luận văn ứng dụng của đạo hàm để tìm cực trị của hàm số

Mặc dù vậy ñể nắm vững khái niệm, tính chất của ñạo hàm ñồng thời ứng dụng ñược ñạo hàm vào giải các bài toán trong giải tích, vật lý, các bài toán về kinh tế cũng như các bài toán thực

Lời cảm ơn

Trong suốt thời gian thực hiện khoá luận tốt nghiệp ngoài sự nỗ lực của bản thân, tôi còn nhận được sự giúp đỡ, chỉ bảo tận tình của các thầy giáo, cô giáo trong Khoa Toán - Công Nghệ, Trường Đại học Hùng Vương

Đặc biệt tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo Trần Công Tấn Trần Công Tấn Trần Công Tấn- Giảng viên Khoa Toán - Công Nghệ, Trường Đại học Hùng Vương Thầy đã dành nhiều thời gian quý báu tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình thực hiện khoá luận tốt nghiệp, đồng thời giúp tôi lĩnh hội được những kiến thức chuyên môn

và rèn luyện cho tôi tác phong nghiên cứu khoa học

Qua đây, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc các thầy giáo, cô giáo trong Khoa Toán – Công nghệ, tới gia đình, bạn bè là những người luôn sát cánh bên tôi, đã nhiệt tình giúp đỡ, chia sẻ, động viên tôi trong suốt quá trình học tập cũng như khi tôi thực hiện và hoàn chỉnh khoá luận này

Mặc dù đề tài đã được chuẩn bị và nghiên cứu một cách kĩ lưỡng, về thời gian cũng như nội dung nhưng không khỏi có những thiếu sót Vì vậy tôi rất mong nhận

được sự góp ý của các bạn sinh viên, và đặc biệt là của các thầy giáo, cô giáo đang giảng dạy bộ môn Toán để khoá luận được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Phú Thọ, tháng 05 năm 2010

Sinh viên

Nguyễn Thị Hậu

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn ñề tài

Đạo hàm là một trong những kiến thức khá quen thuộc ñối với học sinh

Trung học phổ thông cũng như sinh viên các trường Cao Đẳng và Đại học Nội dung này của giải tích ñược ñề cập rất sớm trong chương trình: Đại số và giải tích bậc Trung học phổ thông và xuyên suốt trong các năm học Cao ñẳng và Đại học tiếp theo

Mặc dù vậy ñể nắm vững khái niệm, tính chất của ñạo hàm ñồng thời ứng dụng ñược ñạo hàm vào giải các bài toán trong giải tích, vật lý, các bài toán về kinh tế cũng như các bài toán thực tế lại là một vấn ñề hoàn toàn không ñơn giản

Trong những năm học Trung học phổ thông, học sinh ñã làm quen với khái niệm ñạo hàm, bước ñầu ñã biết vận dụng tìm cực trị của hàm số một biến trong giải tích và ứng dụng trong vật lý tìm vận tốc, gia tốc của một chuyển

ñộng Đó mới chỉ là những bài toán ñơn giản, chưa phải là bài toán khó và phức

tạp Song nhiều học sinh vẫn còn mắc sai lầm trong việc giải các bài toán dùng

ứng dụng của ñạo hàm mà nguyên nhân chính là việc học sinh chưa nắm vững

khái niệm ñạo hàm, chưa biết khảo sát hàm số, chưa biết cách làm một bài toán

Đạo hàm và ứng dụng của nó ngày càng ñược mở rộng, ñặc biệt là trong

các trường Cao ñẳng, Đại học Không chỉ giới hạn trong việc tìm cực trị của hàm số một biến như Trung học phổ thông mà ñạo hàm ñược ứng dụng mở rộng trong các bài toán tìm cực trị của hàm số nhiều biến, các bài toán cực trị có ñiều kiện của hàm số nhiều biến, hàm ẩn Lúc này, ñể giải quyết các vấn ñề ñó lại là một bài toán khó Yêu cầu người học không chỉ vững vàng về kiến thức cơ bản của ñạo hàm như ñịnh nghĩa tính chất, ứng dụng, mà còn ñòi hỏi người học phải

có tư duy toán học phát triển, ñồng thời ứng dụng ñạo hàm ở mức ñộ cao hơn, phải biết sử dụng và kết hợp một cách khéo léo các công cụ trong ñại số tuyến tính và hình học giải tích ñể hỗ trợ và phát triển ứng dụng ñó Chính vì vậy

không ít sinh viên ngành Toán nói chung và sinh viên Sư phạm Toán nói riêng còn gặp nhiều khó khăn, còn lúng túng khi gặp các bài toán ứng dụng ñạo hàm

ñể tìm cực trị hàm số

Với mong muốn: Làm sao ñể các sinh viên nói chung, ñặc biệt là các sinh viên Sư phạm Toán nói riêng ñược trang bị ñầy ñủ các kiến thức trong việc học tập nghiên cứu ứng dụng của ñạo hàm, từ ñó mở rộng các ứng dụng ñó trong thực tiễn giảng dạy, ñưa các ứng dụng của khoa học vào ñời sống Đặc biệt với mục ñích ñưa ra một hệ thống tập chung, phân loại kiến thức và nêu bài tập ứng dụng nhằm ñem lại thuận lợi cho học sinh, sinh viên trong quá trình học tập và nghiên cứu về ñạo hàm của hàm số Vì vậy tôi mạnh dạn chọn ñề tài nghiên cứu:

“Ứng dụng của ñạo hàm ñể tìm cực trị hàm số” cho khóa luận tốt nghiệp của

mình

2 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu những tài liệu, giáo trình liên quan ñến ñạo hàm và cực trị của hàm

số ñể rút ra phương pháp giải cho một số dạng toán về ứng dụng của ñạo hàm vào tìm cực trị hàm số

- Nghiên cứu mối liên hệ giữa cực trị hàm số và giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

3 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Đọc các giáo trình, tài liệu liên quan tới ứng dụng của ñạo hàm vào tìm cực trị hàm số ñể phân loại và hệ thống hoá các kiến thức

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Từ việc nghiên cứu tài liệu, giáo trình rút

ra ñược kinh nghiệm ñể tìm cực trị bằng phương pháp ñạo hàm

- Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến giảng viên trực tiếp hướng dẫn

và các giảng viên khác ñể hoàn thiện về mặt nội dung cũng như hình thức của khóa luận

4 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Khóa luận có thể tài liệu tham khảo cho những sinh viên chuyên ngành Toán của trường Đại học Hùng Vương có mong muốn nghiên cứu và tìm hiểu

ứng dụng của ñạo hàm Với bản thân tôi, nghiên cứu về ứng dụng của ñạo hàm

trong việc giải các bài toán cực trị giúp tôi hiểu rõ hơn khái niệm và tính chất của ñạo hàm cũng như của cực trị hàm số, cho thấy một trong những ứng dụng quan trọng của ñạo hàm và mối liên hệ rộng rãi của nó với các phần khác nhau trong Toán học

5 Bố cục của khóa luận:

Ngoài phần mở ñầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung chính của khóa luận gồm 3 chương

Chương 1 Các kiến thức bổ trợ

Trong chương 1 trình bày cơ sở lý thuyết về ñặc ñiểm của ñạo hàm thông qua những ñặc ñiểm chung của môn Toán, làm rõ tính trừu tượng cao ñộ và tính thực tiễn phổ dụng, tính lôgíc và tính thực nghiệm Đồng thời, hệ thống hóa các kiến thức cơ bản về ñạo hàm bao gồm:

- Định nghĩa ñạo hàm của hàm số một biến và ñạo hàm hàm số hai biến

- Các quy tắc tính ñạo hàm

- Các ñịnh lý cơ bản về hàm khả vi

Ngoài ra, trong chương này còn bổ sung thêm ý nghĩa của ñạo hàm ñể tìm cực trị của hàm số nhằm ñưa ra cơ sở lý luận vững chắc cho khóa luận

Chương 2 Ứng dụng của ñạo hàm ñể tìm cực trị hàm số một biến

Trong chương này, việc nhắc lại các kiến thức cơ bản về cực trị, các quy tắc dùng ñạo hàm ñể tìm cực trị của hàm số một biến nhằm củng cố kiến thức, tạo nền tảng vững chắc ñể ứng dụng ñạo hàm vào tìm cực trị của hàm số một biến Đồng thời chương này cũng ñưa ra hệ thống, phân loại các dạng bài tập theo các lớp hàm, giúp cho việc giải quyết các bài tập một cách thuận lợi hơn và

là cơ sở ñể giúp cho việc nghiên cứu hàm nhiều biến ở chương sau

Chương 3 Ứng dụng của ñạo hàm ñể tìm cực trị hàm số nhiều biến

Chương 3 trình bày phương pháp ứng dụng của ñạo hàm ñể giải quyết các bài toàn tìm:

- Cực trị của hàm số hai biến số

- Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số hai biến số trong một miền ñóng

bị chặn

- Cực trị có ñiều kiện

- Cực trị hàm số phụ thuộc tham số

Hơn nữa, ứng dụng ñạo hàm ñể nghiên cứu các tính chất của hàm số ẩn,

ñây là phần kiến thức tương ñối khó, tuy nhiên nó hỗ trợ rất ñắc lực cho việc tìm

cực trị của hàm số nhiều biến và ñặc biệt trong việc tìm cực trị của hàm ẩn

Ở trong chương này chúng ta cũng có hệ thống các dạng bài tập tương ứng, bám sát các kiến thức, các quy tắc ñã ñược trình bày, giúp người ñọc hiểu

sâu sắc hơn các kiến thức ñã học và ghi nhớ các quy tắc sử dụng ñạo hàm ñể giải quyết các bài toán trên

CHƯƠNG 1 CÁC KIẾN THỨC BỔ TRỢ

1.1 Đặc ñiểm của ñạo hàm

1.1.1 Tính trừu tượng cao ñộ và tính thực tiễn phổ dụng

a) Tính trừu tượng hoá: Tính trừu tượng hoá của Toán học và của môn

Toán do chính ñối tượng của môn Toán quy ñịnh Theo Ăng ghen: “ Đối tượng của Toán học thuần tuý là hình dạng không gian và những quan hệ số lượng của thế giới khách quan” (Trích theo Hoàng Chúng, tr.20)

Mặc dầu Toán học hiện nay phát triển mạnh mẽ, phát biểu nổi tiếng trên vẫn còn hiệu lực nếu những khái niệm hình học không gian và quan hệ số lượng

ñược hiểu theo những nghĩa rất khái quát “Hình dạng không gian” có thể biểu

diễn không chỉ trong không gian thực tế ba chiều mà cả trong những không gian trừu tượng khác nhau nữa như không gian có số chiều là n hoặc vô hạn, không gian mà phần tử là những hàm liên tục, “Quan hệ số lượng” không chỉ bó hẹp trong phạm vi các tập hợp mà ñược biểu hiện như phép toán và những tính chất của chúng trên những tập hợp có những phần tử là những ñối tượng loại tuỳ ý như ma trận, tập hợp, mệnh ñề, phép biến hình,…

