PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ I.. PHƯƠNG PHÁP 2: ĐẶT ẨN PHỤ... PHƯƠNG PHÁP 4: PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ.. PHƯƠNG PHÁP 5: PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ... HỆ PHƯƠNG TRÌNH Dạng .1 HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC CA
Trang 1
PHẦN A PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ
I PHƯƠNG PHÁP 1: DẠNG CƠ BẢN
1 ( ) ( ) ( ) 02
( ) ( )
g x
f x g x
f x g x
( ) 0 hay ( ) 0 -tùy cái nào dễ hơn
( ) ( )
g x f x
f x g x
f x g x
3 f x( ) g x( ) h x( ):Đặt điều kiện từng biểu thức trong căn, rồi bình phương hai vế
Bài 1: (ĐH QGHN Khối D-1997) 16x 17 8x 23 ĐS: ………
Bài 2: (Đại học Cảnh sát -1999) 2 2 ĐS: ………
x x 11 31 Bài 3: (Hv Ngân hàng Tp.HCM-99) x2 4x 2 2x ĐS: ………
Bài 4: (ĐH Kinh tế Quốc dân- 2000) 5x 1 3x 2 x 1 0 ĐS: ……… Bài 5: (ĐHSP 2 HN) 2 ĐS: ………
x x 1 x x2 2 x Bài 6: (HVHCQG-1999) x 3 2x 1 3x 2 ĐS: ……… Bài 7: (HVNH-1998) 3x 4 2x 1 x 3 ĐS: ……… Bài 8: (ĐH Ngoại thương-1999) 2 2 ĐS: ………
3 x x 2 x x 1
II PHƯƠNG PHÁP 2: ĐẶT ẨN PHỤ
1 TH1: Đặt ẩn phụ đưa về phương trình theo ẩn phụ:
ax bx c d px qxr a b
p q
t px qxr t 0
Bài 1:(ĐH Ngoại thương-2000) 2 ĐS:
x5 2 x 3 x 3x S 1; 4 Bài 2: ĐH Ngoại thương -1998) 2 ĐS:
x 4 x 1 3 x 5x 2 6 S 2; 7
Bài 3: (ĐH Cần Thơ-1999) 2 ĐS:
(x 1)(2 x) 1 2x2x Bài 4: 2 2 ĐS:
4x 10x 9 5 2x 5x3
Bài 5: 2 3 2 ĐS:
18x 18x 5 3 9x 9x2 S 2; 7
Bài 6: 2 2 ĐS:
3x 21x 18 2 x 7x 7 2
Dạng 2: Pt dạng: P Q P Q 0 ( 0)
Cách giải: * Nếu P 0 phương trình tương đương với
0 0
P Q
* Nếu P 0chia hai vế cho sau đĩ đặt P Q
P t 0
Bài 1: 2 x 2 3x 2 3 x3 8 ĐS: S3 13;3 13
Trang 2Bài 3: 2 2 ĐS:
6 (x 2)(x 5x 13) 3x 6x 21 0
7 ( 2x 1)(3x x 4) 3x 19x 14 S 3; 0
Bài 6: (ĐH-CĐ- Khối A-2007) Tìm m để pt sau có nghiệm: 4 2
3 x 1 m x 1 2 x 1
Dạng 3: Pt dạng :P Q P Q 2 P Q 0 (2 2 0)
Cách giải: Đặt t P Q suy ra t2 P Q 2 P Q
Bài 1: (ĐHQGHN-2000) 2 2 ĐS: ………
1 x x x 1 x 3
Bài 2: (HVKTQS-1999) 3x 2 x 1 4x 9 2 3x 25x2 ĐS: ………
2x 3 x 1 3x2 2x 5x 3 16 Bài 4: 4x 3 2x 1 6x 8x210x 3 16
x 2 x 2 2 x 4 2x2
Dạng 4: Pt dạng: a cx b cx d a cxb cx n
Trong đó a b c d n, , , , là các hằng số ,c0,d0
Cách giải: Đặt t a cx b cx ( a b t 2(a b )
x 4 x 2 3x 4 x Bài 2: 3 x 6 x 3 x 6 x 3
Bài 3: (ĐHSP Vinh-2000) Cho pt: x 1 3 x x 1 3 x m
