vấn đề nhận giá trị của hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không và áp dụng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCVŨ THỊ THÙY DUNG VẤN ĐỀ NHẬN GIÁ TRỊ CỦA HÀM HỮU TỶ TRÊN TRƯỜNG ĐÓNG ĐẠI SỐ, ĐẶC TRƯNG KHÔNG VÀ ÁP DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2014... 21 2 Vấ

Trang 1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

VŨ THỊ THÙY DUNG

VẤN ĐỀ NHẬN GIÁ TRỊ CỦA HÀM HỮU TỶ

TRÊN TRƯỜNG ĐÓNG ĐẠI SỐ,

ĐẶC TRƯNG KHÔNG VÀ ÁP DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - Năm 2014

Trang 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS VŨ HOÀI AN

Thái Nguyên - Năm 2014

Trang 3

Mục lục

Mục lục i

Lời cam đoan ii

Lời cảm ơn iii

Bảng ký hiệu iv

Mở đầu v

1 Về vấn đề nhận giá trị đối với hàm phân hình p-adic 1 1.1 Về vấn đề nhận giá trị đối với hàm số thực trong toán học trung học phổ thông 1

1.1.1 Các định lý xác định tập giá trị của hàm số liên tục 1

1.1.2 Các phương pháp tìm tập giá trị 2

1.2 Về vấn đề nhận giá trị đối với hàm phân hình p-adic 18

1.2.1 Hàm đặc trưng của hàm phân hình p-adic 18

1.2.2 Một số kết quả của lý thuyết Nevanlinna p-adic 21

2 Vấn đề nhận giá trị của hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không và áp dụng 25 2.1 Vấn đề nhận giá trị của hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không 26

2.2 Một số áp dụng của các Định lý nhận giá trị đối với hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc số không 34

Kết luận 36

Tài liệu tham khảo 37

Trang 4

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Phương pháp toán sơcấp với đề tài “Vấn đề nhận giá trị của Hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số,đặc trưng không và áp dụng” là của tôi Các tài liệu được trích dẫn đầy đủ

Tác giả

Vũ Thị Thùy Dung

Trang 5

Lời cảm ơn

Trước hết, tôi xin gửi lời biết ơn chân thành và sâu sắc tới TS Vũ Hoài

An Sau quá trình nhận đề tài và nghiên cứu dưới sự hướng dẫn khoa học củaThầy, luận văn “Vấn đề nhận giá trị của Hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số,đặc trưng không và áp dụng” của tôi đã được hoàn thành

Tôi xin cảm ơn GS.TSKH Hà Huy Khoái, GS.TSKH Nguyễn Tự Cường,PGS TS Lê Thị Thanh Nhàn, PGS TS Đàm Văn Nhỉ, PGS.TS Trịnh ThanhHải đã có nhiều ý kiến quý báu để tác giả hoàn thành luận văn

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, Phòng Đàotạo - Khoa học - Quan hệ quốc tế và Khoa Toán - Tin của Trường Đại họcKhoa học - Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện thuận lợi nhất trong suốtquá trình học tập tại trường cũng như thời gian tôi hoàn thành đề tài này Sựgiúp đỡ nhiệt tình và thái độ thân thiện của cán bộ thuộc Phòng Đào tạo vàKhoa Toán - Tin đã để lại trong lòng mỗi chúng tôi những ấn tượng hết sứctốt đẹp

Tôi xin cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo Hải Phòng và Trường trung họcphổ thông Hồng Bàng nơi tôi đang công tác đã tạo điều kiện cho tôi hoànthành khóa học này

Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp và các thành viên trong lớpcao học Toán K6B (khóa 2012 - 2014) đã quan tâm, tạo điều kiện, động viên

cổ vũ để tôi có thể hoàn thành nhiệm vụ của mình

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2014

Tác giả

Vũ Thị Thùy Dung

Trang 7

số nghiệm phân biệt của một đa thức f , thì ta có

max{dega, degb, degc} 6 n0(abc) − 1

Mặt khác, trong [5], Hà Huy Khoái và Mai Văn Tư đã chứng minh kếtquả sau đây:

Định lý B Giả sử f là hàm phân hình trên Cp, a1, , aq ∈ Cp ∪ {∞} Khiđó

N1,f(0, r)

Nhận xét này gợi ý cho việc tương tự Định lý B đối với Hàm hữu tỷ trêntrường đóng đại số, đặc trưng không Từ đó nhận lại Định lý A và các hệ quảcủa nó

Theo hướng nghiên cứu này, chúng tôi xem xét

Vấn đề nhận giá trị của Hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số,đặc trưng không và áp dụng

Trang 8

2 Mục tiêu nghiên cứu.

2.1 Tổng hợp, trình bày các kết quả trong [1] Các kết quả này là tương tựcác Định lý B cho hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không(Định lý 2.1.11, Định lý 2.1.12)

2.2 Trình bày lại áp dụng của Định lý 2.1.11, Định lý 2.1.12, trong đó có cáchchứng minh khác cho Định lý Mason(xem [1])

3 Nội dung nghiên cứu

Vấn đề 1 Xét vấn đề nhận giá trị đối với hàm số thực trong toán họctrung học phổ thông Xét vấn đề nhận giá trị đối với hàm phân hình p-adic.Vấn đề 2 Xét vấn đề nhận giá trị đối với hàm hữu tỷ trên trường đóngđại số, đặc trưng không

4 Kết quả nghiên cứu

4.1 Tổng hợp và trình bày các ví dụ về vấn đề nhận giá trị đối với hàm sốthực trong toán học trung học phổ thông.Tổng hợp và trình bày tổngquan một số kết quả chính có liên quan của Lý thuyết Nevanlinna p-adic.4.2 Tổng hợp và trình bày lại các định lý nhận giá trị ở trong [1] và áp dụngcủa nó

Trong luận văn này, chúng tôi đã trình bày các kết quả trong [1], các kết quảnày tương tự hai định lý chính của Lý thuyết Nevalinna cho hàm hữu tỷ trêntrường đóng đại số, đặc trưng không Từ đó trình bày lại hai áp dụng, trong

đó có một chứng minh khác Định lý Mason Cụ thể là:

• Định lý 2.1.11, Định lý 2.1.12

• Từ Định lý 2.1.11 nhận được Định lý 2.2.1 Định lý 2.2.1 là một điều kiện

đủ để xác định khi nào một hữu tỷ là hàm hằng

• Từ Định lý 2.1.12 nhận được Định lý 2.2.2 - Định lý Mason

Trang 9

Luận văn là tài liệu tham khảo có ích cho giáo viên Toán trung học phổthông, học viên Cao học chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp.

5 Bố cục luận văn

Luận văn được chia làm hai chương cùng với phần mở đầu, kết luận vàtài liệu tham khảo

Chương 1 Trong chương này chúng tôi tổng hợp và trình bày các nội dung

về vấn đề nhận giá trị đối hàm số thực trong toán học trung học phổ thông vàvấn đề nhận giá trị đối hàm phân hình p-adic

Chương 2 Trong chương này chúng tôi tổng hợp và trình bày lại vấn đềnhận giá trị đối với hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không và

áp dụng (xem [1])

Trang 10

toán học trung học phổ thông

Vấn đề nhận giá trị đối với hàm số thực trong toán học trung học phổthông là như sau: Cho f là hàm số thực sơ cấp với tập xác định là D, a ∈

R ∪ {∞} Hãy xét f có nhận a ?

Công cụ chính để giải quyết vấn đề này là các định lý về hàm liên tục và khả

vi [3], điều kiện có nghiệm của một số kiểu phương trình trong toán học trunghọc phổ thông

1.1.1 Các định lý xác định tập giá trị của hàm số liên tục

Ở đây chúng tôi trình bày lại các kiến thức trong [3]

Định nghĩa 1.1.1 Cho hàm f : A 7→ R; x0 ∈ A Nếu ∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0 saocho ∀x ∈ A : |x − x0| < δ, |f (x) − f (x0)| < ε thì ta nói f liên tục tại điểm x0

• Nếu f liên tục tại mọi điểm x0 ∈ A thì ta nói f liên tục trên A

Trang 11

• Nếu f không liên tục tại điểm x0 ∈ A thì ta nói f gián đoạn tại điểm

Ví dụ 1.1.5

Hàm số y = −x + 1 liên tục tại mọi điểm thuộc R

Thật vậy, lấy x0 ∈ R bất kỳ, ∀ε > 0 chọn δ=ε thì khi |x − x0| < δ ta có

1.1.2 Các phương pháp tìm tập giá trị

Các ví dụ sau đây là quen thuộc đối với giáo viên toán trung học phổthông

Trang 12

Phương pháp 1: Dùng định nghĩa và điều kiện có nghiệm của phương trình

để tìm tập giá trị của hàm số thực trong toán học trung học phổ thông.

Vấn đề nhận giá trị đối với hàm số thực trong toán học trung học phổthông liên quan đến tập giá trị của hàm số thực và ứng dụng của nó Trongmục này, chúng tôi đưa ra các ví dụ tìm tập giá trị và ứng dụng của khái niệmnày vào phương trình, bất phương và bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏnhất của hàm số thực trong toán học trung học phổ thông

a) f1(x) = sin x + cos x − 1

sin x − cos x + 3

Đặt y = sin x + cos x − 1

sin x − cos x + 3

Xét phương trình : y = sin x + cos x − 1

sin x − cos x + 3 (1a)

y thuộc tập giá trị của hàm số khi và chỉ khi phương trình (1a) với ẩn x, tham

số y có nghiệm

Ta có :

(1a) ⇔ sin x + cos x − 1 = y sin x − y cos x + 3y

⇔ (y − 1) sin x − (y + 1) cos x = −3y − 1

T D

Trang 13

(2b) ⇔ cos x + 2 sin x + 3 = 2y cos x − y sin x + 4y

⇔ (1 − 2y) cos x + (y + 2) sin x = 4y − 3

2 ≤ y ≤ −1 +

r32

Tập giá trị G3 = h− 1 −r 3

2, −1 +

r 32i

T D

Trang 14

e, f5(x) = sin x + cos x

sin x − cos x − 2

Đặt y = sin x + cos x

sin x − cos x − 2

Xét phương trình : y = sin x + cos x

sin x − cos x − 2 (5e)

y thuộc tập giá trị của hàm số khi và chỉ khi phương trình (5e) với ẩn x, tham

số y có nghiệm

Ta có :

(5e) ⇔ sin x + cos x = y sin x − y cos x − 2y

⇔ (1 + y) cos x + (1 − y) sin x = −2y

Trang 15

(6f ) ⇔ cos x + 3 = 2y cos x − y sin x + 4y

⇔ (1 − 2y) cos x + y sin x = 3y − 3

4 ≤ y ≤ 7 +

√174Tập giá trị G6 = h7 −

√17

7 +√174

Trang 16

a, m ∈ h− 1,1

7

i

b, m ∈ h 2

11, 2

i

Ví dụ 1.1.9 Tìm m để mỗi bất phương trình sau có nghiệm: fi(x) ≥ m với

Ví dụ 1.1.10 Tìm m để mỗi bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x:

fi(x) ≤ m với i = 1, 2, 6 Với fi(x) xác định trong ví dụ 1.1.7

Dựa vào ví dụ 1 ta có kết quả như sau:

Trang 17

4 f4(x) ≤ m có nghiệm khi m ≥ −1.

