CHỦ ĐỀ 7: ĐẠI SỐ TỔ HỢP

Bài toán 7.1: Một bộ cờ vua có 32 quân cờ như hình bên.

a. Bạn Nam lấy ra tất cả các quân tốt. Hãy đếm xem Nam lấy ra bao nhiêu quân cờ.

b. Ban Nam lấy ra tất cả các quân cờ màu trắng và tất cả các quân tốt. Hãy đếm số quân cờ Nam lấy ra.

Hướng dẫn

a. Bạn Nam lấy ra tất cả các quân tốt, trong đó có 8 quân tốt màu đen và có 8 quân tốt màu trắng. Vậy bạn Nam lấy ra tất cả 8+8=16 quân cờ.

b. Bạn Nam lấy ra tất cả 16 quân cờ màu trắng (đã bao gồm 8 quân tốt màu trắng) và bạn Nam lấy thêm 8 quân tốt màu đen nữa. Vậy bạn Nam lấy tất cả 16+8=24 quân cờ.

Bài toán 7.2:

Bài toán 7.3. Từ thành phố A đến thành phố C phải đi qua thành phố B.

Từ thành phố A đến thành phố B có 4 con đường đi, từ thành phố B đến thành phố C có 2 con đường đi.

a. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ thành phố A đến thành phố C mà qua thành phố B chỉ một lần?

b. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ thành phố A đến thành phố C rồi quay lại ?

Hướng dẫn

a. Để đi từ thành phố A đến thành phố C, ta phải thực hiện đầy đủ cả hai hành động:

Đi từ A đến B và đi từ B đến C. Đi từ A đến B có: 4 cách. Ứng với mỗi cách đi từ A đến B ta có 2 cách đi từ B đến C. Vậy có 4.2 8= cách đi từ A đến C mà phải qua B.

b. Đi từ A đến C có: 8 cách. Mỗi cách đi từ A đến C thì có 8 cách đi từ C về A.

Kết luận: Có 8.8 64= cách đi từ thành phố A đến thành phố C rồi quay về thành phố A.

Có bao nhiêu cách đi từ TPHCM ra Hà Nội?

Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd..77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn

Bài toán 7.4. Biết rằng tại thành phố Quy Nhơn có 5 địa điểm tham quan (Hình 1) và tại thành phố Đà Nẵng thì có 7 địa điểm tham quan (Hình 2).

a. Gia đình bạn Nam dự định chọn một địa điểm du lịch ở Quy Nhơn (Bình Định) hoặc Đà Nẵng. Hỏi gia đình bạn Nam có bao nhiêu cách chọn một địa điểm để tham quan.

b. Gia đình bạn Nam chọn một địa điểm du lịch ở Quy Nhơn, sau đó đi tham quan tiếp một địa điểm du lịch ở Đà Nẵng. Hỏi gia đình bạn Nam có bao nhiêu cách để chọn hai địa điểm ở Quy Nhơn và Đà Nẵng để tham quan theo dự định trên?

Hướng dẫn

a. Nếu gia đình bạn Nam chọn Quy Nhơn thì có 5 cách chọn một địa điểm tham quan.

Nếu gia đình bạn Nam chọn Đà Nẵng thì có 7 cách chọn một địa điểm tham quan.

Kết luận:Vậy gia đình bạn Nam có tất cả 5+7=12 cách chọn một đia điểm tham quan b. Công việc chọn hai địa điểm ở Quy Nhơn và Đà Nẵng để đi tham quan là thực hiện

hai hành động liên tiếp nhau.

• Hành động 1: Chọn một địa điểm tham quan ở Quy Nhơn, có 5 cách chọn.

• Hành động 2: Với mỗi cách chọn một địa điểm tham quan ở Quy Nhơn, có 7 cách chọn một địa điểm tham quan ở Đà Nẵng.

Kết luận: Vậy theo quy tắc nhân, gia đình bạn Nam có tất cả 5.7=35 cách chọn hai địa điểm tham quan ở Quy Nhơn và Đà Nẵng để tham quan theo dự định trên.