a/ Giải pt khi m 2 b/ Tìm các giá trị của m để pt có nghiệm
Bài 4: (ĐHKTQD-1998) Cho pt 1 x 8 x (1 x)(8 x) a
a/Gpt khi a 3 b/Tìm các giá trị của a để pt có nghiệm
Bài 5: (TTĐT Y tế Tp.HCM -1999) Tìm các giá trị của a để pt có nghiệm
x 1 3 x (x 1)(3 x) m
Bài 6: (ĐH Ngoại ngữ-2001) x 1 4 x (x 1)(4 x) 5
xa b 2a x b xa b 2a x b cxm
Trong đó a b c m, , , là các hằng số , a 0
Cách giải : Đặt t x b (ĐK:t 0) Đưa pt về dạng:
t a t a c(t2 b) m
Bài 1:(ĐHSP Vinh-2000) x 1 2 x 2 x 1 2 x 2 1
Bài 2:(HV BCVT-2000) x2 x 1 x2 x 1 2
Bài 3:(ĐHCĐ Khối D-2005) 2 x 2 2 x 1 x 1 4
2
Trang 3Bài 5: x 2 x 1 x 2 x 1 x 3
2
2. TH2: Sử dụng ẩn phụ để đưa pt về ẩn phụ đó, còn ẩn ban đầu là tham số:
6x 10x 5 4x 1 6x 6x 5 0
Bài 2: (ĐH Dược-1999) 2 2
x3 10 x x x 12 Bài 3: (ĐH Dược -1997) 2 2
2 1 x x 2x 1 x 2x 1 Bài 4: 2 2
4x 1 x 1 2x 2x 1
2 1 x x x 1 x 3x 1
x 3x 1 (x 3) x 1
3 TH3: Sử dụng ẩn phụ đưa về hệ phương trình:
Dạng 1: Pt dạng: xn a b bxn a
Cách giải: Đặt n khi đó ta có hệ:
n
Bài 1:(ĐHXD- ĐH Huế- 98) x2 1 x 1
Bài 2: x2 x 5 5
Bài 3: x22002 2002x2001 2001 0
Bài 4: (ĐH Dược-1996) 3 3
x 1 2 2x 1
ax b r uxv dxe a, u, r 0 u ar d, v br e
Cách giải: Đặt uy v axb khi đó ta có hệ :
2 2
Bài 1: (ĐH- CĐ Khối D-2006) 2
2x 1 x 3x 1 0
3x 1 4x 13x 5 Bài 4: x 5 x2 4x 3 Bài 5: 2
x 2 x 2 Bài 6: x 1 3 x x2
Dạng 3: PT dạng: n a f x mb f x c
Cách giải: Đặt u n a f x , v m b f x khi đó ta có hệ :
n m
Bài 1: (ĐH Tài chính Kế toán-2000) 3
2 x 1 x 1 Bài 2: 3 x 34 3 x 3 1 Bài 3: 3
x 2 x 1 3 Bài 4: 4 97 x 4 x 5 Bài 5: 4 4
18 x x 1 3
Trang 4Dạng 1: Pt dạng: f x a f x b
Cách giải: Nhân lượng liên hợp của vế trái, ta có hệ :
Chú ý : Liên hợp của A B là A B và liên hợp của A B là A B
Bài 1: 4x25x 1 4x25x 7 3 Bài 2: 2 2
3x 5x 1 3x 5x 7 2 Bài 3: (ĐH Ngoại thương-1999 ) 2 2
3 x x 2 x x 1 Bài 4: (ĐH Thương mại-1998) 2 2
x 3x 3 x 3x 6 3 Bài 5:(HVKTQS-2001) 1 1 1
Dạng 2: Pt dạng f x g x m f x g x
Bài 1:(HVBCVT-2001) 4x 1 3x 2 x 3
5
Bài 2:(HVKTQS-2001) 3(2 x2) 2x x6
IV PHƯƠNG PHÁP 4: PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ.
Bài 1: x 2 4 x x2 6x 11
Bài 2: x2 x 1 xx2 1 x2 x 2
Bài 3:(ĐHQGHN-Ngân hàng Khối D-2000) 2
4x 1 4x 1 1 Bài 4:(ĐH Nông nghiệp-1999) x2 2x 5 x 1 2
V PHƯƠNG PHÁP 5: PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ.
