Rèn luyện cho học sinh lớp 12 trường THPT lê lợi kỹ năng giải một số dạng toán về phương trình mặt cầu bằng phương pháp phân loại thông qua một số bài tập thực hành

MỤC LỤCSỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT LÊ LỢI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI: RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH LỚP 12 TRƯỜNG THPT LÊ LỢI KỸ NĂNG GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌ

MỤC LỤC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT LÊ LỢI

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

TÊN ĐỀ TÀI:

RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH LỚP 12 TRƯỜNG

THPT LÊ LỢI KỸ NĂNG GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ

PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN

LOẠI THÔNG QUA MỘT SỐ BÀI TẬP THỰC HÀNH

Người thực hiện: Đỗ Thị Thủy Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HÓA NĂM 2017

MỤC LỤC Nội dung Trang

1 MỞ ĐẦU …… 2

1.1 Lý do chọn đề tài ……… 2

1.2 Mục đích nghiên cứu ……… 3

1.3 Đối tượng nghiên cứu ……… 3

1.4 Phương pháp nghiên cứu ……… 3

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 4

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 4

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 4

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 5

2.3.1 Cơ sở lý thuyết 5

2.3.2 Một số dạng toán thường gặp … 6

Bài toán 1: Xác định tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu cho trước 6

Bài toán 2: Viết phương trình mặt cầu thỏa mãn điều kiện cho trước 7

Dạng 1 Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và đi qua điểm M ……… 7

Dạng 2 Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính AB… 8

Dạng 3 Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là I và tiếp xúc với mặt phẳng (P)……… 8

Dạng 4 Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng d……… 9

Dạng 5 Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D (ngoại tiếp tứ diện ABCD)………… 10

Dạng 6 Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua ba điểm A, B, C và có tâm I nằm trên mặt phẳng (P)……… 11

Dạng 7 Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua hai điểm A, B và tâm I nằm trên đường thẳng cho trước………… 12

Bài toán 3: Bài toán liên quan đến sự tương giao giữa mặt cầu và mặt phẳng ……… 13

Bài toán 4: Bài toán liên quan đến sự tương giao giữa mặt cầu và đường thẳng ……… 15

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giái dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường 16

3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 17

- Tài liệu tham khảo 19

- Danh mục các đề tài SKKN mà tác giả đã được Hội đồng Cấp Sở GD&ĐT và các cấp cao hơn đánh giá đạt từ loại C trở lên ……… 20

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý do chọn đề tài :

Trong Chương trình Toán hình học lớp 12, phần kiến thức về phương pháptọa độ trong không gian có rất nhiều dạng bài tập đòi hỏi các em học sinh cần phảinắm vững phương pháp giải và rèn luyện giải được các dạng toán này, nhưng thờilượng luyện tập trên lớp thì quá ít ỏi, điều này gây khó khăn cho đa số các em họcsinh

Các bài toán về phương trình mặt cầu thường rất hay gặp trong các đề thi tốtnghiệp THPT Quốc gia Dạng toán này rất hay và không quá khó đối với các emhọc sinh lớp 12, với mức độ tư duy vừa phải, lời giải nhẹ nhàng, lôgíc thường dễgây hứng thú học tập hơn cho học sinh so với những dạng toán hình khác

Để làm được dạng toán về phương trình mặt cầu trong không gian tọa độOxyz thỏa mãn điều kiện nào đó cho trước này, ngoài yêu cầu đọc kỹ đề bài, phântích giả thiết bài toán, thì đòi hỏi các em phải nắm vững kiến thức hình học khônggian, nắm vững kiến thức về vectơ, tọa độ mà còn phải nắm vững kiến thức vềđường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu và mối quan hệ giữa chúng

Qua quá trình giảng dạy lớp 12 nhiều năm tôi thấy học sinh thường lúngtúng trước một bài toán về phương trình mặt cầu, không định hướng được cáchgiải quyết, vì thế trong quá trình học để giúp học sinh không bị khó khăn khi gặpdạng toán này, tôi đã hệ thống một số dạng bài tập cơ bản yêu cầu học sinh phảinắm vững và giúp các em đưa ra phương pháp phân loại bài tập từ dễ đến khó đểhọc sinh tiếp cận một cách đơn giản dễ nhớ và từng bước giúp học sinh hình thànhlối tư duy giải quyết vấn đề, từ đó có thể làm được những bài toán về phương trìnhmặt cầu trong chương trình

