Bài tập Ứng dụng tích phân – Toán 12

Đáy là hình tròn giới hạn bởi đường tròn x  y 16 nằm trong mặt phẳng Oxy, cắt vật bởi các mặt phẳng vuông góc với trục Ox ta được thiết diện là tam giác đều.. Thể tích của vật thể là:.[r]

Trang 1

y f x

y 0 H

x a

x b

1( )C

2( )C

- Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường x g y= ( ), x h y= ( )

và hai đường thẳng y c= , y d= được xác định: ( ) ( )

d

S =òg y - h y dy

Trang 2

a) Thể tích vật thể:

Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với

trục Ox tại các điểm a và b; S x( ) là diện tích thiết diện của vật thể

bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x, (a x b£ £ ) Giả

sử S x( ) là hàm số liên tục trên đoạn [ ; ]a b

V  f x dx

a

 ( )

y f x y

Trang 4

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

I- Câu hỏi tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

Những điểm cần lưu ý:

Trường hợp 1 Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b].

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=f x y g x x a x b( ), = ( ), = , = là

Trường hợp 2 Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b].

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=f x y g x( ), = ( ) là

Phương pháp giải toán

Bước 1 Giải phương trình f x( )=g x( ) tìm các giá trị a b,

số y=f x( ),y g x= ( ) liên tục trên [ ; ]a b và hai đường thẳng x a= ,

x b= (a b< ) là:

A ( ) ( )

b a

Trang 5

Câu 2. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f x( ) ,

liên tục trên [ ; ]a b trục hoành và hai đường thẳng x a x b a b= , = ( < )cho bởi công thức:

Câu 4. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y x y= 3, =4x là:

[ ; ]a b Diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị củay=f x( ),trục hoành và hai đường thẳng x a= , x b= được tính theo côngthức

y=f x liên tục trên đoạn [ ; ]a b , trục hoành và hai đường thẳng

x a= , x b= được tính theo công thức

Trang 6

trục hoành và hai đường thẳng x= 1, x= 3 là

, trục hoành và hai đường thẳng x=p,

3 2

, trục hoành và hai đường thẳng x 6

p

=, x 4

6 ln

3 ln 3

-D

6 ln 3 -

Trang 7

Câu 16. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số

1 2

x y x

+

= +, trục hoành và đường thẳng x= 2là

x y x

+

= +, trục hoành và đường thẳng x= 2 là

A 3 2ln 2 + B 3 ln 2 - C 3 2ln 2 - D 3 ln 2 +

đường thẳng y=-x là

Trang 8

đường thẳng x= 3, trục tung và trục hoành là

201

201 4

y= +e x y= +e x Diện tích của (H) bằng

A

1 2

e

-B

2 2

e

-C

2 2

e

-D

1 2

3

203 4

Trang 9

Câu 31. Hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số

Câu 32. Hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số

Câu 33. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( ) :P y x= +2 3, tiếp tuyến của

(P) tại điểm có hoành độ x= 2 và trục tung bằng

Câu 34. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số

Câu 35. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số

Trang 10

Câu 37. Diện tích hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ nhất, giới

hạn bởi các đường thẳng y=8 ,x y x= và đồ thị hàm số y x= 3 là

a

b.Khi đó a b+ bằng

Trường hợp 1 Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các

đường y= f(x), y=0, x = a và x=b (a<b) quay quanh trục Ox là

đường y=f(x), y=g(x), x = a và x=b (a<b) quay quanh trục Ox là

NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU

4

y , y 0 , x 1, x 4

Trang 11

Câu 43. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường yf x Ox x( ), , , a x b

quay xung quanh trục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo

đường thẳng x 3 quay xung quanh trục Ox Thể tích của khối

tròn xoay tạo thành bằng:

A

3

quay xung quanh trục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạothành bằng:

A

79 63



B

23 14



C

5 4



D 9

khối tròn xoay tạo thành bằng:

b a

xung quanh trục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thànhbằng:

A

496 15



B

4 3



C

64 15



D

16 15



Trang 12

Câu 48. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y 1 x , y 0 2  quay

A

3 2



B

2 3

hai mặt phẳng x0;x  và có thiết diện cắt bởi mặt phẳngvuông góc với Ox tại điểm ( ;0;0)x bất kỳ là đường tròn bán kính

A

2 28 3



B

68 3



C

28 3



D

2 68 3

VẬN DỤNG

Đáy là hình tròn giới hạn bởi đường tròn x2y2 16(nằm trongmặt phẳng Oxy), cắt vật bởi các mặt phẳng vuông góc với trục

Ox ta được thiết diện là hình vuông Thể tích của vật thể là:

Trang 13

thẳng x 4 Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi D xoay quanh trục Ox là:

xung quanh trục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành

A

3 3

1 1

3 5

b V a

   