Đương nhiên tính chất trừu tượng không phải chỉ có trong Toán học mà là ñặc ñiểm của mọi khoa học Nhưng trong Toán học, cái trừu tượng tách ra khỏi

mọi chất liệu của ñối tượng, “chỉ giữ lại những quan hệ số lượng và hình dạng không gian, tức là những quan hệ về cấu trúc mà thôi’’ (Phạm Văn Hoàn,…1981, tr.21) Ở trình ñộ lý thuyết, nhận thức khoa học nói chung, Toán

học nói riêng luôn phải sử dụng sự trừu tượng hoá Toán học là khoa học sử dụng nhiều sự trừu tượng nhất và mức ñộ trừu tượng cũng ñạt trình ñộ cao nhất, trong lĩnh vực khoa học này: “sự trừu tượng có sức mạnh lớn nhất’’ Tuy nhiên, cho dù sự trừu tượng có ñược thực hiện “nghiêm túc’’, “ñúng ñắn” ñến ñâu thì các tri thức nhận ñược vẫn có khả năng xa rời hiện thực Vì vậy, ñể ñảm bảo tính chân lý, tức lập luận cho tính hợp lý của các tri thức nhận ñược, chúng ta cần phải xác lập cơ sở của chúng Nhưng ñây mới chỉ là lý do thứ yếu và tính

cấp bách của vấn ñề nằm ở chỗ khác Sau phát hiện về ñại lượng biến thiên của Decarter, người ta ñã sử dụng phép tính tích phân và vi phân ñể nghiên cứu về vận ñộng Ta có thể mô tả việc nghiên cứu này như sau:

Người ta sử dụng hàm số:s= f t( ) ñể biểu thị vận ñộng; vận tốc tức thời

tại một thời ñiểm cụ thể t1 nào ñó là ñạo hàm bậc nhất của hàm số tại thời ñiểm

ñó: v t( )1 = f '( )t1 Gia tốc tức thời của vận ñộng là ñạo hàm bậc hai: ( )1 ''( )1

a t = f t

Như vậy, lần ñầu tiên người ta ñã sử dụng các công cụ toán học, các

phương pháp chặt chẽ, chính xác ñể nghiên cứu về vận ñộng nói riêng, về cái

biện chứng khách quan nói chung Đặc biệt là với phương thức nghiên cứu như

vậy, người ta ñã thu nhận ñược một khối lượng ñồ sộ các thành tựu toán học

Đạo hàm (vi phân) là lý thuyết về tốc ñộ của sự thay ñổi; liên hệ ñến các hàm số, vận tốc, gia tốc, hệ số góc của một ñường cong tại một ñiểm cho trước,

cực ñại và cực tiểu của các hàm Khi nghiên cứu ñạo hàm (vi phân), các nhà nghiên cứu ñã ñối mặt và giải quyết các vấn ñề về mối quan hệ giữa liên tục và

rời rạc; giữa hữu hạn và vô hạn; giữa chuyển ñộng và ñứng yên

Như vậy có thể thấy ñạo hàm một bộ phận của Toán học có tính chất trừu

tượng cao ñộ Tính trừu tượng cao ñộ chỉ che lấp chứ không hề mất tính thực

tiễn của Toán học

b) Tính thực tiễn phổ dụng: Toán học có nguồn gốc thực tiễn Số học ra

ñời trước hết là do nhu cầu ñếm Hình học phát sinh do sự cần thiết phải ño lại

ruộng ñất bên bờ sông Nin (Ai Cập) sau những trận lũ hàng năm Khi nói ñến nguồn gốc thực tiễn của Toán học cũng cần nhấn mạnh cả nguồn gốc thực tiễn

của lôgíc hình thức ñược sử dụng trong Toán học, Lê Nin viết: “Những hình

thức và quy luật lôgíc không phải là cái vỏ trống rỗng mà là sự phản ánh thế giới khách quan thực tiễn của con người ñược lặp ñi lặp lại hàng nghìn triệu lần, sẽñược củng cố vào ý thức người ta dưới những hình thức của lôgíc học” (Lê Nin toàn tập, tr 127 - 129, trích theo Phạm Văn Hoàn, 1981, tr.23)

Thành tựu nổi bật nhất của thế kỉ XVII là sự phát minh ra các phép tính

vi - tích phân vào cuối thế kỉ này của Isaac Newton và Gottfried Wilhelm leibniz Sự ra ñời của phép tính vi - tích phân ñã ñưa Toán học sang một giai

ñoạn Toán cao cấp, gần như kết thúc giai ñoạn của Toán học sơ cấp Từ ñối

tượng nghiên cứu là các số và hình dạng tĩnh tại, Toán học bước sang nghiên cứu ñối tượng trong quá trình vận ñộng và biến ñổi

Phép tính vi phân và tích phân ñược sáng tạo ra là nhằm giải quyết bốn vấn ñề khoa học của thế kỉ thứ XVII như sau:

Vấn ñề thứ nhất, cho vật chuyển ñộng theo một công thức là một hàm số theo thời gian, hãy tìm vận tốc và gia tốc của nó ở một thời ñiểm bất kì; ngược lại, cho biết gia tốc của một vật thể chuyển ñộng là một hàm số theo thời gian, hãy tìm vận tốc và quãng ñường ñi ñược Vấn ñề này xuất phát từ việc nghiên cứu chuyển ñộng Trong chuyển ñộng thì vận tốc và gia tốc thay ñổi từ thời

