Bài 5 DIỆN TÍCH HÌNH THOI

DIỆN TÍCH HÌNH THOI Mục tiêu  Kiến thức + Nắm được công thức tính diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc..  Kĩ năng + Tính được diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc.

CHƯƠNG 2 BÀI 5 DIỆN TÍCH HÌNH THOI Mục tiêu

 Kiến thức

+ Nắm được công thức tính diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc

+ Nắm được công thức tính diện tích hình thoi

 Kĩ năng

+ Tính được diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc

+ Tính được diện tích hình thoi

I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Cách tính diện tích của một tứ giác có hai đường

chéo vuông góc

Diện tích của một tứ giác có hai đường chéo

vuông góc bằng nửa tích độ dài hai

đường chéo

1

2

ABCD

S  AC BD

Công thức tính diện tích hình thoi

Diện tích hình thoi bằng nửa tích độ dài hai

đường chéo

1 1 .2

2

S  d d

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Tính diện tích của tứ giác có hai đường chéo vuông góc

Phương pháp giải

Bước 1 Chứng minh tứ giác có hai đường

chéo vuông góc

Bước 2 Sử dụng công thức tính diện tích:

1 1 .2

2

S  d d

Hướng dẫn giải



a Xét ABC , ta có:

E là trung điểm AB (giả thiết)

F là trung điểm của AC (giả thiết)

Suy ra EF là đường trung bình của ABC Suy ra EF // BC

Mà AHBC (giả thiết) nên AHEF



b Ta có EF là đường trung bình của ABC (chứng

minh trên)

 

.20 10 cm

EF BC

Diện tích tứ giác AEHF là:

.12.10 60 cm

AEHF

S  AH EF  

Ví dụ mẫu

Ví dụ Cho hình thang ABCD có AB // DC và AB = 8 cm, DC = 14 cm Gọi K là trung điểm AD, M là

trung điểm của BC AN là đường cao của hình thang



a Chứng minh KM  AN



b Biết hình thang ABCD có diện tích 77 cm Hãy tính diện tích tứ giác AKNM 2

Hướng dẫn giải

a Xét hình thang ABCD, ta có:

K là trung điểm của AD (giả thiết),

M là trung điểm của BC (giả thiết)

Suy ra MK là đường trung bình của hình thang ABCD

// //



Mà ANDC (AN là đường cao của hình thang) nên KM  AN



b Diện tích hình thang ABCD là 1 

2

ABCD

S  AB CD AN

1

Ta có: KM là đường trung bình của hình thang ABCD (chứng minh trên)

8 14 11

KM AB CD

Diện tích tứ giác AKNM là 1 1.11.7 38,5

AKNM

S  KM AN  (cm ) 2

Bài tập tự luyện dạng 1

Câu 1: Một tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau, biết rằng tổng hai đường chéo bằng

19 cm và hiệu hai đường chéo bằng 5 cm Diện tích tứ giác là

A 14 2

cm

Câu 2: Cho tứ giác ABCD có ACBD. Diện tích tứ giác ABCD là

2

S  ACBD B S 2AC BD C 1

2

S  AC BD D S AC BD

AB = 8 cm, CD = 12 cm, AC = 15 cm

a) Qua B kẻ đường thẳng song song với AC cắt DC tại M Chứng minh tứ giác ABMC là hình bình

hành

b) Tính diện tích hình thang ABCD

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 5:

Xét ABC cân tại A, có: AM là đường trung tuyến

(giả thiết)

Suy ra AM là đường cao của ABC

Suy ra AM BC

Xét ABM vuông tại M, ta có : AM2BM2 AB2

(định lí Py-ta-go)

2

2

BC

 

16 4 cm

AM

 

3 3.4 12 cm

AD AM

Diện tích của tứ giác ABCD là :

.6.12 36 cm

ABCD

S  BC AD 

Câu 6:



a Xét tứ giác ABMC, ta có :

BM // AC (giả thiết)

