Lấy điểm M sao cho AB là đường trung trực của HM và lấy điểm N sao cho AC là đường trung trực của HN.. Nối MN lần lượt cắt AB và AC tại I và K.
Trang 1PHÒNG GD QUẬN THANH KHÊ
TRƯỜNG THCS PHAN ĐÌNH PHÙNG
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
MÔN TOÁN - LỚP 7 Khoá ngày 10 tháng 4 năm 2008 (Thời gian: 90 phút, không kể thời gian
giao đề)
Bài 1 (2,5 điểm)
Tìm số nguyên x biết :
939393
929292 1
626262
616161 313131
303030 1
186
x
b) 0 ( với m N ; x 0 )
5
2 : 5
2 1 2 5
x x
x
Bài 2 (2,0 điểm)
a) Chứng minh : 32005 + 32006 + 32007 + 32008 + 32009 chia hết cho 11
b) Cho : Chứng tỏ rằng :
2009 2008 5
4 4 3 3 2 2
x
x x
x x
x x
x x
x
2009 1 2008
2009 4
3
2
2008 3
2
1
x
x x
x
x
x
x x
x
x
Bài 3 (2,0 điểm).
Tìm số có 3 chữ số biết rằng số đó chia hết cho 18 và các chữ số của số đó tỉ lệ thuận với các số 1 ; 2 và 3 ?
Bài 4 (3,5 điểm).
Cho ABC có A < 900, đường cao AH Lấy điểm M sao cho AB là đường trung trực của HM và lấy điểm N sao cho AC là đường trung trực của HN Nối MN lần lượt cắt AB và AC tại I và K Chứng minh :
a) CI // HM và BK // HN
b) Trong trường hợp A 900, chứng tỏ ta vẫn có CI // HM và BK // HN
Hết
Trang 2-PHÒNG GD QUẬN THANH KHÊ
TRƯỜNG THCS PHAN ĐÌNH PHÙNG HƯỚNG DẪN CHẤM CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN - LỚP 7
Khoá ngày 10 tháng 4 năm 2008
Bài 1 ( 2,5 điểm )
a) 1,25 điểm
+ Rút gọn vế phải có 0,25đ
93
92 1
62
61 31
30 1
= = 0,5đ
93
1 62
1 31
1
186 1
+ Vậy ta có = = 1 0,25đ
186
x
186
1
x
+ Tính được x = 1 .0,25đ
b) 1,25 điểm
+ Viết tách xm + 3 = x3.xm và đặt nhân tử chung trong ngoặc vuông đúng 0,25đ + Rút gọn và đưa tới ( 2x - 1 )m - xm = 0 .0,25đ + Chuyển vế có ( 2x - 1 )m = xm và xét :
* Nếu m là số tự nhiên lẻ thì 2x - 1 = x x = 1 0,25đ
* Nếu m là số tự nhiên chẵn thì 2x - 1 = x và 2x - 1 = - x x = 1 và x = ( loại )
3 1
0,25đ
+ Vậy x = 1 .0,25đ
Bài 2 ( 2,0 điểm )
a) 1,0 điểm
+ Đặt 32005 làm nhân tử chung đúng 0,25đ + Tính đúng tổng trong ngoặc bằng 121 0,25đ + Vì 121 chia hết cho 11 nên tích 32005.121 cũng chia hết cho 11 0,5đ + Kết luận tổng các luỹ thừa đã cho chia hết cho 11 0,25đ
b) 1,0 điểm
+ Theo t/c dãy tỉ số bằng nhau thì =
2009 2008 5
4 4 3 3 2 2
x
x x
x x
x x
x x
x
2009 4
3 2
2008 3
2 1
x x
x x
x x
x x
0,5đ
+ Lập tích các tỉ số để có 0,5đ
2009 1 2008
2009 4
3 2
2008 3
2 1
x
x x
x x x
x x
x x
Bài 3 ( 2,0 điểm )
+ Gọi các chữ số của số đó là x ; y ; z với 1 x 9 ; 0 y 9 ; 0 z 9
0,25đ
+ Vì số đó chia hết cho 18 nên chia hết cho 9 ( x + y + z ) chia hết cho 9 (1)
0,25đ
Trang 3+ Theo điều kiện trên thì 1 x + y + z 27 (2) .0,25đ
Từ (1) & (2) x + y + z nhận các giá trị 9 ; 18 ; 27 (3) 0,25đ Theo bài thì N (4) ; từ (4) & (3) thì x + y + z = 18 0,25đ
6 3
2 1
z y x z y
+ Thay x + y + z = 18 vào (4) lần lượt có x = 3 ; y = 6 và z = 9 0,25đ + Do số cần tìm chia hết cho 18 nên chữ số tận cùng là 6 0,25đ
Kết luận : Các số cần tìm là 396 hoặc 936 0,25đ Bài 4 ( 3,5 điểm )
a) 1,5 điểm A
N
K
I
M
B H C + Vì I đường trung trực của MH nên IB là phân giác của MIH (1)
+ Vì K đường trung trực của NH nên KC là phân giác của HKN (2)
+ Do IB và KC cắt nhau tại A nên AH là phân giác trong tại đỉnh H của IHK 1,0 điểm + Do AH BC nên BC phải là phân giác góc ngoài tại đỉnh H của IHK (3)
Từ (2) & (3) IC là phân giác trong tại đỉnh I của IHK, kết hợp với (1) IC AB + Có HM AB & IC AB nên CI // HM
* Chứng minh tương tự, ta cũng có BK AC & HN AC nên BK // HN .0,5đ
b) 2,0 điểm
* Trong trường hợp A = 900, chứng minh như câu a ta có I và K trùng với A .1,0đ
* Trong trường hợp A > 900, Lập luận tương tự câu a ta cũng có kết quả tương tự 0,75đ Vậy trong trường hợp A 900 ta vẫn có CI // HM và BK // HN 0,25đ
Chú ý : HS có thể giải theo cách khác (không vượt quá chương trình toán 7) đúng vẫn
cho điểm tối đa
- Hết