Bài 5: 3 điểm Cho tam giỏc ABC vuụng cõn với đỏy BC.. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC.. Kẻ NH CM tại H.. Kẻ HE AB tại E.. Chứng minh rằng: a/ Tam giỏc ABH cõn b/ HM là
Trang 1PHềNG GD&ĐT Đề thi khảo sát hsg lớp 7
Môn : Toán
Thời gian: 120phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày:…./…
Bài 1: (1,5 điểm)
a/ (0,5 điểm) Chứng minh rằng: Với mọi số nguyờn dương n thỡ:
3n+2 – 2n+2 + 3n – 2n chia hết cho 10
b/ (1 điểm) Cho: A =
2008
1 2007
1
4
1 3
1 2
B =
2007
1 2006
2
3
2005 2
2006 1
2007
Tớnh:
A
B
Bài 2: (1,5 điểm)
a/ (0,75 điểm) Tỡm x và y, biết rằng: x 2005 x 2006 y 2007 x 2008 3
b/ (0,75 điểm) Tỡm a Z sao cho M = nhận giỏ trị nguyờn
1
3 2
a a
Bài 3: (2 điểm)
a/ (1 điểm) Cho f(x) = x8 – 101x7 + 101x6 – 101x5 + + 101x2 – 101x + 25 Tớnh f (100) b/ (1 điểm) Cho hai đa thức
f(x) = (x – 2)2008 + (2x – 3)2007 + 2006x và g(y) = y2009 – 2007y2008 + 2005y2007
Giả sử f(x) sau khi khai triển và thu gọn ta tỡm được tổng tất cả cỏc hệ số của nú là s Hóy tớnh s và tớnh giỏ trị của g(s)
Bài 4: (2 điểm)
Tỡm một số cú ba chữ số, biết rằng số đú chia hết cho 18 và cỏc chữ số của nú tỉ lệ với 1: 2: 3
Bài 5: (3 điểm)
Cho tam giỏc ABC vuụng cõn với đỏy BC Gọi M và N lần lượt là trung điểm của
AB và AC Kẻ NH CM tại H Kẻ HE AB tại E Chứng minh rằng:
a/ Tam giỏc ABH cõn
b/ HM là phõn giỏc của gúc BHE
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN LỚP 7
Năm học 2008 - 2009 Bài 1: (1,5 đ)
a/ (0,5 đ)
3n+2 – 2n+2 + 3n – 2n = (3n+2 + 3n) – (2n+2 + 2n) = 3n(32 + 1) – 2n(22 + 1)
= 3n 10 – 2n 5 (0,25 đ)
3n.10 10 ; 2 n 5 10 => 3 n 10 – 2n 5 10 Vậy 3n+2 – 2n+2 + 3n – 2n 10 (0,25 đ) b/ (1 đ)
Tách 2007 bằng tổng của 2007 số 1 và biến đổi như sau:
1 2007
1 1 2006
2
1
3
2005 1
2
2006 1
2007
1 2006
2
3
2005 2
2006
1
2007
= (0,25 đ)
2008
2008 2007
2008 2006
2008
3
2008
2
2008
= 2008 A (0,25 đ)
2008
1 2007
1 2006
1
3
1 2
1
=> 2008 (0,25 đ)
A
B
Bài 2: (1,5 đ)
a/ (0,75 đ)
Ta có A A Avới A tùy ý
(1) (0,25 đ) 3
2008 2005
2008 2005
2008
x
Từ đó và theo giả thiết đề bài ta có:
x 2006 y 2007 0 (2) (0,25 đ)
Từ (1) và (2)
=> x 2005 x 2006 y 2007 x 2008 3 khi x 2006 0 và y 2007 0(0,25đ) Vậy x = 2006 và y = 2007
b/ (0,75 đ)
1
4 1 ) 1 ( 1
4 1 1
2
a
a a
a a
a a a a
a
a
Z a
1
4 1
4 1
<=> a – 1 là ước của 4
a – 1 = {-4; -2; -1; 1; 2; 4} (0,25 đ)
a = {-3; -1; 0; 2; 3; 5}
Bài 3: 2 điểm
