NW359 360 DẠNG 48 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG tỉ số DIỆN TÍCH GV

DẠNG TOÁN 48: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG, TỈ SỐ DIỆN TÍCH... DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong... Lời giải Chọn B Phương tr

I KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Tính diện tích hình phẳng

 Dạng 1 : Biết cận tích phân

Cho miền D giới hạn bởi đồ thị hai hàm y f (x), y g(x)  và hai đường thẳng

x a, x b,(a b)    Khi đó diện tích miền D là:

 Dạng 2: Chưa biết cận tích phân

Cho miền D giới hạn bởi đồ thị hai hàm y f (x), y g(x)   .

+ Giải phương trình f (x) g(x) 0   tìm nghiệm x1x2   xn.

DẠNG TOÁN 48: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ( TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG, TỈ SỐ DIỆN TÍCH )

Chú ý: Nếu biết một cận thì ta tìm cận còn lại.

 Dạng 3: Miền cần tính giới hạn bởi 3 đồ thị

Diện tích parabol có chiều cao h và bán kính đáy r là:

4

S r.h3



II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

 Câu hỏi lý thuyết về ứng dụng hình học của tích phân

 Xây dựng công thức tính diện tích theo hình vẽ

Cho hàm số bậc ba y f x  có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên dưới Biết hàm số f x  đạt cực

trị tại hai điểm x x1, 2 thỏa mãn x2  x1 2 và f x 1  f x 2 0 Gọi S1 và S2 là diện tích của hai hìnhphẳng được gạch trong hình bên Tỉ số

1 2

S

S bằng

Phân tích hướng dẫn giải

1 DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong

      1

1

1 4

3 1

52

1 2

35

Ngoài ra,0

3 2

35

y x , đường cong y x và trục hoành (phần3

tô đậm trong hình vẽ bên dưới) bằng

A

112

S 

7312

S 

712

S 

52

I  

4 5

I 

D I   2.

Lời giải Chọn A

k

B kln 2. C

8ln3

k

D kln 3.

Lời giải Chọn D

Cách 1:

Ta có

0 1

Bước 2 : Dùng chức năng CALC, gán X giá trị bất kỳ, Y là các giá trị trong 3 đáp án A, B, C,

kết quả bằng 0 hoặc vô cùng nhỏ ở đáp nào thì chọn đáp án đó, nếu không thỏa mãn thì chọn

A

4 312



4 36

 

4 2 3 36

  

D

5 3 23





Lời giải Chọn B

Phương trình hoành độ giao điểm của parabol y 3x2 và cung tròn y 4x2 (với

bằng diện tích một phần tư hình tròn bán kính 2 trừ diện tích hình

phẳng giới hạn bởi cung tròn, parabol và trục Oy

Tức là 1 2 2

Câu 5. Cho hai hàm số f x  ax3bx2 cx 2 và g x  dx2 ex 2 với , , , ,a b c d e�R Biết rằng

đồ thị của hàm số y f x  và y g x   cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là 2; 1;1 (tham khảo hình vẽ) Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị có diện tích bằng?

Áp dụng định lý Vi et cho phương trình bậc 3 ta được:

1 2 2 3 1 3

1 2 3

214

ax  b d x  c e x 

ta có:

3

12

Câu 7. Cho đường thẳng y x va parabol y12x2a

( a là tham số thực dương) Gọi S S lần1, 2lượt là diện tích hai hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên Khi S1 S2 thì a thuộckhoảng nào dưới đây?

a

 

.Gọi x x1, 20 x1 x2 là hai hoành độ giao điểm: x1  1 1 2 ,a x2  1 1 2 1 a .

y x

và parbol

2

12

Khi đó (*) có hai nghiệm dương phân biệt 1

3 9 324

a

, 2

3 9 324

064

128

9 9 32 64 9 4096 864 0

27128

a

a a

Câu 9. Ông An có một mảnh vườn hình Elip có độ dài trục lớn bằng 16m và độ dài trục bé bằng10m.

Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng 8m và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng (như

hình vẽ) Biết kinh phí để trồng hoa là 100.000 đồng/ 2

1m Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để

trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn.)

Giả sử elip có phương trình

5648

5

64 25

648

Câu 10. Gọi ( )H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x2 4x và trục hoành Hai đường

thẳng ym và yn chia ( )H thành 3 phần có diện tích bằng nhau( tham khảo hình vẽ) Giátrị của biểu thức T  (4 m)3 (4 n)3 bằng

A

3209

T 

51215

T 

C T 405. D

752

T 

Lời giải

*) Chứng minh công thức tính nhanh diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm

số y ax 2 bx c a ( �0)cắt trục hoành tại 2 điểm x x1, 2 và trục hoành (x1 x2 )

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y ax 2 bx c a ( �0)và trục hoành là

2

1

2

x x

S �ax  bx c dx

Không mất tính tổng quát, sử a<0 Vì đồ thị hàm số đã cắt trục hoành tại hai điểm

phân biệt x x1, 2 nên 2  

*) Vận dụng công thức tính nhanh vào giải bài tập:

Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x2 4x và trục hoành

Ta có 2

16 16 32

S a

 

+) Gọi S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x2 4 (P)x và ym

Tịnh tiến (P) xuống dưới m đơn vị ta được đồ thị hàm số y  x2 4x m

Khi đó S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x2 4x m và trục Ox

(4 ) (1)

S m

a

+) Gọi S2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x2 4 (P)x và y n

Tịnh tiến (P) xuông n đơn vị ta được đồ thị hàm số y  x2 4x n

Khi đó S2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x2 4x n và trục Ox

(4 ) (2)

S n

Câu 1. Biết rằng parabol  P :y2 2x chia đường tròn  C x: 2y2 8 thành hai phần lần lượt có

diện tích là S1, S2 (như hình vẽ) Khi đó 2 1

với a b c, , nguyên dương và b c là

phân số tối giản Tính S a b c   .

A S 13. B S 16. C S 15. D S 14.

Lời giải Chọn C

Xét hệ

2

82

2 8 02

x y

2 2 d 2 8 d

2 2

3 1

4

S  S 

�

Vậy a4, 8, c3 �S    a b c 15.

Câu 2. Một khuôn viên dạng nửa hình tròn, trên đó người ta thiết kế phần để trồng hoa có dạng của

một cánh hoa hình parabol có đỉnh trùng với tâm và có trục đối xứng vuông góc với đườngkính của nửa hình tròn, hai đầu mút của cánh hoa nằm trên nửa đường tròn (phần tô màu) vàcách nhau một khoảng bằng 4 (m) Phần còn lại của khuôn viên (phần không tô màu) dành đểtrồng cỏ Nhật Bản Biết các kích thước cho như hình vẽ, chi phí để trồng hoa và cỏ Nhật Bảntương ứng là 150.000 đồng/m2 và 100.000 đồng/m2 Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng hoa vàtrồng cỏ Nhật Bản trong khuôn viên đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng đơn vị)

A 3.738.574 (đồng). B 1.948.000 (đồng). C 3.926.990 (đồng). D 4.115.408 (đồng).

Lời giải Chọn A

Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ

Tính được bán kính của nửa hình tròn là R 2242 2 5.

Khi đó phương trình nửa đường tròn là  2

.Phương trình parabol  P

Phần diện tích của hình phẳng giới hạn bởi  P

và nửa đường tròn.( phần tô màu)

S   S S R  �S m

Vậy số tiền cần có là 150.000.S1100.000.S2 �3.738.574 đồng.

