những cách để tạo sự chuyển biến tích cực trong côngtác giảng dạy đó là giáo viên viết các chuyên đề, sáng kiến kinh nghiệm phục vụ cho việc dạy

và học Từ những nhận thức đó, hàng năm tôi đều chọn một đề tài thiết thực phục vụ cho côngtác giảng dạy để viết thành sáng kiến kinh nghiệm nhằm nâng cao năng lực về chuyên môn, gópphần chia sẻ cùng các đồng nghiệp, các em học sinh những ý tưởng phục vụ cho việc dạy vàhọc được tốt hơn Thực tế qua quá trình giảng dạy tôi nhận thấy đại đa số các em học sinh đềungại và lúng túng khi gặp các bài toán có chứa tham số, bên cạnh đó việc sách giáo khoa lớp 10

đã giảm tải phần định lý đảo về dấu tam thức bậc 2 và các hệ quả, nên khi gặp các dạng toántrong chuyên đề này đã trình bày các em cảm thấy lúng túng, nhất là các em học sinh lớp 10,ngay cả các em học sinh lớp 12 khi đã được trang bị công cụ là đạo hàm cũng thấy khó khăn

Từ thực tế đó nhằm giúp các em học sinh cảm thấy hứng thú hơn khi học toán, biết cách vậndụng, khai thác một số dạng toán có chứa tham số, quy lạ về quen nên tôi viết sáng kiến kinhnghiệm:

“Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị của hàm số khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai”

Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến quý báu của quý thầy giáo, cô giáo!

V TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Sách giáo khoa Giải tích 12 – Tổng chủ biên: Trần Văn Hạo – Nhà xuất bản Giáo dục