HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ

CHỦ ĐỀ 4: HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ

4.1. HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ

Bài toán 4.1.1. Tại bề mặt đại dương, áp suất nước bằng áp suất khí quyển và là

( )

1atm atmosphere . Bên dưới mặt nước, áp suất tăng thêm 1atm cho mỗi 10 mét sâu xuống. Biết rằng mối liên hệ giữa áp suất

( )

y atm và độ sâu x m( ) dưới mặt nước là một hàm số bậc nhất có dạng y=ax+b.

a. Hãy xác định các hệ số a và b. ĐS: Hàm số 1 10 1,

y= x+ độ sâu x=18,5( )m .

b. Một người thợ lặn đang ở độ sâu bao nhiêu nếu người ấy chịu một áp suất là 2,85atm ? Bài toán 4.1.2. Nhiệt độ sôi của nước không

phải lúc nào cũng là 1000C mà nó phụ thuộc vào độ cao của nơi đó so với mực nước biển.

Chẳng hạn Thành phố Hồ Chí Minh có độ cao xem như ngang mặt nước biển (x=0m)

thì nước có nhiệt độ sôi là y=1000C nhưng ở thủ đô La Paz của Bolivia, Nam Mỹ có độ cao x=3600m so với mực nước biển thì nhiệt độ sôi của nước là y=870C. Ở độ cao trong khoảng vài km, người ta thấy mối liên hệ giữa hai đại lượng này là một hàm số bậc nhất y=ax+b có đồ thị như hình vẽ bên:

a. Hãy xác định các hệ số a và b. ĐS: Hàm số 13 3600 100.

y= − x+

b. Thành phố Đà Lạt có độ cao 1500m so với mực nước biển. Hỏi nhiệt độ sôi của nước ở thành phố này là bao nhiêu? ĐS: Nhiệt độ sôi ở thành phố Đà Lạt là y94,60C.

Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd..77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn

Bài toán 4.1.3. Trong một cuộc thi chạy 100m có ba học sinh dự thi.

Biểu đồ trong hình bên mô tả quãng đường chạy được y m( ) theo thời gian t s( )của mỗi học sinh.

a. Đường biểu diễn chạy được của mỗi học sinh có là đồ thị của hàm số hay không?

b. Học sinh nào về đích đầu tiên?

Hãy cho biết ba học sinh đó có

chạy hết quãng đường theo quy định hay không?

Hướng dẫn

a. Đường biểu diễn chạy được của mỗi học sinh có là đồ thị của hàm số.

b. Từ đồ thị ta thấy học sinh A về đích đầu tiên vì thời gian chạy là ít nhất.

Cả ba học sinh đều chạy hết quãng đường 100m theo quy định.

Bài toán 4.1.4. Gia đình bạn Sơn sống ở tầng ba, bà ngoại của Sơn sống ở tầng sáu thuộc cùng một chung cư cao tầng. Sơn đi bộ từ nhà mình xuống tầng một để lấy thư và đưa lên nhà bà ngoại. Đưa thư cho bà xong, Sơn quay về nhà mình. Đặt y=h t( )là hàm số biểu thị khoảng cách từ vị trí của Sơn đến mặt đất theo thời gian t từ khi bạn ấy bắt đầu đi cho đến khi về lại nhà mình (chọn gốc thời gian là lúc Sơn bắt đầu đi lấy thư). Hỏi đồ thị ( )C1

hay ( )C2 được cho dưới đây là đồ thị của hàm số y=h t( ). Tại sao?

Hướng dẫn

Quan sát đồ thị ( )C2 ta thấy: Trong khoảng thời gian đầu tiên đồ thị ( )C2 “đi xuống”

(hàm số y=h t( )nghịch biến) thể hiện khoảng cách từ vị trí của Sơn đến mặt đất giảm dần (Sơn đi từ tầng ba xuống tầng một để lấy thư). Trong khoảng thời gian tiếp theo đồ thị ( )C2 lại “đi lên” (hàm số y=h t( )đồng biến) thể hiện khoảng cách từ vị trí của Sơn

đến mặt đất tăng dần (Sơn đi từ tầng một lên tầng sáu để đưa thư cho bà ngoại).

