Các vấn đề về cực trị của hàm số file word có lời giải chi tiết image marked

Bài toán 03: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU NẰM VỀ MỘT PHÍA, HAI PHÍA CỦA ĐƯỜNG THẲNG CHO TRƯỚC.. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B đối xứng qua đường

 Nếu hàm sốy= f x( ) đạt cực đại (cực tiểu) tại x thì 0 x được gọi là điểm cực đại (điểm cực 0

tiểu) của hàm số; f x được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là ( )0( CT)

f CÑ f , còn điểm M x( ; ( ))0 f x0 được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm

B KỸ NĂNG CƠ BẢN

1 Quy tắc tìm cực trị của hàm số

➢ Quy tắc 1:

Bước 1 Tìm tập xác định của hàm số

Bước 2 Tính f( )x Tìm các điểm tại đó f( )x bằng 0 hoặc f( )x không xác định

Bước 3 Lập bảng biến thiên

Bước 4 Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị

➢ Quy tắc 2:

Bước 1 Tìm tập xác định của hàm số

Bước 2 Tính f( )x Giải phương trình f( )x và ký hiệux i (i =1, 2,3, )là các nghiệm của nó

Bước 3 Tính f( )x và f( )x i

Bước 4 Dựa vào dấu của f( )x i suy ra tính chất cực trị của điểm x i

2 Kỹ năng giải nhanh các bài toán cực trị hàm số bậc ba 3 2 ( )

( )C có ba điểm cực trị y =0có 3 nghiệm phân biệt 0

2

b a

Bước 1 Tìm tập xác định của hàm số f

Bước 2 Tính f '(x)

Bước 3.Sử dụng định lí sau: “ Nếu hàm số f có đạo hàm liên tục trên (a,b) và x0 (a; b).Thế thì điểm x0

là điểm cực trị của hàm số f nếu và chỉ nếu đạo hàm f '(x)đổi dấu khi x đi qua x0”

Bước 4.Giải quyết yêu cầu của cực trị (nếu có)

Chú ý:

* Nếu ta gặp biểu thức đối xứng của hoành độ các điểm cực trị và hoành độ các điểm cực trị là nghiệm của một tam thức bậc hai thì ta sử dụng định lí Viét

* Khi tính giá trị cực trị của hàm số qua điểm cực trị ta thường dùng các kết quả sau:

Định lí 1: Cho hàm đa thứcy = P x( ), giả sử y =(ax b P' x + ) ( ) ( )+ h x khi đó nếu x0 là điểm cực trị của hàm số thì giá trị cực trị của hàm số là: y x( ) ( )0 = h x0 và y = h x( ) gọi là phương trình quỹ tích của các

v x khi đó nếu x0 là điểm cực

trị của hàm số thì giá trị cực trị của hàm số: ( )= ( ) ( )0

v x( ) ( ) ( ) ( )

y'= 0 u' x v x −v' x u x =0 ( ) Giả sử x0 là điểm cực trị của hàm số thì x0 là nghiệm của phương trình ( ) ( )

Vậy, với −  1 m 1  thì hàm số có cực trị trái dấu nhau

Bài toán 02: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU NẰM VỀ MỘT PHÍA, HAI PHÍA CỦA HỆ TRỤC TỌA ĐỘ

Phương pháp

y' ax = + bx c +

 Hàm số có hai cực trị nằm về 2 phía đối với tung  y y1 2 0

 Hàm số có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung  x x1 2 0

 Hàm số có hai cực trị nằm trên trục hoành  y1+ y2 0, y y1 2 0

 Hàm số có hai cực trị nằm dưới trục hoành  y1+ y2 0, y y1 2 0

 Hàm số có cực trị tiếp xúc với trục hoành  y y1 2 = 0

( )C m có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành khi ( )1 có 3 nghiệm phân biệt

tức phương trình ( )2 có 2 nghiệm phân biệt khác − 1 3 m 0

Vậy, với 1 m 2   có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung

Bài toán 03: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU NẰM VỀ MỘT PHÍA, HAI PHÍA CỦA ĐƯỜNG THẲNG CHO TRƯỚC

Phương pháp

1 Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B đối xứng qua đường thẳng d cho trướC

– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu

– Viết phương trình đường thẳng  đi qua các điểm cực đại, cực tiểu

– Gọi I là trung điểm của AB

– Giải điều kiện:  ⊥ I dd

2 Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B cách đều đường thẳng d cho trướC

– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu

– Giải điều kiện: d(A,d) d(B,d) =

3 Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B và khoảng cách giữa hai điểm A, B là lớn nhất (nhỏ nhất)

– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu

– Tìm toạ độ các điểm cực trị A, B (có thể dùng phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị)

– Tính AB Dùng phương pháp hàm số để tìm GTLN (GTNN) của AB

Cực trị hàm đa thức bậc 3:

1.1 1 Hàm số: y ax = 3 + bx 2 + cx d a + (  0)

1.2 2 Đạo hàm: y' = 3ax2+ 2bx c +

1.3 3 Điều kiện tồn tại cực trị

Hàm số có cực đại, cực tiểu  phương trình y  = 0 có 2 nghiệm phân biệt

Hoành độ x ,x1 2 của các điểm cực trị là các nghiệm của phương trình y =0

Hệ quả:

Đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu có phương trình là: y = r x( )

Đối với hàm số tổng quát : y ax = 3 + bx 2 + cx d (a +  0) thì đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu có

Gọi k là hệ số góc của đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu

1 Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu song song (vuông góc) với đường thẳng d : y px q = +

– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu

– Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu

– Giải điều kiện: k = p (hoặc k = − 1

p)

2 Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu tạo với đường thẳng d : y px q = +

một góc 

– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu

– Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu

– Giải điều kiện: − =

Ví dụ 1 : Cho hàm số y = − x3+ 3mx2− 3m 1 − (m là tham số) có đồ thị là ( )Cm . Với giá trị nào của m

thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d : x 8y 74 0 + − =

Lời giải

Hàm số đã cho xác định D = ¡

Ta có: y' = − 3x2+ 6mx

Đồ thị ( )C m có 2 điểm cực đại và cực tiểu  y' 0 = có 2 nghiệm phân biệt x ; x1 2  m  0

Khi đó 2 điểm cực trị là: A(0; 3m 1), B(2m; 4m − − 3− 3m 1) −  AB(2m; 4m )uuur 3

Trung điểm I của AB có toạ độ: I(m; 2m3− 3m 1) −

Chú ý: Bài toán có thể yêu cầu như sau:

‘’ Cho hàm số y= −x3 + 3mx2 − 3m− 1 có đồ thị là ( )Cm . Tìm trên đồ thị hàm số điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d x: + 8y− 74 0 = ’’

Ví dụ 2 : Cho hàm số y = x3− 3x2− mx 2 + (m là tham số) có đồ thị là ( )Cm . Xác định m để ( )Cm có các điểm cực đại và cực tiểu cách đều đường thẳng y x 1 = −

Gọi hai điểm cực trị là A x ;( 1 y 1) (; B x ; 2 y 2)

Thực hiện phép chia y cho y' ta được: y 1x 1 y' 2m 2 x 2 m

Các điểm cực trị cách đều đường thẳng y x 1 = − xảy ra 1 trong 2 trường hợp:

TH1: Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị song song hoặc trùng với đường thẳng

Gọi hai điểm cực trị là A x ;( 1 y 1) (; B x ; 2 y 2)

Thực hiện phép chia y cho y' ta được: y 1x 1 y' 2m 2 x 2 m

 = có 2 nghiệm phân biệt x ; x1 2   = + ' 9 3m   0 m  − 3

Gọi hai điểm cực trị là A x ;( 1 y 1) (; B x ; 2 y 2)

Thực hiện phép chia y cho y' ta được: y 1x 1 y' 2m 2 x 2 m

=  Đối chiếu điều kiện, ta thấy m= 1 thỏA

Vậy, với m =  1 thỏa mãn bài toán

Ví dụ 6 Giả sử đồ thị y mx= 3- 3mx2+(2m 1 x 3 m+ ) + - , có đồ thị ( )Cm có 2 cực trị Tìm m để khoảng cách từ  

1 Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu và hoành độ các điểm cực trị thoả hệ thức cho trướC

– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu

– Phân tích hệ thức để áp dụng định lí Vi-et

2 Tìm điều kiện để hàm số có cực trị trên khoảng K1= −  ( ; ) hoặc K2 =  + ( ; )

Ví dụ 1 : Cho hàm số y (m 2)x = + 3+ 3x2+ mx 5 − (m là tham số) có đồ thị là ( )C m Tìm các giá trị của

m để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số dương

Lời giải

Hàm số đã cho xác định D = ¡

Ta có: y' = 3(m + 2)x2+ 6x m +

Đồ thị ( )Cm có các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số dương y' = 0

có 2 nghiệm dương phân biệt

Theo định lý Viet ta có x1 x2 (1 2m),x1 2 2 m

3

2

x 3

= + − + + + + Với giá trị nào của m thì hàm số đạt cực

trị tại tại những điểm có hoành độ x ,x1 2 sao cho x1  2 x2

Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi y' 0 = có hai nghiệm phân biệt và đổi dấu qua mỗi nghiệm

25 thỏa yêu cầu bài toán

Ví dụ 6 : Cho hàm số: y = x 3 + − (1 2m)x 2 + (2 m)x m 2 − + + Với giá trị nào của m để hàm số có ít nhất 1 điểm cực trị có hoành độ thuộc khoảng ( 2; 0) −

Th2: ( )

2 2

Phương pháp

1 Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu cắt hai trục Ox,

Oy tại hai điểm A, B sao cho IAB có diện tích S cho trước (với I là điểm cho trước)

– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu

– Viết phương trình đường thẳng  đi qua các điểm cực đại, cực tiểu

– Tìm giao điểm A, B của  với các trục Ox, Oy

– Giải điều kiện SIAB= S

2 Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B sao cho IAB có diện tích S cho trước (với I là

điểm cho trước)

– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu

– Viết phương trình đường thẳng  đi qua các điểm cực đại, cực tiểu

– Giải điều kiện SIAB= S

3 Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có các điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân hoặc tam giác đều

– Tìm điều kiện để phương trình y =0 có 3 nghiệm phân biệt

– Tìm toạ độ các điểm cực trị A, B, C Lập luận chỉ ra ABC cân tại A

– Giải điều kiện: ABC vuông tại A  AB.AC 0uuur uuur= ; ABC đều  AB = BC

4 Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có các điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích S cho trướC

– Tìm điều kiện để phương trình y  = 0 có 3 nghiệm phân biệt

– Tìm toạ độ các điểm cực trị A, B, C Lập luận chỉ ra ABC cân tại A

– Kẻ đường cao AH

– Giải điều kiện: S S = ABC =1AH.BC

Ví dụ 1

1 Tìm tham số thực m để hàm số: y x = 4 − 2 m 1 x( + ) 2 + m 1( ) có 3 cực trị A,B,Csao cho: OA = BC, O

là gốc tọa độ , A là cực trị thuộc trục tung, B,Clà 2 điểm cực trị còn lại

Đề thi Đại học khối B – năm 2011

2 Cho hàm số y x = 4 − 2(m 1)x + 2 + m 2 ( )1 ,với m là tham số thựC Tìm m để đồ thị hàm số ( )1 có ba

điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông

Đề thi Đại học khối A,A1 – năm 2012

3 Cho hàm số y x = 3 − 3mx 2 + 3 m 3 ( )1 , m là tham số thựC Tìm mđể đồ thị hàm số ( )1 có hai điểm

cực trị Avà B sao cho tam giác OABcó diện tích bằng 48.

Đề thi Đại học khối B– năm 2012

m 1 0 +   m  − 1.

Khi đó y' 4x x = ( − m 1 x + )( + m 1 + ) đổi dấu qua các điểm x 0,x = = − m 1,x + = m 1 + nên hàm số

có 3 cực trị tại 3 điểm này

Gọi M là trung điểm của BC  M 0;  2m – 1( − )

Do đó để tam giác ABC vuông cân  BC = 2AM (đường trung tuyến bằng nửa cạnh

So với điều kiện m  − 1, m cần tìm là m = 0.

