Giả sử biến cố A xảy ra đồng thời với một trong các biến cố H1,H2,…,Hn. Nhóm H1,H2,…,Hn là nhóm đầy đủ các biến cố. khi đó xác suất của biến cố A được tính bằng công thức:
P(A) = các biến cố H1,H2,…,Hn gọi là các giả thuyết.
Chứng minh: vì các biến cố H1,H2,…,Hn là nhóm đầy đủ nên biến cố A chỉ có thể xảy ra đồng thời với một trong các biến cố H nên A = H A + H A + …+H A vì
từng đôi với mọi i; j
Do đó: P(A) = P(H1A) + P(H2A) + … +P(HnA).
Theo công thức nhân xác suất có: P(A) =
Thí dụ 1: Có 3 hộp giống nhau. Hộp thứ nhất đựng 10 sản phẩm trong đó có 6 chính phẩm, hộp thứ hai đựng 15 xản phẩm trong đó có 10 chính phẩm, hôp thứ ba đựng 20 sản phẩm trong đó có 15 chính phẩm. lấy ngẫu nhiên một hộp và từ đó lẫy ngẫu nhiên một sản phẩm. Tìm xác suất để lấy được chính phẩm.
Giải: Gọi A là biến cố “ lấy được chính phẩm” . Biến cố A có thể xảy ra đồng thời với một trong các biến cố của nhóm đầy đủ các biến cố sau:
Hi – sản phẩm lấy ra từ hộp thứ i ( i = 1,2,3) theo giải thuyết suy ra P(Hi) = 1/3.
Xác suất có điều kiện của biến cố A khi các biến cố H1, H2, H3 xảy ra bằng:
P(A/H1) = 6/10; P(A/H2) =10/15; P(A/H3) = 15/20) Vậy: P(A) =
3.Công thức Bayes
Giả sử biến cố A có thể xảy ra đồng thời với một trong n biến cố H1,H2,…,Hn tạo nên một nhóm đầy đủ các biến cố .
Ta có: P(AHi) = P(A).P(Hi/A) = P(Hi)P(A/Hi) i = 1,2,…,n ( công thức nhân ) Suy ra: P(Hi/A) =
Công thức này gọi là công thức Bayes (công thức này cho phép đánh giá lại xác suất xảy ra các giải thuyết sau khi đã biết kết quả của phép thử là biến cố A đã xảy ra).
Thí dụ: Trước khi đưa sản phẩm ra thị trường, người ta đã phỏng vấn ngẫu nhiên 200 khách hàng về sản phẩm đó và thấy có 34 người trả lời “ sẽ mua”, 96 người trả lời “có thể sẽ mua” và 70 người trả lời “ không mua”. Kinh nghiệm cho thấy tỷ lệ khách hàng thực sự sẽ mua sản phẩm tương ứng với các câu trả lời trên là 40%, 20%; 1%
a. Hãy đánh giá thị trường tiềm năng của sản phẩm đó.
b. Trong số khách hàng thực sự mua sản phẩm thì có bao nhiêu phần trăm trả lời sẽ mua?
Giải
a. Thị trường tiềm năng của sản phẩm chính là tỷ lệ khách hàng thực sự sẽ mua sản phẩm đó. Goi A là biến cố “lấy ngẫu nhiên một khách hàng thì người đó thực sự sẽ mua sản phẩm” Có 3 giả thuyết đối với khách hàng đó:
H1- người đó trả lời “Sẽ mua”
H2- người đó trả lời “Có thể mua”
H3-người đó trả lời “ không mua”
Theo công thức xác suất đầy đủ thì
P(A) = P(H1)P(A/H1) + P(H2)P(A/H2) + P(H3)P(A/H3) =
Vậy tiềm năng của sản phẩm này là 16,75 % b.Theo công thức Bayes :
P(H1/A) =
BÀI TẬP CHƯƠNG I ( PHẦN B)
Bài 1.Lấy ngẫu nhiên ba quân bài từ một cỗ bài có 52 quân. Tìm xác suất để : a. Được 3 quân át
b. Được 1 quân át
Bài 2.Thang máy của một tòa nhà 7 tầng xuất phát từ tầng một với 3 khách.
Tìm xác suất để:
a. Tất cả cùng ra ở tầng 4
b. Tất cả cùng ra ở một tầng
c. Mỗi người ra ở một tầng khác nhau.
Bài 3. Tại một thành phố có 7 siêu thị khác nhau. Có 3 khách du lịch, mỗi người ngẫu nhiên đi đến một siêu thị để mua sắm. Tính xác suất để
a- ba người đến 3 siêu thị khác nhau.
b- ba người không cùng đến một siêu thị.
Bài 4. Tìm xác suất để 3 người gặp nhau ngẫu nhiên ngoài đường thì họ:
a. Có ngày sinh nhật khác nhau.
b. Có ngày sinh nhật trùng nhau . ( Một năm có 360 ngày )
Bài 5. Có thể xem xác suất sinh con trai là bao nhiêu nếu theo dõi 88200 trẻ sơ sinh ở một vùng thấy có 45.600 con trai.
Bài 6. Số lượng nhận viên của công ty A được phân loại theo lứa tuổi và giới tính như sau:
Giới tính Tuổi
Nam nữ Tổng
Dưới 30 120 170 290
Từ 30 đến 40 260 420 680
Trên 40 400 230 630
Tổng 780 820 1600
Tìm xác suất để lấy ngẫu nhiên một người của công ty thì được:
a.Một nhân viên từ 40 tuổi trở lên
c. một nữ nhân viên từ 40 tuổi trở xuống
Bài 7. Ba nữ nhân viên phục vụ A, B, C, thay nhau rửa chén trong một tháng (30 ngày) và giải thiết ba người này đều “khéo léo” như nhau. Trong một tháng có 4 chén bị vỡ. Tìm xác suất để:
a. Chị A đánh vỡ 3 chén và chị B đánh vỡ 1 chén b. Một trong 3 người đánh vỡ 3 chén.