Bài 1:Tìm m để pt sau có nghiệm duy nhất: x 2 x m
Bài 2: Tìm m để pt sau có nghiệm duy nhất x 5 9 x m
Bài 3: Tìm m để pt sau có nghiệm duy nhất 4 x 41 x x 1 x m
VI PHƯƠNG PHÁP 6 : PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ (SỬ DỤNG ĐẠO HÀM)
Bài 1:(ĐH-CĐ Khối B-2004) - Tìm m để pt sau có nghiệm:
2 2 4 2 2
m 1 x 1 x 2 2 1 x 1 x 1 x
Bài 2 :Tìm m để pt sau có nghiệm:
1*/ 2 2*/
4 x mx m 2 x 1 x 1 5 x 18 3x 2m 1
Bài 3 : (ĐH-CĐ Khối A-2007) Tìm m để pt sau có nghiệm:
3 x 1 m x 1 2 x4 21
Bài 4 : (ĐH-CĐ Khối B-2007) CMR m 0 pt sau có 2 nghiệm phân biệt : 2
x 2x 8 m(x2) Bài 5 : 1*/ x x 5 x 7 x 16 14
2*/ x 1 x3 4x 5 3*/ 2
2x 1 x 3 4 x
Trang 5Bài 6 : (THPT QG 2015) : Giải phương trình : 22 trên tập số thực
x 2x 8
PHẦN B HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Dạng 1 HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO Giải các hệ phương trình sau đây
2 2
10 4
x y
x y
3
1
x xy
x y
5 7
x y
x y xy
x xy y x y
x y
Dạng 2 HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI I:
Ví dụ 1 Giải các hệ phương trình sau đây
5
2 2 10
4
x y
x y
2
x xy y
x y xy
12 16
x xy y
x y xy
13 6 5
x y
y x
x y
Dạng 3 HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI II:
Ví dụ Giải các phương trình sau đây
2
2
2 2
x y xy
y x xy
2 2
x x y
y y x
3 3
2 2
x x y
y y x
Dạng 4 PHƯƠNG PHÁP THẾ
12. (ĐH 2003A) x x y y. ĐS:
y x3
13.(ĐH 2003B) Giải hệ phương trình: . ĐS: (1; 1)
y y x x x y
2 2 2 2
2 3
2 3
14 (ĐH 2008B) Giải hệ phương trình: x x y x y x . ĐS:
x xy x
4 3 2 2
2 2 2 9
17 4;
4
15.(ĐH 2008D) Giải hệ phương trình: xy x y x y . ĐS: (5; 2)
x y y x x y
2 2 2
16 (ĐH 2010A) Giải hệ phương trình: x x y y . ĐS: .
2
2 2
2
17 (ĐH 2011A) Giải hệ phương trình (x, y R).
x y xy y x y
xy x y x y
ĐS:
v
Trang 618 (ĐH 2012A) ĐS:
2 2
1 2
x y x y
19(ĐH 2012D) Giải hệ phương trình 3 22 02 2 (x, y R)
xy x
x x y x y xy y
1
x y
2 5
x y
2 5
x y
Dạng 5 PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ 20.(ĐH 2002B) Giải hệ phương trình: x y x y . ĐS:
x y x y
3
2
3 1 (1;1), ;
2 2
21 (ĐH 2005A–db2) Giải hệ phương trình: x y x y ĐS:
x y
22 (ĐH 2006A) Giải hệ phương trình: x y xy . ĐS: (3; 3)
3
23 (ĐH 2006A–db1) Giải hệ phương trình: x y y x y. ĐS:
2
2 1 ( ) 4
24.(ĐH 2008A) Giải hệ phương trình: .
x y x y xy xy
x y xy x
2 3 2
4 2
5 4 5 (1 2 )
4
25 (ĐH 2009B) Giải hệ phương trình: xy x y . ĐS:
x y2 2 xy y2
1 7
1 13
1 1; , (3;1) 3
26(ĐH 2009D) Giải hệ phương trình: . ĐS: .
x x y
x y
x
2 2
5
3 (1;1), 2;
2
27 (ĐH 2013A) Giải hệ phương trình
4 4
ĐS: (x; y) = (1; 0) hay (x; y) = (2; 1).
2 2
2 2
, (x, y )
29 (ĐH 2014A) Giải hệ phương trình: 2 ĐS: (3;3)
3
2
y x y x x y y
y x y x y x y x y, 1 5; 1 5
Dạng 6 PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
Trang 71) ( 2 ) ( ) 2)
A 2010
ïï
ïïî
2
-ïïï
ïïïî
A 2013
ïï
2 3
-ïï í
-ïïî
ïï
í
ïïî
ïï í
-ïïî
3
x
2x 1
ïï
ï
ïî
2
-ïï í
ïïî
( )
2
3
ïï
ïï
í
ïï
ïî
2
ïï í
ïïî
-ïï
í
ïïî
( )
y y 2
2
-ïï ïï
ïï ïî
ïï
í
2
ïï í
ïïî
( )
2 3
ïïï
í
-ïïî
( )( )
2
ïï í
ïïî
3
2
-ïï
í
3
ïï í
ïïî
2
2
4
x
ìï
-ïï
í
ïïî
2 3
í
ïïî
ïï
í
2 3
í ïï
ïïî