ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số  , y f x trục Ox và hai đường thẳng xa x, b a b, xung quanh trục

Câu 1 Cho hàm số y f x  liên tục trên a b;  Diện tích hình phẳng S giới hạn bởi đường cong y f x , trục hoành và các đường thẳng xa x, b a b được xác định bởi công thức nào sau đây?

b

a

S f x x B  d

a

b

S f x x C  d

a

b

S f x x D  d

b

a

S f x x

Câu 2 Cho đồ thị hàm số y f x  như hình vẽ bên Diện tích S

của hình phẳng phần tô đậm trong hình được tính theo công thức

nào sau đây?

3

2

d

S f x x



S f x x f x x



S f x x f x x



S f x x f x x



y=f(x) y

x O

3 -2

Câu 3 Cho hai hàm số y f1 x , y f2 x liên tục trên a b;  Diện tích hình phẳng S giới hạn các bởi đường cong

1 , 2

y f x y f x và các đường thẳng x a, xb a b được xác định bởi công thức nào sau đây?

A 1  2 d

b

a

S f x f x x B 2  1 d

b

a

Sf x f x  x

C 1  2 d

b

a

S  f x f x  x D 1  2 d

b

a

S f x f x x

Câu 4 Diện tích hình phẳng S giới hạn bởi các đồ

thị hàm số y 2 , x y 4 x và trục hoành Ox

(như hình vẽ) được tính bởi công thức nào dưới đây?

S x x x x

S x x x x

0

S x x x

0

S  x x x

Câu 5 Diện tích hình phẳng S giới hạn bởi các đồ thị hàm

số 3

, 2

yx y x và trục hoành Ox (như hình vẽ) được

tính bởi công thức nào dưới đây?

Sx x x x

0

2 d

S  x  x x

C

1 3 0

1

d 2

S x x

0

2 d

S x  x x

Câu 6 Diện tích hình phẳng S giới hạn bởi các đồ thị hàm số 3

, 2

yx x y x và các đường x 1, x được xác định 1

bởi công thức nào sau đây?

1



1







Câu 7 Sơ đồ ở bên phải phác thảo của một khung cửa sổ Diện

tích S của cửa sổ được tính bởi công thức nào sau đây?

A

1

2

2 1

2

5

2





   B

1 2

2 1

2

5

2



C

1

2

2 1

2

2 d



1 2

2 1 2



x y

1 2

1 2

 O

2

5 2 2

y  x

2

2

y x

Câu 8 Cho hai hàm số f x  và g x  liên tục trên đoạn a b;  với ab Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các 1

đường y2f x , y2g x , xa và x b; S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 2

  2,   2,

y f x  yg x  xa và xb Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A S1S2 B S12 S2 C S12S2 2 D S12S2 2

Câu 9 Cho hàm số f x  xác định và đồng biến trên đoạn  0;1 và 1 1

2

f   Diện tích hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị của các hàm số y1 f x ,  2

2

y  f x  và các đường x 0, x 1 được xác định bởi công thức nào sau đây?

S f x  f x  x f x f x   x B 1      2

d

S f x  f x  x



C        

1

1 2

1 0

2

S f x  f x  x f x f x   x D 1    2  

0

d

S  f x f x  x



Câu 10 Cho hàm số f x  có đồ thị trên đoạn

1;4 như hình vẽ bên Tính tích phân

 

4

1

d

I f x x





A 5

2

I  B 11

2

I 

C I 5 D I 3

Câu 11 Kí hiệu S1, S lần lượt là diện tích hình vuông cạnh bằng 2 1 và diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

2

1, 0, 1, 2

yx  y x  x Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là đúng?

