DE&DA HSG TOAN 7 HUYEN TINH GIA NAM HOC 2013-2014

[r]

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO

HUYỆN TĨNH GIA ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

Năm học: 2013-2014

Môn Toán - Lớp 7

Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (4 điểm) Thực hiện phép tính:

1) A =

155

26 13 13 403

+

0,9

5 13

0, 2

7 29 5 12

14 7 5 5





Câu 2 (4 điểm)

1) Tìm x, y biết:

1

2

2) Cho n N , chứng minh rằng: 9.10n 18 chia hết cho 27

Câu 3 (4 điểm)

1) Cho

 và 4x  3 3 29 Tính x + 2y + 3z 2) Cho hai đa thức: f(x) = ax2 + bx + c và g(x) = cx2 + bx + a

Chứng minh rằng: Nếu f(x0) = 0 thì g( 0

1

x ) = 0 (với x 0 0)

Câu 4 (5 điểm) Cho tam giác ABC có AB < AC Gọi M là trung điểm của BC, từ M

kẻ đường thẳng vuông góc với tia phân giác của góc BAC tại N và cắt tia AB tại E và cắt tia AC tại F Chứng minh rằng:

1) AE = AF

2) BE = CF

2

Câu 5 (3 điểm) Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để các phân số sau tối giản:

Hết (Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)

Họ và tên thí sinh: SBD:

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ HSG HUYỆN NĂM HỌC 2013-2014

MÔN TOÁN 7

Câu 1

(4 điểm)

1

(2đ)

A =

5 31

7 11 23

13 31

7 11 23

3

5 13 10

13 5 10

=

5 3

44 13

1đ 1đ

2

(2đ) B =

14 29 5 5 12

3 14 14 14 2 15 5

5.3.2.2 3 5.2 7 2

3 2.3 2 3 3.2 2 7





=

15 30 17 5

15 31 17 5





=

15 30 17 5

15 30 17 5





=

5 3

0,5đ 0,5đ

0,5đ 0,5đ

Câu 2

(4 điểm)

1

(2đ) Ta có: x  2013 0  và

1

2 y

Suy ra:

1

2

Phương trình đẫ cho 

1

2

x

y









2013 0 1

2

x

y





 



2013 2014

x y





 





0,5đ 0,5đ 0,5đ

0,25đ 0,25đ

2

(2đ) Ta có: 9.10 18

n

 = 9 10 n 2

  9 (1) Mặt khác 10n

là số có tổng các chữ số là 1 Nên 10n 2

 là số có tổng các chữ số là 3 Suy ra: 10n 2

Từ (1) và (2) suy ra: 9 10 n 2

  27 hay 9.10n 18

0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ

Câu 3

(4 điểm)

1

(2đ) Ta có:

3

4x  3 29  x3 = 8  x = 2 Suy ra:



0,5đ 0,25đ 0,5đ

+)

25

16

y

y





+)

49

25

z

z



Vây: x + 2y + 3z = 2+ 2.(-7) + 3.1 = - 9

0,5đ 0,25đ

2

(2đ)

- Ta có: f(x0) = 0  ax02 + bx0 + c = 0 g( 0

1

x ) =

2

= 02 0

a

=

2

0 0 2 0

x

= 02

0 0

x  (đpcm)

0,5đ 0,5đ

0,5đ 0,5đ

Câu 4

(5 điểm)

1

(1,5đ)

2 1

x

N M

K F

E

C B

A

- Xét ANE và ANF có : ANEANF  900

AN chung EAN FAN (gt) Suy ra : ANE =ANF (g – c - g)  AE = AF (2 cạnh tương ứng)

1đ 0,5đ 2

(2đ)

- Từ C kẻ tia Cx // AB, cắt tia EF tại K

- Xét BME và CMK có :

MB = MC (gt) BME CMK  (đối đỉnh) BEM CKM (so le trong) Suy ra: BME = CMK (g – c - g)  BE = CK (2 cạnh tương ứng) (1)

- Vì AE = AF nên tam giác AEF cân tại A, suy ra: E F1

0,25đ

0,25đ 0,25đ 0,25đ

Mà: F1 F2 (đối đỉnh) và E K  (so le trong) Suy ra: F2 K

 tam giác CFK cân tại C  CF = CK (2) Từ (1) và (2) suy ra: BE = CF (đpcm)

0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 3

(1,5đ)

Ta có: AE = AB + BE

AF = AC – FC Suy ra: AE + AF = AB + BE + AC – FC = AB + AC Mà: AE = AF, suy ra: 2.AE = AB + AC

 2

AB AC

(đpcm)

0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ

Câu 5

(3 điểm) Các số đã cho có dạng: ( 2)

k

k n (với k = 7, 8, … , 31) Nếu ( 2)

k

k n là phân số tối giản thì

k

cũng là phân số tối giản

Mà

1

 

tối giản  (n + 2, k) = 1

 n + 2 nguyên tố cùng nhau với 7, 8,…,31 và n + 2 nhỏ nhất

 n + 2 = 37  n = 35

0,5đ

0,5đ 1đ 0,5đ 0,5đ