Cuối cùng trong khoảng thời gian còn lại đồ thị ( )C2 “đi xuống” (hàm số y=h t( )nghịch

biến) thể hiện khoảng cách từ vị trí của Sơn đến mặt đất giảm dần (Sơn đi từ tầng sáu quay trở lại về tầng ba nhà mình). Vậy đồ thị ( )C2 chính là đồ thị của hàm số y=h t( ).

Bài toán 4.1.5. Có hai địa điểm A, B cùng nằm trên một tuyến quốc lộ thẳng. Khoảng cách giữa hai địa điểm A và B là 20km. Một xe xuất phát từ A lúc 6 giờ sáng và chạy với vận tốc 40km h/ theo chiều từ A đến B. Một ô tô xuất phát từ B lúc 8 giờ và chạy với vận tốc 80km h/ theo cùng chiều với xe máy. Coi chuyển động của ô tô và xe máy là thẳng đều. Chọn A làm mốc, chọn thời điểm 6 giờ sáng làm mốc thời gian và chọn chiều từ A đến B làm chiều dương. Khi đó tọa độ của xe máy và ô tô là những đại lượng biến thiên theo thời gian.

a. Viết phương trình chuyển động của xe máy và ô tô (tức là công thức của hàm tọa độ của mỗi xe theo thời gian).

b. Vẽ đồ thị hàm tọa độ của xe máy và ô tô trên cùng một hệ tọa độ.

c. Căn cứ vào đồ thị vẽ được, hãy xác định vị trí và thời điểm ô tô đuổi kịp xe máy.

d. Kiểm tra lại kết quả tìm được ở câu trên bằng cách giải các phương trình chuyển động của xe máy và ô tô.

Hướng dẫn a. Phương trình chuyển động của xe

máy là y=40 .t

Phương trình chuyển động của ô tô là 20 80( 2) 80 140.

y= + t− = t−

b. Đồ thị hàm tọa độ của xe máy và ô tô trên cùng một hệ tọa độ như hình bên.

c. Hai đồ thị cắt nhau tại điểm

(3,5; 140 .) Suy ra ô tô đuổi kịp xe máy sau thời gian t=3,5giờ, tức là đuổi kịp lúc 9 giờ 30 phút tại vị trí cách địa điểm A là 140km.

d. Xét phương trình 40t=80t−140 40t 140 t 3,5.

 =  = Khi t=3,5

giờ thì y=3,5.40 140= km.

Vậy ô tô đuổi kịp xe máy sau t=3,5 giờ, tức là đuổi kịp lúc 9 giờ 30 phút tại vị trí cách địa điểm A là 140km.

Bài toán 4.1.6. Một gia đình muốn mua một chiếc máy bơm nước. Có hai loại với cùng lưu lượng nước bơm được trong một giờ; loại thứ nhất giá 1,5 triệu đồng, loại thứ hai giá 2 triệu đồng. Tuy nhiên, nếu dùng máy bơm loại thứ nhất thì mỗi giờ tiền điện phải trả là 1200 đồng, trong khi dùng máy bơm loại

thứ hai thì chỉ phải trả 1000 đồng cho mỗi giờ bơm. Kí hiệu f x( )và g x( ) lần lượt là số tiền (tính bằng nghìn đồng) phải trả khi sử dụng máy bơm. loại thứ nhất và loại thứ hai trong x giờ (bao gồm tiền điện và tiền mua máy bơm).

a. Hãy biểu diễn f x( )và g x( ) dưới dạng các biểu thức của x.

b. Xác định tọa độ giao điểm của hai đồ thị ấy. Hãy phân tích ý nghĩa kinh tế của giao điểm đó.

Hướng dẫn

a. Theo giả thiết, ta có các hàm số f x( )=1,2x+1500 và g x( )= +x 2000

b. Giải phương trình f x( ) ( )=g x 1,2x+1500= +x 2000 =x 2500.

Vậy hai đồ thị y= f x( ) và y=g x( ) cắt nhau tại điểm M(2500;4500 .)

