GT12 c3 bài 3 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

- Tính được diện tích hình phẳng, thể tích vật thể và thể tích khối tròn xoay trong các trường hợp cụ thể.. Động viên các học sinh còn lại tích cực, cố gắng hơn trong các hoạt động học t

Tổ: TOÁN

Ngày soạn: … /… /2021

Tiết:

Họ và tên giáo viên: ……… Ngày dạy đầu tiên:………

CHƯƠNG III: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

BÀI 3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC

Môn học/Hoạt động giáo dục: Toán - GT: 12

Thời gian thực hiện: tiết

I MỤC TIÊU

1 Kiến thức

- Nắm được định nghĩa, tính chất và các phương pháp tính tích phân

- Nắm vững công thức tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể và thể tích khối tròn xoay

- Ghi nhớ các kiến thức cơ bản về phương trình đường thẳng, parabol, đường tròn và elip

- Hiểu rõ các ứng dụng của tích phân để vận dụng vào việc tính diện tích hình phẳng và thể tích của các vật thể, cũng như vật thể tròn xoay

- Lập được phương trình đường thẳng, parabol, đường tròn và elip để xử lí các bài toán liên quan

- Tính được diện tích hình phẳng, thể tích vật thể và thể tích khối tròn xoay trong các trường hợp cụ thể

2 Năng lực

- Năng lực tự học:Học sinh xác định đúng đắn động cơ thái độ học tập; tự đánh giá và điềuchỉnh

được kế hoạch học tập; tự nhận ra được sai sót và cách khắc phục sai sót

- Năng lực giải quyết vấn đề: Biết tiếp nhận câu hỏi, bài tập có vấn đề hoặc đặt ra câu hỏi Phân

tích được các tình huống trong học tập

- Năng lực tự quản lý: Làm chủ cảm xúc của bản thân trong quá trình học tập vào trong cuộc

sống; trưởng nhóm biết quản lý nhóm mình, phân công nhiệm vụ cụ thể cho từng thành viên nhóm, các thành viên tự ý thức được nhiệm vụ của mình và hoàn thành được nhiệm vụ được giao

- Năng lực giao tiếp: Tiếp thu kiến thức trao đổi học hỏi bạn bè thông qua hoạt động nhóm; có

thái độ tôn trọng, lắng nghe, có phản ứng tích cực trong giao tiếp

- Năng lực hợp tác: Xác định nhiệm vụ của nhóm, trách nhiệm của bản thân đưa ra ý kiến đóng

góp hoàn thành nhiệm vụ của chủ đề

- Năng lực sử dụng ngôn ngữ: Học sinh nói và viết chính xác bằng ngôn ngữ Toán học.

3 Phẩm chất

- Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác Tư duy các vấn đề toán học một cách lôgic và hệ thống

- Chủ động phát hiện, chiếm lĩnh tri thức mới, biết quy lạ về quen, có tinh thần trách nhiệm hợp tác xây dựng cao

- Chăm chỉ tích cực xây dựng bài, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn của GV

- Năng động, trung thựcsáng tạo trong quá trình tiếp cận tri thức mới ,biết quy lạ về quen, có tinh thần hợp tác xây dựng cao

- Hình thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt trong quá trình suy nghĩ

II THIẾT BỊ DẠY HỌC VÀ HỌC LIỆU

- Kiến thức về tích phân

- Máy chiếu

- Bảng phụ

- Phiếu học tập

III TIẾN TRÌNH DẠY HỌC :

1.HOẠT ĐỘNG 1: MỞ ĐẦU

a) Mục tiêu: Ôn tập các công thức diện tích, thể tích đã biết để giới thiệu bài mới

b) Nội dung: GV hướng dẫn, tổ chức học sinh ôn tập, tìm tòi các kiến thức liên quan bài học đã biết

H1- Kể tên các công thức và cách tính diện tích các đa giác đã học

H2- Kể tên các công thức và cách tính thể tích các khối đa diện đã học

H3- Kể tên các công thức và cách tính thể tích khối tròn xoay đã biết

c) Sản phẩm:

Câu trả lời của HS

L1- Diện tích tam giác vuông, tam giác cân, tam giác bất kỳ, hình vuông, hình bình hành, hình thoi, hình thang, hình chữ nhật, lục giác đều,…

L2- Thể tích khối lập phương, khối hộp chữ nhật, khối chóp tam giác, chóp tứ giác,…

L3- Thể tích khối nón tròn xoay, thể tích khối trụ tròn xoay

d) Tổ chức thực hiện:

*) Chuyển giao nhiệm vụ : GV nêu câu hỏi

*) Thực hiện: HS suy nghĩ độc lập

*) Báo cáo, thảo luận:

- GV gọi lần lượt 3 hs, lên bảng trình bày câu trả lời của mình (nêu rõ công thức tính trong từng trường hợp),

- Các học sinh khác nhận xét, bổ sung để hoàn thiện câu trả lời.

*) Đánh giá, nhận xét, tổng hợp:

- GV đánh giá thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi nhận và tổng hợp kết quả

- Dẫn dắt vào bài mới

ĐVĐ Làm thế nào để tính được diện tích, thể tích các hình, sau?

2.HOẠT ĐỘNG 2: HÌNH THÀNH KIẾN THỨC MỚI

I TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

HĐ1 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 1 đường cong và trục hoành

a) Mục tiêu: Hình thành công thức và biết cách tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đường

cong và trục hoành

b)Nội dung: GV yêu cầu đọc SGK, giải bài toán và áp dụng làm ví dụ

H1: Bài toán Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ( )f x , trục hoành và

hai đường thẳng x a , x b

H2: Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số yx 221, trục hoành

và hai đường thẳng x  , 1 x  2

H3: Ví dụ 2: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường yf x , trục hoành và hai đường thẳng x  , 3 x  (hv bên).2

1

3

a f x dx



2

1

bf x dx Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A S a b  B S a b 

C Sa b D S b a 

c) Sản phẩm:

1 Hình phẳng giới hạn bởi 1 đường cong và trục hoành

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f x( ) liên tục trên đoạn [ ]a b , trục hoành và ;

hai đường thẳng x a = , x b= được xác định: b ( )

a

S=ò f x dx

Ví dụ1: Ta có  

S x  dxx  x dx

Vì pt x2 4x3 không có nghiệm trên 1; 2 nên   

2 2 1

2

3

S x  x dx 

S f x dx f x dx f x dx f x dx a b

d) Tổ chức thực hiện

Chuyển giao

- GV trình chiếu hình vẽ 51, 52 SGK  đặt vấn đề nghiên cứu cách tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hs y=f(x), trục Ox và các đường thẳng x =

a, x = b

- HS vẽ hình và giới hạn phần hình phẳng cần tính diện tích + Tính diện tích theo công thức hình thang

+ Tính diện tích theo tích phân (định nghĩa tích phân) + So sánh hai cách tính

Thực hiện - HS thảo luận cặp đôi thực hiện nhiệm vụ

- GV theo dõi, hỗ trợ , hướng dẫn các nhóm

Báo cáo thảo luận - HS nêu bật được cách tính diện tích hình phẳng

Để tính diện tích S ta phải tính tích phân (1) , muốn vậy ta phải “phá” dấu giá

 













 



( ) ( )

y f x

y 0 H

x a

x b

a c 1 c2

 ( )

y f x y

( )

b

a

S f x dx

trị tuyệt đối của biểu thức f(x) trong dấu tích phân

-Cách 1: Xét dấu của biểu thức f(x) trên đoạn a ;b.