Bài toán 7.5. Bãi đỗ xe còn ba chỗ trống ở các vị trí số 1, 2, 3 như hình vẽ bên. Có ba chiếc xe ô tô (được kí hiệu là A, B, C) đang đi vào bãi đỗ xe.

a. Có bao nhiêu cách sắp xếp ba chiếc xe vào ba chỗ trống đó.

b. Vẽ sơ đồ hình cây về cách sắp xếp và kiểm tra lại kết quả tính toán ở trên.

Hướng dẫn a. Mỗi cách sắp xếp ba chiếc xe vào ba chỗ

trống cho ta một hoán vị của ba chiếc xe.

Kết luận: Vậy số cách sắp xếp ba chiếc xe vào ba chỗ trống đó là P3 = =3! 6 cách.

b. Ta có sơ đồ hình cây về cách sắp xếp:

Từ sơ đồ ở trên ta có 6 kết quả tương ứng với 6 cách sắp xếp ba chiếc xe vào ba chỗ trống và trùng khớp với kết quả ở trên.

Hình 1 Hình 2

Giảm phân là quá trình phân bào giảm nhiễm trong quá trình hình thành giao tử. Trong giảm phân, mỗi nhiễm sắc thể tự nhân đôi và các cặp nhiễm sắc thể tương đồng có thể tiếp hợp dẫn đến hoán vị gen. Mỗi tế bào con được sinh ra (giao tử) chỉ có 1 nhiễm sắc thể hoặc của bố (thì không của mẹ) hoặc của mẹ (thì không của bố).

Bài toán 7.6. Cho kiểu gen AABBDdEe. Giả sử quá trình giảm phân tạo giao tử bình thường, không xảy ra đột biến.

a. Vẽ sơ đồ hình cây biểu thị sự hình thành giao tử.

b. Từ đó, tính số loại giao tử của kiểu gen AABBDdEe.

Hướng dẫn a. Ta có sơ đồ hình cây biểu thị sự hình thành giao tử.

b. Từ sơ đồ hình cây, ta có 4 loại giao tử kiểu AABBDdEe.

Bài toán 7.7. Một quân vua được đặt trên một ô giữa bàn cờ vua. Mỗi bước di chuyển, quân vua được chuyển sang một ô khác chung cạnh hoặc chung đỉnh với ô đang đứng (xem hình minh họa bên). Hỏi có bao nhiêu cách di chuyển để sau 3 bước quân vua trở về đúng ô xuất phát?

Hướng dẫn

Sau ba bước quân vua muốn quay lại ô ban đầu khi ông vua đi theo đường khép kín tam giác. Xét hai trường hợp sau đây:

• Trường hợp 1: Từ ô ban đầu đi đến ô đen, đến đây có cách để đi bước hai rồi về lại vị trí ban đầu. Trường hợp này có 4.4 16= cách.

• Trường hợp 2: Từ ô ban đầu đi đến ô trắng, đến đây có cách để đi bước hai rồi về lại vị trí ban đầu. Trường hợp này có 4.2 8= cách.

Vậy có tất cả 16+ =8 24cách di chuyển để sau 3 bước quân vua trở về đúng ô xuất phát Bài toán 7.8. Hỏi thầy giáo có bao nhiêu cách sắp

xếp chỗ ngồi của 40 học sinh?

Hướng dẫn

Mỗi cách sắp xếp 40 học sinh vào 40 chỗ ngồi cho ta một hoán vị của 40 học sinh đó. Vậy số cách sắp xếp chỗ ngồi của 40 học sinh trong lớp học là P40 =40!

Bài toán 7.9. Một nhóm học sinh gồm có 9 người xếp thành 1 hàng ngang để chụp ảnh. Hỏi họ có bao nhiêu cách xếp để tạo ra các bức ảnh khác nhau. Giả sử mỗi lần xếp và chụp ảnh xong mất 1 phút. Hỏi người thợ ảnh đó cần mất thời gian bao lâu để chụp xong số ảnh đó?

Hướng dẫn

Số cách xếp chỗ đứng khác nhau cho 9 người là 9! 362880= cách.

Vậy thời gian để chụp tất cả các ảnh khác nhau là 362880 phút=6048 giờ=252ngày Bài toán 7.10. Biết rằng mỗi mật khẩu để người

dùng đăng nhập máy tính là một dãy kí tự gồm 7 chữ số. Hỏi có tất cả bao nhiêu mật khẩu như vậy?

