CHỦ ĐỀ 3: HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN- 123docz.net

Các bất phương trình bậc nhất hai ẩn và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn xuất hiện nhiều trong các bài toán kinh tế, như là những ràng buộc trong các bài toán sản xuất, bài toán phân phối hàng hóa…Chủ đề này cung cấp cách biểu diễn miền nghiệm của các bất phương trình, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng tọa độ nhằm tối ưu hóa các vấn đề liên quan đến đời sống, đặc biệt là các bài toán kinh tế, sản xuất kinh doanh.

Bài toán 3.1. Nhân ngày Quốc tế Thiếu nhi 1-6, một rạp chiếu phim phục vụ các khán giả một bộ phim hoạt hình. Vé được bán ra có hai loại:

Loại 1 (dành cho trẻ từ 6-13 tuổi): 50.000 đồng/vé;

Loại 2 (dành cho người lớn trên 13 tuổi): 100.000 đồng/vé.

Người ta tính toán rằng, để không phải bù lỗ thì số tiền vé thu được ở rạp chiếu phim này phải đạt tối thiểu 20 triệu đồng. Hỏi số lượng vé bán được trong những trường hợp nào thì rạp chiếu phim phải bù lỗ?

Hướng dẫn

Gọi xlà số lượng vé loại 1 bán được vàylà số lượng vé loại 2 bán được (x ,y ).

thì số tiền bán vé thu được là 50x+100y(nghìn đồng).

Người ta sẽ phải bù lỗ trong trường hợp số tiền bán vé nhỏ hơn 20 triệu đồng, tức là 50x+100y20000 +x 2y400.

Miền nghiệm của bất phương trình này được xác định như sau:

-Vẽ đường thẳng :d x+2y=400.

-Ta lấy gốc tọa độ O( )0;0 , khi đó thay

0, 0

x= y= thỏa mãn bất phương trình trên.

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình trên là nửa mặt phẳng bờ d chứa gốc tọa độ O và không kể đường thẳng d. Vậy nếu bán được số vé loại 1 là x và số vé loại 2 là y mà điểm ( )x y; nằm trong miền tam giác OAB không kể cạnh AB thì rạp phim sẽ phải bù lỗ.

Nếu điểm ( )x y; nằm trên đoạn thẳng AB thì rạp chiếu phim hòa vốn.

Nhận xét: Nếu bán được 150 vé loại 1 và 150 vé loại 2 thì rạp chiếu phim có lãi.

Nếu bán được 200 vé loại 1 và 100 vé loại 2 thì rạp chiếu phim hòa vốn.

Nếu bán được 100 vé loại 1 và 100 vé loại 2 thì rạp chiếu phim bù lỗ.

Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd..77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn

Bài toán 3.2. Quảng cáo sản phẩm trên truyền hình là một hoạt động quan trọng trong kinh doanh của các doanh nghiệp.

Theo Thông báo số 10/2019, giá quảng cáo trên VTV1 là 30 triệu đồng cho 15 giây/1 lần quảng cáo vào khoảng 20h30;

là 6 triệu đồng cho 15 giây/1 lần quảng cáo vào khung giờ 16h00-17h00. Một công ty dự định chi không quá 900 triệu đồng để quảng cáo trên VTV1 với yêu cầu quảng cáo về số lần phát như sau:

ít nhất 10 lần quảng cáo vào khoảng 20h30 và không quá 50 lần quảng cáo vào khung giờ 16h00-17h00. Gọi x y, lần lượt là số lần phát quảng cáo vào khoảng 20h30 và vào khung giờ 16h00-17h00.

Tìm xvà ysao cho tổng số lần xuất hiện quảng cáo của công ty là nhiều nhất.

Hướng dẫn Gọi x y, lần lượt là số lần phát quảng cáo vào khoảng 20h30 và vào khung giờ 16h00-17h00.

Theo giả thiết, ta có x ,y ,x10,0 y 50.

Tổng số lần phát quảng cáo là S = +x y.

Số tiền công ty cần chi là S =30x+6y (triệu đồng).

Do công ty dự định chi không quá 900 triệu đồng nên 30x+6y900 hay 5x+ y 150.