Từ đây suy ra sau 2500 giờ sử dụng máy bơm thì số tiền mà gia đình phải trả cho mỗi loại máy bơm là bằng nhau, số tiền đó là 4500000 đồng.

Bài toán 4.1.7. Mối liên hệ giữa thang đo nhiệt độ F (Fahrenheit) và thang đo nhiệt độ C (Celsius) được cho bởi công thức sau đây:TF =1,8.TC +32, trong đó TC là nhiệt độ tính theo độ C và TF là nhiệt độ tính theo độ F. Ví dụ TC =00C tương ứng với TF =320F.

a. Hỏi 250C tương ứng với bao nhiêu độ F?

b. Các nhà khoa học đã tìm ra mối liên hệ giữa A là số tiếng kêu của một con dế trong một phút và TF là nhiệt

độ cơ thể của nó bởi công thức A=5,6.TF −275, trong đó nhiệt độ TF tính theo F. Hỏi nếu con dế kêu 106 tiếng trong một phút thì nhiệt độ của nó khoảng bao nhiêu độ C? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Hướng dẫn

a. Từ công thức TF =1,8.TC +32, khi ở 250Cthì tương ứng TF =1,8.25 32 77+ = 0F b. Từ công thức A=5,6.TF −275,khi con dế kêu 106 tiếng trong một phút thì ta có

phương trình 106 5,6.= TF −275 TF 68,04,suy ra nhiệt độ trong con dế là 68,040F. Tiếp tục từ công thức TF =1,8.TC +32, khi nhiệt độ con dế ở 68,040F thì ta có phương trình 68,04 1,8.= TC +32TC =20,02.

Vậy khi con dế kêu 106 tiếng trong một phút thì nhiệt độ con dế ở khoảng 20,020C. Bài toán 4.1.8. Ở góc của miếng đất hình

chữ nhật, người ta làm một bồn hoa có dạng một phần tư hình tròn với bán kính r (tham khảo hình vẽ sau). Bán kính bồn hoa có kích thước từ 0,5m đến 3m.

a. Viết công thức của hàm số biểu thị diện tích bồn hoa theo bán kính r.

b. Hỏi bán kính của bồn hoa bằng bao nhiêu thì nó có diện tích là 0,5( )m2 ?

Hướng dẫn

a. Vì bồn hoa có dạng một tư hình tròn nên diện tích bồn hoa được tính bởi công thức sau: 2( )2 ,

4 S =r m

với 0,5 r 3.

b. Giải phương trình

2 2

0,5 2 .

4 2

r r

 =   =   =

 = − Kết hợp với điều kiện 0,5 r 3 Ta được r= 2( )m thì bồn hoa có diện tích bằng 0,5( )m2 .

Bài toán 4.1.9. Một lớp muốn thuê một chiếc xe khách cho chuyến tham quan với tổng đoạn đường cần di chuyển trong khoảng từ 550 km đến 600 km, có hai công ty được tiếp cận để tham khảo giá.

• Công ty A có giá khởi đầu là 3,75 triệu đồng cộng thêm 5000 đồng cho mỗi ki-lô-mét chạy xe.

• Công ty B có giá khởi đầu là 2,5 triệu đồng cộng thêm 7500 đồng cho mỗi ki-lô-mét chạy xe. Lớp đó nên chọn công ty nào để chi phí là thấp nhất?

Hướng dẫn

Ta có: 3,75 triệu đồng =3750000 đồng; 2,5 triệu đồng =2500000 đồng.

Gọi x (km) là tổng đoạn đường cần di chuyển của lớp. Theo bài ra ta có: 550 ≤ x ≤ 600.

Giả sử y (đồng) là số tiền phải trả để thuê xe. Khi đó đối với từng xe của mỗi công ty, ứng với mỗi giá trị của x có đúng một giá trị của y nên y là hàm số của x.