Do đặc điểm lớp 12 là năm học sinh phải thi tốt nghiệp THPT Quốc Gia nênphần lớn học sinh có ý thức trong học tập và trang bị những kiến thức cần thiết chocác kỳ thi vào cuối năm học Trường THPT Lê Lợi có học sinh điểm tuyển đầu vàokhá cao so với các trường trong tỉnh nhưng chất lượng lại không đều, số lượng học

sinh có học lực trung bình còn chiếm tỉ lệ 17% Với đề tài “Rèn luyện cho học

sinh lớp 12 Trường THPT Lê Lợi kỹ năng giải một số dạng toán về phương trình mặt cầu bằng phương pháp phân loại thông qua một số bài tập thực

hành” sẽ giúp học sinh lớp 12 không bị lúng túng trước một bài toán về phương

trình mặt cầu trong không gian tọa độ Oxyz

1.2 Mục đích nghiên cứu :

- Góp phần đổi mới phương pháp dạy học môn toán nói chung và môn Hìnhhọc giải tích 12 nói riêng theo phương hướng tinh giản kiến thức, phát huy tínhtích cực, chủ động và sáng tạo của học sinh, tăng cường ứng dụng thực tế, giúp họcsinh có phương pháp học tốt thích ứng với xu hướng hiện nay

- Góp phần gây hứng thú học tập môn Toán cho học sinh, một môn học đượccoi là khô khan, hóc búa, không những chỉ giúp giáo viên lên lớp tự tin, nhẹ nhàng,học sinh lĩnh hội được tri thức một cách đầy đủ, khoa học mà còn giúp các emcủng cố và khắc sâu các tri thức

1.3 Đối tượng nghiên cứu :

Đề tài này rèn luyện cho học sinh lớp 12 phân loại và đưa ra phương pháplàm một số dạng toán về phương trình mặt cầu trong không gian tọa độ Oxyz thôngqua một số bài tập thực hành nhằm giúp các em có nền tảng vững chắc, có kỹ nănggiải tốt dạng toán đó trong đề thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia

1.4 Phương pháp nghiên cứu :

Để thực hiện đề tài này, tôi đã sử dụng các phương pháp sau :

1.4.1 Nghiên cứu tài liệu :

- Đọc các tài liệu sách, báo, tạp chí giáo dục, có liên quan đến nội dung đề tài

- Đọc SGK, sách giáo viên, các loại sách tham khảo

2 Nghiên cứu thực tế :

- Dự giờ, trao đổi ý kiến với đồng nghiệp nội dung về phương trình mặt cầu trongkhông gian tọa độ Oxyz

- Tổng kết rút kinh nghiệm trong quá trình dạy học

- Tổ chức và tiến hành thực nghiệm sư phạm (Soạn giáo án đã thông qua các tiếtdạy) để kiểm tra tính khả thi của đề tài

Để dạy đối tượng học sinh lớp 12 đại trà một cách hiệu quả, trong đề tài này tôi

đã đưa ra ba yêu cầu sau:

+) Cơ bản

+) Phù hợp với đối tượng học sinh

+) Phù hợp với kỳ thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia.

Tôi tiến hành xây dựng chương trình và nội dung giảng dạy cho học sinh lớp

12 theo bố cục sau đây :

1 Phân loại các dạng bài tập

2 Nêu phương pháp làm cụ thể và tỉ mỉ đối với từng loại bài

3 Mỗi loại bài lấy ví dụ minh họa

4 Bài tập đề nghị học sinh làm

5 Kiểm tra, đánh giá việc làm bài tập của học sinh

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm :

Phương pháp giáo dục hiện đại là phải làm sao phát huy được tính tích cực,chủ động của học sinh và bồi dưỡng cho học sinh có năng lực tư duy sáng tạo,năng lực giải quyết vấn đề Nhằm phục vụ cho lý luận này tôi dựa theo lý luận rằng: bồi dưỡng cho học sinh những kiến thức cơ bản nhất của vấn đề rồi sau đó mớitạo cho học sinh khả năng tự học và độc lập trong suy nghĩ, từ đó học sinh có thể

tự mình phân loại các dạng bài tập theo chuyên đề Có như thế thì học sinh mới dễdàng làm tốt bài thi trong kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc Gia

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm :

Trong quá trình giảng dạy chương trình Toán hình học lớp 12, tôi nhận thấyrằng các bài toán về phương trình mặt cầu thường xuất hiện trong đề thi tốt nghiệpTHPT Quốc gia

Thấy được tầm quan trọng của nó nên khi ôn tập mảng: “ Các bài toán vềphương trình mặt cầu trong không gian tọa độ Oxyz ” của hình học 12, tôi bănkhoăn nên làm như thế nào để giúp các em học sinh tái hiện lại kiến thức đã học,phân loại các dạng bài tập và phương pháp giải các bài toán đó một các hiệu quả,đặc biệt đối tượng học sinh của tôi là lớp 12A9, đây là lớp học trung bình trongkhối, hầu hết các em đều “ngại” học toán, khả năng nhận thức của các em còn rấtchậm, nhanh quên và tính toán kém, quả là một thách thức ! Bên cạnh những họcsinh hiếu động, ham hiểu biết cái mới, thích tự mình tìm tòi, khám phá, sáng tạo thìlại có một bộ phận không nhỏ học sinh lại học trung bình, trung bình yếu, lười suy

nghĩ nên đòi hỏi người giáo viên phải tâm huyết, có năng lực thật sự, đa dạng trongphương pháp, biết tổ chức, thiết kế và trân trọng qua từng tiết dạy.

Theo tôi, khi dạy đối tượng học sinh đại trà như hiện nay, người giáo viênphải thật cô đọng lý thuyết, sắp xếp lại bố cục bài dạy, định hướng phương pháp,tăng cường các ví dụ và bài tập từ đơn giản đến nâng cao theo dạng chuyên đề vàphù hợp với từng đối tượng học sinh

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề :

2.3.1 Cơ sở lý thuyết :

a) Định nghĩa :

* Mặt cầu là tập hợp những điểm M trong không gian cách một điểm I cố định mộtkhoảng không đổi là R > 0

+) Điểm I cố định gọi là tâm của mặt cầu

+) Khoảng cách không đổi là R >0: Gọi là bán kính của mặt cầu

b) Phương trình mặt cầu:

Dạng 1: Phương trình mặt cầu tâm I(a; b; c), bán kính R:

x a 2  y b 2 z c 2 R2 (1)

Dạng 2: x2 y2 z2  2ax + 2by + 2cz + d = 0a2 b2 c2  d  0 (2)

Khi đó: Mặt cầu tâm I(-a; -b; -c), bán kính R a2 b2 c2  d

c) Vị trí tương đối của mặt cầu với đường thẳng:

Cho mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R và đường thẳng  

Tính: d I  ,  , sau đó so sánh d I  ,  và R

+) Nếu: d I ,   R:     S ;

+) Nếu: d I ,   R:     S tại 2 điểm phân biệt;

+) Nếu: d I ,   R:   và  S tiếp xúc nhau,   gọi là tiếp tuyến của mặt cầu (S)

d) Vị trí tương đối của mặt cầu với mặt phẳng:

Cho mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R và mặt phẳng  P : Ax + By + Cz + D = 0 Tính:  ,   Aa +Bb +Cc+D2 2 2

2)d I P ,   R P:    S là đường tròn H r;  R2  d2I P;   

với H là hình chiếu của I trên (P)

Vậy đường tròn trong không gian có phương trình:

3) d I P ,   R:  P và (S) tiếp xúc nhau tại điểm H l

Với H là hình chiếu của I trên (P), (P) gọi là tiếp diện của mặt cầu (S)

2.3.2 Một số dạng toán thường gặp :

Bài toán 1: Xác định tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu cho trước.

Phương pháp chung:

Cách 1: Nếu PT(S) có dạng (1) : x a 2 y b 2 z c 2 R2

thì mặt cầu có tâm I(a; b; c), bán kính R

Cách 2: Nếu PT(S) có dạng (2) : x2 y2 z2  2ax + 2by + 2cz + d = 0

thì ta có 2 hướng làm

+) Hướng 1: Biến đổi đưa về phương trình dạng 1 và kết luận tâm, bán kính +) Hướng 2: Trước hết ta phải chuyển ba hệ số của x2 , y , z 2 2về hệ số 1(nếu có), rồi sau đó cũng đồng nhất các hệ số của hai phương trình tìm a, b, c và d Xét điều kiện: a2 b2 c2  d  0 và kết luận

VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S):x 12y 22 z 22  36 Xác định tọa độ tâm I và bán kính của mặt cầu (S)

Hướng dẫn: Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;2) và có bán kính R= 6.

Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S):x2 y2 z2  3x 4y 5z  6 0 Xác định tọa độ tâm I và bán kính của mặt cầu (S)

6

a a

c

c d

2x  2y  2z  8x 4y 12z 10 0  Xác định tọa độ tâm I và bán kính của (S)

Hướng dẫn: Chia hai vế phương trình cho 2 ta được:

Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S)

Bài 3 [3] : Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S : 3x2 3y2 3z2 6x 3y 15z 2 0 

Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S)

Cách 1: Xác định 2 yếu tố: Tọa độ tâm I(a; b; c) và bán kính R

Từ đó suy ra phương trình mặt cầu : x a 2  y b 2 z c 2 R2

Cách 2: Xác định phương trình mặt cầu theo dạng (2)

- Bước 1: Gọi phương trình mặt cầu (S) có dạng :

x2 y2 z2  2ax + 2by + 2cz + d = 0 ( Điều kiện : a2 b2 c2  d  0)

- Bước 2: Từ giả thiết của bài toán, lập hệ phương trình 4 ẩn a, b, c, d

- Bước 3: Giải hệ phương trình trên ta tìm được a, b, c , d và kết luận

Dạng 1 Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và đi qua điểm M.

