SKKN Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải một số dạng toán trắc nghiệm về chủ đề cực trị của hàm số

SKKN Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải một số dạng toán trắc nghiệm về chủ đề cực trị của hàm số 1 A ĐẶT VẤN ĐỀ I Lý do chọn đề tài Thực tế giảng dạy cho thấy, việc lựa chọn phương pháp dạy học phù hợp s[.]

A ĐẶT VẤN ĐỀ

I Lý do chọn đề tài:

Thực tế giảng dạy cho thấy, việc lựa chọn phương pháp dạy học phù hợp sẽ kích thích được hứng thú học tập của học sinh, giúp học sinh lĩnh hội được tri thức một cách chủ động và đạt được mục đích học tâp

Việc lựa chọn phương pháp giảng dạy phù hợp với một nội dung kiến thức nhất định là đặc biệt quan trọng Nó giúp người thầy có được sự định hướng trong việc giảng dạy - tuỳ thuộc vào mục tiêu, nội dung cần đạt, trình độ nhận thức của học sinh Nó giúp người học dễ dàng tiếp cận kiến thức, tích lũy kiến thức đó và vận dụng vào làm bài thi đạt được kết quả cao nhất

Trong đề thi THPT QG những năm qua, các bài toán về chủ đề hàm số luôn chiếm một tỷ lệ đáng kể và gây không ít khó khăn cho học sinh Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh gặp nhiều khó khăn khi học các nội dung về chủ đề hàm số nói chung và chủ đề cực trị hàm số nói riêng, đặc biệt là các bài toán ở mức độ vận dụng và vận dụng cao Đặc biệt là từ khi Bộ GD

và ĐT áp dụng phương thức thi trắc nghiệm cho môn Toán, đòi hỏi học sinh không những phải có kiến thức sâu, rộng mà còn phải có các cách tiếp cận, các phương pháp phù hợp để giải bài toán một cách nhanh nhất

Để giúp học sinh có những cách tiếp cận nhanh nhất, hiệu quả nhất trong việc giải các bài

toán về cực trị của hàm số, tôi đã chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “ Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải một số dạng toán trắc nghiệm về chủ đề cực trị của hàm số”.

II Mục đích nghiên cứu:

Mục đích nghiên cứu của đề tài là nhằm cung cấp thêm cho học sinh những cách tiếp cận nhanh nhất, hiệu quả nhất trong việc giải các bài toán về cực trị của hàm số; từ đó từng bước tháo

gỡ những vướng mắc, khó khăn mà học sinh thường hay gặp phải với mong muốn nâng cao chất lượng dạy và học chủ đề cực trị của hàm số

III Nhiệm vụ nghiên cứu:

Nghiên cứu, tìm tòi các cách tiếp cận, các phương pháp giải các bài toán trắc nghiệm về chủ

đề “Cực trị hàm số”

IV Đối tượng và khách thể nghiên cứu:

Đối tượng nghiên cứu: các phương pháp giải bài toán trắc nghiệm về chủ đề “Cực trị hàm số”.

Khách thể nghiên cứu: học sinh hai lớp 12A5 và 12A9.

V Phạm vi nghiên cứu: Các dạng toán: tìm số điểm cực trị của hàm số; tìm điều kiện của tham số m để

hàm số có n điểm cực trị; tìm điều kiện của tham số m để hàm số đạt cực trị tại điểm x x 0

VI Phương pháp nghiên cứu:

- Phương pháp điều tra thực tiễn

- Phương pháp đối chứng

- Phương pháp nghiên cứu tài liệu

VII Cấu trúc của SKKN

A Đặt vấn đề

I Lý do chọn đề tài

II Mục đích nghiên cứu

III Nhiệm vụ nghiên cứu

IV Đối tượng và khách thể nghiên cứu

V Phạm vi nghiên cứu

VI Phương pháp nghiên cứu

VII Cấu trúc của SKKN

B Nội dung

I Cơ sở lý thuyết

II Một số dạng toán

III Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề

IV Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

C Kết luận và đề xuất

I Kết luận

II Đề xuất

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I Cơ sở lý thuyết:

1 Khái niệm cực trị hàm số :

Giả sử hàm số xác định trên tập hợp D D  R và x0D

được gọi là một điểm cực đại của hàm số nếu tồn tại một khoảng chứa điểm

0

   

; ( ) ( ), ; \







Khi đó f x 0 được gọi là giá trị cực đại của hàm số f

được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số nếu tồn tại một khoảng chứa điểm

0

0

   

; ( ) ( ) ; \







Khi đó f x 0 được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f

Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị

Nếu là một điểm cực trị của hàm số thì người ta nói rằng hàm số đạt cực trị tại điểm x0 f f x0

Như vậy : Điểm cực trị phải là một điểm trong của tập hợp D

x

y

Điểm cực đại

Điểm cực tiểu

Điểm cực tiểu

O

Điểm cực đại , cực tiểu gọi chung là điểm cực trị của hàm số , f(x0 ) là giá trị cực trị (hay cực trị ) của hàm số

2 Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị:

Định lý 1: Giả sử hàm số đạt cực trị tại điểm Khi đó , nếu có đạo hàm tại điểm thì f x0 f x0

 0

Chú ý :

Đạo hàm có thể triệt tiêu tại điểm nhưng hàm số không đạt cực trị tại điểm

Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm



Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng , hoặc tại đó

hàm số không có đạo hàm

3 Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị:

Định lý 2: Giả sử hàm số liên tục trên khoảng f  a b; chứa điểm và có đạo hàm trên các x0

khoảng a x; 0 và x b0;  Khi đó :

Nếu    thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm





x a x0 b

'( )

f x 0   ( )

f x

( )

f x( )0 Nếu    thì hàm số đạt cực đại tại điểm





x a x0 b

'( )

f x 0   ( )

f x

f x( )0 ( )

Định lý 3: Giả sử hàm số có đạo hàm cấp một trên khoảng f  a b; chứa điểm , x0 f x' 0 0và

có đạo hàm cấp hai khác tại điểm

Nếu f '' x0 0thì hàm số đạt cực đại tại điểm f x0

Nếu f '' x0 0thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm f x0

Chú ý :

1 Nếu là một điểm cực trị của hàm số thì điểm x0 f ( ; ( ))x f x0 0 được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số f

2 Trong trường hợp f x'( ) 00  không tồn tại hoặc 0 thì định lý 3 không dùng được.

0

'( ) 0 ''( ) 0

f x

f x







4.Tịnh tiến đồ thị

Cho hàm số y f x  có đồ thị  C Khi đó, với số a0 ta có:

a) Nếu tịnh tiến  C theo phương của x a lên trên a đơn vị ta được đồ thị hàm số

 

y f x a

b) Nếu tịnh tiến  C theo phương của x a xuống dưới đơn vị ta được đồ thị hàm số a

 

y f x a

c) Nếu tịnh tiến  C theo phương của y a qua trái đơn vị ta được đồ thị hàm sốa y f x a  

d)Nếu tịnh tiến  C theo phương của y a qua phải a đơn vị ta được đồ thị hàm số

y f x a

e) Đồ thị của hàm số y f x  có được bằng cách: giữ nguyên đồ thị (C) bên phải Oy, bỏ đồ thị (C) bên trái Oy, lấy đối xứng đồ thị (C) phần bên phải Oy qua Oy.

f) Đồ thị của hàm số y f x  có được bằng cách: giữ nguyên đồ thị (C) bên trên Ox, bỏ đồ thị (C) bên dưới Ox, lấy đối xứng đồ thị (C) phần bên dưới Ox qua Ox.

g) Đồ thị của hàm số y f x a   có được bằng cách vẽ đồ thị hàm số y f x  rồi tịnh tiến đồ thị y f x  theo phương của Ox qua trái a đơn vị.

h) Đồ thị của hàm số y f x a   có được bằng cách vẽ đồ thị hàm số y f x  rồi tịnh tiến