Hướng dẫn

Nhận xét: Mỗi một mật khẩu mà người dùng đăng nhập máy tính tương ứng với một chỉnh hợp chập 7 của 10 chữ số: 0, 1, 2…8, 9.

Vậy số mật khẩu có thể được tạo ra là A107 =604800.

4 2

Bài toán 7.11. Danh sách các cầu thủ của Đội tuyển bóng đá quốc gia tham dự một trận đấu quốc tế có 23 cầu thủ gồm 3 thủ môn, 7 hậu vệ, 8 tiền vệ và 5 tiền đạo. Huấn luyện viên rất bí mật, không cho ai biết đội hình (danh sách 11 cầu thủ) sẽ ra sân. Trong cuộc họp báo, ông chỉ tiết lộ đội hình sẽ đá theo sơ đồ 3-4-3 (nghĩa là 3 hậu vệ, 4 tiền vệ, 3 tiền đạo và 1 thủ môn). Đối thủ đã có danh sách 23 cầu thủ (tên và từng vị trí của từng cầu thủ) và rất muốn dự đoán đội hình, họ xét hết các khả năng có thể xảy ra. Hỏi nếu đối thủ đã dự đoán được trước vị trí thủ môn thì họ sẽ phải xét bao nhiêu đội hình có thể?

Hướng dẫn

Mỗi đội hình gồm có1 thủ môn, 3 hậu vệ, 4 tiền vệ và 3 tiền đạo và đã biết trước vị trí thủ môn, nên để chọn đội hình ta cần thực hiện 3 công đoạn:

Công đoạn 1: Chọn hậu vệ là chọn 3 trong số 7 hậu vệ: có C73 =35cách.

Công đoạn 2: Chọn tiền vệ là chọn 4 trong số 8 tiền vệ: có C84 =70cách.

Công đoạn 3: Chọn tiền đạo là chọn 3 trong số 5 tiền đạo: có C53 =10cách.

Kết luận: Vậy theo quy tắc nhân, số các đội hình có thể có là 35.70.10=24500. Bài toán 7.12. Tạo một lịch trình cho một chuyến đi. Tại một khu du lịch có 5 hoạt động để khách du lịch có thể tham gia.

a. Có thể tạo được bao nhiêu lịch trình gồm 5 hoạt động trên để khách lựa chọn?

b. Có thể tạo được bao nhiêu lịch trình gồm 3 trong 5 hoạt động trên để khách chọn lựa?

c. Có bao nhiêu cách chọn 3 trong 5 hoạt động trên (không cần sắp thứ tự các hoạt động)?

Hướng dẫn

a. Có thể tạo được 5! 120= lịch trình gồm 5 hoạt động trên để khách lựa chọn.

b. Có thể tạo được A53 =60lịch trình gồm 3 trong 5 hoạt động trên để khách chọn lựa.

c. Có C53 =10 cách chọn 3 trong 5 hoạt động trên (không cần sắp thứ tự các hoạt động)?

Bài toán 7.13. Trong một trân đấu bóng đá sau hai hiệp phụ hai đội vẫn hoà nên phải thực hiện đá luân lưu 11m (penalty) để phân thắng bại.

Huấn luyện viên của mỗi đội được chọn ra 5 cầu thủ để thực hiện lần lượt 5 quả penalty. Hỏi mỗi huấn luyện viên có bao nhiêu cách phân

công thực hiện loạt penalty trên?

Hướng dẫn

Mỗi cách phân công thực hiện loạt penalty tương ứng với việc huấn luyện viên phải lập ra được một danh sách gồm 5 cầu thủ có sắp thứ tự.

Vậy số cách phân công là số cách chọn ra 5 cầu thủ (có thứ tự) từ 11 cầu thủ hay là số chỉnh hợp chập 5 của 11 cầu thủ, đó là A115 =55440 cách.

Bài toán 7.14. Tại một trạm quan sát, có sẵn 5 lá cờ màu đỏ, trắng, xanh, vàng và cam. Khi cần báo một tín hiệu, người ta chọn 3 lá cờ và cắm vào ba vị trí có sẵn thàng một hàng. Bằng cách này, có thể báo nhiều nhất bao nhiêu tín hiệu khác nhau?