Đối với công ty A, số tiền cần trả được biểu diễn theo hàm số: yA=3750000+5000x Đối với công ty B, số tiền cần trả được biểu diễn theo hàm số: yB=2500000+7500x Ta cần so sánh yA và yB để chọn ra công ty có chi phí thấp nhất. Giả sử yA>yB, suy ra 3750000+5000x >2500000+7500x, tìm được x<500 (vô lí vì 550 ≤ x ≤ 600).

Vậy yA < yB , khi đó để chi phí là thấp nhất thì lớp đó nên chọn xe của công ty A.

Bài toán 4.1.10. Theo quyết định số 2019/QĐ-BĐVN ngày 01/11/2018 của Tổng công ty Bưu điện Việt Nam, giá cước dịch vụ Bưu chính phổ cập đối với dịch vụ thư cơ bản và bưu thiếp trong nước có khối lượng đến 250 g như trong bảng sau:

a. Số tiền dịch vụ thư cơ bản phải trả y

(đồng) có là hàm số của khối lượng thư cơ bản x (g) hay không? Nếu đúng, hãy xác định những công thức tính y.

b. Tính số tiền phải trả khi bạn Dương gửi thư có khối lượng 150g, 200g.

Hướng dẫn

a. Số tiền dịch vụ thư cơ bản phải trả y (đồng) là hàm số của x vì với mỗi giá trị của x (chính là khối lượng của thư) có đúng một giá trị của y (mức cước hay số tiền phải trả) tương ứng. Quan sát bảng ta thấy: Nếu khối lượng thư đến 20g hay 0<x≤20 thì mức cước phải trả là 4000 đồng hay y=4000. Nếu khối lượng thư trên 20g đến 100g hay 20<x≤ 100 thì mức cước là 6000 đồng hay y=6000. Nếu khối lượng thư trên 100g đến 250g hay 100 < x ≤ 250 thì mức cước là 8000 đồng hay y=8000.

Kết luận: Vậy ta có công thức xác định y như sau:

4000 khi 0 20 6000 khi 20 100 8000 khi 100 250

y x

  

=  

  



b. Vì bức thư có khối lượng 150g thì cần trả cước là 8000 đồng và bức thư có khối lượng 200g cũng cần trả cước là 8000 đồng. Khi đó, tổng số tiền phải trả khi bạn Dương gửi thư có khối lượng 150g, 200g là: 8000+8000=16000 (đồng).

Bài toán 4.1.11. Một hiệu chuyên cho thuê xe máy niêm yết giá như sau: Giá thuê xe là 110 nghìn đồng một ngày cho ba ngày đầu tiên và 80 nghìn đồng cho mỗi ngày tiếp theo.

a. Tính tổng số tiền phải trả T (nghìn đồng) theo số ngày x mà khách thuê xe. Công thức

( )

T =T x thu đượccó phải là hàm số của x hay không? Nếu có, hãy vẽ đồ thị của T x( ).

b. Tính các giá trịT( ) ( ) ( )2 ,T 4 ,T 10 và cho biết ý nghĩa của các giá trị này.

c. Với số tiền 2 triệu đồng thì khách có thể thuê xe trong tối đa bao nhiêu ngày liên tiếp?

Hướng dẫn a. Ta cóT =T x( )được xác định như sau:

( ) ( )

110 nêu 0 3

330 80 3 nêu 3

110 nêu 0 3

80 90 nêu 3

x x

T x x x

x x

  

=  + − 

  

=  + 

Công thứcT =T x( )là hàm số của x.

Đồ thị của hàm sốT =T x( )như hình vẽ bên.

Với x 0;3 thì đồ thị hàm số T x( )trùng

với đồ thị hàm số y=110 .x

Với x + (3; ) thì đồ thị hàm số T x( )trùng

với đồ thị hàm số y=80x+90.

b. Ta cóT( )2 =220 : khách sẽ phải trả 220 nghìn đồng nếu thuê xe trong 2 ngày.

( )4 410

T = : khách sẽ phải trả 410 nghìn đồng nếu thuê xe trong 4 ngày.

( )10 890

T = : khách sẽ phải trả 890 nghìn đồng nếu thuê xe trong 10 ngày.

c. Đổi 2 triệu đồng=2000 nghìn đồng. Ta xét các trường hợp sau đây:

• Nếu x 0;3 thì biểu thức T x( )=110 .x Ta có 110x330.