Ta có hệ bất phương trình sau: 5 10 150( )1

0 50

x y x

 + 

 

  



Bài toán trở thành: Tìm các số tự nhiên x y, là nghiệm của hệ bất phương trình sao cho biểu thức S = +x y đạt giá trị lớn nhất. Bây giờ ta đi xác định miền nghiệm của bất phương trình (1). Miền nghiệm của bất phương trình (1) là miền tứ giác ABCDvới tọa độ các đỉnh như sau: A(30;0 ,) (B 20;50 ,) (C 10;50 ,) (D 10;0)(xem hình vẽ trên):

Người ta chứng minh được: Biểu thức S = +x y đạt giá trị lớn nhất tại một trong các đỉnh của tứ giác ABCD. Tính giá trị của biểu thức S= +x ytại các cặp số ( )x y; là tọa độ của các đỉnh của tứ giác ABCD rồi so sánh các giá trị đó. Từ đó tìm được giá trị lớn nhất của S bằng 70 khi x=20,y=50 (ứng với tọa độ đỉnh B).

Kết luận: Vậy để phát được số lần quảng cáo nhiều nhất thì số lần phát quảng cáo vào khoảng 20h30 là 20 lần và vào khung giờ 16h00-17h00 là 50 lần.

Bài toán 3.3. Một phân xưởng sản xuất hai kiểu mũ. Thời gian để làm ra một chiếc mũ kiểu thứ nhất nhiều gấp hai lần thời gian làm ra chiếc mũ kiểu thứ hai. Nếu chỉ sản xuất toàn kiểu mũ thứ hai thì trong 1 giờ phân xưởng làm được 60 chiếc. Phân xưởng làm việc 8 tiếng mỗi ngày và thị trường tiêu thụ tối đa trong một ngày là 200 chiếc mũ kiểu thứ nhất và 240 chiếc mũ kiểu thứ hai. Tiền lãi khi bán một chiếc mũ kiểu thứ nhất là 24 nghìn đồng, một chiếc mũ kiểu thứ hai là 15 nghìn đồng. Tính số lượng mũ kiểu thứ nhất và kiểu thứ hai trong một ngày mà phân xưởng cần sản xuất để tiền lãi thu được cao nhất.

Hướng dẫn

Gọi x, y lần lượt là số lượng mũ kiểu thứ nhất và kiểu thứ hai trong một ngày mà phân xưởng cần sản xuất để tiền lãi thu được cao nhất. (Điều kiện: x ,y ).

Trong một ngày thị trường tiêu thụ tối đa 200 chiếc mũ kiểu thứ nhất và 240 chiếc mũ kiểu thứ hai nên ta có: 0 ≤ x≤ 200; 0 ≤ y ≤ 240.

Tiền lãi khi bán một chiếc mũ kiểu thứ nhất là 24 nghìn và một chiếc mũ kiểu thứ hai là 15 nghìn nên tổng số tiền lãi khi bán mũ là S=24x+15y.

Nếu chỉ sản xuất toàn kiểu mũ thứ hai thì trong một giờ phân xưởng làm được 60 chiếc nên thời gian để làm một chiếc mũ kiểu thứ hai là 1

60 (giờ).

Thời gian làm ra một chiếc kiểu mũ thứ nhất nhiều gấp hai lần thời gian làm ra một chiếc mũ kiểu thứ hai nên thời gian để làm một chiếc mũ kiểu thứ nhất là 1 1

2.60 =30 (giờ).

Thời gian để làm x chiếc mũ kiểu thứ nhất là 1

30 x (giờ).

Thời gian để làm y chiếc mũ kiểu thứ hai là 1

60y (giờ).

Tổng thời gian để làm hai loại mũ trong một ngày là 1 1

30x+ 60 y (giờ).

Vì một ngày phân xưởng làm việc 8 tiếng

nên 1 1

8 2 480.

30x+ 60 y  x+ y

Khi đó bài toán trở thành: Tìm x, y là nghiệm của hệ bất phương trình 02 200480( ).

0 240

x y

x I

 + 

  

  



sao cho biểu thức S=24x+15y có giá trị lớn nhất.

Trước hết, ta xác định miền nghiệm của hệ (I).

Miền nghiệm của hệ bất phương trình (I) là miền ngũ giác ACDEO với A(0; 240), C(120;

240), D(200; 80), E(200;0), O(0; 0) (như hình vẽ bên)

Người ta chứng minh được: Biểu thức S=24x+15y có giá trị lớn nhất tại một trong các đỉnh của ngũ giác ACDEO. Tính giá trị của biểu thức S=24x+15y tại các cặp số (x; y) là tọa độ các đỉnh của ngũ giác ACDEO. So sánh giá trị của biểu thức T tại các đỉnh, ta thấy S đạt giá trị lớn nhất bằng 6480 khi x=120 và y =240 ứng với tọa độ đỉnh C.

Vậy để tiền lãi thu được là cao nhất, trong một ngày xưởng cần sản xuất 120 chiếc mũ kiểu thứ nhất và 240 chiếc mũ kiểu thứ hai. Khi đó số tiền lãi là 6480 nghìn đồng.