đồ thị y f x theo phương của Ox qua phải a đơn vị.

i) Đồ thị của hàm số y f x a   có được bằng cách tịnh tiến (C) theo phương của Ox qua trái a đơn vị rồi lấy đối xứng qua trục Oy

k) Đồ thị của hàm số y f x a   có được bằng cách tịnh tiến (C) theo phương của Ox qua trái a đơn vị rồi lấy đối xứng qua trục Oy

5 Quan hệ giữa cực trị hàm số và phép biến đổi đồ thị

a) Nếu đồ thị hàm số y f x( ) có n điểm cực trị có hoành độ dương(các điểm cực trị nằm bên

phải Oy) thì đồ thị hàm số y f x( )có 2n1 điểm cực trị

b) Nếu đồ thị hàm số y f x( ) có n điểm cực trị và phương trình f x 0 có m nghiệm bội lẻ

thì đồ thị hàm số y f x( ) có m n điểm cực trị

c) Số điểm cực trị của đồ thị hàm số y f ax b  c bằng số điểm cực trị của đồ thị hàm sốy f x( )

d) Khi tịnh tiến đồ thị thì số điểm cực trị không thay đổi.

II Một số dạng toán:

Dạng 1: Cho đồ thị hàm số f x( ). Hỏi số điểm cực trị của đồ thị hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối liên quan đến ( ).f x

Phương pháp: Sử dụng các kết quả của mục I.5.

Câu 1 Cho hàm số y f x( ) có đồ thị như hình vẽ Hỏi hàm số

có bao nhiêu điểm cực trị?

( )

y f x

A 1 B 2 C 3 D 5

Lời giải

Ta thấy đồ thị hàm số y f x( )có 1 điểm cực trị có hoành độ dương nên đồ thị hàm số y f x( )

có 3 điểm cực trị

Câu 2 Cho hàm số y f x( )có đồ thị như hình vẽ sau:

1. Hàm số y f x( )có bao nhiêu điểm cực trị?

2. Hàm số y f x( ) có bao nhiêu điểm cực trị?

3. Hàm số y f x( ) có bao nhiêu điểm cực trị?

Lời gải

1 Đồ thị hàm số y f x( )có 2 điểm cực trị có hoành độ dương nên hàm số y f x( )có 5 điểm cực trị

2 Đồ thị hàm số y f x( )có 3 điểm cực trị và phương trình f x( ) 0 có 2 nghiệm đơn nên hàm số y f x( )có 5 điểm cực trị

3 Đồ thị hàm số y f x( )có 5 điểm cực trị và phương trình f x( ) 0 có 2 nghiệm đơn nên hàm số y f x( )có 7 điểm cực trị

Câu 3 Cho hàm số y f x( ) Đồ thị hàm số y f x  như hình vẽ bên dưới

1. Tìm m để hàm số g x  f x m  có 5 điểm cực trị

2. Tìm m để hàm số g x  f x m  có 7 điểm cực trị

3. Tìm m để hàm số g x  f x m  có 5 điểm cực trị

Lời giải

Ta có BBT của hàm số f x :

+

-+

f'(x)

+∞

2 1

-1 -2

-∞

x

1 Đồ thị hàm số g x  f x m   có được bằng cách:

+ Vẽ đồ thị hàm số y f x 

+ Tịnh tiến đồ thị hàm số y f x theo phương của Ox sang phải hoặc trái m đơn vị được đồ thị hàm số g x  f x m  

Ta thấy: Hàm số y f x( )có 4 điểm cực trị trong đó có 2 cực trị dương  f x  có 5 điểm cực trị

có 5 điểm cực trị với mọi m

f x m

2 Đồ thị hàm số g x  f x m   có được bằng cách:

+ Tịnh tiến đồ thị hàm số y f x( ) theo phương của Ox sang phải hoặc trái m đơn vị được đồ thị hàm số y f x m  

+ Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số y f x m  nằm bên phải Oy qua Oy được đồ thị hàm số g x  f x m  