Hướng dẫn

Để tạo ra một tín hiệu ta lấy 3 lá cờ trong 5 lá cờ và cắm vào 3 vị trí có sẵn, mỗi lần đổi chỗ vị trí của 3 lá cờ ta được một tín hiệu mới. Khi đó mỗi một tín hiệu tương ứng với một chỉnh hợp chập 3 của 5 lá cờ đã cho.

Kết luận: Vậy số tín hiệu tối đa có thể tạo thành là A53 =60.

Bài toán 7.15. Biển số xe máy của tỉnh A (nếu không kể mã số tỉnh) có 6 kí tự, trong đó kí tự ở vị trí đầu tiên là một chữ cái (trong bảng 26 cái tiếng Anh), kí tự ở vị trí thứ hai là một chữ số thuộc tập {1; 2;...;9}, mỗi kí tự ở bốn vị trí tiếp theo là một chữ số thuộc tập {0; 1; 2;...; 9}. Hỏi nếu chỉ dùng một mã số tỉnh thì tỉnh A có thể làm được nhiều nhất bao nhiêu biển số xe máy khác nhau?

Hướng dẫn

Có 26 cách để chọn kí tự ở vị trí đầu tiên, có 9 cách để chọn kí tự thứ 2 và có A104 cách chọn 4 kí tự ở bốn vị trí tiếp theo. Vậy theo quy tắc nhân, ta có 26.9.A104 =1179360 cách.

Kết luận: Vậy tỉnh A có thể làm được 1179360 biển số xe máy khác nhau.

Bài toán 7.16. Mỗi tài khoản người dùng mạng xã hội Facebook có một mật khẩu. Giả sử mỗi mật khẩu gồm 6 kí tự, mỗi ký tự là một chữ số (trong 10 chữ số từ 0 đến 9) hoặc là một chữ cái (trong 26 chữ cái tiếng Anh) và mật khẩu phải có ít nhất một chữ số. Hỏi có thể lập được tất cả bao nhiêu mật khẩu?

Hướng dẫn Số mật khẩu gồm 6 kí tự bất kì là A366 .

Số mật khẩu gồm 6 kí tự mà không có chữ số nào là A266 .

Vậy có tất cả A366 − A266 =1236644640 mật khẩu phải có ít nhất một chữ số.

Bài toán 7.17. Nội dung thi đấu đôi nam nữ của giải bóng bàn cấp trường có 7 đội tham gia. Các đội thi đấu vòng tròn một lượt.

a. Nội dung này có tất cả bao nhiêu trận đấu?

b. Sau giải đấu, ba đội có thành tích tốt nhất sẽ được chọn đi thi đấu cấp liên trường. Có bao nhiêu khả năng xảy ra về ba đội được chọn thi đấu cấp liên trường?

Hướng dẫn

a. Cứ chọn ra 2 đội bất kì trong 7 đội cho ta một trấn đấu. Vậy số trận đấu là C72 =21.

b. Sau giải đấu, có tất cả C73 =35khả năng xảy ra về ba đội có thành tích tốt nhất được chọn thi đấu cấp liên trường.

Bài toán 7.18. Trong một trấn đấu cờ vua giữa hai kì thủ, mỗi kì thủ ban đầu sở hữu 8 quân tốt, 2 quân xe, 2 quân mã, 2 quân tượng, 1 quân hậu và 1 quân vua. Cả hai kì thủ tính toán cho hai nước khai cuộc của mình. Biết rằng quân mã di chuyển theo hình chữ L (tham khảo hình bên); quân tốt chỉ có thể đi thẳng về phía quân địch 1 hoặc 2 ô sao cho đường đi của nó không bị cản bởi bất kì một quân nào khác.

a. Kì thủ cầm quân trắng muốn chọn ra hai quân tốt rồi xếp thứ tự để đi hai nước khai cuộc. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy?

b. Kì thủ cầm quân đen muốn chọn ra một quân tốt và một quân mã rồi xếp thứ tự để đi hai nước khai cuộc. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy?

Hướng dẫn

a. Vì có tổng cộng 8 quân tốt nên số cách chọn ra hai quân tốt để đi hai nước khai cuộc bằng số chỉnh hợp chập 2 của 8 phần tử, tức là A82.

