Bài 3 DIỆN TÍCH TAM GIÁC

DIỆN TÍCH TAM GIÁC Mục tiêu  Kiến thức + Nắm vững công thức tính diện tích tam giác + Chứng minh định lí về diện tích tam giác  Kĩ năng + Tính được diện tích tam giác + Tính được

BÀI 3 DIỆN TÍCH TAM GIÁC Mục tiêu

 Kiến thức

+ Nắm vững công thức tính diện tích tam giác

+ Chứng minh định lí về diện tích tam giác

 Kĩ năng

+ Tính được diện tích tam giác

+ Tính được độ dài các cạnh trong tam giác

+ Sử dụng công thức tính diện tích tam giác, chứng minh các đẳng thức

I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Định lí

Diện tích tam giác bằng nửa diện tích của một cạnh với

chiều cao tương ứng với cạnh đó

1 2

S  a h

(S là diện tích, a là cạnh tam giác, h là chiều cao tương ứng

với cạnh a)

Hệ quả

Diện tích tam giác vuông bằng nửa tích hai cạnh góc vuông

1 2

S  b c

(S là diện tích; b, c là hai cạnh của tam giác vuông)

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Tính toán, chứng minh về diện tích tam giác

Phương pháp giải

Sử dụng công thức tính diện tích tam giác 1

2

S  a h

Trong đó h là độ dài đường cao ứng với cạnh a

Ví dụ: Cho ABCcó đường cao AH5cm; 6

BC cm Tính diện tích tam giác ABC

Hướng dẫn giải

ABC

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Cho hình thang ABCDAB/ /CD,

hai đường chéo cắt nhau tại O

Chứng minh rằng S AOD S BOC

Hướng dẫn giải

Do AB/ /CD nên hai tam giác ADC BDC có cạnh ,

CD chung, các đường cao kẻ từ A và B đến CD bằng

nhau, suy ra S ADC S BDC Cùng trừ đi S ODCta được

AOD BOC

S S

Ví dụ 2 Cho tam giác nhọn ABC, đường cao AH Biết AB26cm AC, 25cm HB, 10cm Tính diện tích tam giác ABC

Hướng dẫn giải

Ta có AHBC nên AHB900

Suy ra HABlà tam giác vuông tại H

Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác

HAB ta có

26 10

AH BH AB AH  

24

Tương tự, trong tam giác HAC, ta có:

AH HC AC HC   HC cm

Ta lại có BCBH HCBC10 7 17 cm

 2

Bài tập tự luyện dạng 1

Câu 1: Diện tích tam giác ABC có độ dài đường cao AH h, độ dài cạnh đáy tương ứng BCalà

A SABC ah

2

ABC

S  ah

C SABC 2ah

D SABC ah2

Câu 2: Diện tích của ABC cân tại A, có độ dài cạnh đáy bằng a, độ dài cạnh bên bằng b là

A 1 4 2 2

2

S  a b a

B S 2 4a b2a2

C 1 4 2 2

4

D S 4 4a b2a2

Câu 3: Diện tích tam giác đều có cạnh bằng a là

A

2

3 2

a

2

3 4

a

S 

Câu 4: Cho ABC cân tại A, đường cao AH 4cm, cạnh bên AB5cm Diện tích ABC là

Câu 5: Cho tam giác ABC, có BC10cm, các đường trung tuyến

BD và CE cắt nhau tại G và có độ dài theo thứ tự bằng 9cm và 12cm

Diện tích tam giác ABC là

A 16cm 2

B 2

32cm

C 72cm 2

D 64cm 2

Câu 6: Cho tam giác ABC, đường cao AH (H thuộc cạnh BC) Biết AB15cm AC; 41cm HB; 12cm

Tính diện tích tam giác ABC

Câu 7: Cho tam giác ABC, biết AB5cm AC; 6cm S; ABC 10cm2 Trên hai cạnh AB và AC sao cho