AB // CM (AB // CD)

Vậy tứ giác ABMC là hình bình hành vì có hai cặp cạnh

đối song song



b Ta có: Tứ giác ABMC là hình bình hành (chứng

minh trên)

 

 

8 cm

16 cm



 



Xét BDM vuông tại B, ta có : BD2BM2 DM2

(định lí Py-ta-go)

 

144 12 cm

BD

Diện tích hình thang ABCD là :

.16.12 96 cm

ABCD

S  AC BD 

Dạng 2: Tính diện tích hình thoi

Phương pháp giải

Bước 1 Xác định độ lớn của mỗi đường chéo

của hình thoi

Bước 2 Sử dụng công thức tính diện tích:

1 1 .2

2

S d d

Ví dụ : Cho hình thoi ABCD có độ dài cạnh AB = 6cm

và BAD 60 Gọi O là giao điểm của hai đường

chéo



a Tính độ dài AC, BD



b Tính diện tích hình thoi ABCD



a Ta có: AB AD (ABCD là hình thoi) ABD

 cân tại A

Mà BAD 60 (giả thiết) nên ABD đều Suy ra BDAB6(cm)

2 2.3 3 6 3



b Diện tích hình thoi ABCD là

.6 3.6 18 3

ABCD

S  AC BD   2

cm

Ví dụ mẫu

Ví dụ Cho ABC vuông tại A có AB = 12 cm, BC = 20 cm Gọi O là trung điểm của BC và E đối xứng với O qua AC



a Chứng minh tứ giác AOCE là hình thoi



b Tính diện tích hình thoi AOCE

Hướng dẫn giải



a Ta có: ABC vuông tại A (giả thiết)

Mà AO là đường trung tuyến (O là trung điểm của BC) nên 1

2

AOOC  BC

Ta có: AC là trung trực của OE (E đối xứng với O qua AC) AO AE

CO CE





  

 Lại có: AOCO (chứng minh trên), suy ra AOOCCEAE

Vậy tứ giác AOCE là hình thoi vì có bốn cạnh bằng nhau



b Xét ABC vuông tại A, ta có : AC2AB2BC2 (định lí Py-ta-go)

AC

2

400 144 256

AC

256 16

AC

Xét tứ giác ABOE, ta có : AE // BO (tứ giác AOCE là hình thoi)

AB // OE (cùng vuông góc với AC)

Suy ra tứ giác ABOE là hình bình hành vì có hai cặp cạnh đối song song

Do đó OEAB12(cm)

Diện tích hình thoi AOCE là 1 1.16.12 96

AOCE

S  AC OE   2

cm

Bài tập tự luyện dạng 2

Câu 1: Cho hình thoi ABCD, biết AC = 12 cm, BD = 5 cm Tính diện tích hình thoi ABCD

A S ABCD 17 cm 2 B S ABCD 30 cm 2 C S ABCD 34 cm 2 D S ABCD 60 cm 2

Câu 2: Cho hình vuông ABCD có độ dài AC = 4 cm Tính diện tích hình vuông

A 16 cm 2 B 12 cm 2 C 4 2 cm 2 D 8cm 2

Câu 3: Cho hình thoi ABCD, biết AC = 4 cm, BD = 16 cm Diện tích hình thoi ABCD là

A S ABCD 24 cm 2 B S ABCD 32 cm 2 C S ABCD 20 cm 2 D S ABCD 40 cm 2

Câu 4: Một hình thoi có độ dài cạnh là 12 cm và có một trong các góc là 120 Diện tích hình thoi đó là

A 24 3 cm 2 B 144 3 cm 2 C 12 3 cm 2 D 72 3 cm 2

Câu 5: Cho hình chữ nhật ABCD có độ dài cạnh AB = 20 cm và BC = 12 cm Gọi I là trung điểm của AB

và Q đối xứng với I qua DC, IQ cắt DC tại M

a) Chứng minh tứ giác ICQD là hình thoi

b) Tính diện tích tứ giác ICQD

Câu 6: Cho hình thoi ABCD có độ dài cạnh AB = 12 cm Hai đường chéo cắt nhau tại O Góc