a/ (1 đ)
f(x) = x8 – 101x7 + 101x6 – 101x5 + + 101x2 – 101x + 25
= x8 – 100 x7 – x7 + 100x6 +x6 – 100x5 – x5 + + 100x2
Trang 3+ x2 – 100x – x +25 (0,25 đ)
f(x) = x7(x - 100) – x6(x - 100) + x5(x – 100) - + x(x-100) – (x - 25) (0,25 đ)
f(100) = 1007.(100 -100) – 1006(100 -100) + + 100.(100-100) – (100-25) (0,25 đ)
f(100) = -75 (0,25 đ)
b/ (1 đ)
Tổng các hệ số của f(x) sau khi khai triển và thu gọn chính là giá trị của đa thức f(x) tại
x = 1 Ta có
s = f(1) = (1 – 2)2008 + (2.1 – 3)2007 + 2006.1 (0,25 đ)
= (-1)2008 + (-1)2007 + 2006 = 1 – 1 + 2006 = 2006 (0,25 đ)
Thay s + 1 = 2007; s – 1 = 2005 ta được
g(s) = s2009 – (s+1).s2008 + (s -1).s2007 (0,25 đ)
= s2009 – s2009 – s2008 + s2008 - s2007 = - s2007 = -20062007 (0,25 đ)
Vậy s = 2006 và g(s) = -20062007
Bài 4: (2 điểm)
Gọi các số cần tìm là a; b; c (a; b; c N * và 1 a;b;c 9) (0,25 đ)
Vì số cần tìm chia hết cho 18 => số đó chia hết 9 và 2
=> (a + b + c) 9 và số cần tìm là số chẵn (0,25 đ)
Vì 1 a;b;c 9 => 3 abc 27 (0,25 đ)
Từ 3 đến 27 có các số 9; 18; 27 9
Vậy a + b +c = {9; 18; 27} (1) (0,25 đ)
Theo bài ra ta có: (0,25 đ)
6 3
2 1 3 2 1
c b a c b a c b
Vì a; b; c N * => a + b + c 6 (2)
Từ (1) và (2) => a + b +c = 18 (0,25 đ)
6
18 3 2
1 b c
a
a = 3; b = 6; c =9 (0,25 đ)
Số cần tìm chia hết cho 2 nên chữ số hàng đơn vị là số chẵn
Vậy số cần tìm là: 396 và 936 (0,25 đ)
Bài 5: (3 điểm)
Vẽ hình đúng 0,5 đ
N
A
B
C H
Q E
Trang 4a/ Từ A kẻ AK MC tại K và AQ HN tại Q
Xét vuông MAK và vuông NCH có:
MA = NC (= AB), MAK = NCH (cùng phụ với góc AMC) (0,5 đ)
2
1
=> MAK = NCH (cạnh huyền –góc nhọn)
=> AK = HC (1)
Xét BAK và ACH có:
AB = AC (gt); BAK = ACH; AK = HC (cm trên) (0,25 đ) => BAK = ACH (c-g-c)
=> BKA = AHC
Xét vuông AQN và vuông CHN có:
AN = NC; ANQ = CNH (đối đỉnh) (0,25 đ) => AQN = CHN (cạnh huyền – góc nhọn)
=> AQ = CH (2)
Từ (1) và (2) => AK = AQ (0,25 đ)
=> HA là tia phân giác của góc KHQ
=>AHQ = 450
=> AHC =1350 => BKA = 1350 (0,25 đ)
Từ BKA + BKH + AKH = 360 0 => BKH = 1350
AKH có KHA = 450 nên nó vuông cân tại K => KA =KH (0,25 đ)
Xét BKA và BKH có:
BK: chung ; BKA = BKH = 1350; KA =KH (0,25 đ) => BKA = BKH (c-g-c)
=> BA =BH hay tam giác ABH cân tại B
b/ Ta có BKA = BKH => BAK = BHK hay BAK = BHM
Mà HE // CA (cùng vuông góc AB) => MHE = HCA (đồng vị)
Vì BAK = HCA nên BHM = MHE (0,5 đ) hay HM là tia phân giác của góc BHE