Cách 3: ABCvuông cân  AB.AC = 0 ( ) ( )2

Khi đó hàm số có hai điểm cực trị.A 0; 3m( 3) (,B 2m; m − 3)

Nhận xét: A thuộc Oy nên OA = yA = 3m ,d B,OA3   = 2 m và SABC= 48

Cách 2:

Để hàm số có hai cực trị khi và chỉ khi y' 0 = có 2 nghiệm phân biệt và đổi

dấu qua mỗi nghiệm, nghĩa là phải có:    y' 0 36m2   0 m  0

1 Đường thẳng đi qua hai điểm này tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 1;

2 Cùng với gốc tọa độ tạo thành tam giác vuông tại O

Lời giải

TXĐ: D =¡ \ − m

Hàm số có có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu khi phương trình x 2 + 2mx 2m − 2 − m 0 = có hai

nghiệm phân biệt khác −m tức m  − 1

Đối chiếu điều kiện, ta thấy m = − 1 thỏA

Ví dụ 3 : Cho hàm số y = x 2(x 2 + a); với a là tham số thực, x là biến số thựC.Chứng minh rằng đồ thị hàm

số đã cho có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác nhọn khi và chỉ khi a  − 2

kiện có 3 cực trị của hàm số ta được a  − 2

Vậy, hàm số có 3 cực trị lập thành tam giác nhọn khi và chỉ khi a  − 2

Ví dụ 4 : Cho hàm số y x = 3− 3x2− mx 2 + ( )1 Xác định m để hàm số ( )1 có cực trị, đồng thời đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân

  là đường thẳng d qua 2 điểm cực trị

Giả sử đường thẳng d cắt 2 trục Ox và Oy lần lượt tại A 6 m ; 0 ,

= − thỏa mãn bài toán

Ví dụ 5 : Cho hàm số y = 2x3− 3(2m 1)x + 2+ 6m(m 1)x 1 + + ( )1 Xác định m để M(2m ; m)3 tạo với hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số ( )1 một tam giác có diện tích nhỏ nhất

Lời giải

Hàm số đã cho xác định trên ¡

Ta có:y' 6x = 2− 6(2m 1)x 6m(m 1) + + + và y' 0 =  = x m, x m 1 = +

m

   ¡ , hàm số luôn có cực đại, cực tiểu

Tọa độ các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị là A(m; 2m3+ 3m2+ 1), B(m 1; 2m + 3 + 3m ) 2

Suy ra AB = 2 và phương trình đường thẳng AB : x y 2m + − 3− 3m2− m 1 0 − =

Do đó, tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất khi và chỉ khi khoảng cách từ M tới AB nhỏ nhất

Vậy, với m = 0 thỏa mãn bài toán

Ví dụ 6 : Cho hàm số: y = x3− 3mx 2 + (m là tham số) có đồ thị là ( )Cm . Tìm tất cả các giá trị của tham

số m để đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số ( )C m cắt đường tròn tâm I(1;1) bán kính bằng 1 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất

Lời giải

Hàm số đã cho xác định trên ¡

Ta có:y' = 3x2− 3m và với mọi m  0 thì hàm số luôn có cực đại, cực tiểu

Khi đó, phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu là  : 2mx y 2 0 + − =

Điều kiện để đường thẳng  cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt là

=  = Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi IAvuông góc IB

Gọi H là trung điểm của AB, ta có HI HA HB = =

= thỏa mãn bài toán

Bài toán 02: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU LIÊN QUAN ĐẾN

Vậy, với m = 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Ví dụ 2 Giả sử đồ thị y= x4- 2 m( 2+1 x) 2+ 3 có 3 cực trị A, B, C Tìm m để đường tròn nội tiếp tam giác ABC có bán kính bằng 1

Lời giải

TXĐ: D = ¡

Ta có: y' 4x x= ( 2- m2- 1)

Dễ thấy, " Î ¡ thì y ' 0m = có 3 nghiệm x 0= hoặc x= - m2+ 1 hoặc x= m2+1 nên đồ thị hàm

ïïïîVới t 2= tức m2+ = Û1 2 m= ±1

+ +

Câu 3 Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số y= - x3+ 3mx2- 3m 1

-có điểm cực đại, điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d: x + 8y – 74 = 0?

A.m> 2 B.m< 2 C.m¹ 2 D.m= 2”