TÝnh EF theo c¸c c¹nh cña tam gi¸c ABC.[r]
Trang 1Trờng THCS hảI bình Đề khảo sát đội tuyển học sinh giỏi năm học
2012 – 2013
Môn: Toán lớp 7
Thời gian làm bài : 120 phút
Bài 1: 2.5điểm
1.Thực hiện phép tính (theo cách hợp lí nếu có thể)
9
12 9
b)
2) Chứng tỏ rằng 1 + 5 + 52 + 53 + + 529 chia hết cho 31
Bài 2 (2điểm)
1)Tìm x biết
2)Tìm ba số x,y,z biết rằng
2x
và
z
2
Bài 3 (2điểm)
Cho hai đa thức : P(x) = x5 – 2x3 + 3x4 – 9x2 + 11x – 6
Q(x) = 3x4 + x5 – 2(x3 + 4) – 10x2 + 9x
Đặt H(x) = P(x) - Q(x)
1.Chứng minh đa thức H(x) không có nghiệm
2.Chứng tỏ rằng: H(x) 2008 với x Z
Bài 4(2.5điểm)
Cho tam giác ABC, trên các cạnh AB và AC theo thứ tự lấy các điểm M,N sao cho
AM = AN ( M nằm giữa A và B, N nằm giữa A và C)
1.Chứng minh rằng : Nếu AB = AC thì BN = CM
2) Cho biết AB > AC:
a) chứng minh rằng : BN > CM
b) Gọi giao điểm của BN và CM là K, so sánh BK và CK
Bài 5 (1điểm) Chứng minh rằng: 2 2 2 2
2 3 4 n 3 với n N, n4
Hớng dẫn giải
Bài 1: câu 1: 3,5 đ - ý a: 1,5 đ; ý b: 2đ; Câu 2: 1,5 đ
1) Thực hiện phép tính (theo cách hợp lí nếu có thể)
(0,5đ)
Trang 2
(0,5đ)
(0,5đ)
10 10
b)
18 30
24 36
(0,5đ)
18 12
2) Chứng tỏ rằng 1 + 5 + 52 + 53 + + 529 chia hết cho 31
1 + 5 + 52 + 53 + + 529 =(1 + 5 + 52) + (53 + 54 + 55) + +( 527 + 528 + 529) (0,25đ)
= (1 + 5 + 52) + 53 (1 + 5 + 52) + + 527 (1 + 5 + 52) (0,5đ)
= 31 + 53.31 + + 527 31 (0,25đ)
= 31.(1 + 53 + + 527) chia hết cho 31 (0,25đ) Vậy 1 + 5 + 52 + 53 + + 529 chia hết cho 31 (0,25đ)
Bài 2
Mỗi câu đúng cho 2 đ
Bài 3
Làm đúng mỗi câu cho 2điểm
1.Chứng minh đa thức H(x) không có nghiệm
+.Tính đúng H(x) = x2 + 2x + 2 (1đ)
= ( x + 1)2 + 1 (0,25đ)
Do x 1 2 0 x
(0,25đ) x 1 2 1 1 0 x
(0,25đ) => H(x) không có nghiệm
2.Chứng tỏ rằng: H(x) 2008 với x Z
H(x) = x2 + 2x + 2 = x(x + 2) + 2
Giả sử tồn tại x Z để H(x)= 2008 (0,25đ)
=> x(x + 2) + 2 = 2008 => x(x + 2) = 2006 (0,25đ)
=> x hoặc x+ 2 chia hết cho 2 => x và x+ 2 chia hết cho 2 (0,25đ)
=> x(x + 2) chia hết cho 4 tức là 2006 không chia hết cho 4 (0,25đ) Mâu thuẫn , vì 2006 không chia hết cho 4 , điều giả sử là sai (0,25đ) Vậy H(x) 2008 với x Z
Bài 4
Câu 1 : 1đ: Câu 2 4đ
1)
2) ý a đúng cho 2điểm, ý b đúng cho 2 điểm
a) Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD = AC
Khi đó D nằm giữa B và M Nối D với N
+.c/m: VADNVACM(c.g.c)DN CM
A
B
C
K I
A
M
N D
Trang 3+.Trong V ADC có ã ã 0
=> ã 0
=> Trong tam giác BDN có BN > DN, mà DN = CM
=> BN > CM
b) Gọi giao điểm của DN và CM là I Ta c/m : V DNM V CMN
Do D nằm giữa B và M nên tia ND nằm giữa 2 tia NB và NM
=>
Mặt khác theo c/m trên ta có : BN > CM => BK > CK
Bài 5
2 3 4 n 3 với n N, n4 +.Với n = 5 dễ dành tính đợc giá trị biểu thức là
3600 2 3 và BĐT luôn đúng +.Với n > 5
Trờng THCS hảI bình Đề khảo sát đội tuyển học sinh giỏi năm học
2012 – 2013
Môn: Toán lớp 7
Thời gian làm bài : 120 phút