5 f5(x) ≤ m có nghiệm khi m ≥ −1

6 f6(x) ≤ m có nghiệm khi m ≥ 7 −

√17

Ví dụ 1.1.11 Tìm m để mỗi bất phương trình sau có nghiệm: fi(x) ≤ m với

i = 1, 2, , 6

Dựa vào ví dụ 1.1.7 ta có kết quả như sau:

1 Bất phương trình f1(x) ≤ m có nghiệm khi m ≥ −1

2 Bất phương trình f2(x) ≤ m có nghiệm khi m ≥ 2

6 Bất phương trình f6(x) ≤ m có nghiệm khi m ≥ 7−

√ 17

1.Khảo sát sự biến thiên của các hàm số trên

2.Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số đã cho trên Ai; i = 1, 2, 3.3.Tìm tập giá trị của các hàm số trên Ai; i = 1, 2, 3

4.Tìm m để mỗi phương trình trong các bất phương trình sau có nghiệm trên

Ai; i = 1, 2, 3 : fj(x) = m; j = 1, 2, 3, 4

Trang 18

5.Tìm m để mỗi bất phương trình trong các bất phương trình sau có nghiệmtrên Ai; i = 1, 2, 3 : fj(x) ≥ m, j = 1, 2, 3, 4.

6.Tìm m để mỗi bất phương trình trong các bất phương trình sau có nghiệmtrên Ai; i = 1, 2, 3 : fj(x) 6 m; j = 1, 2, 3, 4

7.Tìm m để mỗi bất phương trình trong các bất phương trình sau : fj(x) ≥m; j = 1, 2, 3, 4 nghiệm đúng với mọi x thuộc một tập hợp bất kỳ trong cáctập hợp Ai; i = 1, 2, 3

8.Tìm m để mỗi bất phương trình trong các bất phương trình sau fi(x) 6m; i = 1, 2, 3, 4 nghiệm đúng với mọi x thuộc một tập hợp bất kỳ trong các tậphợp Ai; i = 1, 2, 3

+ Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng: (−∞; −1) và (0; 1)

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng: (−1; 0) và (1; +∞)

+ Điểm cực đại của đồ thị là: (0; 1)

Điểm cực tiểu của đồ thị là: (1; 0) và (−1; 0)

H H H H

H H H H H

Trang 19

+ SBT: f20(x) = 6x2− 6x

f20(x) = 0 ↔ x = 0 hoặc x = 1

+ Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 1)

Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 0) và (1; +∞)

+ Điểm cực đại của đồ thị là: (0; −1) Điểm là cực tiểu là: (1; −2).+ Bảng biến thiên:

H H H H

+ Điểm cực đại của đồ thị là (−1; 4)

Điểm cực tiểu của đồ thị là (1; 0)

H H H H

Trang 20

* Xét hàm f4(x) = 2x − 1

x + 1+ TXĐ : D = R\{−1}

Dựa vào bảng biến thiên ta có các kết luận sau:

+ Trên tập A1 = [0; 1]: max f1(x) = 1; min f1(x) = −0

+ Trên tập A2 = [2; 3]: max f1(x) = 64; min f1(x) = 9

+ Trên tập A3 = [−1; 1]: max f1(x) = 1; min f1(x) = 0

* Xét với hàm f2(x) = 2x3− 3x2− 1

+ Trên tập A1 = [0; 1]: max f2(x) = −1; min f2(x) = −2

+ Trên tập A2 = [2; 3]: max f2(x) = 26; min f2(x) = 3

Trang 21

+ Trên tập A3 = [−1; 1]: max f2(x) = −1; min f2(x) = −6.