Từ đó ta thấy: để hàm số g x  f x m  có 7 điểm cực trị thì hàm số y f x m  phải

có 3 cực trị dương  tịnh tiến đồ thị hàm số y f x( ) theo phương của Ox sang phải lớn hơn 1 đơn vị và không quá 2 đơn vị     2 m 1.Vậy    2 m 1

3 Để hàm số g x  f x m  có 5 điểm cực trị thì hàm số y f x m  phải có 2 cực trị dương

tịnh tiến đồ thị hàm số theo phương của Ox (sang phải hoặc trái) phải thỏa mãn:

 Tịnh tiến sang phải không quá 1 đơn vị   0 m 1

 Tịnh tiến sang trái nhỏ hơn 1 đơn vị   0 m 1. Vậy   1 m 1

Câu 4 Cho hàm số y f x( ) Đồ thị hàm số y f x  như hình vẽ bên dưới

1. Tìm m để hàm số g x  f x m  có 5 điểm cực trị

2. Tìm m để hàm số g x  f x m  có 5 điểm cực trị

3. Tìm m để hàm số g x  f x m  có 3 điểm cực trị

Lời giải

Ta có BBT của hàm số f x :

CĐ CT

f'(x) + 0 - 0 - 0 +

x +∞ 0 1 3 +∞

1 Đồ thị hàm số g x  f x m   có được bằng cách:

+ Lấy đối xứng đồ thị hàm số y f x( ) bên phải Oy qua Oy được đồ thị hàm số y f x 

+ Tịnh tiến đồ thị hàm số y f x theo phương của Ox sang phải hoặc trái m đơn vị được đồ thị hàm số g x  f x m  

Ta thấy: Hàm số y f x( )có 2 điểm cực trị trong đó có 1 cực trị dương  f x  có 3 điểm cực trị

có 3 điểm cực trị với mọi m Vậy không có giá trị nào của m để hàm số

f x m

có 5 điểm cực trị

g x  f x m

2 Đồ thị hàm số g x  f x m   có được bằng cách:

+ Tịnh tiến đồ thị hàm số y f x( ) theo phương của Ox sang phải hoặc trái m đơn vị được đồ thị hàm số y f x m  

+ Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số y f x m  nằm bên phải qua Oy được đồ thị hàm số

g x  f x m

Từ đó ta thấy: để hàm số g x  f x m  có 5 điểm cực trị thì hàm số y f x m  phải

có 2 cực trị dương  tịnh tiến đồ thị hàm số y f x( ) theo phương của Ox sang phải lớn hơn 0 đơn vị  m 0. Vậy m0

3 Để hàm số g x  f x m  có 3 điểm cực trị thì hàm số y f x m   phải có 1 cực trị dương  tịnh tiến đồ thị hàm số y f x( ) theo phương của Ox trái nhỏ hơn 3 đơn vị

0 m 3

  

Vậy 0 m 3

Dạng 2: Cho đồ thị f x' . Hỏi số điểm cực trị của hàm số f u x  

Phương pháp:

+ Từ đồ thị hàm số f x' hãy tìm hoành độ giao điểm của đồ thị f x' với trục hoành

+ Tính đạo hàm của hàm số g x( ) f u x  

+ Dựa vào đồ thị của f x'  và biểu thức của g x' để xét dấu g x' 

Câu 1 Đường cong trong hình vẽ bên dưới là đồ thị hàm số y f x  Số điểm cực trị của hàm

số y f x  là

A 2 B 3 C 4 D 5.

Lời giải.

Ta thấy đồ thị hàm số f x  có điểm chung với trục hoành 4 x1; 0; ; x x2 3 nhưng chỉ cắt thực sự tại hai điểm là và 0 x3

Bảng biến thiên

Vậy hàm số y f x  có điểm cực trị Chọn A.2

Cách trắc nghiệm Ta thấy đồ thị của f x'  có điểm chung với trục hoành nhưng cắt và "băng 4 qua" luôn trục hoành chỉ có điểm nên có hai cực trị.2

 Cắt và "băng qua" trục hoành từ trên xuống thì đó là điểm cực đại

 Cắt và "băng qua" trục hoành từ dưới lên thì đó là điểm cực tiểu

Câu 2 Cho hàm số y f x  Đồ thị hàm số y f x  như hình bên

Tìm số điểm cực trị của hàm số g x  f x 23 

Lời giải.