Vậy số cách chọn cho kì thủ cầm quân trắng là A82 =56 cách.

b. Số cách chọn một quân tốt và một quân mã là 8.2 16.=

Số cách sắp xếp thứ tự cho hai quân cờ được chọn ra là 2! 2.= Vậy số cách chọn cho kì thủ cầm quân đen là 16.2 32= cách.

Bài toán 7.19. Một bàn cờ vua là một hình vuông bao gồm 8 8 ô vuông, mỗi ô vuông có cạnh bằng 1 đơn vị. Gọi S là tập hợp tất cả các hình chữ nhật có bốn đỉnh được lấy từ các đỉnh của các ô vuông và có các cạnh song song với các cạnh của hình vuông (bàn cờ vua).

a. Hỏi tập hợp S có bao nhiêu phần tử?

b. Trong tập hợp S có bao nhiêu hình vuông có độ dài cạnh lớn hơn 4 đơn vị.

Hướng dẫn a. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, giả sử bảng hình vuông bao gồm 8 8 ô vuông được xác định bởi các đường thẳng song song x=0, x=1, x=2,...,x=6,x=7, x=8 và các đường thẳng song song y=0, y=1, y=2,...,y=6,y=7,y=8. Nhận xét: Ta có mỗi hình chữ nhật trong bảng hình vuông được tạo bởi 2 đường thẳng song song x=a, x=b

(0  a b 8; ,a b ) và hai đường thẳng song song

( )

, 0 8; ,

y=c y=d   c d c d nên theo quy tắc nhân có tất cả C C92. 92 =1296 hình chữ nhật được tạo thành.

b. Trường hợp 1: Hình vuông có kích thước 5 5. Khi đó mỗi hình vuông được chọn được tạo thành bởi 2 đường thẳng khác nhau x=a x, =b(0  a b 8,a+ =5 b) và hai

đường thẳng khác nhau y=c y, =d (0c d, 8,c+ =5 d) nên có 4.4 16= hình vuông.

Trường hợp 2: Hình vuông có kích thước 6 6. Khi đó mỗi hình vuông được chọn được tạo thành bởi 2 đường thẳng khác nhau x=a x, =b(0  a b 8,a+ =6 b) và hai đường thẳng khác nhau y=c y, =d (0c d, 8,c+ =6 d) nên có 3.3 9= hình vuông.

Trường hợp 3: Hình vuông có kích thước 7 7. Khi đó mỗi hình vuông được chọn được tạo thành bởi 2 đường thẳng khác nhau x=a x, =b(0  a b 8,a+ =7 b) và hai đường thẳng khác nhau y=c y, =d (0c d, 8,c+ =7 d) nên có 2.2=4 hình vuông.

Trường hợp 4: Hình vuông có kích thước 8 8. Khi đó mỗi hình vuông được chọn được tạo thành bởi 2 đường thẳng khác nhau x=a x, =b(0  a b 8,a+ =8 b) và hai đường thẳng khác nhau y=c y, =d (0c d, 8,c+ =8 d) nên ta có 1.1 1= hình vuông.

Vậy trong tập hợp S có tất cả là 16+ + + =9 4 1 30 hình vuông có cạnh lớn hơn 4 đơn vị.

Bí ẩn của tam giác Pascal:

Tam giác Pascal trông giống như một tập hợp các số được sắp xếp thứ tự nhưng lại là một kho báu toán học. Những nhà toán học Ấn Độ gọi đó là nấc thang lên đỉnh Tu Di, ở Iran nó có tên tam giác Khayyam và ở Trung Quốc là tam giác Dương Huy. Ở hầu hết các nước phương Tây nó được biết đến với cái tên Tam giác Pascal. Vậy điều gì khiến nó hấp dẫn các nhà toán học trên thế giới đến vậy? Nói ngắn gọn nó chứa đầy những quy luật và sự bí ẩn. Chẳng hạn nếu tô tất cả các số lẻ xuất hiện trong tam giác Pascal ta có một hệ chiết hình gọi là tam giác Sierpinski, đó chính là một kiệt tác toán học.

HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ

BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 1 ẨN