120

ABC 

a) Chứng minh ABD đều

b) Tính độ dài đường chéo AC

c) Tính diện tích hình thoi ABCD

Câu 7: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 18 cm, AD = 10 cm Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của

AB, BC, CD, AD

a) Chứng minh: MPNQ

b) Chứng minh: Tứ giác NMPQ là hình thoi

c) Tính diện tích hình thoi NMPQ

Câu 8: Cho hình thoi ABCD có AC = 20 cm, AD = 8 cm và H, K, I, E lần lượt là trung điểm của AB, BC,

CD, AD

Câu 5:



a Ta có: Q đối xứng với I qua DC (giả thiết)

 DC là đường trung trực của IQ

 DCIQ

  (AB // DC)

Mà I là trung điểm của AB (giả thiết) nên IQ là trung trực

của AB

Hay IQ là trung trực của DC

Suy ra ID IC

QD QC





 



Lại có DI = DQ (DC là đường trung trực của IQ)

Suy ra IDDQQCIC

Vậy tứ giác ICQD là hình thoi vì có bốn cạnh bằng nhau



b Xét tứ giác AIMD, ta có

AI // DM (ABCD là hình chữ nhật)

AD // IM DC

Suy ra tứ giác AIMD là hình bình hành vì có hai cặp cạnh

đối song song

 

12 cm

IM AD

 

2 2.12 24 cm

IQ IM

Diện tích hình thoi ICQD là

ICQD

S  IQ DC IQ AB 

Câu 6:



a Ta có: BD là phân giác của ABC (ABCD là hình thoi)

.120 60

ABD ABC

Ta có AB = AD (ABCD là hình thoi)  ABD cân tại A

Mà ABD 60 (chứng minh trên) nên ABD đều



b Xét ABO vuông tại O, ta có

AO BO AB (định lí Py-ta-go)

2

BD

 

108 6 3 cm

AO

 

2 2.6 3 12 3 cm



c Diện tích hình thoi ABCD là:

12 3.6 36 3 cm

ABCD

Câu 7:



a Ta có: M là trung điểm của AB (giả thiết);

P là trung điểm của DC (giả thiết)

Mà ABCD là hình chữ nhật (giả thiết) nên MP là trục

đối xứng của hình chữ nhật ABCD

Tương tự ta cũng có QN là trục đối xứng của hình

chữ nhật ABCD

Do vậy MPQN



b Ta có MQMN PQ, PN (MP là trục đối xứng

của QN)

Mà NM NP (NQ là trục đối xứng của MP) nên

MNNPPQQM

Vậy tứ giác MNPQ là hình thoi vì có bốn cạnh bằng

nhau



c Diện tích hình thoi MNPQ là:

MNPQ

S  MP QN  AD QN  

Câu 8:

Chứng minh tương tự:

//

1 2

EI AC

EI AC





 

 và

//

1 2

KI BD

KI BD





 



Khi đó, HK KI (vì ACBD)

Xét tứ giác HKIE, ta có

2

HK EI AC HK EI AC

Do đó, tứ giác HKIE là hình bình hành vì có hai cạnh đối

song song và bằng nhau

Mà HKI  90 HK KI nên hình bình hành HKIE là

hình chữ nhật vì có một góc vuông



b Ta có HE // BDAC nên tứ giác BHED là hình

thang vì có hai cạnh đối song song

Mà HBDEDB (ABCD là hình thoi) nên hình thang

BHED là hình thang cân vì có hai góc ở đáy bằng nhau



.20 10 cm

HK  AC 

.8 4 cm

KI  BD 

Diện tích hình chữ nhật HKIE là

10.4 40 cm

HKIE

S HK IK  

Diện tích hình thoi ABCD là

.20.8 80 cm

ABCD

S  AC BD 