Bài 1 (2điểm) Cho các đa thức: f(x) = x4 – 3x2 + x – 1; g(x) = x4 – x3 + x2 + 5 Tìm đa thức h(x) sao cho:
1) f(x) + h(x) = g(x)
2) f(x) + g(x) – 2h(x) = 0
Bài 2 (2điểm) Tìm x biết
Trang 4
1) 2, 5 x 1, 3
Bài 3 (1điểm) Tính giá trị của biểu thức:
M
b 1
với
Bài 4(1.5điểm) Cho
b d Chứng minh rằng:
2 2
2 2
1)
2)
Bài 5 (3.5điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB> AC) Tia phân giác của góc B cắt AC ở D Kẻ
DH vuông góc với BC, trên tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB Đờng vuông góc với AE tại E cắt tia DH ở K
1) Chứng minh rằng tam giác ABH cân
2) Từ B kẻ Bx //AE, đờng thẳng này cắt tia EK ở I Tính số đo góc DBK
Hớng dẫn giải Bài 1
1.Tính h(x) = - x3 + 4x2 – x + 6 (2điểm)
2.Tính h(x) = x4 –
1
2x3 – x2 –
1
2x + 2 (2đ) Bài 2
1.Tìm x = 1,2 hoặc x = 3,8 (1,5đ)
2 Tìm x = 2007 và x = 2008 (1,5đ)
Điều này là vô lí Vậy không có giá trị nào của x t/m bài toán (0,5đ)
Bài 3
Tính
(1đ) Thay số vào M ta có M = 3,5 (1đ)
Bài 4
1 Làm đúng (2đ)
Trang 5Từ
.
(0,5đ)
(1đ)
=>
2 2
2 2
(0,5đ)
2> Làm đúng : 1đ
Từ
b d c d cdc d (0,25đ)
=>
3cd7c 11c 8d (0,25đ)
=
(0,25đ)
=> đpcm (0,25đ)
Bài 5
1 Làm đúng : 4đ
2 làm đúng 3 đ
Có IEAE; BAAE(gt)BA // IE (1)
Bx // AE (gt) => BI //AE (2)
Từ 1,2 => BI = AE (t/c đoạn chắn //)
1
B B B B 90 (do Bx //AE, AE AB)
1
1 3 2 4
A
E C
H
D
K
Trang 6Trờng THCS hảI bình Đề khảo sát đội tuyển học sinh giỏi năm học
2012 – 2013
Môn: Toán lớp 7
Thời gian làm bài : 120 phút
đề bài Câu 1 (2điểm)
a Thực hiện phép tính A = 1
9√6561+√144324
b Có hay không một tam giác với độ dài ba cạnh là : √17 ; √5+1 ; 3√5
Câu 2 (2 điểm) Tìm x biết : |x −2|+|x −2|+⋯ ⋯+ |x − 2| +2005 x=0 ; (x <0)
n = 2003
Câu 3 (1.5điểm)
Tìm x, y, z biết : 3|x|+ 5
3|y|− 1
3 − z
7 và 2|x|+7|y|+3 z=−14
Câu 4 (1điểm) Cho a, b, c là 3 số đôi một khác nhau
Chứng minh rằng 1
2[(a −b )( a− c ) b − c +
c − a
(b − c )(b − a)+
a − b
(c − a)( c − b)]= 1
1
1
c − a
Câu 5 (3.5điểm)
Cho ABC có Â = 1V , hạ AH BC (H BC) , phân giác góc BAH và góc HAC cắt BC lần lợt tại E và F
a Chứng minh rằng : ABF cân tại B
b Gọi độ dài ba cạnh BC , CA ; AB của tam giác ABC lần lợt là a ; b ; c
Tính EF theo các cạnh của ABC
Trang 7c Tìm điều kiện của ABC để S Δ AE F
S ΔABC có giá trị lớn nhất
đáp án biểu điểm môn toán lớp 7 Câu 1 ( 4 điểm)
1 Thực hiện phép tính (2điểm)
A = 1
9√812+√ (1218)2 (0,5 điểm) = 1
9 81+
12
18 (0,5 điểm)
= 9 +2
3 (0,5 điểm)
= 92
3 (0,5 điểm)
2 Có hay không một tam giác với độ dài ba cạnh là : √17 ; √5+1 ; 3√5 (2điểm)
Trong ba số √17 ; √5+1 ; 3√5 thì 3√5là số lớn nhất
Vậy nếu √17 + √5+1 > 3√5thì sẽ tồn tại một tam giác với độ dài ba cạnh là √17 ;
√5+1 ; 3√5 (1 điểm )
Thật vậy : √17 > √16=4
√5+1> √4 +1=3 => √17 + √5+1 > 7 = √49 > √45 = 3√5 (1 điểm )
Câu 2 ( 4 điểm) Tìm x biết : |x −2|+|x −2|+⋯ ⋯+|x − 2|+2005 x=0 ; (x < 0)
n = 2003