A S1S2 B S1S2 C 1 1 2

2

S  S D 2

1

6

S

S 

Câu 12 Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số 2

2

yx  và y3x

2

6

S 

Câu 13 (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị hàm số 3

yx x và đồ thị hàm số

2

y x x

A 37

12

4

12

S  D S 13

Câu 14 Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị hàm số yx23x và hai đường thẳng x 15, x15

A S 2250 B S 2259 C S 1593 D S 2925

Câu 15 Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị hàm số yx 1x2 , trục hoành và đường thẳng x 1

A 1

3

3

C 2 2 1

3

D S 2 21 

Câu 16 Kí hiệu S1, S2, S lần lượt là diện tích hình vuông đơn vị (có cạnh bằng đơn vị), hình tròn đơn vị (có bán kính bằng đơn 3

vị), hình phẳng giới hạn bởi hai đường 2

y x y2 1 x Tính tỉ số 1 3

2

S S S



A 1 3

2

1 3

S S

S



2

1 4

S S S



2

1 2

S S S



2

1 5

S S S





Câu 17 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x và x2y bằng với diện tích hình nào sau đây? 0

A Diện tích hình vuông có cạnh bằng 2

O

-1

4 3

2

1

2

-1

y

x

B Diện tích hình chữ nhật có chiều dài, chiều rộng lần lượt 5 và 3

C Diện tích hình tròn có bán kính bằng 3

D Diện tích toàn phần khối tứ diện đều có cạnh bằng

4

2 3

3

Câu 18 Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị hàm số

 2

2 1

y x



 , trục hoành và hai đường thẳng x 0, x 4

5

5

25

25

S 

Câu 19 Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị hàm số yxlnx, trục hoành và đường thẳng x e

A.

2

1 4

e

2

1 6

e

2

1 8

e

2

1 2

e

Câu 20 Biết rằng diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ylnx, trục hoành và hai đường thẳng x 1, x e

e

được dưới dạng S a 1 1

e

 



    Mệnh đề nào sau đây là sai?

A a23a  B 2 0 2

2 0

a   a C a23a 4 0. D 2a23a  2 0

Câu 21 Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị hàm số x

ye x, trục hoành, trục tung và đường thẳng x 1

2

S e B 1

2

S e C S e 1 D S e 1

Câu 22 Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi các đường x

ye x, x   và y 1 0 x ln 5

A S  5 ln 4 B S  5 ln 4 C S 4ln 5 D S  4 ln 5

Câu 23 Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi các đường ye1x và 1 x

y e x

2

e

2

e

2

e

S 

4

e

S 

Câu 24 Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị hàm số x 1

y e  , trục hoành và hai đường thẳng x ln 3, x ln 8

A 2 ln2

3

S   B 2 ln3

2

S   C 3 ln3

2

S   D 2 ln3

2

S  

Câu 25 (ĐỀ THỬ NGHIỆM 2016 – 2017) Cho hình thang cong  H

giới hạn bởi các đường x, 0, 0, ln 4

ye y x x Đường thẳng

xk 0 k ln 4 chia  H thành hai phần có diện tích là S và 1 S 2

như hình vẽ bên Tìm k để S12S2

A 2ln 4

3

k  B k ln 2

C ln 8

3

k  D k ln 3

Câu 26 Kí hiệu  H là hình phẳng giới hạn bởi các đường x

ye , 0

y  , x 0 và x 1 Đường thẳng xk 0  k 1 chia  H thành

hai phần có diện tích tương ứng S1, S như hình vẽ bên, biết 2 S1S2

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

2

e  

2

e  

2

2



Câu 27 Cho hình phẳng  H giới hạn bởi các đường

2

, 0, 0, 4

yx y x x Đường thẳng

yk  k chia hình  H thành hai phần có

diện tích S1, S (hình vẽ) Tìm 2 k để S1S2

A k 3 B k 4

C k 5 D k 8

Câu 28 Xét hình phẳng  H giới hạn bởi đồ thị hàm số  2

3

y x , trục hoành và đường thẳng x 0 Gọi A0;9, B b ;0   3 b 0

Tính giá trị của tham số b để đoạn thẳng AB chia  H thành hai phần

có diện tích bằng nhau

A b  2 B. 1

2

b   C.b  1 D 3

2

b  

O

x

y

1

S

2

S

k ln 4

Câu 29 Cho hàm số y f x  liên tục trên  và hàm số

   2

yg x x f x có đồ thị trên đoạn  1;2 như hình vẽ bên Biết phần

diện tích miền được tô màu là 5

2

S  , tính giá trị của tích phân

 

4

1

d

I  f x x

A 5

2

4

I  C I 10 D I 5

Câu 30 Một khung cửa có hình dạng như hình vẽ, phần phía trên là một

parabol Biết a 2,5m, b 0,5m, c 2m Biết số tiền một mét vuông cửa

là 1 triệu đồng Số tiền cần để mua cửa là:

A 14

3 triệu đồng B

13

7 triệu đồng

C. 3

17 triệu đồng D.