-Cách 2: Dựa vào đồ thị của hàm số y =f(x) trên đoạn a ;b

* Nếu f x không đổi dấu trên đoạn   a b thì; 

S f x dxf x dx

• Nếu pt f x  có nghiệm duy nhất x c  0  thuộc khoảng a b thì; 

Sf x dxf x dxf x dx    

f x dx f x dx

• Nếu phương trình f x  có hai nghiệm   0 c1c2 thuộc khoảng a b thì; 

S f x dxf x dx  f x dx  f x dx

- GV gọi 2HS lên bảng trình bày lời giải cho VD1 và VD2

- HS khác theo dõi, nhận xét, hoàn thiện sản phẩm

Đánh giá, nhận xét,

tổng hợp

- GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi nhận và tuyên dương học sinh có câu trả lời tốt nhất Động viên các học sinh còn lại tích cực, cố gắng hơn trong các hoạt động học tiếp theo

- Chốt kiến thức và các bước thực hiện tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ( )f x , trục hoành và hai đường thẳng x a , x b

HĐ2 Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong

a) Mục tiêu: Hình thành công thức và biết cách tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

2 đường cong

b)Nội dung:

H4 Bài toán: Tính diện tích hình phẳng  H giới hạn bởi

đồ thị hai hàm số  C1 yf x , C : 2 y g x   liên tục

trên đoạn a b và hai đường thẳng x a;   , x b

H5 Ví dụ 3: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ

thị hàm số y = xlnx , y = x và hai đường thẳng x = 1 , x = e

H6 Ví dụ 4 Tính diện tích phần gạch chéo trên hình vẽ sau.

c) Sản phẩm:

2 Hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong

Diện tích hình phẳng  H giới hạn bởi đồ thị hai hàm

số C1 yf x , C : 2 y g x   liên tục trên đoạn

a b và hai đường thẳng x a;   , x b (với a b ) được

xác định theo công thức:    

b

a

S f x  g x dx

Ví dụ 3 + Phương trình hoành độ giao điểm

0 ) 1 (ln 0

ln

lnxx x x x  x x 

x

Vì x > 0 nên x(lnx1)0 lnx10 lnx1 xe

+ Công thức S x x x dx

e



1

ln

Vì xlnx x x1;e nên      

e e

e e

xdx x

x dx x x x dx

x x x S

1 1

1 1

ln )

ln ( ln



2 3

4

e

S  

+ HS có thể sử dụng MTCT để cho kết quả

4 Từ đồ thị ta thấy x2 3 x2 2x1   x  1; 2

Vậy diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ là

   

2

1



2 2 1

2x 2x 4 dx



2

3 2

1

2

4



3 2

 d) Tổ chức thực hiện

Chuyển giao

- GV trình chiếu hình vẽ 54 SGK Đặt tên các điểm của hình 54

- HS Xác định diện tích hình cần tìm?

Lập công thức để tính diện tích hình đó ?

Thực hiện

- HS thảo luận cặp đôi thực hiện nhiệm vụ

- GV quan sát, theo dõi các nhóm Giải thích câu hỏi nếu các nhóm chưa hiểu nội dung các vấn đề nêu ra

Báo cáo thảo luận

- Các cặp thảo luận đưa ra cách tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong

- Thực hiện được VD3,4 và viết câu trả lời vào bảng phụ

- Thuyết trình các bước thực hiện

- Các nhóm khác nhận xét hoàn thành sản phẩm Chú ý nêu bật được cách tính

• Nếu phương trình f x  g x  vô nghiệm trên khoảng a b thì; 

Sf x  g x dx f x  g x dx

• Nếu phương trình f x  g x  có nghiệm duy nhất x c thuộc a b; 

Sf x  g x dxf x  g x dx

f x g x dx f x g x dx

      

Đánh giá, nhận xét,

tổng hợp

- GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi nhận

và tuyên dương nhóm học sinh có câu trả lời tốt nhất

- Trên cơ sở câu trả lời của học sinh, GV kết luận, và dẫn dắt học sinh hình thành kiến thức mới tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi 2 đồ

thị hàm số

II TÍNH THỂ TÍCH

1.Thể tích của vật thể

a) Mục tiêu: Hình thành công thức và biết cách tính thể tích vật thể, thể tích của khối chóp cụt

b)Nội dung:

H1 Bài toán Cắt một vật thể T bởi hai mặt phẳng

(P) và (Q) vuông góc với trục Ox lần lượt tại x = a,

x = b (a < b) Một mặt phẳng tuỳ ý vuông góc với

Ox tại điểm x (a  x  b) cắt T theo thiết diện có

diện tích là S(x) Giả sử S(x) liên tục trên [a; b]

Tính thể tích vật thể thu được

H2. Từ đó xây dựng công thức tính thể tích của khối lăng trụ, khối chóp và khối chớp cụt?