100 200 100

200 240

x y

y=240

x=200

A C

O E

Bài toán 3.4. Một chuỗi nhà hàng ăn nhanh bán đồ ăn từ 10h00 sáng đến 22h00 mỗi ngày. Nhân viên phục vụ của nhà hàng làm việc theo hai ca, mỗi ca 8 tiếng, ca I từ 10h00 đến 18h00 và ca II từ 14h00 đến 22h00. Tiền lương của nhân viên được tính theo giờ (bảng bên). Để mỗi nhà hàng hoạt động được thì cần tối thiểu 6 nhân viên trong khoảng 10h00–14h00, tối thiểu 24 nhân viên trong khoảng thời gian cao điểm 14h00–18h00 và không quá 20 nhân viên trong khoảng 18h00–22h00. Do số lượng khách trong khoảng 14h00–22h00 thường đông hơn nên nhà hàng cần số nhân viên ca II ít nhất phải gấp đôi số nhân viên ca I. Em hãy giúp

chủ chuỗi nhà hàng chỉ ra cách huy động số lượng nhân viên cho mỗi ca sao cho chi phí tiền lương mỗi ngày là ít nhất.

Hướng dẫn

Gọi số nhân viên ca I cần huy động là x (nhân viên), số nhân viên ca II cần huy động là y (nhân viên) (x ,y ).

Do ca I từ 10h00–18h00 và ca II từ 14h00–22h00 nên số nhân viên trong thời gian từ 14h00–18h00 chính là tổng số nhân của 2 ca và là x + y (nhân viên), x + y > 0.

Vì cần tối thiểu 6 nhân viên trong khoảng 10h00–14h00 (ca I) nên x ≥ 6.

Vì mỗi nhà hàng cần tối thiểu 24 nhân viên trong khoảng thời gian cao điểm từ 14h00–18h00 (giao giữa hai ca) nên x+y ≥ 24. Cần không quá 20 nhân viên trong khoảng 18h00–22h00 (trong khoảng thời gian này chỉ còn lại y nhân viên của ca II làm) nên 0 < y ≤ 20. Do số lượng khách trong khoảng 14h00–22h00 thường đông hơn nên nhà hàng cần số nhân viên ca II ít nhất phải gấp đôi số nhân viên ca I nên y ≥ 2x.

Tiền lương trong 1 giờ ở ca I là 20000 đồng nên 1 nhân viên làm việc 1 ngày trong ca I có tiền lương là 20000.8 =160 000 đồng. Tiền lương trong 1 giờ của ca II là 22 000 đồng nên 1 nhân viên làm việc 1 ngày trong ca II có tiền lương là 22000.8=176000 đồng.

Do đó tổng chi phí tiền lương cho x nhân viên ca I và y nhân viên ca II trong một ngày là T=160000x+176000y (đồng). Khi đó bài toán trở thành: Tìm x, y là nghiệm của hệ bất phương trình

6 24

0 20

2 x x y

y y x

 

 + 

  

 



sao cho biểu thức T=160000x+176000y có giá trị là nhỏ nhất.

Miền nghiệm của hệ trên là miền tứ giác ABCD với A(6;18), B(6;20), C(10;20), D(8;16).

Biểu thức T =160000x+176000 y có giá trị nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của tứ giác ABCD. Tính giá trị của biểu thức T tại các cặp số (x; y) là tọa độ các đỉnh của tứ giác.

Tìm được T nhỏ nhất bằng 4096000 khi x =8 và y =16 ứng với tọa độ đỉnh D.

Vậy để chi phí tiền lương mỗi ngày là ít nhất thì chuỗi nhà hàng cần huy động 8 nhân viên ca I và 16 nhân viên ca II, khi đó chi phí tiền lương cho 1 ngày là 4096000 đồng.

y=20

x=6

Bài toán 3.5. Một nhà máy sản xuất hai loại thuốc trừ sâu nông nghiệp A và B. Cứ sản xuất mỗi loại thùng A thì nhà máy thải ra 0, 25kg khí carbon dioxide CO2 và 0,60kg khí sulfur dioxide SO2, sản xuất mỗi loại thùng B thì nhà máy thải ra 0,50kg khí carbon dioxide CO2 và 0, 20kg khí sulfur dioxide SO2.Biết rằng quy định hạn chế sản lượng CO2của nhà máy tối đa là 75kgvà SO2 tối đa là 90kgmỗi ngày.

a. Tìm hệ bất phương trình mô tả số lượng thùng của mỗi loại thuốc trừ sâu mà nhà máy có thể sản xuất mỗi ngày để đáp ứng các điều kiện ở trên. Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đó trên mặt phẳng tọa độ.

b. Việc nhà máy sản xuất 100 thùng loại A và 80 thùng loại B mỗi ngày có phù hợp với quy định không?

c. Việc nhà máy sản xuất 60 thùng loại A và 160 thùng loại B mỗi ngày có phù hợp với quy định không?