Câu 3. Trong đợt hội trại “ Khi tôi 18” được tổ chức tại trường THPT X, Đoàn trường có thực hiện

một dự án ảnh trưng bầy trên một pano có dạng Parabol như hình vẽ Biết rằng Đoàn trường sẽyêu cầu các lớp gửi hình dự thi và dán lên khu vực hình chữ nhật ABCD Phần còn lại sẽ trang

trí hoa văn cho phù hợp Chi phí dán hoa văn là 200.000 đồng cho một 2

m bảng Hỏi chi phí

thấp nhất cho việc hoàn tất hoa văn trên pano sẽ là bao nhiêu ( làm tròn đến hàng phần nghìn)?

A 900.000đồng. B 1.232.000đồng. C 902.000đồng. D 1.230.000đồng.

Lời giải Chọn C

Xét hệ trục tọa độ như hình vẽ Parabol của pano có dạng y=ax2+c a( <0)

Vì ( )P

cắt Oytại điểm có tung độ 4 nên c=4 Mà ( )P

đi qua điểm (2;0)

nên a=- 1 Như vậy Parabol

của pano có phương trình y= -4 x2 trên đoạn [- 2;2]

.Giả sử CD=2x với 0� � Khi đó diện tích của hình chữ nhật là x 2 S ABCD=2 4x( - x2)

.Diện tích phần trang trí của hoa văn là

A k 34 1 . B

12

k  C k3 4. D k 32 1 .

Lời giải Chọn A

Gọi S là diện tích hình phẳng  H

Lúc dó S 2S12S , trong đó 2 S1 là diện tích phần gạch sọc ở bên phải Oy và S2 là diện tích phần gạch ca rô trong hình vẽ bên.

GọiA, B là các giao diếm có hoành độ dương của đường thẳng y k và đồ thị hàm số

Xét phương trình hoành độ giao điểm x44x2 m 0 có biệt thức   16 4m0

Câu 6. Cho hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ nhất, giới hạn bởi các đường thẳng y8 ,x y x và

Đồ thị của ba hàm số đã cho được minh họa như hình vẽ bên.

Trong góc phần tư thứ nhất, xét các phương trình hoành độ giao điểm:

Câu 7. Cho các số ,p q thỏa mãn điều kiện

, khẳng định nào sau đây đúng?

A T �3. B 3 T 16. C 16�T 1980. D T 1980.

Lời giải Chọn A

11

b b

� Diện tích của elip là: S ab4 .

+ Phương trình hoành độ giao điểm của  P

và  E

là

2 2 2

1

16 1

x x

x x

x Cho điểm M thuộc đồ thị  C và điểm A 9;0 Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo1

thành khi hình phẳng  H quay quanh trục Ox, V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi tam2giác OMA quay quanh trục Ox Biết V12V2.

Tính diện tích S phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị  C và đường thẳng OM.

A S 3. B

27 316

S 

3 32

S 

43

S 

Lời giải Chọn B

Theo bài ra ta có 9 2

1 0

81d2

Phương trình đường thẳng OM là

2 39

.Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị  C

và đường thẳng OM là

27 27

4 4

� �

� �

� �. D

51;

Phương trình hoành độ giao điểm của parabol và đường thẳng là:

có 2 nghiệm phân biệt là x1  1 1 2 ,m x2   1 1 2m.

Vì

1 0

x x

 

2 4 1 2 1 21

Dùng CASIO dò nghiệm m0 ta được m� 0, 41.

Câu 11. Trên bức tường cần trang trí một hình phẳng dạng paranol đỉnh S như hình vẽ, biết

4 m

OS AB  , O là trung điểm của AB Parabol trên được chia thành ba phần để sơn ba

màu khác nhau với mức chi phí: phần trên là phần kẻ sọc 140000 đồng/m , phần giữa là hình2quạt tâm O, bán kính 2 mđược tô đậm 150000 đồng/m2, phần còn lại 160000 đồng/m2.Tổng chi phí để sơn cả 3 phần gần nhất với số nào sau đây?

A 1.597.000 đồng B 1.625.000 đồng C 1.575.000 đồng D 1.600.000 đồng.

Lời giải Chọn C

1

2 d 2 4 d 1600003