Chứng minh rằng S khụng phải là số chớnh phương Câu 4.. 4 điểm Cho tam giác ABC có góc A nhọn.. chứng minh rằng K là trung điểm của đoạn thẳng MN... kẻ MP vuông góc với AK tại P Kẻ NQ v
Trang 1PHềNG GD&ĐT ĐỀ XUẤT DỰ THI HSG CẤP HUYỆN
Môn: Toỏn 7 NĂM HỌC: 2010-2011
(Thời gian làm bài: 120 phỳt)
Câu 1 (3điểm)
1) Có hay không một tam giác với độ dài ba cạnh là:
; ;
17 5 1 3 5
2) Thực hiện phép tính:
9
8 25
1931 3862
11 1931
7 : 34
33 17
193 386
3 193
2
3) Chứng minh rằng:
B =
2
1 99 98 98 97 97 96
4 3 3 2 2
.
1
1 98 2 97 3 96
96 3 97 2 98
.
1
Câu 2 (1 điểm)
Tìm x, y biết : (2x – 5) 2008+ (3y + 4)2010 ≤ 0
Câu 3. (2 điểm)
a) Cho a,b,c ,d là 4 số khác 0 thoả mãn b2 = ac và c2 = bd
Chứng minh rằng:
d
a d c b
c b a
3 3 3
3 3 3
b) Cho S = abc bca cab
Chứng minh rằng S khụng phải là số chớnh phương
Câu 4. (4 điểm)
Cho tam giác ABC có góc A nhọn Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C lấy điểm M sao cho NA = BA và NAB = 900 Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa
điểm B lấy điểm M sao cho MA = CA và MAC = 900
1) Chứng minh rằng:
a) NC = BM
b) NC BM.
2) Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với BC và cắt MN tại K chứng minh rằng K là trung điểm của đoạn thẳng MN
Trang 2đáp án - biểu điểm-DƯƠNG QUANG
Câu 1. (3 điểm)
1) Trong ba số 17 ; 5 1 ; 3 5 thì 3 5là số lớn nhất
Vậy nếu 17 + 5 1 > 3 5thì sẽ tồn tại một tam giác với độ dài ba cạnh là 17; 5 1; (0,25 điểm)
5
3
Thật vậy : 17 > 16 4 (0,25 điểm)
5 1> 4 1 3 => 17 + 5 1 > 7 = 49 > 45 = 3 5
2) (1 điểm)
A = (0,5đ)
2
9 25
1931 3862
25 : 34
33 17
193 386
1
A = (0,25 đ)
2
9 2
1 : 34
33 34
1
A = (0,25 đ)
5
1
3) (1 điểm)
Có 1.98 + 2.97 + 3.96 +… + 96.3 + 97.2+ 98.1
= (1 + 2 +3 +…+ 96+97+98) + (1+2+3+…+ 96+97)+…+ (1+2)+1 (0,5 điểm)
= + +…+ + (0,25 điểm)
2
99
.
98
2
98 97
2
3 2 2
2 1
=
2
99 98 98 97
3
.
2
2
.
=> B = = (0,25 điểm)
99 98 98 97 97 96
4 3 3 2 2
.
1
1 98 2 97 3 96
96 3 97 2 98
.
1
2 1
Câu 2. (1 điểm)
* Theo tính chất luỹ thừa bậc 2 ta có: (2x – 5)2008≥0 (0,25 điểm)
(3y + 2x)2010 ≥ 0
=> (2x - 5)2008 + (3y + 4)2010≥ 0 (1) (0,25 điểm)
* Mà ta có (2x -5)2008 +(3y+4)2010≤ 0 (2)
* Từ (1) và (2) ta có : (2x -5)2008 +(3y+4)2010 = 0 (0,25 điểm)
2x-5 = 0 x = 5/2
* Vậy x= 5/2 và y = -4/3
Câu 3. (2 điểm)
a, Ta có b2 = ac và b,c ≠ 0 => (1) (0,25 điểm)
b
a c
b
Tương tự ta có : (2)
d
c c
b
* Từ (1) và (2) ta có : (0,25 điểm)
d
c c
b b
a
* Đặt = k (k≠ 0, do a,b,c ≠ 0)
d
c c
b
b
a
Có k3 = (3) (0,25 điểm)
d
a d
c c
b
b
a
Trang 3k3 = 33 33 33 33 33 33 (4)
d c b
c b a d
c c
b b
a
* Từ (3) và (4) ta có (0,25 điểm)
d
a d c b
c b a
3 3 3
3 3 3
b, S = (100a+10b+c)+(100b+10c+a)+ (100c+10a+b)
= 111(a+b+c) = 37.3(a+b+c) (0,5 điểm)
Vỡ 0 < a+b+c27 nờn a+b+c M 37 Mặt khỏc (3; 37) =1
nờn 3(a+b+c) M37 => S khụng thể là số chớnh phương (0,5 điểm)
Câu 4 (4 điểm)
(GT-KL ; Vẽ hỡnh) (0,5điểm)
1a) Ta có AN, AC nằm trên 2 nửa mặt phẳng đối nhau
bờ AB (gt)
NAB và CBA kề nhau
Có NAB = 900 (gt) => Tia AB nằm giữa
AN và AC
CAB < 900 (gt)
=> NAB + CAB < 1800
=> NAB + CAB = 900 + CAB = NAC (1)
(0,5 điểm) Chứng minh tương tự có: 900 + CAB = NAC (2)
(0,25 đ)
* Từ (1) và (2) ta có NAC = BAM
* Xét NAC và A có:
N
M P
K
H
Q
I
C B
A
+ AN = AB (gt)
+ NAC = BAM (cmt) => AC = A (c.g.c) (0,25 đ)
+ AC = AM (gt)
=> NC = BM (đpcm)
1b) Gọi giao điểm của NC với BM là I, giao điểm của Ac với BM là T
Ta có NAC = BAM (cmt)
=> CAN = AMB hay TCI = TMA (0,5 đ)
Mà CTI = MTA (hai góc đối đỉnh)
=> MAT = CIT (Tổng 3 góc trong tam giác bằng 1800) (0,5 đ)
Mà MAT = 900 (gt)
=> CIT = 900 hay NC BM (đpcm)
2) * Gọi giao điểm của AK với BC là H kẻ MP vuông góc với AK tại P
Kẻ NQ vuông góc với AK tại Q
Chứng minh được NQA = AHB (cạnh huyền- góc nhọn)
=> NQ = AH (3) (0,5 đ)
* Chứng minh tương tự có MP = AH (4) (0,25 đ)
Từ (3) và (4) ta có NQ = MP
* Chứng minh được NQK = MPK (g.c.g) => NK = MK (0,5 đ)
Mà N, M, K thẳng hàng (gt)
=> K là trung điểm của MN (đpcm) (0,25 đ)
T
Trang 4* Chú ý: Các cách làm khác đúng, phù hợp chương trình lớp 7 vẫn cho điểm tối đa theo từng bước.