Hướng dẫn

a. Gọi x (thùng) là số thùng thuốc trừ sâu loại A được sản xuất ra trong một ngày, y (thùng) là số thùng thuốc trừ sâu loại B nhà máy sản xuất ra trong một ngày.

- Hiển nhiên, ta có: ,x y0. Khi đó, số khí CO2, SO2 thải ra khi sản xuất x thùng thuốc trừ sâu loại A lần lượt là: 0,25x (kg) và 0,6x (kg). Số khí CO2, SO2 thải ra khi sản xuất y thùng thuốc trừ sâu loại B lần lượt là: 0,5y (kg) và 0,2y (kg).

-Tổng lượng khí CO2 thải ra trong một ngày khi sản xuất x thùng thuốc loại A và y thùng thuốc loại B là: 0,25x+0,5y (kg). Tổng lượng khí SO2 thải ra trong một ngày khi sản xuất x thùng thuốc loại A và y thùng thuốc loại B là: 0,6x+0,2y (kg)

- Do quy định hạn chế sản lượng CO2 của nhà máy tối đa là 75 kg và SO2 tối đa là 90 kg mỗi ngày nên ta có các bất phương trình sau: 0,25x+0,5y ≤ 75 và 0,6x+0,2y ≤ 90.

Vậy, ta có hệ bất phương trình mô tả số thùng của mỗi loại thuốc trừ sâu mà nhà máy có thể sản xuất mỗi ngày để đáp ứng các điều

kiện hạn chế trên là:

0 0

0, 25 0,5 75 0,6 0, 2 90 x

x y

 

 

 + 

 + 



Biểu diễn miền nghiệm của hệ trên mặt phẳng tọa độ Oxy ta được hình vẽ bên:

Vậy miền không tô màu (miền tứ giác OABC, bao gồm cả các cạnh) là phần biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

C x

b. Việc nhà máy sản xuất 100 thùng loại A và 80 thùng loại B mỗi ngày tương ứng với

x=100 và y =80. Ta có, x =100 và y = 80 thì:

100 0 80 0

0, 25.100 0,5.80 65 75. 0,6.100 0, 2.80 76 90

 

 

 + = 

 + = 



Do đó, cặp (100; 80) là nghiệm của hệ bất phương trình. Vậy, việc nhà máy sản xuất 100 thùng loại A và 80 thùng loại B mỗi ngày là phù hợp với quy định.

c. Việc nhà máy sản xuất 60 thùng loại A và 160 thùng loại B mỗi ngày tương ứng với

x = 60 và y =160. Ta có, x = 60 và y =160 thì:

60 0 160 0

0, 25.60 0,5.160 95 75. 0,6.60 0, 2.160 68 90

 

 

 + = 

 + = 



Do đó, cặp (60; 160) không là nghiệm của hệ bất phương trình. Việc nhà máy sản xuất 60 thùng loại A và 160 thùng loại B mỗi ngày không phù hợp với quy định.

Bài toán 3.6. Trong năm nay, một cửa hàng điện lạnh dự định kinh doanh hai loại máy điều hòa: điều hòa hai chiều và điều hòa một chiều với số vốn ban đầu không vượt quá 1,2 tỉ đồng. Cửa hàng ước tính rằng tổng nhu cầu của thị trường sẽ không vượt quá 100 máy cả hai loại.

Nếu là chủ cửa hàng thì em cần đầu tư kinh doanh

mỗi loại bao nhiêu máy để lợi nhuận thu được là lớn nhất?

Hướng dẫn Gọi x, y lần lượt là số máy điều hòa hai chiều và số máy điều hòa một chiều mà chủ cửa hàng đầu tư (x,y ≥ 0). Vì tổng nhu cầu của thị trường sẽ không vượt quá 100 máy cả hai loại nên ta có bất phương trình: x+y ≤100.

Số tiền cần để đầu tư là: 20x+10y (triệu đồng). Vì số vốn ban đầu không vượt

quá 1,2 tỉ đồng nên ta có bất phương trình:

20x+10y≤12002x+ y 120.

Lợi nhuận dự kiến chủ cửa hàng thu được là:

S(x;y)=3,5x+2y (triệu đồng)

Bài toán trở thành tìm các giá trị x, y thỏa mãn hệ bất phương trình:

0 0

100

2 120

x y x y

x y

 

 

 + 

 + 



Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác OMNP với tọa độ của các đỉnh là O(0;0), M(0;100), N(20;80), P(60;0).

Tại x=20, y=80 thì biểu thức S(x;y)=3,5x+2y đạt giá trị lớn nhất bằng 230.

Kết luận: Vậy nếu là chủ cửa hàng thì em cần đầu tư kinh doanh 20 loại điều hòa hai chiều, 80 loại điều hòa một chiều để lợi nhuận thu được là lớn nhất.

Điều hòa hai chiều Điều hòa một chiều Giá mua vào 20 triệu đồng/1 máy 10 triệu đồng/1 máy Lợi nhuận dự kiến 3,5 triệu đồng/1 máy 2 triệu đồng/1 máy

x O

M 100

60 N

P 20 40 20

40 60 80

Bài toán 3.7. Một cửa hàng có kế hoạch nhập về hai loại máy tính A và B, giá mỗi chiếc lần lượt là 10 triệu đồng và 20 triệu đồng với số vốn ban đầu không vượt quá 4 tỉ đồng.

Loại máy A mang lại lợi nhuận 2,5 triệu đồng cho mỗi máy bán được và loại máy B mang lại lợi nhuận là 4 triệu đồng mỗi máy. Cửa hàng ước tính rằng tổng nhu cầu mua của khách hàng hàng tháng sẽ không vượt quá 250 máy. Giả sử trong một tháng cửa hàng cần nhập số máy tính loại A là x và số máy tính loại B là y.

a. Viết các bất phương trình biểu thị các điều kiện của bài toán thành một hệ bất phương trình rồi xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình đó.

b. Gọi S (triệu đồng) là lợi nhuận mà cửa hàng thu được trong tháng đó khi bán x máy tính loại A và y máy tính loại B. Hãy biểu diễn S theo x và y.

c. Tìm số lượng máy tính mỗi loại cửa hàng cần nhập về trong tháng đó để lợi nhuận thu được là lớn nhất.

Hướng dẫn a. Số máy tính loại A cửa hàng cần nhập trong một tháng là x (máy), số máy tính loại B cửa hàng cần nhập trong một tháng là y (máy)

(x y,  ). Do tổng nhu cầu hàng tháng sẽ không vượt quá 250 máy nên x+y ≤250. Tổng số vốn cửa hàng cần nhập hai loại máy A và máy B là 10x+20y (triệu đồng)

Vì số vốn ban đầu không vượt quá 4 tỉ đồng nên ta có 10x+20y≤4000 hay x+2y≤400.

Vậy ta có hệ bất phương trình: . 250

2 400

x y x y x y

 

 

 + 

 + 



Miền nghiệm của hệ là miền tứ giác OACB với O(0;0), A(250;0), C(100;150), B(0; 200) b. Lợi nhuận mà cửa hàng thu được trong tháng đó khi bán x máy tính loại A và y máy tính loại B là S(x;y)=2,5x+4y (triệu đồng).

c. Tìm giá trị lớn nhất của S(x;y) với (x;y) thuộc miền nghiệm của hệ:

0 0

250

2 400

x y x y x y

 

 

 + 

 + 



Tìm được S(x;y) lớn nhất bằng 850 với x=100 và y=150. Vậy cửa hàng cần nhập 100 máy loại A và 150 máy loại B để cửa hàng thu được lợi nhuận lớn nhất là 850 triệu đồng.

Bài toán 3.8. Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi kilôgam thịt bò chứa 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit. Mỗi kilôgam thịt lợn chứa 600 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất là 1,6 kg thịt bò và 1,1 kg thịt lợn; giá tiền 1kg thịt bò là 250 nghìn đồng;

1kg thịt lợn là 160 nghìn đồng. Giả sử gia đình đó mua x kg thịt bò và y kg thịt lợn.

a. Viết các bất phương trình biểu thị các điều kiện của bài toán thành một hệ bất phương trình rồi xác định miền nghiệm của hệ đó.

b. Gọi S (nghìn đồng) là số tiền phải trả cho x kilôgam thịt bò và y kilôgam thịt lợn.

Hãy biểu diễn S theo x và y.

c. Tìm số kilôgam thịt mỗi loại mà gia đình cần mua để chi phí là ít nhất.

200

250 100

O 100 B

CHỦ ĐỀ 3: HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN

HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ

BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 1 ẨN