Vì tổng trên có 2006 hạng tử |x −2| nên ta có 2006|x −2|+2005 x=0 (1) (2 điểm)
Mà x< 0 => x-2 < 0 = > |x −2| =− x+2 (1 điểm)
Nên từ (1) ta có 2006(-x+2) + 2005x = 0 (0,5 điểm) => -2006x + 4012 + 2005x = 0
=> x = 4012 (không thoả mãn điều kiện x<0) Vậy không có giá trị nào của x thoả mãn bài toán (0,5 điểm)
Câu 3 (3điểm)
Tìm x, y, z biết : 3|x|+ 5
3|y|− 1
3 − z
7 (1) và 2|x|+7|y|+3 z=−14 (2)
Đặt 3|x|+ 5
3|y|− 1
3 − z
7 =k (0,5điểm)
=> |x|=3 k −5
3 ; |y|=
5 k+1
3 ; z = 3- 7k (0,5điểm)
Thay vào (2) ta có : 2.3 k − 5
5 k +1
3 +3 (3 −7 k )=− 14 (0,5điểm)
=> 6k - 10 + 35k +7 + 27 - 63k = - 42 => -22k = - 66 => k = 3 (0,25điểm) => |x|=3 3− 5
4
3 => x ±
4
3 (0,25điểm)
Tơng tự ta thấy : y = ±16
3 ; z = -18 (0,25điểm)
Trang 8vậy có 4 bộ số x;y;z thoả mãn bài toán là:
x= 4
3; y=
16
4
16
hoặc x=4
16
4
16
Câu 4 ( 2 điểm) : Cho a, b, c là 3 số đôi một khác nhau
Chứng minh rằng : 1
2[(a −b )( a− c ) b − c +
c − a
(b − c )(b − a)+
a − b
(c − a)( c − b)]= 1
1
1
c − a
Ta có : b − c
(a −b )( a− c ) = (a −c ) −(a − b)
(a −b ) (a −c ) = 1
(a −b )- 1
(a −c ) = 1
1
c −a
(b −c ) (b −a )=¿
(b −a )− (b −c ) (b − c) (b − a) =
1
1
1
1
a −b (2) (0,5điểm)
a −b
(c − a) (c − b)=
(c − b) −( c − a) (c −a )(c −b ) =
1
1
1
1
Từ (1) ; (2) ; (3) ta suy ra :
b − c
(a −b )( a− c ) + c −a
(b −c ) (b −a )+
a −b
(c − a )(c −b )=
2
2
2
=> 1
2[(a −b )( a− c ) b − c +
c − a
(b − c )(b − a)+
a − b
(c − a)( c − b)]= 1
1
1
c − a
Điều phải CM(0,25điểm)
A
Câu 5 (7điểm) A
ABC ; Â = 1V ; AH BC = H (H BC) A
GT Â1 = Â2 ; Â3 = Â4 (E , F BC)
BC = a ; CA = b ; AB = c
a ABF cân tại B B E H F C
KL b Tính EF theo a ; b ; c
c Tìm điều kiện của ABC để S Δ AE F
S ΔABC đạt giá trị lớn nhất.
Vẽ hình, ghi GT + KL đúng cho (0,5điểm)
a Chứng minh rằng : Tam giác ABF cân tại B.(2điểm)
Vì Â = 1V => ^B+ ^ C=900
Tam giác vuông HAB có H ^ A B+ ^B = 900 => góc c bằng góc HAB (1) (1 điểm )
=> B ^ F A= ^ C +^A3(vì Â3= Â4) (0,5điểm)
=> B ^ F A=H ^A B+ ^ A3 ( Theo 1)
=> B ^ F A=B ^ A F => BAF cân ở B (0,5điểm
b Tính EF theo các cạnh của tam giác ABC (2,0 điểm)
Chứng minh tơng tự ở ý a ta có AEC cân ở C => AC = CE = b (1 điểm)
Nên ta có CE = b ; BF = c = AB
1 2 3 c
a
Trang 9=> BF + CE = BF + EF + CF=EF+BC (0,5 điểm)
=> b + c = a + EF => EF = b + c – a (0,5 điểm)
c Tìm điều kiện của tam giác ABC để S Δ AE F
S ΔABC có giá trị lớn nhất (2,5điểm)
Theo định lý PiTaGo ta có : a2 = b2 + c2 Mà (b-c)2 0 (Dấu bằng xảy ra khi b = c) (0,5Điểm)
=> b2 + c2 - 2bc 0
=> b2 + c2 2bc
=> 2.( b2 + c2) 2bc + b2 + c2
=> 2.( b2 + c2) (b + c)2
=> 2.a2 (b + c)2 vì a2 = b2 + c2
=> ¿ (b + c)2
=> a√2≥ b+c (vì a;b;c>0) (0,5 điểm)
Mặt khác :S ΔAEF
EF AH
EF
a (0,5 điểm)
Mà theo CM ở ý b ta có : EF = b + c - a
=> S ΔAEF
b+c − a
a = √2− 1 (0,5 điểm)
=>S ΔAEF
S ΔABCđạt giá trị lớn nhất bằng √2− 1 khi dấu bằng của (2) xảy ra tức b=c hay:
ABC vuông cân tại A (0,5 điểm)