AD cm AE cm Tính diện tích tam giác ABC

HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN

1 – B 2 – C 3 – D 4 – A 5 – C

Câu 6

Ta có AHB là tam giác vuông tại H nên

2 2 2

AH HB AB (theo định lý Py-ta-go)

 

2 2 2

Ta lại có AHC là tam giác vuông tại H nên

 

2 2 2 2 2 2

Suy ra BC124052 cm

ABC

Câu 7

Ta có ADE và ADC có cùng đường cao kẻ từ D,

nên suy ra 1 (1)

3

Ta lại có ADC và ABC có cùng chiều cao kẻ từ C,

nên suy ra 3 (2)

5

.10 2

Dạng 2: Tính độ dài đoạn thẳng bằng cách sử dụng công thức tính diện tích tam giác

Phương pháp giải

Từ công thức 1

2

S a h suy ra a 2S;h 2S

Ví dụ: Cho ABC, có S ABC 30cm2, đường cao 6

AH cm Tính độ dài BC

Hướng dẫn giải

2

ABC

 

10 6

ABC S

AH

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Cho tam giác ABC cân tại A, BC30cm, đường cao AH20cm Tính đường cao tương ứng với cạnh bên

Hướng dẫn giải

Tam giác ABC cân tại A, đường cao

20

AH cm Suy ra H là trung điểm

của BCBHHC15cm

Kẻ BKAC

Ta có: AC2 AH2HC2 (Py-ta-go)

 

2 2 2

20 15 625

25

AC cm

Lại có 1 1.30.20 300 2

ABC

24 25

ABC

S

AC

Vậy đường cao tương ứng với cạnh bên dài 24cm

Ví dụ 2 Cho tam giác ABC, D và E là hai điểm nằm trên hai cạnh AB và AC sao cho

AE cm S  cm AB cm EC cm S  cm Tính độ dài đoạn thẳng AD

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ADE và ADC, ta có

 2

ADE

ADC

Xét tam giác ADC và ABC , ta có

 

2, 4

ADC

ABC

Bài tập tự luyện dạng 2

Câu 1: Cho tam giác ABC trung tuyến AM Qua B kẻ

đường thẳng song song với AM cắt CA tại E Gọi I là giao

điểm của EM với AB Trong các khẳng định sau, khẳng định

sai là

A SIEA SBIM

B SEAM SBAM

C SAEB SMEB

D SEMC 2.SABC

Câu 2: Cho ABC, M là trung điểm của BC Trong các

khẳng định sau, khẳng định đúng là

A S ABC 3S AMB

B S AMB S AMC

C S AMB S AMC

D S AMB S AMC

Câu 3:Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BD và CE Cho biết BC10cm BD, 9cm CE, 12cm

a) Chứng minh BDCE

b) Tính diện tích tam giác ABC

Câu 4: Cho tam giác ABC, biết BC7,5cm AB; 3, 2cm, đường cao AH2, 4cm Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh C

Câu 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB15cm AC, 20cm Điểm M di chuyển trên cạnh BC Gọi

D, E theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB, AC Tính độ dài nhỏ nhất của đoạn thẳng DE

HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN

1 – D 2 – D Câu 3

a) Gọi G là giao điểm của BD và CE Khi đó G là

trọng tâm của tam giác ABC

.9 6

 

.12 8

Xét GBC , ta có: GB2GC262 82 100BC2

Suy ra GBC vuông tại G hay BDCE

b) Gọi H là giao điểm của AG và BC HBC

Ta có 1 1  2

Ta có ABC và GBC có chung cạnh nên ABC 3

GBC

Câu 4

Gọi CD là chân đường cao kẻ từ đỉnh C của tam giác ABC

Xét ABC, ta có:

 2

.2, 4.7,5 9

ABC

Ta lại có

  2

ABC ABC

S

AB

Câu 5

Gọi AH là đường cao của ABC

Áp dụng định lý Py-ta-go trong tam giác ABC ta có

2 2 2

BC AB AC

 