* Xét với hàm f3(x) = x3− 3x + 2

+ Trên tập A1 = [0; 1] :max f3(x) = 2; min f3(x) = 0

+ Trên tập A3 = [−1; 1]:max f3(x) = 4; min f3(x) = 0

* Xét với hàm f4(x) = 2x − 1

x + 1Dựa vào bảng biến thiên ta có các kết luận sau:

+ Trên tập A1 = [0; 1] :max f4(x) = 12; min f4(x) = −1

3 Tìm tập giá trị của hàm số trên Ai, i = 1, 2, 3

+ Trên tập A2 = [2; 3] Tập giá trị là :[1; 54]

+ Trên tập A3 = [−1; 1] Tập giá trị là :(−∞; 12]

4 Tìm m để mỗi phương trình sau có nghiệm trên Ai; i = 1, 2, 3,

fj(x) = m; j = 1, 2, 3, 4

Trang 22

* Xét phương trình f1(x) = m.

+ Phương trình có nghiệm trên A1 = [0; 1] khi m ∈ [0; 1]

+ Phương trình có nghiệm trên A3 = [−1; 1] khi m ∈ [0; 1]

* Xét phương trình f2(x) = m

+ Phương trình có nghiệm trên A1 = [0; 1] khi m ∈ [−2; −1]

+ Phương trình có nghiệm trên A3 = [−1; 1] khi m ∈ [−6; −1]

Dựa vào bảng biến thiên ta có các kết luận sau :

+ Phương trình có nghiệm trên A3 = [−1; 1] khi m ∈ [0; 4]

+ Phương trình có nghiệm trên A1 = [0; 1] khi m ∈ [−1;1

+ Bất phương trình có nghiệm trên A1 = [0; 1] khi m ≤ 1

+ Bất phương trình có nghiệm trên A3 = [−1; 1] khi m ≤ 1

* Xét bất phương trình f2(x) ≥ m

+ Bất phương trình có nghiệm trên A1 = [0; 1] khi m ≤ −1

Trang 23

+ Bất phương trình có nghiệm trên A3 = [−1; 1] khi m ≤ −1.

6 Tìm m để mỗi bất phương trình sau có nghiệm trên Ai, i = 1, 2, 3 ,

fj(x) ≤ m, j = 1, 2, 3, 4

* Xét bất phương trình f1(x) ≤ m

+ Bất phương trình có nghiệm trên A1 = [0; 1] khi m ≥ 0

+ Bất phương trình có nghiệm trên A3 = [−1; 1] khi m ≥ 0

+ Bất phương trình có nghiệm trên A1 = [0; 1] khi m ≥ −2

+ Bất phương trình có nghiệm trên A3 = [−1; 1] khi m ≥ −6

+ Bất phương trình có nghiệm trên A3 = [−1; 1] khi m ≥ 0

+ Bất phương trình có nghiệm trên A1 = [0; 1] khi m ≥ −1

+ Bất phương trình có nghiệm trên A3 = [−1; 1] với mọi giá trị của m

7 Tìm m để mỗi bất phương trình trong các bất phương trình sau

fj(x) ≥ m; j = 1, 2, 3, 4 nghiệm đúng với mọi x thuộc một tập hợp bất

kỳ trong các tập Ai; i = 1, 2, 3

Trang 24

+ Bất phương trình nghiệm đúng với ∀x ∈ A1 khi m ≤ 0

+ Bất phương trình nghiệm đúng với ∀x ∈ A1 khi m ≤ −2

+ Không có giá trị nào của m để bất phương trình f4(x) ≥ m nghiệmđúng với ∀x ∈ A3

8 Tìm m để mỗi bất phương trình trong các bất phương trình sau

fj(x) ≤ m; j = 1, 2, 3, 4 nghiệm đúng với mọi x thuộc một tập hợp bất

kỳ trong các tập Ai; i = 1, 2, 3

+ Bất phương trình nghiệm đúng với ∀x ∈ A1 khi m ≥ 1

+ Bất phương trình nghiệm đúng với ∀x ∈ A1 khi m ≥ −1

+ Bất phương trình nghiệm đúng với ∀x ∈ A3 khi m ≥ −1

Định dạng
Số trang	46
Dung lượng	338,04 KB