  B

5 3

5



 b V

5 3

3



 b V

5 3

1 1

3 5

b V

5





Trang 14

Câu 57. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y3 ,x y x x , 0, x1

 C : y f x 1   , C : y g x 2   , hai đường thẳng x a  , x b  , a b  Giả sửrằng  C 1 và C 2 không có điểm chung trên a, b và thể tích củakhối tròn xoay sinh ra khi quay  H quanh Ox là

thành bằng:

A

3

4e 1 9





Trang 15

Câu 60. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y x 3 6x29 ,x y0

thành bằng:

A

729 35



B

27 4



C

256608 35



D

7776 5



Đáy là hình tròn giới hạn bởi đường trònx2y2 16(nằm trongmặt phẳng Oxy), cắt vật bởi các mặt phẳng vuông góc với trục

Ox ta được thiết diện là tam giác đều Thể tích của vật thể là:

A

256 3

3



V

B

256 3



V

C

32 3 3



V

D

32 3



V

bằng:

A

88 .5

B

9 .70

C

4 .3

D

6 .5

Trang 16

y= x

và

2

1 3 2

M(3 ; 5) và trục tung

Trang 17

x = 0 Tính diện tích của miền D

phẳng giới hạn bởi: y2x x y 2; 0

quay quanh Ox

A

14 15

p

B

16 15

p

C

17 15

p

D

48 15

p

hạn bởi đường y x 2;8x y 2 quay quanh trục Oy là:

A

21 15

p

B

23 15

p

C

24 15

p

D

48 5

p

hình phẳng giới hạn bởi trục Ox và Parabol ( ) y ax x (C   2 a0)là:

A

5

30

a p

B

5

20

a p

C

4

5

a p

D

5

10

a p

hình phẳng S giới hạn bởi các đường: y x e x ,x 1,y0(0 x 1)là:

A

2

( 1) 4

Trang 18

-B ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

số y=f x( ),y g x= ( ) liên tục trên [ ; ]a b và hai đường thẳng x a= ,

x b= (a b< ) là:

A ( ) ( )

b a

liên tục trên [ ; ]a b trục hoành và hai đường thẳng x a x b a b= , = ( < )cho bởi công thức:

Trang 19

2 1

0 h(x) x

Chú ý:Nếu trong đoạn [a b; ] phương trình f x( )=g x( ) không còn nghiệm nào nữa thì ta có thể dùng công thức

[ ; ]a b Diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị củay=f x( ),trục hoành và hai đường thẳng x a= , x b= được tính theo côngthức

y=f x liên tục trên đoạn [ ; ]a b , trục hoành và hai đường thẳng

x a= , x b= được tính theo công thức

Trang 20

Theo công thức (SGK cơ bản) ta có ( ) .

Hướng dẫn giải

Ta có x3 ³ 0trên đoạn [1;3] nên

3 4

20 4

x

S =òx dx=òx dx= =

Trang 21

Câu 10. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y= x ,

Ta có x³ 0trên đoạn [1; 4] nên

4 3

Ta có 3 x³ 0trên đoạn [1;8] nên

8 4

, trục hoành và hai đường thẳng x=p,

3 2

Ta có sinx£ 0 trên đoạn

3

; 2

p p

, trục hoành và hai đường thẳng x 6

p

=, x 4

6 ln

3 ln 3

-D

6 ln 3 -

6 tan tan ln(cos ) ln

3

p p

Trang 22

=-Câu 14. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y e= 2 x,

x y x

+

= +, trục hoành và đường thẳng x= 2là

A 3 2ln 2 + B 3 ln 2 - C 3 2ln 2 - D 3 ln 2 +

Trang 24

1 2

x y x

+

= +, trục hoành và đường thẳng x= 2 là

4 4

= Û

ê = ë

Trang 25

= + = - + + Û =

ê

ê = ëNên

đường thẳng x= 3, trục tung và trục hoành là

201

201 4

3

203 4

Trang 26

Xét pt x xln = 0 trên nữa khoảng (0;e] có nghiệm x= 1

Suy ra

2 1

1 ln

e

-B

2 2

e

-C

2 2

e

-D

1 2

Trang 27

Câu 33. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( ) :P y x= +2 3, tiếp tuyến của

(P) tại điểm có hoành độ x= 2 và trục tung bằng

Biến đổi về hàm số theo biến số y là x=-y2+2 ,y x=-y

Xét pt tung độ giao điểm ( -y2 + 2 )y - -( )y = 0 có nghiệm y=0, y=3

Trang 28

3

S =ò y+ - y dy=

Trang 29

Câu 37. Diện tích hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ nhất, giới

hạn bởi các đường thẳng y=8 ,x y x= và đồ thị hàm số y x= 3 là

a

b.Khi đó a b+ bằng

Trang 30

A 1 e- 5 B 1 e+ 5 C 1 2e+ 5 D 1 2e- 5

Trang 31

đường y= f(x), y=0, x = a và x=b (a<b) quay quanh trục Ox là

đường y=f(x), y=g(x), x = a và x=b (a<b) quay quanh trục Ox là

NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU

4 ( ) 12

Trang 32

Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là:

2 8

2 0

Câu 43. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường yf x Ox x( ), , , a x b

đường thẳng x 3 quay xung quanh trục Ox Thể tích của khối

A

79 63



B

23 14



C

5 4

khối tròn xoay tạo thành bằng:

b a

Trang 33

A

496 15



B

4 3



C

64 15



D

16 15



Giao điểm của hai đường y2x22xvà y 0 là O(0;0)và A(2;0)

A

3 2



B

2 3

Giao điểm của hai đường y 1 x2và y 0 là B ( 1;0)và A(1;0)

1 2 1

hai mặt phẳng x0;x  và có thiết diện cắt bởi mặt phẳngvuông góc với Ox tại điểm ( ;0;0)x bất kỳ là đường tròn bán kính

sin x là:

Khối tròn xoay trong đề bài có được bằng cách quay hình

phẳng tạo bởi các đường x0;x ;y s ni x Ox; quay trục Ox

Trang 34

A

2 28 3



B

68 3



C

28 3



D

2 68 3

Đáy là hình tròn giới hạn bởi đường tròn x2y2 16(nằm trongmặt phẳng Oxy), cắt vật bởi các mặt phẳng vuông góc với trục

Ox ta được thiết diện là hình vuông Thể tích của vật thể là:

Trang 35

thẳng x 4 Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi D xoay quanh trục Ox là:

.(2 ) 32

Trang 36

Câu 54. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường yln ,x y0, x2 quay

Tọa độ giao điểm của hai đường ylnx và y0 là điểm C(1;0)

Vậy thể tích của khối tròn xoay cần tính là:

A

3 3

1 1

3 5

b V a

   

  B

5 3

5



 b V

5 3

3



 b V

5 3

1 1

3 5

b V

a

   

Trang 37

là các điểm( 3;1)

A  và B( 3;1) Vậy thể tích của khối tròn xoay cần tính là:

thành bằng:

Trang 38

C : y f x 1   , C : y g x 2   , hai đường thẳng x a  , x b  , a b  Giả sửrằng  C 1 và C 2 không có điểm chung trên a, b và thể tích củakhối tròn xoay sinh ra khi quay  H quanh Ox là

Trang 39

 2 : f x  g x    0, x a, b

hoặc  3 : 0 f x  g x , x   a, b

Do đó số nhận định đúng là không

thành bằng:

A

3

4e 1 9





Tọa độ giao điểm của đường x e với y x lnx là điểm C(3;3)

Tọa độ giao điểm của đường y x lnx với y 0 là A(1;0) Vậy thể tích của khối tròn xoay cần tính là:

3 2

thành bằng:

A

729 35



B

27 4



C

256608 35



D

7776 5



Trang 40

Tọa độ giao điểm của đường y x 3 6x29x với y 0 là các điểm

Đáy là hình tròn giới hạn bởi đường trònx2y2 16(nằm trongmặt phẳng Oxy), cắt vật bởi các mặt phẳng vuông góc với trục

Ox ta được thiết diện là tam giác đều Thể tích của vật thể là:

A

256 3

3



V

B

256 3



V

C

32 3 3



V

D

32 3

4

Vậy thể tích của vật thể là

4

2 4

bằng:

Trang 41

A

88 .5

B

9 .70

C

4 .3

D

6 .5

Với x 0;2 thì y2  4x y 4x

Tọa độ giao điểm của đường y2x2 với y2 4x là các điểm O(0;0)

và A(1;2) Vậy thể tích của khối tròn xoay cần tính là:

Trang 42

y= x

và

2

1 3 2

x = 0 Tính diện tích của miền D

phẳng giới hạn bởi: y2x x y 2; 0

quay quanh Ox

Trang 43

A

14 15

p

B

16 15

p

C

17 15

p

D

48 15

p

hạn bởi đường y x 2;8x y 2 quay quanh trục Oy là:

A

21 15

p

B

23 15

p

C

24 15

p

D

48 5

p

hình phẳng giới hạn bởi trục Ox và Parabol ( ) y ax x (C   2 a0)là:

A

5

30

a p

B

5

20

a p

C

4

5

a p

D

5

10

a p

hình phẳng S giới hạn bởi các đường: y x e x ,x 1,y0(0 x 1)là:

A

2

( 1) 4

Định dạng
Số trang	43
Dung lượng	1,83 MB