 Bước 1: Tính vectơ IM

 Bước 2: Suy ra bán kính của mặt cầu (S) là: R = IM

 Bước 3: Viết phương trình mặt cầu (S) dạng (1)

VÍ DỤ MINH HỌA

Trong không gian Oxyz, cho 2 điểm E(-1;4;5) và F(3;2;7)

Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua điểm F và có tâm là E

Bài tập đề nghị :

Bài 1 [4] : Trong không gian Oxyz, cho A(1 ; 2 ; 0), B(3 ; -2 ; 2) Viết phương trình

mặt cầu (S) tâm A và đi qua B

 Bước 3: Tìm tọa độ tâm I của (S) chính là trung điểm của đoạn AB

 Bước 4: Viết phương trình mặt cầu (S) dạng (1)

* Chú ý: Nếu ta tìm tâm I trước thì bán kính còn có thể tính là R=IA hoặc R=IB.

VÍ DỤ MINH HỌA

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(-1;2;3) và B(3;2;-7)

Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính AB

Hướng dẫn: Ta có: AB 4;0; 10  

Suy ra bán kính của mặt cầu (S) là: 1. 1 4 2  0 2  102 29

 Bước 1: Vì (P) tiếp xúc với (S) nên bán kính của mặt cầu (S) là: R d I P  , ( )

 Bước 2: Viết phương trình mặt cầu (S) dạng (1)

VÍ DỤ MINH HỌA

Trong không gian Oxyz, cho điểm I(1;2;3) và mặt phẳng (P): 2x-2y-z-4=0.

Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (P)

Hướng dẫn: Vì (P) tiếp xúc với (S) nên bán kính của mặt cầu (S) là:

Bài 1 [7] : Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1 ; 2 ; -3) và mặt phẳng

 P x:  2y 2z 2 0  Viết phương trình mặt cầu tâm M và tiếp xúc với mp(P):

A x 12 y 22z 32  9 B x 12y 22 z 32  9

C x 12y 22z 32  81 D x 12y 22z 32  25

Bài 2 [8] :Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( )P và mặt cầu ( )S có phương trình lần lượt là ( ) : 2P x 2y z m  2  4m 5 0;  ( ) :S x2y2z2 2x 2y 2z 6 0  Tất cả các giá trị của m để ( )P tiếp xúc với ( )S là

A m 5 B m 1 hoặc m 5

C m 1 D m 1 hoặc m 5

Bài 3 [9] : Trong không gian Oxyz, cho mp(P): x – 2y + 2z + 9 = 0 Mặt cầu (S) tâm

O và tiếp xúc với mp(P) tại H(a ; b ; c), tổng a + b + c bằng :

(P): x + 2y + 2z + 3 = 0 và (Q): x + 2y + 2z + 7 = 0 Viết phương trình mặt cầu (S)

có tâm I thuộc đường thẳng d và tiếp xúc với hai mặt phẳng (P) và (Q)

 Bước 1: Vì (d) tiếp xúc với (S) nên bán kính của mặt cầu (S) là: R d I d  , ( )

 Bước 2: Viết phương trình mặt cầu (S) dạng (1)

VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, cho điểm I(0;1; 2)  Viết phương trình mặt cầu

có tâm Ivà tiếp xúc với trục Ox

Hướng dẫn: Vì (S) tiếp xúc với trục Ox nên bán kính của mặt cầu (S) là:

R= d I ,Ox= 2

Vậy phương trình mặt cầu (S) là: x2 y 12z 22  4

Ví dụ 2 [11] : Trong không gian Oxyz, cho 3 đường thẳng 1

HS rút ra : d1 đi qua M1(1 ; 1 ; 0) và có vectơ chỉ phương u  1 0;0;1

d2 đi qua M2(2 ; 0 ; 1) và có vectơ chỉ phương u  2 0;1;1

Giả sử tâm mặt cầu là I, I  I1 ; ;1 t t t              IM1   t;1 ; 1  t   t IM              ; 2  1 ; ;t t t  

I  Phương trình mặt cầu có tâm I và tiếp xúc với d là

Dạng 5 Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D

(ngoại tiếp tứ diện ABCD).

Phương pháp chung:

 Bước 1: Viết phương trình của mặt cầu (S) dạng (2)