2 2 2

Ta lại có AH BC AB AC S ABC

 

12 25

AB AC

BC

Xét tứ giác ADME, ta có

0

90

Do đó DE nhỏ nhất khi AM nhỏ nhất, mà AM nhỏ nhất khi AM  AH

Vậy giá trị nhỏ nhất của DE là 12(cm)

Dạng 3 Sử dụng công thức tính diện tích để chứng minh các hệ thức

Phương pháp giải

Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao

AH HBC Chứng minh rằng: AH BC  AB AC

Bước 1 Phát hiện quan hệ về diện tích trong hình

Bước 2 Sử dụng công thức tính diện tích Hướng dẫn giải

- Tam giác ABC vuông tại A nên ta có

1 2

S  AB AC (1)

- Tam giác ABC có đường cao AH nên ta có:

1 2

S  AH BC (2)

Từ (1) và (2), suy ra: AB AC AH BC

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ một điểm bất kì trong tam giác đều đến ba cạnh của

tam giác không phụ thuộc vào vị trí của điểm đó trong tam giác

Hướng dẫn giải

Gọi M là điểm bất kì trong tam giác đều ABC

Kẻ MH BC MI, AC MK, AB

HBC I, AC K, AB

Gọi AN là chiều cao của tam giác ABC

Đặt ABACBCa AN, h

Ta có: S AMBS AMC S BMC S ABC

2a MK2a MI2a MH  2a h

Vậy khoảng cách từ một điểm bất kì trong tam giác đều đến ba cạnh không phụ thuộc vào vị trí của điểm

đó trong tam giác

Bài tập tự luyện dạng 3

Câu 1 Chứng minh rằng trung tuyến của tam giác chia tam giác thành hai phần có diện tích bằng nhau Câu 2 Cho hình chữ nhật ABCD M là điểm đối xứng với D qua C Chứng minh rằng S ABCDS AMD

Câu 3 Cho tam giác ABC có M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC Chứng minh rằng: S ABC 4S AMN

a) Cho tam giác ABC và DBC Kẻ đường cao AH của tam giác ABC Kẻ đường cao DK của tam giác DBC Gọi S là diện tích của tam giác ABC Gọi Slà diện tích của tam giác DBC Chứng minh rằng:





b) Cho tam giác ABC và điểm M bất kì nằm trong tam giác đó Kẻ các đường cao của tam giác đó là AD,

BE và CF Đường thẳng đi qua điểm M và song song với AD cắt cạnh BC tại H Đường thẳng đi qua điểm M và song song với BE cắt cạnh AC tại K Đường thẳng đi qua điểm M và song song với CF cắt

cạnh BA tại T Chứng minh rằng: MH MK MT 1

AD  BE  CF 

HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1

Ta xét tam giác ABC, M là trung điểm của BC, AH là đường cao

+) Ta lại có BM MC (giả thuyết) S AMB S AMC

Vậy trung tuyến của tam giác chia tam giác thành hai phần có diện

tích bằng nhau

Câu 2

Xét hình chữ nhật ABCD, ta có:

ABCD

S AD DC

Xét AMD, ta có

AMD

Vậy S ABCDS ADM

Câu 3

+) Ta có BN là đường trung tuyến của ABC nên

1 2

(chung đường cao, đáy tương ứng bằng nhau)

+) Tương tự NM là trung tuyến của ANBnên

1 2

4

S  S hay S ABC 4S AMN

(điều phải chứng minh)

Câu 4

a) +) Xét tam giác ABC, ta có 1

2

+) Xét tam giác DBC, ta có 1

2

S  DK BC

Do đó S DK





b) Gọi S S S S lần lượt là diện tích của tam , 1, 2, 3

giác ABC MBC MCA MAB ta có , , , S S1 S2S3

Theo câu a ta có S1 MH;S2 MK;S3 MT

S  AD S  BE S  CF

3

1 2 S 1