Vậy với số tiền là 2 triệu đồng thì khách có thể thuê xe nhiều hơn 3 ngày liên tiếp.

• Nếu x(3;+ ) thì biểu thức T x( )=80x+90.

Xét bất phương trình T x( )2000 hay 80x+90 2000 80x1910 x 23,875.

Nghiệm nguyên dương lớn nhất của bất phương trình này là x=23.

Kết luận: Vậy với số tiền là 2 triệu đồng thì khách có thể thuê xe trong tối đa là 23 ngày liên tiếp.

Bài toán 4.1.12. Quan sát bảng giá cước Taxi bốn chỗ trong hình ảnh dưới đây.Tính số tiền mà hành khách phải trả khi di chuyển được 30km .

Hướng dẫn

Gọi xlà số km đi được và y (đồng) là số tiền mà hành khách phải trả. Từ bảng giá cước, ta có công thức tính số tiền cước Taxi phải trả theo số kilomet di chuyển như sau:

0 khi 0 0 khi 0

10000 khi0 0,6 10000 khi0 0,6

10000 13000( 0,6) khi0,6 25 13000 2200 khi0,6 25

10000 13000(25 0,6) 11000( 25) khi 25 11000 52200 khi 25

x x

y y

x x x x

= =

 

     

 

= + −    = +  

 + − + −   + 

 

Vậy khi hành khách di chuyển được x=30km25km thì hành khách phải trả số tiền là 10000 13000(25 0,6) 11000(30 25) 382200

S = + − + − = đồng.

Bài toán 4.1.13. Bảng sau đây cho biết giá nước sinh hoạt (chưa tính thuế VAT) của hộ dân cư theo mức sử dụng.

a. Hãy tính số tiền phải trả ứng với mức nước sử dụng ở bảng sau:

Lượng nước sử dụng (m3)

10 20 30 40

Số tiền (VND)

b. Gọi x là lượng nước đã sử dụng (đơn vị m3) và y là số tiền phải trả tương ứng (đơn vị VND). Hãy viết công thức mô tả sự phụ thuộc y vào x.

Hướng dẫn

Công thức mô tả sự phụ thuộc y vào x là

5973 khi 10 5973 khi 10

59730 7052( 10) khi10 20 7052 10790 khi10 20

130250 8669( 20) khi 20 30 8669 43130 khi 20 30

216940 15929( 30) khi 30 15929 260930 khi 30

x x x x

y y

x x x x

 

 

 + −    −  

 

= + −    = −  

 + −   − 

 

Bài toán 4.1.14. Một hãng taxi có bảng giá như sau:

Loại giá Loại Taxi

Giá mở cửa (0,5 km) Giá cước các kilômét tiếp theo

Giá cước từ kilômét thứ 31

Taxi 4 chỗ 11000 đồng 14500 đồng 11600 đồng

Taxi 7 chỗ 11000 đồng 15500 đồng 13600 đồng

a. Xem số tiền đi taxi là một hàm số phụ thuộc số kilômét di chuyển, hãy viết công thức của các hàm số dựa trên thông tin từ bảng giá đã cho theo từng yêu cầu:

• Hàm số f(x) để tính số tiền hành khách phải trả khi di chuyển x km bằng xe taxi 4 chỗ.

• Hàm số g(x) để tính số tiền hành khách phải trả khi di chuyển x km bằng xe taxi 7 chỗ.

b. Nếu cần đặt xe taxi cho 30 hành khách, nên đặt toàn bộ xe 4 chỗ hay xe 7 chỗ thì có lợi hơn ?

Hướng dẫn

a. Khi di chuyển bằng xe taxi 4 chỗ: Nếu 0<x ≤ 0,5 thì số tiền hành khách phải trả là:

11000 (nghìn đồng). Nếu 0,5 <x<31 thì số tiền hành khách phải trả là:

11000+14500(x–0,5)=14500x +3750 (nghìn đồng). Nếu x ≥ 31 thì số tiền hành khách phải trả là:11000+(14500.30+3750)+11600(x–31)=11600x+90150 (nghìn đồng).