ñiểm này ñến thời ñiểm khác Trong vật lý, người ta cần biết chính xác vận tốc

hay gia tốc của một vật thể chuyển ñộng tại từng thời ñiểm Nếu lấy vận tốc bằng quãng ñường ñi ñược chia cho thời gian là vận tốc trung bình chứ chưa phải vận tốc chính xác tại mỗi thời ñiểm thì thời gian chuyển ñộng và vận tốc

ñều bằng không, mà 0/0 là vô nghĩa Đối với bài toán ngược lại, thì gặp một khó

khăn là nếu biết vận tốc là một hàm thời gian ta cũng không thể tìm ñược quãng

ñường ñi ñược của vật thể chuyển ñộng vì vận tốc thay ñổi từ thời ñiểm này ñến

thời ñiểm khác

Vấn ñề thứ hai là vấn ñề tìm tiếp tuyến của một ñường cong Bài toán này thuộc về hình học, nhưng nó có những ứng dụng quan trọng trong khoa học Quang học là ngành mà nhiều nhà khoa học của thế kỉ XVII quan tâm nghiên cứu Thiết kế các thấu kính là mối quan tâm ñặc biệt của NewTon, Fermat, Descartes và Huygens Để nghiên cứu ñường ñi của ánh sáng qua thấu kính người ta phải biết góc mà ở ñó tia sáng ñập vào thấu kính ñể áp dụng ñịnh luật khúc xạ Góc cần chú ý là góc giữa tia sáng và pháp tuyến của ñường cong, pháp tuyến thì vuông góc với tiếp tuyến Để xác ñịnh pháp tuyến, người ta phải xác

ñịnh tiếp tuyến Một vấn ñề có tính chất khoa học khác nữa liên quan ñến tiếp

tuyến của một ñường cong là nghiên cứu chuyển ñộng Hướng chuyển ñộng của

vật thể chuyển ñộng ở bất kì thời ñiểm nào của quỹ ñạo chính là hướng của tiếp tuyến của quỹ ñạo

Vấn ñề thứ ba là vấn ñề tìm giá trị cực ñại và cực tiểu của một hàm số Khi ñạn bắn từ súng thần công, khoảng cách ñi ñược sẽ phụ thuộc vào góc của súng tạo với mặt ñất Vấn ñề ñặt ra là tìm góc sao cho viên ñạn ñi xa nhất Nghiên cứu sự chuyển ñộng của Hành Tinh liên quan ñến các bài toán cực trị, ví

dụ tìm khoảng cách ngắn nhất và dài nhất của một Hành Tinh và Mặt Trời

Vấn ñề thứ tư là tìm chiều dài ñường cong, chẳng hạn như khoảng cách ñi

ñược của một Hành Tinh trong một thời gian nào ñó; diện tích của hình giới hạn

bởi các ñường cong; thể tích của những khối giới hạn bởi những mặt,… Các nhà Toán học cổ Hy Lạp ñã dùng phương pháp vét kiệt một cách rất khéo léo Các nhà Toán học ở thế kỉ XVII ñã cải tiến dần và họ ñã nhanh chóng phát minh ra phép tính vi - tích phân

Toán học có ứng dụng rộng rãi trong thực tiễn Tính trừu tượng cao ñộ làm cho Toán học có tính phổ dụng, có thể ứng dụng ñược trong rất nhiều lĩnh vực rất khác nhau của ñời sống thực tế Chẳng hạn, những tri thức về tương quan tỷ lệ thuận biểu thị bởi công thức y =kx có thể ñược ứng dụng vào hình học, ñiện học, hoá học…Vì mối tương quan này phản ánh những mối liên hệ trên các lĩnh vực ñó, chẳng hạn như:

- Diện tích S của một tam giác với một cạnh a cho trước tỉ lệ thuận với

ñường cao h ứng với cạnh ñó: 1

2

S = ah

- Quãng ñường S ñi ñược trong một chuyển ñộng ñều với vận tốc cho

trước v tỷ lệ thuận với thời gian ñi t: S =vt

- Phương trình xác ñịnh li ñộ trong chuyển ñộng của con lắc là:

x=a c w +ϕ Từ phương trình này ta thấy nếu lấy ñạo hàm lần thứ nhất ta có:x'= −aw sin(w t +ϕ) ñây chính là vận tốc của con lắc ở thời ñiểm t Nếu lấy

x = − w +ϕ ñây chính là gia tốc của con lắc

ở thời ñiểm t cần tìm

Tương tự như vậy, những kết quả nghiên cứu về nhóm có thể ñem ứng dụng cho những ñối tượng có bản chất rất khác nhau: số, véctơ, ma trận, phép dời hình,…

Đạo hàm một bộ phận của Toán học có ứng dụng rất nhiều trong cuộc

sống, cụ thể: Trong các bài toán ñộng tử, vận tốc là ñạo hàm của quãng ñường

ñi; gia tốc là ñạo hàm của vận tốc Trong bài toán ñiện, sức ñiện ñộng cảm ứng

là một ñạo hàm của từ thông biến thiên; trong tụ ñiện thì dòng ñiện là ñạo hàm của ñiện áp; trong cuộn cảm thì ñiện áp là ñạo hàm của dòng ñiện Trong ngành

cơ học lưu chất thì lưu lượng là ñạo hàm của khối lượng (hoặc thể tích) lưu chất… Khi ta nói vào microphone, ñiện áp ra của mic sẽ bằng ñạo hàm của sóng

âm thanh; khi ampli khuyếch ñại lên ñưa ra loa, rung ñộng của loa sẽ bằng ñạo hàm của ñiện áp ñặt vào; như vậy từ mic ñến loa bạn ñã lấy ñạo hàm 2 lần…

Ứng dụng của ñạo hàm (vi phân) và tích phân vào thực tế thì hầu như

ngành nào cũng có Từ khoa học tự nhiên, kĩ thuật, công nghệ, ñến các bài toán trong các quá trình khoa học xã hội Tất cả các quá trình ñó ñều có thể mô phỏng bằng các khối Tỷ lệ - tích phân - vi phân Trước khi máy vi tính ra ñời, người ta sử dụng các mạch ñiện tử ñể làm các khối này Các mạch ñiện tử ñó gọi

là các bộ khuyếch ñại thuật toán Hệ thống sử dụng các mạch mô phỏng ấy ñược gọi là máy tính tương tự Hiện nay người ta dùng các phần mềm mô phỏng, hoặc các phần mềm tuyến tính thời gian thực ñể thay thế Các mạch khuyếch ñại thuật toán vẫn ñược sản xuất ñể thực hiện rất nhiều chức năng khác Sử dụng các phần mềm mô phỏng này người ta có thể biết ñược tác ñộng của các biến số phức tạp trong hệ thống

1.1.2 Tính lôgíc và tính thực nghiệm

Khi nghiên cứu các quy luật của các hiện tượng tự nhiên và xã hội người

ta thường dùng suy diễn logic tìm ra mối liên hệ giữa các ñại lượng ñang xét cùng với các ñạo hàm (vi phân) của chúng Theo phương pháp ñó, xuất phát từ các khái niệm nguyên thuỷ (tức là các ñối tượng nguyên thuỷ và quan hệ nguyên thuỷ) và các tiên ñề rồi dùng quy tắc lôgíc ñể ñịnh nghĩa các khái niệm khác và chứng minh các mệnh ñề khác

Khi trình bày mơn Tốn nĩi chung và các bài tốn liên quan đến đạo hàm nĩi riêng trong các trường Đại học và Cao đẳng, do đặc thù và yêu cầu của cấp học là tự học, tự nghiên cứu mà địi hỏi người học khi giải một bài tốn hoặc áp dụng một mệnh đề cần phải được chứng minh và trình bày một cách chặt chẽ về mặt logic

Chúng ta cần chú ý rằng, nếu trình bày những kết quả đã đạt được khi tính

đạo hàm thì đĩ là sự suy diễn và tính logic nổi bật lên Nhưng nếu nhìn đạo hàm

trong quá trình hình thành và phát triển, trong quá trình tìm tịi phát minh, thì trong phương pháp của nĩ vẫn cĩ tìm tịi, dự đốn, vẫn cĩ “thực nghiệm” và quy nạp Như vậy sự thống nhất giữa suy đốn và suy diễn được coi là một đặc điểm của tư duy tốn học Cần chú ý cả hai phương diện đĩ mới cĩ thể hướng dẫn học sinh học tốt đạo hàm cũng như học tốn, mới khai thác đầy đủ tiềm năng mơn học để thực hiện mục đích giáo dục tồn diện

Ta xét một số bài tốn dẫn đến khái niệm đạo hàm sau để thấy rõ hơn những đặc điểm trên của đạo hàm:

Bài tốn 1 Bài tốn tính vận tốc tức thời của một chuyển động thẳng khơng đều

Giả sử ta cĩ một chất điểm chuyển động thẳng theo một quy luật được biểu thị bởi biểu thức:s= f t( ) (1); trong đĩ s là quãng đường đi được của chất

điểm (kể từ điểm gốc chọn cho trước) và t là thời gian để đi được đoạn s

Trong trường hợp chuyển động của chất điểm là đều thì vận tốc của

2 1

f t f t v

1 Định nghĩa vận tốc tức thời (biểu thị độ nhanh, chậm) của chuyển động thẳng khơng đều

2 Ta nhận thấy rằng nếu khoảng thời gian t−t0 càng bé thì vận tốc trung

chuyển ñộng tại thời ñiểm ñiểm ñó Do nhận xét ñó tự nhiên ta ñi ñến ñịnh nghĩa sau ñây về vận tốc tức thời của một chuyển ñộng thẳng (không ñều)

bất kì của thanh có cùng một chiều dài thì có khối lượng bằng nhau Trong

trường hợp này tỉ số d giữa khối lượng của thanh và chiều dài của nó (tức là

khối lượng của một ñơn vị dài của thanh) là một số không ñổi Tỉ số d ñược gọi

( )

m= f x , (OM =x) Giả sử muốn xét sự phân bố vật chất tại ñiểm x0 Ta nhận thấy rằng nếu

chiều dài x− x0 càng bé thì tỉ khối trung bình ( ) ( )0

tự nhiên ta ñưa ra ñịnh nghĩa:

0

0 0

là tỉ khối ñịa phương của thanh

thẳng AB tại ñiểm x Tỉ số (6) có thể viết: 0

0

lim

x

f x

ñến cùng một bài toán là tính giới hạn của tỉ số giữa số gia của hàm số và số gia

của ñối số

Do vậy ñể giải quyết ñồng thời hai bài toán trên (và tất cả những bài toán

tương tự) người ta ñưa ra khái niệm ñạo hàm

1.2 Các kiến thức cơ bản về ñạo hàm

1.2.1 Các khái niệm cơ bản

x

x f x x

f

;