17

3 triệu đồng

Câu 31 Biết rằng đường parabol   2

P y  x chia đường tròn

 C :x2y28 thành hai phần lần lượt có diện tích là S1, S (hình vẽ 2

bên) Khi đó S2 S1 a b

c



   với , , a b c nguyên dương và b

c là phân số

tối giản Tính S  a b c

A S 13 B S 14

C S 15 D S 16

Câu 32 Một bồn hình trụ chứa dầu được đặt nằm ngang, có chiều dài 5m,

bán kính đáy 1m, với nắp bồn đặt trên mặt nằm ngang của mặt trụ Người ta

rút dầu trong bồn tương ứng với 0,5m của đường kính đáy Tính thể tích gần

đúng nhất của khối dầu còn lại trong bồn

A 11,781m 3 B 12,637m 3

14, 923 m D 3

8,307 m

Câu 33 Cho một viên gạch men có dạng hình vuông

OABC như hình vẽ Sau khi tọa độ hóa, ta có

0;0 ,   0;1 ,  1;1 ,  1;0

O A B C và hai đường cong

trong hình lần lượt là đồ thị hàm số yx3 và

3

y x Tính tỷ số diện tích của phần tô đậm so với

diện tích phần còn lại của hình vuông

A 1

5

4

C 4

3 D 1.

Câu 34 (ĐỀ THỬ NGHIỆM 2016 – 2017) Ông An có một mảnh vườn hình

Elip có độ dài trục lớn bằng 16m và độ dài trục bé bằng 10m Ông muốn

trồng hoa trên một dải đất rộng 8m và nhận trục bé của elip làm trục đối

xứng (như hình vẽ)

Biết kinh phí để trồng hoa là 100.000 đồng 2

/m Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền được làm

tròn đến hàng nghìn)

A 7.862.000 đồng B 7.653.000 đồng

C 7.128.000 đồng D 7.826.000 đồng

Câu 36 Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số

 ,

y f x trục Ox và hai đường thẳng xa x, b a b, xung quanh trục Ox

d

b

a

V  f x x B 2 

d

b

a

V f x x C  d

b

a

V  f x x D  d

b

a

V  f x x

Câu 37 Cho hình phẳng trong hình bên (phần tô đậm) quay quanh trục hoành Thể tích

khối tròn xoay tạo thành được tính theo công thức nào trong các công thức sau đây?

b

a

V  g x f x  x B 2  2 d

b

a

V  f x g x  x

d

b

a

V   f x g x  x D    d

b

a

V f x g x  x

Câu 38 Viết công thức tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm

xa xb ab có thiết diện bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x a  x b là S x 

b

a

V S x x B  d

b

a

V S x x C  d

b

a

V S x x D 2  

d

b

a

V  S x x

Câu 39 (ĐỀ THAM KHẢO 2016 – 2017) Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x 1 và x 3, biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x 1 x 3 thì được thiết diện là một hình chữ nhật có hai cạnh là 3x và 3x 2 2

3

3

V  D V 322 15

Câu 40 Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x 0 và x 2, biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy

ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x 0 x 2 thì được thiết diện là một phần tư hình tròn bán kính 2

2x

5

Câu 41 Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x 0 và x, biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy

ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x 0 x  thì được thiết diện là một tam giác đều cạnh là 2 sin x

A V 2 3  B V 8 C V 2 3 D V 8 

Câu 42 Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y2xx2 và trục hoành Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành

khi quay D quanh trục hoành

A 16

15

V 

B 11

15

V  

C 12

15

V 

15

V 

Câu 43 (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2107) Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong 2

1

y x  , trục hoành và các đường thẳng x0, x Tính thể tích V1 của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành

3

3

Câu 44 Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong ylnx, trục hoành và đường thẳng xe Tính thể tích V của khối tròn

xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành

A Ve1  B Ve1  C V e D Ve2 

Câu 45 Kí hiệu V V lần lượt là thể tích của khối cầu bán kính đơn vị và thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục 1, 2 Ox

hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng y 2x và đường cong 2 2

y x Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A V1V2 B V1V2 C V1V2 D V12V2

Câu 46 Một Bác thợ gốm làm một cái lọ có dạng khối tròn xoay được tạo thành khi

quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y x1 (đồ thị như hình vẽ) và trục Ox

quay quanh trục Ox Biết đáy lọ và miệng lọ có đường kính lần lượt là 2dm và

4dm Tính thể tích V của lọ

A V8 dm  3 B 15 dm 3

2

 C V 7 dm  3 D V17 dm  3

Câu 47 (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong ye x, trục hoành và các đường thẳng

0, 1

x x Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành

A

2

2

e

V 

1 2

e

2

1 2

e

1 2

e

Câu 48 (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Kí hiệu  H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y2x1e x, trục tung và trục hoành Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình  H xung quanh trục Ox

A V 4 2 e B V42e  C Ve2 5 D  2 

5

V e  

Câu 49 (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y 2cosx, trục hoành và các đường thẳng 0,

2

x x 

 Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành

A V  1 B V1 C V1 D V  1

Câu 50 (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y 2sinx , trục hoành và các đường thẳng x0,x  Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V  bằng bao nhiêu?

A V21  B V2  1  C V22 D V2 

Câu 51 Ký hiệu  H là hình phẳng giới hạn bởi các đường y sinxcosxm, y 0, x 0 và

2

x 

 với m là tham số thực lớn hơn 2 Tìm m sao cho thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình  H xung quanh trục hoành bằng

2

3 2



Câu 52 Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đồ thị hàm số

2

4

x

y  và yx Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi

quay D quanh trục hoành

15

V  

B 126

15

V 

15

V  

D 131

15

V  

Câu 53 Hình phẳng  H giới hạn bởi các đường yx21, trục tung và tiếp tuyến của đồ thị hàm số yx21 tại điểm

 1;2 Khi quay hình  H quanh trục Ox tạo thành khối tròn xoay có thể tích V bằng:

5

15

15

Câu 54 Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đồ thị hàm số 2

4

y x và 2

2

y x Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo

thành khi quay D quanh trục hoành

Câu 55 Thể tích V của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các

1

y x và 2

1

yx  quay quanh trục Ox được xác định bởi công

thức nào sau đây?

1



1



2 1



1





Câu 56 Cho hình phẳng  H giới hạn bởi các đường yx2 và y x Khối tròn xoay tạo ra khi  H quay quanh Ox có thể tích V được xác định bằng công thức nào sau đây ?

4

2

V  x  x x

0

d

V  xx x D 1  4

0

d

V  xx x

Câu 57 Cho hình phẳng  H giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x, đường

thẳng y   và trục hoành Khối tròn xoay tạo ra khi x 2  H quay quanh Ox có thể

tích V được xác định bằng công thức nào sau đây ?

V x x x x

V x x x x

V x x x x

V x x x x

Câu 58* Cho hình phẳng  H giới hạn bởi 1

4 đường tròn có bán kính R 2, đường cong y 4x và trục hoành (miền tô đậm như hình vẽ) Tính thể tích V của khối tạo thành khi cho hình  H quay quanh trục Ox.

6

V 

6

V  

6

V 

3

V 

Câu 59* Cho hình phẳng  H giới hạn bởi các đường y  x2, y x 2, x1 Tính thể tích V của vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng  H quanh trục hoành

6

 B 9

2

V  

C V9 D 55

6

Câu 60 Cho hình phẳng  H giới hạn bởi các đường x

ye , y 0, x 0 và xk k 0 Gọi

k

V là thể tích khối tròn xoay khi quay hình  H quanh trục Ox Biết rằng V  k 4 Khẳng định nào sau

đây là khẳng định đúng:

A 1 3

2

k

2  k C 1 1

2  k D 0 1

2

k

 