Vậy hàm số f(x) được xác định như sau: ( )

0 khi 0

11000 khi 0 0,5

14500 3750 khi 0,5 31.

11600 90150 khi 31

x f x x

x x

 =

  

=  +  

 + 



• Khi di chuyển bằng xe taxi 7 chỗ: Nếu 0<x ≤0,5 thì số tiền hành khách phải trả là:11000 (nghìn đồng). Nếu 0,5<x<31 thì số tiền hành khách phải trả là:11000+15500(x–0,5)=15500x+3250 (nghìn đồng). Nếu x ≥ 31 thì số tiền hành khách phải trả là: 11000+15500(30–0,5) +13600(x–31)=13600x+46650 (nghìn đồng).

Vậy hàm số g(x) được xác định như sau: ( )

0 khi 0

11000 khi 0 0,5

15500 3250 khi 0,5 31.

13600 46650 khi 31

x g x x

x x

 =

  

=  +  

 + 



b. Có 30 hành khách nếu đặt xe 4 chỗ thì cần 8 xe, còn nếu đặt xe 7 chỗ thì cần 5 xe.

• Trường hợp 1. Với x ≤ 0,5, ta có:

Số tiền hành khách phải trả khi thuê xe 4 chỗ là: 8.11000=88000 (nghìn đồng).

Số tiền hành khách phải trả khi thuê xe 7 chỗ là: 5.11000=55000 (nghìn đồng).

Do đó nếu quãng đường di chuyển nhỏ hơn 0,5km thì nên đặt xe 7 chỗ thì có lợi hơn.

• Trường hợp 2. Với 0,5< x< 31, ta có:

Số tiền hành khách phải trả khi thuê xe 4 chỗ là: 8.(14500x+3750)=116000x+30000 Số tiền hành khách phải trả khi thuê xe 7 chỗ là: 5.(15500x+3250) =77500x+16250 Nhận xét: 116000x+30000>77500x+16250 với mọi x thỏa mãn 0,5< x< 31.

Do đó nếu quãng đường di chuyển lớn hơn 0,5km và nhỏ hơn 31km thì nên đặt xe 7 chỗ.

• Trường hợp 3. Với x ≥ 31, ta có:

Số tiền hành khách phải trả khi thuê xe 4 chỗ là: 8.(11600x+90150)=92800x+721200 Số tiền hành khách phải trả khi thuê xe 7 chỗ là: 5.(13600x+46650)=68000x+233250 Ta có: 92800x+721200≥68000x+233250 với mọi x≥31. Do đó nếu quãng đường di chuyển lớn hơn hoặc bằng 31 km thì nên đặt xe 7 chỗ thì có lợi hơn.

Vậy nếu đặt xe taxi cho 30 hành khách thì nên đặt toàn bộ xe 7 chỗ thì có lợi hơn.

Bài toán 4.1.15. Một nhà cung cấp dịch vụ Internet đưa ra hai gói khuyến mại cho người dùng như sau:

• Gói A: Giá cước 190000 đồng/tháng.

Nếu trả tiền cước ngay 6 tháng thì sẽ được tặng thêm 1 tháng.

Nếu trả tiền cước ngay 12 tháng thì sẽ được tặng thêm 2 tháng.

• Gói B: Giá cước 189000 đồng/tháng.

Nếu trả tiền cước ngay 7 tháng thì số tiền phải trả cho 7 tháng đó là 1134000 đồng.

Nếu trả tiền cước ngay 15 tháng thì số tiền phải trả cho 15 tháng đó là 2268000 đồng.

Giả sử số tháng sử dụng Internet là x (x nguyên dương).

a. Hãy lập các hàm số thể hiện số tiền phải trả ít nhất theo mỗi gói A, B nếu thời gian dùng không quá 15 tháng.

b. Nếu gia đình bạn Minh dùng 15 tháng thì nên chọn gói nào?

BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 1 ẨN

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC