TRƯỜNG ΤΗΠΤ ĐỘI CẤN Λ⊇ ΗΥΨ LỘCPHƯƠNG ΤΡ⊂ΝΗ MẶT CẦU 1.. Κηι đó τm tập hợp τm của họ mặt cầu đó... − Biết ϖυνγ γ⌠χ với 1 đường thẳng χηο trước.
Trang 1TRƯỜNG ΤΗΠΤ ĐỘI CẤN Λ⊇ ΗΥΨ LỘC
PHƯƠNG ΤΡ⊂ΝΗ MẶT CẦU
1 Phương τρνη mặt cầu:
Dạng 1: Mặt cầu τm Ι(α; β; χ), β〈ν κνη Ρ: 2 2 2 2 (1)
2αξ + 2βψ + 2χζ + δ = 0 0
Ι(−α; −β; −χ), β〈ν κνη Ρ α2 β2 χ2 δ
2 Vị τρ tương đối của mặt cầu với đường thẳng:
Χηο mặt cầu (Χ) τm Ι(α; β; χ), β〈ν κνη Ρ ϖ◊ đường thẳng
Τνη: δ Ι , Nếu: δ Ι , Ρ: Χ ;
tại 2 điểm πην biệt;
, :
tiếp ξχ νηαυ, gọi λ◊ tiếp tuyến của mặt cầu
, : ,
3 Vị τρ tương đối của mặt cầu với mặt phẳng:
Χηο mặt cầu (Χ) τm Ι(α; β; χ), β〈ν κνη Ρ ϖ◊ mặt phẳng Π : Αξ + Βψ + Χζ + D = 0 Τνη: Αα +Ββ +Χχ+D2 2 2
,
Α
δ Ι Π
Nếu:
1) δ Ι Π , Ρ: Π Χ ;
2)δ Ι Π , Ρ: Π Χ λ◊ đường τρ∫ν 2 2 với Η λ◊ ηνη
chiếu của Ι τρν (Π)
Vậy đường τρ∫ν τρονγ κηνγ γιαν χ⌠ phương τρνη:
2 2 2 2
Αξ + Βψ + Χζ + D = 0
3) δ Ι Π , Ρ: Π , Χ tiếp ξχ νηαυ tại điểm Η λ◊ ηνη chiếu của Ι τρν (Π), (Π) gọi λ◊ tiếp diện của mặt cầu (Χ)
ΙΙ Χ〈χ dạng το〈ν:
Dạng 1: Ξ〈χ định τm ϖ◊ β〈ν κνη của mặt cầu χηο trước (dạng πτ (2)):
Χ〈χη 1: Đưa về dạng 1
Χ〈χη 2:Kiểm τρα điều kiệnα2 β2 χ2 δ 0 τm ϖ◊ β〈ν κνη
ς dụ:
Χηο phương τρνη: 2 2 2 2 2
2 ξ 4 ψ + 8 4 = 0
ξ ψ ζ m m m Τm điều kiện để phương τρνη τρν λ◊ phương τρνη mặt cầu Κηι đó τm tập hợp τm của họ mặt cầu đó
Giải:
Πτ đã χηο 2 2
Trang 2λ◊ phương τρνη mặt cầu 4 2 2
Κηι đó τm 2 Τα thấy τm Ι thuộc mặt phẳng Οξψ ϖ◊:
( ; 2 ; 0)
Ι m m
2
4
Ι Ι
ψ
Vậy tập hợp τm Ι λ◊ παραβολ nằm τρονγ mπ Οξψ bỏ đi 2 điểm: ϖ◊
2
4
ψ
(2; 2 2; 0)
Dạng 2: Viết phương τρνη của mặt cầu κηι biết một số yếu tố χηο trước
Đi ξ〈χ định τm ϖ◊ β〈ν κνη của mặt cầu:
− Biết τm: τm β〈ν κνη;
− Biết β〈ν κνη: τm τm;
− Chưa biết τm ϖ◊ β〈ν kính:Viết phương τρνη mặt cầu ngoại tiếp tứ diện, tiếp ξχ với 2 mặt phẳng χηο trước thường ξ〈χ định τm trước σαυ đó đi τm β〈ν κνη
Β◊ι 1:
Lập phương τρνη mặt cầu τm Ι(4; 3; 2) ϖ◊ tiếp ξχ với mặt phẳng (ΑΒΧ) với: Α(3; 0; 0), Β(0; 3; 0), Χ(0; 0; 3)
3 3 3
Β〈ν κνη mặt cầu: Ρ δ Ι ,ΑΒΧ 2 3 Phương τρνη mặt cầu:
2 2 2
Β◊ι 2: Lập phương τρνη mặt cầu τm Ι(2; 3; −1) σαο χηο mặt cầu cắt đường thẳng (δ) χ⌠ phương τρνη: 5ξ 4 + 3ζ 20 = 0 tại 2 điểm Α, Β σαο χηο ΑΒ = 16
3ξ 4 + ζ 8 = 0
ψ ψ
Giải:
(δ) đi θυα Μ(11; 0; −25) ϖ◊ χ⌠ ϖχ tơ chỉ phương υ 2;1; 2
Gọi Η λ◊ ηνη chiếu của Ι τρν (δ) Χ⌠:
Β〈ν κνη mặt cầu:
ΜΙ υ
υ
Vậy phương τρνη mặt cầu:
2 2
17 2
ΑΒ
Ρ ΙΗ
Β◊ι 3:
Τρονγ κηνγ γιαν Οξψζ χηο đường thẳng (δ) χ⌠ phương τρνη: 1 2 3
ϖ◊ ηαι mặt phẳng Π1 : ξ + 2ψ + 2ζ 2 = 0; Π2 : 2ξ + ψ + 2ζ 1= 0 Lập phương τρνη mặt cầu χ⌠ τm Ι nằm τρν (δ) ϖ◊ tiếp ξχ với 2 mặt phẳng τρν
Giải:
δ
Ρ
Η Β Α
Trang 3TRƯỜNG ΤΗΠΤ ĐỘI CẤN Λ⊇ ΗΥΨ LỘC
2 1; 2; 2 3
Ι δ Ι τ τ τ
Mặt cầu tiếp ξχ với 2 mặt phẳng δ Ι Π , 1 δ Ι Π , 2
0
17
τ
Χη :
Nếu Π1 Π2 :
1) δ σονγ σονγ nhưng κηνγ χ〈χη đều Π1 ϖ◊ Π2 hoặc nằm τρν Π1 hoặc Π2 : Κηνγ χ⌠ mặt cầu thoả mν.
2) δ σονγ σονγ ϖ◊ χ〈χη đều Π1 ϖ◊ Π2 : Χ⌠ ϖ số mặt cầu thoả mν.
3) δ κηνγ σονγ σονγ, κηνγ nằm τρν Π1 ϖ◊ Π2 : Χ⌠ 1 mặt cầu thoả mν.
Β◊ι 4:
Lập phương τρνη mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ΑΒΧD với Α(1; 1; 0), Β(3; 1; 2), Χ(−1; 1; 2) ϖ◊ D(1; −1; 2)
Giải:
Χ〈χη 2:
Gọi phương τρνη mặt cầu λ◊: 2 2 2 2 2 2
2αξ + 2βψ + 2χζ + δ = 0 α 0
Mặt cầu đi θυα 4 điểm Α, Β, Χ, D νν:
Kết luận: Phương τρνη mặt cầu λ◊: 2 2 2
Χη :
Β◊ι το〈ν (ĐH ΚD−2004): Τρονγ κηνγ γιαν Οξψζ χηο 3 điểm Α(2; 0;1), Β(1; 0; 0), Χ(1; 1; 1) ϖ◊ mặt phẳng (Π) χ⌠ phương τρνη: ξ + ψ + ξ − 2 = 0 Viết phương τρνη mặt cầu đi θυα 3 điểm Α, Β, Χ ϖ◊ χ⌠ τm thuộc mặt phẳng (Π)
Χ〈χη giải β◊ι το〈ν ν◊ψ tương tự như χ〈χη 1 của β◊ι το〈ν τρν.
Dạng 3: Lập phương τρνη tiếp diện của mặt cầu
Β◊ι το〈ν 1:
Lập phương τρνη tiếp diện (Π) của mặt cầu (Σ) τm Ι, β〈ν κνη Ρ tại điểm Α
Trang 4Χ〈χη giải:
mπ(Π) đi θυα Α ϖ◊ nhận ϖχ tơ λ◊m ϖχ tơ πη〈π tuyếnΙΑ
Β◊ι το〈ν 2:
Lập phương τρνη tiếp diện (Π) của mặt cầu (Σ) τm Ι(α; β; χ), β〈ν κνη Ρ biết ϖχ tơ πη〈π tuyến của (Π) λ◊: ν Α Β Χ; ;
Χ〈χη giải:
Π : Αξ + Βψ + Χζ + D = 0
Χ⌠: δ Ι Π , Ρ τm được D συψ ρα phương τρνη mπ(Π)
Αα +Ββ +Χχ+D Α
Ρ
Χη :
Τρονγ β◊ι το〈ν χηο biết ϖχ tơ πη〈π tuyến dưới dạng:
− Biết Π σονγ σονγ với một mặt phẳng hoặc σονγ σονγ với 2 đường thẳng χηο trước
− Biết ϖυνγ γ⌠χ với 1 đường thẳng χηο trước
Β◊ι το〈ν 3:
Lập phương τρνη tiếp diện (Π) của mặt cầu (Σ)
τm Ι(α; β; χ), β〈ν κνη Ρ biết (Π) chứa đường thẳng
(δ) χηο trước
Χ〈χη giải:
− Ξτ đường thẳng (δ) dưới dạng phương τρνη tổng θυ〈τ;
− Viết phương τρνη χηm mặt phẳng đi θυα (δ);
− Sử dụng điều kiện tiếp ξχ τm ρα mπ(Π)
Β◊ι το〈ν 4:
Lập phương τρνη tiếp diện (Π) của mặt cầu (Σ),
τm Ι(α; β; χ), β〈ν κνη Ρ biết (Π) đi θυα điểm Χ ϖ◊:
1) Σονγ σονγ với đường thẳng (δ) χηο trước
2) ςυνγ γ⌠χ với mặt phẳng (Θ) χηο trước
Χ〈χη giải:
1) Gọi: Θ δ Χ; ; α Π Θ α đi θυα Α ϖ◊ σονγ σονγ với δ νν χ⌠ πτ ξ〈χ định Β◊ι το〈ν trở τη◊νη viết phương τρνη mπ(Π) đi θυα α ϖ◊ tiếp ξχ với mặt cầu (Σ)
2) Tương tự như τρν với: δ đi θυα Α ϖ◊ ϖυνγ γ⌠χ với mπ(Θ)
Dạng 4: Đường τρ∫ν τρονγ κηνγ γιαν
Β◊ι το〈ν 1:
Ξ〈χ định τm, τνη β〈ν κνη đường τρ∫ν λ◊ γιαο của mặt phẳng với mặt cầu χηο trước:
Χ〈χη giải:
Sử dụng τνη chất ở phần Β.Ι2) để τm τm, τνη β〈ν κνη đường τρ∫ν
Β◊ι το〈ν 2:
Τm τm ϖ◊ β〈ν κνη của đường τρ∫ν λ◊ γιαο của 2 mặt cầu (Σ), (Σ∋) χ⌠ τm lần lượt λ◊
Ι, Ι∋; β〈ν κνη Ρ, Ρ∋
Χ〈χη giải:
− Đưa πτ đường τρ∫ν λ◊ γιαο của 2 mặt cầu về πτ đường τρ∫ν λ◊ γιαο của mặt cầu (Σ) với một mặt phẳng (Θ)
Π
Ρ
Ι
Η
δ
δ
Trang 5TRƯỜNG ΤΗΠΤ ĐỘI CẤN Λ⊇ ΗΥΨ LỘC
− Τm của đường τρ∫ν λ◊Ο ΙΙ∋ Θ ;
β〈ν κνη 2 2
;
Β◊ι το〈ν 3:
Lập phương τρνη tiếp tuyến của đường τρ∫ν σαυ kẻ
từ Α χηο trước:
2 2 2
1
Αξ + Βψ + Χζ + D = 0
Χ〈χη giải:
Gọi Β λ◊ tiếp điểm Để rằng Β thuộc đường τρ∫ν νν toạ độ Β thoả mν (1)
Lại χ⌠: tiếp tuyến ΑΒ của đường τρ∫ν đồng thời λ◊ tiếp tuyến của mặt cầu τm Ο νν:
từ (1) ϖ◊ (2) συψ ρα toạ độ Β tiếp tuyến ΑΒ
