2.1.Định nghĩa 1: Hai biến cố A và B gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm thay đổi xác suất của biến cố kia và ngược lại. còn nếu không như thế tức là việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này làm thay đổi xác suất của biến cố kia thì hai biến cố đó gọi là phụ thuộc nhau.
Thí dụ 1: Trong bình có 2 quả cầu trắng và 3 quả cầu đen. Lấy ngẫu nhiên một quả cầu. Gọi A là biến cố “ lấy được cầu đen. Khi đó P(A) = 3/5. Quả cầu được
bỏ lại bình và tiếp tục lấy ngẫu nhiên 1 quả. Gọi B là biến cố lấy được cầu đen lần thứ hai, khi đó P(B) = 3/5. Vậy A và B là độc lập nhau.
Nếu sau khi lấy ra 1 quả cầu lần thứ nhất ta lại hoàn quả cầu lại và lấy ngấu nhiên 1 quả lần thứ hai, thì:
Lần thứ nhất P(A) = 3/5, và nếu biến cố A xảy ra thì P(B) = 1/2 òn nếu biến cố A không xảy ra thì P(B) = 3/4 Vậy A và B là phụ thuộc nhau.
*Chú ý: Nếu A và B độc lâp thì A và ; và B ; và cũng độc lập với nhau 2.2.Định nghĩa 2: Các biến cố A1, A2, …, An gọi là độc lập từng đôi với nhau nếu mỗi cặp hai trong n biến cố đó độc lập với nhau
2.3.Định nghĩa 3: Các biến cố A1, A2, …, An gọi là độc lập toàn phần với nhau nếu mỗi biến cố độc lập với một tổ hợp tùy ý của các biến cố còn lại.
Nhiều bài toán khi biểu diễn các biến cố phức hợp dưới dạng các biến cố đơn giản hơn bằng việc sử dụng phép nhân các biến cố
Thí dụ 2: Một máy sản xuất ra ba sản phẩm.
Ta xét các biến cố sơ cấp sau:
Ai Sản phẩm thứ i là chính phẩm
Sản phẩm thứ i là phế phẩm i:= 1;2;3
Gọi B là biến cố trong ba sản phẩm sản xuất ra có đúng một chính phẩm thì:
B =
Gọi C là biến cố “ Trong ba sản phẩm có ít nhất hai sản phẩm là chính phẩm C =
2.4. Định lý 1: Xác suất của tích hai biến cố độc lập bằng tích các xác suất thành phần.
P(A.B) = P(A).P(B)
và khi P(B) > 0 và P(A) >
0
Hệ quả 2: Xác suất của tích n biến cố độc lập toàn phần bằng tích các xác suất thành phần.
Thí dụ 3: Có hai cái hộp đựng chi tiết. hộp thứ nhất đựng 10 cái ốc, trong đó có 6 cái tốt. hộp thứ hai đựng 15 cái vít, trong đó có 9 cái tốt. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp một chi tiết. Tìm xác suất để lấy được bộ ốc vít tốt.
Giải: gọi A1 là biến cố lấy được ốc tốt ở hộp thứ nhất. A2 là biến cố lấy được vít tố ở hộp thứ hai.Goi A là biến cố “ lấy được bộ ốc vít tốt”
Vậy: A = A1.A2 vì các biến cố này độc lập với nhau nên;
P(A) = P(A1).P(A2) =
2.5.Đinh nghĩa 4: Xác suất của biến cố A được tính với điều kiện biến cố B đã xảy ra gọi là xác suất có điều kiện của A và ký hiệu là P(A/B).
Thí dụ 4: Trong bình có 5 quả cầu trắng và 3 quả cầu đen. Lấy ngẫu nhiên lần lượt hai quả cầu. Tìm xác suất để lần thứ hai lấy được quả cầu trắng ( biến cố B) nếu biết rằng lần thứ nhất đã lấy được cầu trắng ( biến cố A).
Giải
Do A đã xẩy ra nên khi lấy cầu lần thứ hai trong bình chỉ còn 4 cầu trắng và 3 cầu đen . P(B/A) = 4/7
2.6.Định lý 2: Xác suất của tích hai biến cố phụ thuộc A và B bằng tích xác suất của một trong hai biến cố với xác suất có điều kiện của biến cố còn lại.
P(A.B) = P(A).P(B/A) = P(B).P(A/B)
Hệ quả 1: Nếu P(B) > 0 thì xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy
ra được tính bằng: ,
còn nếu P(B) = 0 thì xác suất trên không xác định.
Tương tự với P(A) > 0
Hệ quả 2: Xác suất của tích n biến cố phụ thuộc bằng tích xác suất của n biến cố đó, trong đó xác suất của mỗi biến cố tiếp theo sau đều được tính với điều kiện tất cả các biến cố xét trước đó đã xảy ra.
P( A1A2….An) = P(A1).P(A2/A1).p(A3/A1A2)..….P(An/A1A2…..An-1) Hệ quả 3: Nếu A và B là các biến cố độc lập thì
P(A/B) = P(A) và P(B/A) = P(B)
Thí dụ 5: Một xí nghiệp có 3 ô tô hoạt động độc lập. Xác suất để trong một ngày các ô tô bị hỏng tương ứng là: 0,1; 0,2; 0,15. Tìm xác suất để:
a) Một ngày có đúng 1 ô tô bị hỏng.
b) Một ngày có ít nhất 1 ô tô bị hỏng.
Giải Gọi Ai là biến cố ô tô thứ i bị hỏng trong ngày i = 1;2;3
Gọi A là biến cố “ một ngày có đúng 1 ô tô bị hỏng”.
Gọi B là biến cố “một ngày có ít nhất 1 ô tô bị hỏng.”
Do nhóm các biến cố này là xung khắc từng đôi và trong mỗi nhóm các biến cố lại độc lập toàn phần với nhau nên:
P(A) = B =
Và áp dụng cách tính tương tự như trên
Vậy: P(B) = 1- P( ) = 0,388
2.7. Định lý 3: Xác suất của tổng hai biến cố không xung khắc bằng tổng xác suất các biến cố đó trừ đi xác suất của tích các biến cố đó
P( A + B)= P(A) + P(B) – P(A.B)