Một bản thảo cuốn sỏch dày 555 trang được giao cho 3 người đỏnh mỏy.. Hỏi mỗi người đỏnh mỏy được bao nhiờu trang bản thảo, biết rằng cả 3 người cựng nhau làm từ đầu đến khi đỏnh mỏy xon
Trang 1Phòng Giáo dục- Đào tạo
*****
đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện
năm học: 2008 - 2009
môn: Toán 7
(Thời gian:120 phút, không kể thời gian giao đề)
Đề thi này gồm 01 trang
Bài 1 (4 điểm)
a/ Tớnh:
A=
b/ Cho 3 số x,y,z là 3 số khỏc 0 thỏa món điều kiện:
z
z y x y
y x z x
x z
y
Hóy tớnh giỏ trị biểu thức: B = 1 x 1 y 1 z
Bài 2 (4điểm)
a/ Tỡm x,y,z biết: 1 2 2
0
x y x xz
b/ CMR: Với mọi n nguyờn dương thỡ 2 2 chia hết cho 10
3n 2n 3n 2n
Bài 3 (4 điểm)
Một bản thảo cuốn sỏch dày 555 trang được giao cho 3 người đỏnh mỏy Để đỏnh mỏy một trang người thứ nhất cần 5 phỳt, người thứ 2 cần 4 phỳt, người thứ 3 cần 6 phỳt Hỏi mỗi người đỏnh mỏy được bao nhiờu trang bản thảo, biết rằng cả 3 người cựng nhau làm từ đầu đến khi đỏnh mỏy xong
Bài 4 (6 điểm):
Cho tam giỏc ABC, M là trung điểm của BC Trờn tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME=MA Chứng minh rằng:
a/ AC=EB và AC // BE
b/ Gọi I là một điểm trờn AC, K là một điểm trờn EB sao cho: AI=EK Chứng minh: I,
M, K thẳng hàng
c/ Từ E kẻ EH BC (H BC) Biết gúc HBE bằng 50 0; gúc MEB bằng 250, tớnh cỏc
gúc HEM và BME ?
Bài 5 (2điểm):
Tỡm x, y N biết: 2 2
36 y 8 x 2010
đề chính thức
Trang 2Hướng dẫn chấm
a
8
5 6
5 4 5
4
1 3
1 2 1
13
5 11
5 7 5
13
3 11
3 4 3
4
1 3
1 2
1 2 5
4
1 3
1 2 1
13
1 11
1 7
1 5
13
1 11
1 4
1 3
13 11 7
129 5 13 11 4
135 3
x x x x x x
5 2
129 5
13 11 7 13 11 4
135 3
x
x x x x x
x
5
2
5
2 172
189
5 172
2 172 5 189
x
x
x
860 1289
2 1
4 điểm
b
Ta cú: y z x z x y x y z
y z z x x y
2
2
x y z
y z z x x y
B
x y y z z x
x y z. x y. z 2.2.2 8
Vậy B=8
0,5
0,5
0,5
0,5
a
1 2 2
0
x y x xz
Áp dụng tớnh chất 0A
2
0 0
x x z
x xz
1 2 2 3 1 2
x y
z x
Vậy x = 1/2; y = -2/3; z = -1/2
0,25
1,5
0,25
2
4 điểm
3n 2n 3n 2n 2 2
(3n 3 ) (2n n 2 )n
2 2
3 3n 1 2n 2 1
3 10 2 5n n = 10.(3n – 2n-1)
Vỡ 10.(3n – 2n-1) chia hết cho 10 với mọi n nguyờn dương Suy ra điều phải chứng minh
0,75 0,5
0,5 0,25
Trang 34điểm
Gọi số trang người thứ nhất, người thứ 2, người thứ 3 đánh máy được theo thứ tự là x,y,z
Trong cùng một thời gian, số trang sách mỗi người đánh được tỉ lệ nghịch với thời gian cần thiết để đánh xong 1 trang; tức là số trang 3 người đánh tỉ lệ nghịch với 5; 4; 6
Do đó ta có: : : 1 1 1: : 12 :15 :10
5 4 6
x y z
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
555 15
x y z x y z
Vậy số trang sách của người thứ nhất, thứ hai, thứ ba đánh được lần lượt là: 180, 225, 150
0,5
1,0
0,75
0,75 0,75
0,25
4
6 điểm
a
b
c
(2 điểm) Xét AMC và EMB có :
AM = EM (gt ) = (đối đỉnh )
AMC EMB
BM = MC (gt ) Nên : AMC = EMB (c.g.c )
AC = EB
Vì AMC = EMB
=> Góc MAC bằng góc MEB (2 góc có vị trí so le trong được tạo bởi đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE) Suy ra AC // BE
(2 điểm) Xét AMI và EMK có :
AM = EM (gt )
MAI MEK AMC EMB
AI = EK (gt ) Nên AMI EMK ( c.g.c ) Suy ra AMI = EMK
Mà AMI + IME = 180o ( tính chất hai góc kề bù )
+ = 180o Ba điểm I;M;K thẳng hàng
(1,5 điểm ) Trong tam giác vuông BHE ( H = 90o ) có HBE = 50o
HBE
= - = 40o - 25o = 15o
HEM
là góc ngoài tại đỉnh M của
Nên BME = HEM + MHE = 15o + 90o = 105o
( định lý góc ngoài của tam giác )
0,75 0,25
0,5
0,5
0,5 0,5
0,5 0,5
0,5 0,5
0,5
K
H
E
M B
A
C I
Trang 42 điểm
36 y 8 x 2010 2 2
y x
Vì 2
0
8
Vì 2 và , là số chính phương nên
0 (x 2010) xN 2
2010
x
2
(x 2010) 4
(x 2010) 0
2008
x
x
4
2 ( )
y y
y loai
(x 2010) 1 y 36 8 28
36
6 ( )
y y
y loai
Vậy ( , )x y (2012; 2); (2008; 2); (2010; 6).
0,25
0,25
0,5
0,25
0,25
0,25 0,25