0 0

Rõ ràng giá trị của giới hạn (2) phụ thuộc vào x0 cho nên f là một hàm '

số Miền xác ñịnh của hàm số f ' là tập hợp mọi ñiểm x mà ở ñó tồn tại giới hạn (2) Hàm số f ' ñược gọi là ñạo hàm của hàm số f tại ñiểm x= x0, nó còn ñược

kí hiệu như sau: f '( )x0 =f x( )'x x= 0

Đố i với hàm số hai biến: Xét hàm số u= f x y( ), xác ñịnh trong miền mở D và

ñiểm P x y( ), ∈D Khi cho x số gia x∆ ( x∆ ñủ nhỏ sao cho: P x'( + ∆x y, )∈D) hàm số u nhận số gia: ∆ =x u f x( + ∆x y, ) ( )− f x y,

Tương tự, khi cho số gia y∆ ( y∆ ñủ nhỏ sao cho P x y'( , + ∆ ∈y) D), hàm

+) Hoàn toàn tương tự ta cũng có ñịnh nghĩa của ñạo hàm riêng của hàm ba (hoặc nhiều hơn ba biến số): u = f (x,y,z)

∂ =

1.2.2 Các quy tắc cơ bản ñể tính ñạo hàm

) Định lý: Cho các hàm số f và g xác ñịnh trong khoảng (a;b) và có ñạo

hàm tại ñiểm x0 ∈( )a;b Khi ñó f ± g, kf (k là số thực bất kì), f, g và fg cũng có

ñạo hàm tại ñiểm x0 và ta có:

) Đạo hàm của hàm số ngược: Giả sử cho hàm số y= f x( ) liên tục và

tăng nghiêm ngặt trong khoảng ( )a b và gi, ả thiết rằng x=ϕ( )y là hàm ngược xác ñịnh trong lân cận của ñiểm y = y0 = f x( )0 ,(x0∈( )a b, ) Khi ñó nếu hàm số

) Mối quan hệ giữa ñạo hàm (tính khả vi) và tính liên tục: Nếu hàm

số y= f x( ) có ñạo hàm tại x thì nó liên t 0 ục tại ñiểm ñó Điều ngược lại không

ñúng

) Định lý Fermat: Cho hàm số f x xác ( ) ñịnh liên tục trong khoảng

ñóng [ ]a b , khi , ñó nếu f x( )ñạt cực trị tại c∈( )a b, và nếu f x kh( ) ả vi tại c thì ( )

f c =

) Định lý Rolle: Cho hàm số f x xác ( ) ñịnh liên tục trong khoảng ñóng

[ ]a b và kh, ả vi trong khoảng mở ( )a b ; khi , ñó, nếu f a( )= f b( ) thì tồn tại

c∈ a b sao cho f '( )c =0

) Định lý Lagrange: Cho hàm số f x( ) xác ñịnh liên tục trong khoảng

ñóng [ ]a b, , khả vi trong khoảng mở ( )a b ; khi , ñó, tồn tại c∈( )a b, sao cho

) Công thức Taylor (mở rộng ñịnh lý Lagrange): Nếu hàm số f x xác ( )

ñịnh liên tục trong khoảng ñóng [ ]a b , khả vi ñến , (n+1) lần trong khoảng mở ( )a b thì với bất kỳ , c∈( )a b, , có:

ñều trong vật lí ñược giải quyết một cách ñơn giản mà nó còn ñược ứng dụng

một cách có hiệu quả vào việc khảo sát các hàm số, ñặc biệt là việc tìm các ñiểm cực trị của hàm số trên một miền xác ñịnh Từ ñó có thể tìm ñược các giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên miền xác ñịnh ñó

Việc tìm cực trị hàm số nhờ ứng dụng của ñạo hàm không chỉ ñơn thuần

về mặt giải các bài toán có liên quan tới Toán học mà nó còn làm tăng thêm tính

ứng dụng của Toán học vào thực tiễn và giúp cho ứng dụng của Toán học vào

thực tiễn ña dạng hơn và rộng lớn hơn

1.3 Ý nghĩa của ñạo hàm ñể tìm cực trị hàm số

øng dụng của ñạo hàm trong Toán học cũng như trong thực tiễn là vô

cùng rộng lớn, ñạo hàm ñược ứng dụng vào giải các bài toán về phương trình vi phân, các bài toán tìm phương án tối ưu trong các bài toán kinh tế, các bài toán

về tìm gia tốc, vận tốc tại các thời ñiểm tức thời trong vật lý vv Tuy nhiên ở

ñây chúng ta chỉ ñề cập tới phạm vi ứng dụng của ñạo hàm ở một góc ñộ hẹp

hơn nữa là ứng dụng của ñạo hàm ñể tìm cực trị hàm số

Việc tìm các ñiểm cực trị của hàm số là một khâu không thể thiếu ñược

trong quá trình khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số, nó giúp cho việc dựng ñồ thị hàm

số ñược dễ ràng và chính xác

một biến, ta có ñịnh nghĩa cực trị hàm số một biến như sau: Cho hàm số

( )

y = f x xác ñịnh trên tập X có miền giá trị là tập Y Nếu tập Y có số lớn nhất (max Y) thì ta sẽ gọi số lớn nhất ñó là cực ñại tuyệt ñối hay giá trị lớn nhất của hàm số y = f x( ) trên tập X (hay ta cũng bảo hàm số này ñạt cực ñại tuyệt ñối trên tập X))

Tương tự, nếu tập Y có số bé nhất (min Y) thì ta sẽ gọi số bé nhất ñó là cực tiểu tuyệt ñối hay giá trị bé nhất của hàm số y= f x( ) trên tập X (và ta cũng nói rằng hàm số này ñạt cực tiểu tuyệt ñối trên tập X)

Cực ñại tuyệt ñối và cực tiểu tuyệt ñối có tên chung là cực trị tuyệt ñối

giá trị nhỏ nhất mà các giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất chỉ tồn tại trong một lân cận nào ñó của tập xác ñịnh thì việc chỉ ra các ñiểm cực trị là tương ñối phức tạp

tập xác ñịnh của nó hàm số không tồn tại giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất mà giá trị ñó chỉ tồn tại trong một lân cận nào ñó của TXĐ Vì vậy mà không thể dựa vào ñịnh nghĩa cực trị ñể tìm các ñiểm cực trị của hàm số trên Nhưng nếu

ứng dụng ñạo hàm vào tìm cực trị thì với bài toán trên việc tìm các ñiểm cực trị

lại ñược giải quyết một cách ngắn gọn và ñơn giản

Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số có mối liên hệ mật thiết với cực

trị hàm số, trên một miền xác ñịnh D nào ñó nếu hàm số có giá trị lớn nhất hoặc

nhỏ nhất thì chưa chắc hàm số ñã có ñiểm cực trị trên D Ngược lại nếu hàm sốtồn tại các ñiểm cực trị trên D thì chắc chắn trên một lân cận nào ñó của D hàm

số sẽñạt ñược giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên lân cận ñó

Với vai trò ứng dụng rộng rãi của ñạo hàm, và ñặc biệt là ứng dụng của

nó trong việc khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số là một khâu quan trọng và không thể

thiếu, vấn ñề này sẽ ñược trình bày thông qua nội dung của các bài toán trong

Ngoài ra, trong chương này còn bổ sung thêm ý nghĩa của ñạo hàm ñể tìm

cực trị của hàm số nhằm ñưa ra cơ sở lý luận vững chắc cho khóa luận

CHƯƠNG 2 ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM

CỰC TRỊ HÀM SỐ MỘT BIẾN

2.1 Các kiến thức cơ bản

2.1.1 Định nghĩa

) Định nghĩa cực trị của hàm số một biến: Cho hàm số y= f x( ) xác

ñịnh trên tập X có miền giá trị là tập Y Nếu tập Y có số lớn nhất (max Y) thì ta

sẽ gọi số lớn nhất ñó là cực ñại tuyệt ñối hay giá trị lớn nhất của hàm số

( )

y = f x trên tập X (hay ta cũng bảo hàm số này ñạt cực ñại tuyệt ñối trên X) Tương tự, nếu tập Y có số bé nhất (min Y) thì ta sẽ gọi số bé nhất ñó là cực tiểu tuyệt ñối hay giá trị bé nhất của hàm số y= f x( ) trên tập X (và ta cũng nói rằng hàm số này ñạt cực tiểu tuyệt ñối trên tập X)

Cực ñại tuyệt ñối và cực tiểu tuyệt ñối có tên chung là cực trị tuyệt ñối

Chú ý: có nhiều hàm số (nhiều khi rất ñơn giản) không có cực trị Chẳng hạn hàm số: y = x không có cực tiểu và không có cực ñại trong khoảng (0;1)

) Nếu hàm f x khả vi tại ñiểm c và tại ñó có cực trị thì ( ) f '( )c =0 Các nghiệm của phương trình f '( )x =0 ñược gọi là các ñiểm dừng Các ñiểm nghi

ngờ có cực trị phải kể cả các ñiểm mà tại ñó ñạo hàm không tồn tại Cả hai loại

ñiểm trên ñược gọi là các ñiểm tới hạn

2.1.2 Quy tắc tìm cực trị hàm số

+) Quy tắc dùng ñạo hàm ñể tìm cực trị hàm số một biến:

) Quy tắc 1: Giả sử hàm số y = f x( ) liên tục có ñạo hàm trên miền D thì ñiểm x0 là ñiểm cực trị của hàm số nếu: f '( )x =0 và f '( )x ñổi dấu khi x

2.1.3 Các dạng toán thường gặp trong các bài toán ứng dụng của ñạo hàm tìm cực trị hàm số một biến bao gồm

Dạng 1: Sự tồn tại cực trị, tính chất ñiểm cực trị

Dạng 2: Tính các giá trị cực trị

Dạng 3: Tìm ñường thẳng ñi qua các ñiểm cực trị

2.2 Cực trị của hàm số ña thức và hữu tỉ

Giải: Ta tìm ñạo hàm và so sánh nó với không:

x x

y= −

Giải: TXĐ: x∈ℝ Hàm số không chẵn, không lẻ, không tuần hoàn

Từ ñó ta thấy hàm số y= f x( ) có hai ñiểm dừng: x = 0 và x = 3 (tại các ñiểm

ñó ñạo hàm bị triệt tiêu) Đồ thị hàm số giao với 0x tại x = 0 và x = 4

Ta có bảng biến thiên: (Dấu của ñạo hàm f’(x) và f’’(x) ở lân cận các ñiểm

x = 0; x = 3 và x = 2 ñược xác ñịnh trong bảng)

y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt

( )

P x y

Q x

= ñạt cực trị tại x0 thì giá trị cực trị:

'

' 0

a) Ta có:

2 '