H3 Ví dụ 5 Tính thể tích V của vật thể nằm giữa hai mặt

phẳng x  và 0

4

x , biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt

bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ

x 0

4

x 

 

  làm một tam giác đều có cạnh là 2 cos 2x

c) Sản phẩm:

Cắt một vật thể B bởi hai mặt phẳng  P và  Q vuông góc với trục Ox lần lượt tại xa và

x b , với a b Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với Ox tại điểm có hoành độ x (với a x b  )

cắt B theo thiết diện có diện tích S x  Khi đó thể tích vật thể B là  

b

a

V S x dx

Ví dụ 5 Diện tích tam giác đều là   3 2 cos 2 2

3 cos 2 4

x

Thể tích vật thể là  

4

3 cos 2 sin 2



d) Tổ chức thực hiện

Chuyển giao

HS thực hiện các nội dung sau

- Mô tả vật thể

- Hình thành công thức: Thể tích của vật thể

- Thể tích khối chóp trong hình học

- Thể tích khối chóp trong tích phân

- So sánh

Thực hiện

- HS thảo luận cặp đôi thực hiện nhiệm vụ

- GV quan sát, theo dõi các nhóm Giải thích câu hỏi nếu các nhóm chưa hiểu rõ nội dung vấn đề nêu ra

Báo cáo thảo luận - Các cặp thảo luận đưa ra cách tính thể tích của vật thể

- Thực hiện được VD5 và lên bảng trình bày lời giải chi tiết

- Thuyết trình các bước thực hiện

- Các nhóm HS khác nhận xét, hoàn thành sản phẩm

- HS từ cách tính thể tích vật thể xây dựng được các kết quả liên quan

+ Thể tích khối lăng trụ V = B.h + Thể tích khối chóp V = 1Bh

3

+ Thể tích khối chóp cụt: Khối chóp cụt có chiều cao h, diện tích đáy

nhỏ và đáy lớn thứ tự là B; B' Khi đó thể tích V được tính bởi công thức

V = 1h B BB B 

Đánh giá, nhận xét,

tổng hợp

- GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh

- Trên cơ sở câu trả lời của học sinh, GV kết luận, và dẫn dắt học sinh hình thành kiến thức mới về tính thể tích vật thể

2.3 THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY

a) Mục tiêu: Hình thành công thức và biết cách tính thể tích của các khối tròn xoay.

b)Nội dung:

H1 Nêu các khối tròn xoay đã học?

H2 Nêu các công thức tính thể tích khối tròn xoay đã biết?

GV trình chiếu mô hình H60-sgk/120

H3.Bài toán: Cho hình phẳng  H giới hạn bởi đồ thị hàm số yf x  liên tục trên đoạn a b;  ,

trục Ox và hai đường thẳng xa và x b (với a b ) Quay  H xung quanh trục Ox ta thu được

một khối tròn xoay Hãy tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi

+ Quay quanh Ox

+ Quay quanh Oy

Ví dụ 6 Tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau

khi quanh trục hoành Ox:

x

y sin , y=0, x=0, x=

H4 Từ đó rút ra cách tính thể tích của hình cầu bán kính R

c) Sản phẩm:

* Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y=f(x), trục hoành và hai đường thẳng x=a, x=b quanh trục Ox:

Nếu đổi vai trò của x và y cho nhau, ta được

* Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường x=g(y), trục hoành và hai đường thẳng y=c, y=d quanh trục Oy:

1 cos 2

x



2

( sin 2 ) ( sin 2 0 sin 0) ( 0 0 0)

0



* Từ cách suy luận trên suy ra

Thể tích hình cầu bán kính R là:

2

3

d) Tổ chức thực hiện

Chuyển giao

HS thực hiện các nội dung sau

- Hình thành công thức: Thể tích của khối tròn xoay trong phần nội dung đã nêu

- Mô tả khối tròn xoay khi quay quanh Ox;

- Khi cho hình phẳng quay quanh trục Oy

- GV nêu câu hỏi để HS phát hiện vấn đề 1- Thể tích khối cầu trong hình học

- Thể tích khối cầu trong tích phân

- So sánh

2- Thể tích khối tròn xoay tạo ra bởi 2 đường cong

Thực hiện - HS thảo luận cặp đôi thực hiện nhiệm vụ

- GV quan sát, theo dõi các nhóm Giải thích câu hỏi nếu các nhóm chưa hiểu rõ nội dung vấn đề nêu ra

Báo cáo thảo luận

- HS thảo luận đưa ra cách tính thể tích của khối tròn xoay khi quay quanh Ox; quay quanh Oy

- Thực hiện được VD6 và lên bảng trình bày lời giải chi tiết

- Thuyết trình các bước thực hiện

- Các nhóm HS khác nhận xét, hoàn thành sản phẩm

- HS từ cách tính thể tích khối tròn xoay,xây dựng được các kết quả liên quan

Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y=f(x), y=g(x) và hai đường thẳng x=a, x=b quanh trục Ox:

Đánh giá, nhận

xét, tổng hợp

- GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh

- Trên cơ sở câu trả lời của học sinh, GV kết luận, và dẫn dắt học sinh hình thành kiến thức mới về tính thể tích khối tròn xoay

3 HOẠT ĐỘNG 3: LUYỆN TẬP

a) Mục tiêu: HS biết áp dụng các kiến thức về tính diện tích hình phẳng , tính thể tích vật thể, thể

tích khối tròn xoay vào các bài tập cụ thể

b) Nội dung:

PHIẾU HỌC TẬP 1

hàm số yf x , trục hoành và các đường thẳng x a , x b a b    Diện tích của D

được cho bởi công thức nào sau đây?

b

a

Sf x x B ( )d

a

b

f x x

b

a

Sf x x. D 2( )d

b

a

Sf x x

đường thẳng x a x b a b ,  ,   quay quanh trục Ox được tính theo công thức

b

a

V f x x.B. 2 d

b

a

b

a

V f x x. D   d

b

a

V f x x

bởi hai đồ thị hàm số và hai đường thẳng x a , x b a b  Khi đó, diện tích S của

 H được tính bằng công thức:

b

a

S  f x  g x  x B.     d

b

a

Sf x  g x x

S f x x g x x D     d

b

a

Sg x  f x  x

Câu 4. Cho hàm số yf x( )liên tục trên a b;  có đồ thị

 C cắt trục hoành tại điểm có hoành độ xc

(c a b; ) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi  C ,

trục hoành và hai đường thẳng x a x b ,  là

b

a

Sf x x.

b

a

Sf x x

S f x xf x x

S f x x f x x

x

 trục hoành và đường

thẳng x e bằng

1

bên dưới được tính theo công thức nào sau đây?

A

2

1

4 d



B.

2

1

1 d



C

2

4 2 1

1 d



D

2

1

4 d



Ox tại x 0, x 3 Cắt phần vật thể  bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm

có hoành độ bằng x 0 x 3 ta được thiết diện là hình chữ nhật có kích thước lần lượt

là x và 3 x Thể tích phần vật thể  bằng

4



27

4 .

của khối tròn xoay tạo thành khi quay  D quanh trục Ox được định bởi công thức

A

2 1 0

2 dxx

V  

2 1 0

2 dxx

2

0

4 dxx

2

0

4 dxx

V 