Dạng 5: Ứng dụng của mặt cầu giải một số β◊ι το〈ν đại số
Β◊ι 1:
Τm m để phương τρνη σαυ χ⌠ đúng một nghiệm, ηψ τm nghiệm đó: (1)
1
Giải:
Nghiệm của hệ phương τρνη (nếu χ⌠) λ◊ tọa độ điểm χηυνγ của:
mặt cầu (Σ): 2 2 2 , (Σ) χ⌠ τm Ο(0; 0; 0) β〈ν κνη Ρ = 1
1
ξ ψ ζ
ϖ◊ mặt phẳng :2ξ ψ 2ζ m 0
Dο đó hệ (1) χ⌠ đúng một nghiệm κηι ϖ◊ chỉ κηι (Σ) ϖ◊ () tiếp ξχ νηαυ
, ( ) 2 2 2 1
2 ( 1) 2
m
3 3
m m
ΤΗ1:m = 3 nghiệm của hệ λ◊ ηνη chiếu ϖυνγ γ⌠χ Η của Ο τρν (1): 2ξ – ψ + 2ζ – 3 = 0 đường thẳng θυα Ο ϖ◊ ϖυνγ γ⌠χ với (1) χ⌠ phương τρνη
2
2
γι〈 trị của τηαm số τ tương ứng với điểm χηυνγ của (1) ϖ◊ λ◊ τ = Η 1
3
2 1 2
; ;
3 3 3
ΤΗ2: m = −3 Gọi Η’ λ◊ ηνη chiếu ϖυνγ γ⌠χ của Ο τρν (2): 2ξ – ψ + 2ζ + 3 = 0
Η’ 2 1; ; 2 (tương tự như ΤΗ1)
3 3 3
Vậy κηι m = 3 τη hệ χ⌠ mghiệm δυψ nhất λ◊ 2; 1; 2
κηι m = − 3 τη hệ χ⌠ mghiệm δυψ nhất λ◊ 2; 1; 2
Β◊ι 2: Giải hệ phương τρνη:
2 2 2
3 3 3
ξ ψ ζ 3 1
ξ ψ ζ 3 2
ξ ψ ζ 3 3
Trang 6Giải:
Mặt cầu (Σ): 2 2 2 , τm Ο β〈ν κνη Ρ = ϖ◊ mπ(): ξ + ψ + ζ – 3 = 0
tiếp ξχ với νηαυ ϖ , ( ) 2 32 2 3
1 1 1
Dο đó hệ phương τρνη χ⌠ nghiệm δυψ nhất,
2 2 2
ξ ψ ζ 3 1
ξ ψ ζ 3 2
dễ thấy nghiệm đó λ◊ ξ = ψ = ζ = 1 ϖ◊ nghiệm ν◊ψ cũng thỏa (3) Vậy hệ đã χηο χ⌠ nghiệm δυψ nhất ξ = ψ = ζ = 1
Β◊ι 3: Χηο βα số thực ξ, ψ, ζ thỏa: 2 2 2 Τm ΓΤΛΝ ϖ◊ ΓΤΝΝ của:
1
ξ ψ ζ
Φ ξ ψ ζ
Giải:
Ξτ mặt cầu (Σ): 2 2 2 , τm Ο, β〈ν κνη Ρ = 1 ϖ◊ mặt phẳng (): = 0
1
Đường thẳng θυα Ο ϖ◊ ϖυνγ γ⌠χ với () χ⌠ phương τρνη γι〈 trị τηαm
2 2
số τ tương ứng với γιαο điểm của ϖ◊ (Σ) λ◊ τ = 1
3
ϖ◊ (Σ) cắt νηαυ tại 2 điểm: Α 2 2; ; 1 ϖ◊ Β
3 3 3
2 2 1
; ;
3 3 3
;
2
2 2
4 4 1
9
3 3 3
2
2 2
4 4 1
9
3 3 3
Lấy Μ(ξ; ψ; ζ) (Σ),
2
2 2
, ( )
3
Λυν χ⌠ δ Α , ( ) δ Μ, ( ) δ Β, ( ) 2 1 4
3 Φ
6 Φ 12
Vậy Φmιν = 6 đạt κηι ξ = ψ = ; z = 2
3
1 3
Φmαξ = 6 đạt κηι ξ = ψ = 2; z =
3
3
Β◊ι tập vận dụng:
Β◊ι 1:
Τρονγ hệ toạ độ Οξψζ χηο đường thẳng (δ): 2ξ 2 ζ 1= 0 ϖ◊ mặt cầu (Σ) χ⌠
ξ 2 2 ζ 4= 0
ψ ψ
phương τρνη: 2 2 2 Τm m để δ cắt mặt cầu (Σ) tại 2 điểm Μ, Ν σαο
4ξ 6ψ + = 0
ξ ψ ζ m
χηο ΜΝ = 9
Β◊ι 2:
Τρονγ κηνγ γιαν Οξψζ χηο mπ(Π): 2ξ + 2ψ + ζ + 5 = 0 ϖ◊ Ι(1; 2; −2):
α) Lập phương τρνη mặt cầu (Χ), τm Ι σαο χηο γιαο tuyến của mặt cầu (Χ) ϖ◊ mπ (Π) λ◊ đường τρ∫ν χ⌠ χηυ ϖι bằng 8