Vậy m = -1 thoả mãn yêu cầu bài toán

Bài toán 2 Cho hàm số:

số luôn có cực ñại, cực tiểu khi a thay ñổi Tìm quỹ tích các ñiểm cực trị ñó

Giải: Ta có:

2 '

1( )

1( )

Vậy quỹ tích các ñiểm cực trị là Hypebol (H) và (H) có ñồ thị: (hình 2)

Bài toán 1 Tìm cực trị của hàm số: 23 1

4'

x y

Từ ñó ta thấy hàm số y = f(x) có hai ñiểm dừng là: x = ±1 (tại ñó không tồn tại

4

a x

x a

2.4 Cực trị của hàm siêu việt và lượng giác

2.4.1 Cực trị của các hàm siêu việt

Bài toán 1 Tìm cực trị của hàm số: 2

Bởi vậy tại ñiểm ñó hàm số có cực ñại bằng 1

Bài toán 3 Chứng minh rằng hàm: ( ) 2

Giải Ta tính số gia của hàm số f x( ) và g x( ) tại ñiểm x =0.Ta có:

Vậy hàm số ñạt cực ñại tại x=0; giá trị cực ñại là: yCĐ = 1

e.

Nhận xét: Để tìm các ñiểm cực tiểu của hàm số siêu việt sau khi tính y’ nên giải bất ñẳng thức y'≥ 0 (y ' ≤ 0) ⇔ gi ả i b ấ t ph ươ ng trình m ũ ho ặ c logarit

t ừ nghi ệ m c ủ a b ấ t ph ươ ng trình ñ ó ⇒ ñ i ể m c ự c ti ể u c ủ a hàm s ố siêu vi ệ t

2.4.2 Cực trị của hàm số lượng giác

Bài toán 1 Tìm cực trị của các hàm số sau: cos 1cos 2 1

2

Giải: TXĐ: x∈ℝ Đạo hàm của hàm số là:

x k y

Giải: a) Khảo sát dấu của số gia hàm số f(x) tại ñiểm x = 0, ta có:

x + x ≤ nên ñạo hàm y’(x) của hàm số không ñổi dấu khi di

chuyển qua các không ñiểm của nó, bởi vậy hàm số không còn ñiểm cực trị nào

khác, ngoài fmin = f (0) = 0

Trong trường hợp b, sự khảo sát dẫn ñến kết quả tương tự: Hàm số nhận giá trị

cực tiểu duy nhất bằng 0, khi x = 0

Đồ thị các hàm ñược biểu thị trên hình vẽ: (hình 12):

2.5 Các bài toán cực trị trong hình học

Bài toán: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của một ñại lượng hình

học biến thiên f (ñộ dài ñoạn thẳng, diện tích ña giác, thể tích khối ña diện …) yêu cầu phải tìm ñược các giá trị f f1, 2 cố ñịnh luôn luôn thỏa mãn bất ñẳng

thức: f1≤ ≤f f2, ñồng thời chỉ rõ các vị trí hình học của ñại lượng biến thiên

ñang xét, ñể tại ñó f ñạt giá trị nhỏ nhất f ho1 ặc lớn nhất f 2 Đôi khi bài toán

chỉ yêu cầu tìm một trong hai giá trị này

Phương pháp giải toán: Tính ñại lượng f ñang xét theo chỉ một ñại

lượng thay ñổi x, tìm miền xác ñịnh của x và khảo sát cực trị của hàm f nhận

ñược trong miền ñó

Bài toán 1. Hình chóp SABCD có ñáy là hình vuông cạnh a Đoạn SA= a 3vuông góc với ñáy Một ñiểm B’ chuyển ñộng trong ñoạn SB Mặt phẳng (ADB’) cắt SC tại C’ Đặt y là tổng bình phương của các cạnh của tứ giác

ADC’B’ Hãy tính y theo x=SB' Từ ñó hãy xác ñịnh

các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của y

Giải: Mặt phẳng (ADB’) chứa AD // BC nên giao

tuyến B’C’ của nó với mặt phẳng (SBC) sẽ song song

B'

A

D

C B

Từ bảng biến thiên ta có: ymin =3,1a2, ñạt ñược khi ' 7

2

32

S max =a2 ñạt ñược khi x=2a B( ≡B')

Bài toán 3 Cho trước mặt phẳng (P), một ñiểm A cố ñịnh trên P và một ñiểm B

cố ñịnh không thuộc mặt phẳng này Hãy tìm trên (P) một ñiển M ñể tỉ số

Giải: Kí hiệu x = AM,α =BAM Cần tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Với mỗi giá trị cố ñịnh, f x( ),α ñạt giá trị lớn nhất khi f x( ),α ñạt giá trị lớn

nhất Khi ñó: α sẽ là góc giữa BA và mặt phẳng (P) Với giá trị α ñó f ñạt giá

trị lớn nhất ñồng thời với f Coi 2 ñây là hàm của x, lấy ñạo hàm ta ñược

S x là diện tích của mảnh cactông Tìm x cm sao cho ( ) S x nh( ) ỏ nhất

Vậy x =10( )cm thì ( ) ( )2

2.6 Các bài toán cực trị không mẫu mực

Bài toán 1. Gọi a, b là hai số thực thoả mãn ( ) *

Vậy min f( )a b, ( )x = f( )a b, ( )x0 ,∀a b, thoả mãn (*)

Bài toán 2 Cho f x là hàm khả vi trên ( ) [ ]0;1 và thoả mãn f ' 0 ' 1( ) ( )f <0.Chứng minh rằng tồn tại c∈( )0;1 ñể hàm f '( )c =0