Ta có g x 2xf x 2 3 ;

2

0

3 0

2 nghiem kep

3 1 nghiem kep

f x

x

f x

x x





  

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn B.

Chú ý: Dấu của g x  được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng 2;

 x2;   x 0  1

x  x     x f x    2

Từ  1 và  2 , suy ra g x 2xf x 230 trên khoảng 2; nên g x  mang dấu 

Nhận thấy các nghiệm x 1 và x0 là các nghiệm bội lẻ nên g x  qua nghiệm đổi dấu; các nghiệm x 2 là nghiệm bội chẵn (lí do dựa vào đồ thị ta thấy f x  tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ bằng nên qua nghiệm không đổi dấu.1

Câu 3 Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục trên và R f  0 0, f  1 0, đồng thời đồ thị hàm số y f x  như hình vẽ bên dưới

Số điểm cực trị của hàm số g x  f 2 x là

Lời giải.

Dựa vào đồ thị, ta có   0 2 . Bảng biến thiên của hàm số

1

x

f x

x

 



    

2 1 0

2 0

f x

x x

f x

x a a

f x

 



 



          

   



theo BBT nghiÖm kÐp

Bảng biến thiên của hàm số g x 

Vậy hàm số g x  có điểm cực trị Chọn C.3

Chú ý: Dấu của g x  được xác định như sau: Ví dụ chọn x  0  1;b

 theo do thi '   

x  f    1

 Theo giả thiết f  0 0  2

Từ  1 và  2 , suy ra g 0 0 trên khoảng 1; b

Nhận thấy x 2; x a x b ;  là các nghiệm đơn nên g x  đổi dấu khi qua các nghiệm này Nghiệm x1 là nghiệm kép nên g x  không đổi dấu khi qua nghiệm này, trong bảng biến thiên ta bỏ qua nghiệm x1 vẫn không ảnh hưởng đến quá trình xét dấu của g x 

Dạng 3: Cho đồ thị f x' . Hỏi số điểm cực trị của hàm số f u x    v x 

Phương pháp:

+ Từ đồ thị hàm số f x' hãy tìm hoành độ giao điểm của đồ thị f x' với trục hoành

+ Tính đạo hàm của hàm số g x( ) f u x    v x 

+ Dựa vào đồ thị của f x'  và biểu thức của g x' để xét dấu g x' 

Chú ý: * Nếu trong khoảng  a b; đồ thị hàm số f x' nằm trên đồ thị hàm số v x'( ) thì

  '( ) '( ) '( ) 0, ;

g x  f x v x   x a b

* Nếu trong khoảng  a b; đồ thị hàm số f x' nằm dưới đồ thị hàm số v x'( ) thì

  '( ) '( ) '( ) 0, ;

g x  f x v x   x a b

Câu 1 Cho hàm số y f x  có đạo hàm trên R Đồ thị hàm số y f x'  như hình vẽ bên dưới

Số điểm cực trị của hàm số g x  f x 20172018x2019 là

Lời giải.

Ta có g x  f x' 20172018; g x  0 f x' 20172018

Dựa vào đồ thị hàm số y f x'  suy ra phương trình f x' 20172018 có nghiệm đơn duy 1 nhất Suy ra hàm số g x  có điểm cực trị Chọn A.1

Câu 2 Cho hàm số y f x  có đạo hàm trên R Đồ thị hàm số y f x  như hình vẽ bên dưới Hỏi hàm số g x  f x x đạt cực tiểu tại điểm nào dưới đây ?

Lời giải.

Ta có g x  f x 1; g x  0 f x  1