V N ð 10 B T ð NG TH C
D ng 1 Ch ng minh b t ñ ng th c b ng ñ nh nghĩa
Ch ng minh r ng:
1 a) 2 2
a + b + ab+ +b > ∀a b b) 2 2 2
4 3 14 2 12 6
2 a) N u a+ ≥b 0 thì ( ) 3 3
ab a+b ≤ +a b b) N u a+ ≥b 0 thì
3
3 3
a +b a+b
c) N u a>0,b>0 thì a b a b
b + a ≥ + d) N u a+ ≥b 0,a≠0,b≠0thì a2 b2 1 1
3 a) a2+b2+c2+d2 +e2 ≥a b( + + +c d e),∀a b c d e, , , ,
b) N u a+ + ≥b c 0 thì a3+b3+ ≥c3 3abc Hư ng d n: Ch ng t r ng
2
H = +a b + −c ab a b+ − abc= a b c+ + a b− + −b c + −c a
4 a) 1+2a4≥a2 +2a3,∀a b) a4+b4 ≥a b3 +ab3,∀a b,
c)
2
, , ,
a b c
d) N u a< <b c thì a b2 +b c2 +c a2 <a c2 +b a2 +c b2
D ng 2 S d ng phương pháp bi n ñ i tương ñương
5 a) Cho 3 s , ,a b c b t kỳ, ch ng minh r ng a2+b2 +c2 ≥ab+bc+ca
b) Cho 3 s , ,a b c tho mãn a2 + + =b2 c2 1 Ch ng minh r ng 1 1
2 ab bc ca
2 a b c ab bc ca a b c
c) Bi t a>0,b>0,c>0.Ch ng minh r ng
8 8 8
3 3 3
6 a) Cho b n s , , ,a b c d tuỳ ý Ch ng minh r ng ( )2 ( 2 2)( 2 2)
b) Ch ng minh r ng ( ) (2 )2 2 2 2 2
, , , ,
7 (ð i h c – A – 1980) Cho a>c b, >c c, >0 Ch ng minh r ng c a( −c)+ c b( −c)≤ ab
0
v i m i a, b,c dương
Trang 2b) Cho , ,a b c thu c [ ]0; 1 Ch ng minh r ng a2+b2+c2≤ +1 a b2 +b c2 +c a2
0≤ −1 a 1−b 1−c
9 a) Cho hai s dương ,x y tho mãn xy≤1 Ch ng minh r ng 1 1 2
1 x+1 y≤1 xy
b) Áp d ng ch ng minh r ng n u 0< ≤x 1, 0≤ <y 1, 0< ≤z 1 thì
1 x +1 y +1 z ≤1 xyz
10 a) Cho z≥ ≥ >y x 0 Ch ng minh r ng 1 1 1( ) ( ) 1 1
b) Cho a <1, b <1 Ch ng minh r ng a+ < +b 1 ab
D ng 3 S d ng các b t ñ ng th c ñã bi t
Ch ng minh r ng (1 – 6):
11 a) N u , , ,a b c d ≥0 thì 4
4
abcd
+ + + ≥ b) N u , ,a b c>0 thì ( ) 1 1 1
9
c) 1 !,
2
n
n
n
+
>
v i n∈ℕ,n>1. d) N u a≥1,b≥1 thì a b− +1 b a− ≤1 ab
12 a) N u các s ,a b tho mãn 3 a+4b=7 thì 2 2
3a +4b ≥7
b) N u các s , ,x y z tho mãn x2 + y2 +z2 =9 thì 2x−3y+4z ≤3 29
c) Cho a+ =b 2 Ch ng minh r ng a4 +b4≥2
d) N u , , , , ,a b c x y z dương và a b c 1
x+ + ≥y z a + b + c
13 a) N u a và b là hai s dương thì 4
1
ab
a b
ab
+ ≥ + b) N u a a1, 2, ,a n≥0 và tho mãn a a1 2 a n =1 thì (1+a1)(1+a2) ( 1+a n)≥2 n
c) N u a> >b 0 thì
a
b a b
− d) 3a3+7b3≥9ab2,∀ ≥a 0,b≥0
14 a) N u , , ,a b c là ba s dương và a+ + =b c 1 thì a 1 1 1 1 1 64
Trang 3b) (đHBKHN, 1990) N u , ,a b c là các s dương thì a3 + + ≥b3 c3 a2 bc+b2 ac +c2 ab.
15 a) N u 2x+3y=5 thì 2x2 +3y2≥5 b) N u x2+ =y2 1 thì 3x+4y ≤5
16 a) N u , , , ,x y z p q là các s dương thì x y z 3
py qz + pz qx+ px qy≥ p q
b) N u , ,a b c là ba c nh c a m t tam giác thì p< p− +a p− +b p− ≤c 3 p
D ng 4 Áp d ng b t ự ng th c ự tìm min, max
17 a) Tìm max c a A=x(1−2x) v i 0 1
2
x
b) Tìm min c a 1 ( )
2
x
3
2
c) V i 0≤ ≤x 3, 0≤ ≤y 1, tìm max c a C= −(3 x)(1− y)(4x+7y). đáp s : max 1
8
12 21
18 a) (đ 115.II) Cho xy+ yz+zx=4 Tìm min c a F =x4 + y4+z4
b) Cho a≥3,b≥4,c≥2 Tìm max c a f ab c 2 bc a 3 ca b 4
abc
=
19 a) Tìm min c a 5 1
3
x
− v i x>3.
b) Tìm max c a N =x(1 3− x) v i 0 1
3
x
≤ ≤ c) V i 0≤ ≤x 5, 0≤ ≤y 3, 0≤ ≤z 1, tìm min c a P= −(5 x)(3−y)(1−z)(x+2y+5z)
20 a) (đ 73 III) Cho 2 2
36x +16y =9.Tìm max và min c a A= −y 2x+5
b) (đ 53 III) Cho 2 2
1
x + y = Tìm max c a A=x 1+ +y y 1+x
21 (đ 94 II) Cho
2 2
2 2
16 25 20
Tìm giá tr l n nh t c a u+v