BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VỀ VECTO- 123docz.net

CHỦ ĐỀ 6. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

6.1. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VỀ VECTO

Bài toán 6.1.1. Để xác định vị trí địa lí của nước Việt Nam trên bản đồ thế giới, theo em người ta có thể căn cứ vào điều gì?

Bài toán 6.1.2. Tìm tọa độ giao điểm của các tuyến phố trong Hình 1:

a. Phố Chestnut và plum, Phố Magnolia và Chestnut, Phố Oak và Hawthorn.

b. Kể tên các đường phố giao nhau tại các điểm sau:

Bài toán 6.1.3. Trong Hình 2, quân mã đang ở vị trí có tọa độ ( )1;2 .Hỏi sau một nước đi, quân mã có thể đến những vị trí nào?

Hướng dẫn

Tọa độ của các vị trí là: O(0;0), A(0;4), D(2;4), E(3;3), B(3;1), C(2;0).

Bài toán 6.1.4. Một thiết bị thăm dò đáy biển đang lặn với vận tốc v=(10; 8− ) (tham khảo hình ảnh bên). Cho biết vận tốc của dòng hải lưu vùng biển là w=(3,5;0 .) Tìm tọa độ của vecto tổng hai vận tốc v và .w

Bài toán 6.1.5. Một trò chơi trên máy tính đang mô phỏng một vùng biển có hai hòn đảo nhỏ có tọa độ B(50;30) và C(32; 23 .− ) Một con tàu đang neo đậu tại điểm A(−10;20 .) Cho biết một đơn vị trên hệ trục tọa độ tương ứng với 1km. Tính khoảng cách từ con tàu đến mỗi hòn đảo.

Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd..77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn

Hướng dẫn

Vì con tàu đang neo đậu tại điểm A(−10;20) và hòn đảo có tọa độ B(50;30) nên khoảng cách từ con tàu đến hòn đảo B là AB= (50 10+ ) (2 + 30−20)2 = 3700 60,83( )km .

Vì con tàu đang neo đậu tại điểm A(−10;20) và hòn đảo C(32; 23− ) nên khoảng cách từ con tàu đến hòn đảo C là AC= (32 10+ ) (2 + − −23 20)2 = 361360,1( )km .

Bài toán 6.1.6. Hai máy tời kéo tàu biển được đặt ở hai vị trí B và D dọc theo kênh đào được minh họa ở hình dưới đây. Hai máy tời đó kéo một con tàu từ vị trí A hướng đến vị trí C. Biết tọa độ các điểm 13;8 , ( ) ( )3;7 , 6;4 .

A 2  B D

 

  Tìm tọa độ của điểm C.

Hướng dẫn

Ta có 7 1

; 1 , ; 4 .

2 2

AB− −  AD− −  Mặt khác tàu di chuyển từ A đến C nên AC= AB+AD, suy ra AC(− −4; 5 .) Gọi điểm C x y( ); , ta có 13; 8 .

AC x − 2 y−  Ta có hệ phương trình

13 5

2 4 2

8 5 3

x x

y y

 − = −  =

 

 

 − = −  =

 

. Vậy tàu sau khi được kéo sẽ di chuyển đến vị trí điểm 5 2;3 . C 

 

  Bài toán 6.1.7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho

bốn vệ tinh có tọa độ là A(0;4;5 ,) (B − −3; 1;3 ,) ( 2;8;9 ,) ( 7;2; 3)

C − D − − và trên mỗi vệ tinh có một máy thu tín hiệu. Bằng cách so sánh sự sai lệch về thời gian từ lúc tín hiệu được phát đi với thời gian nhận được tín hiệu phản hồi, mỗi máy thu tín hiệu xác định được khoảng cách từ vệ tinh đến vị trí M cần tìm tọa độ. Biết các khoảng cách đó là

3, 5,

MA= MB= MC=9,MD=10. Tìm tọa độ của điểm M.

Hướng dẫn

Gọi tọa độ điểm M x y z( ; ; .) Theo giả thiết, ta có AM =3,MB=5,MC=9,MD=10 nên ta có

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2

2 2 2

2 2

2 2 2 2 2

4 5 9

3 3 5 2 19 1

3 1 3 25

5 2 2 9 2.

9 2 8 9 81 7 2 8 35 3

10 7 2 3 100

x y z

MA x y z x

x y z

MB x y z y

MC x y z x y z z

MD x y z

 + − + − =

 =  + + = =

 =  + + + + − =  

   − − = −  =

   

= + + − + − =

   + + =  =

 = 

  + + − + + =

Kết luận: Vậy tọa độ điểm M cần tìm là M(1;2;3 .)

Bài toán 6.1.8. Trong một bài luyện tập của các cầu thủ bóng nước, huấn luyện viên cho các cầu thủ di chuyển theo ba đoạn liên tiếp. Đoạn thứ nhất di chuyển về hướng Đông Bắc với quãng đường là 20m; đoạn thứ hai di chuyển về hướng Tây Bắc với quãng đường là 10mvà đoạn thứ ba di chuyển theo hướng Đông Bắc với quãng đường 5 .m

a. Vẽ các vecto biểu diễn sự di chuyển của các cầu thủ trong hệ tọa độ Oxy với vị trí bắt đầu như hình vẽ trên, trong đó quy ước độ dài đường chéo của mỗi ô vuông là 5m. b. Tìm tọa độ của các vecto trên.

Hướng dẫn

a. Từ hình vẽ ta thấy các vecto AB BC CD, , lần lượt biểu diễn sự di chuyển theo đoạn thứ nhất; đoạn thứ hai; đoạn thứ ba của các cầu thủ.

b. Do độ dài đường chéo của mỗi ô vuông là 5m nên độ dài của mỗi ô vuông là 5 2

2 m. Dựa vào hình vẽ ta có

5 2 25 2

; 0 ; ; 10 2 ,

2 2

A  B 

   

   

15 2 35 2

; 15 2 ; 10 2;

2 2

C  D 

   

   

Từ đó tìm được (10 2; 10 2 ,) ( 5 2; 5 2 ,) 5 2 5 2; .

2 2

AB BC CD 

−  

 

Bài toán 6.1.9. Một chiếc xe ô tô con bị mắc kẹt trong bùn lầy. Để kéo xe ra, người ta dùng xe tải kéo bằng cách gắn một đầu dây cáp kéo xe vào đầu xe ô tô con và móc đầu còn lại vào phía sau của xe tải kéo. Khi kéo, xe tải tạo ra một lực

F1 có độ lớn (cường độ) là 2000N theo phương ngang lên xe ô tô con. Ngoài ra, có thêm một người đẩy phía sau ô tô con, tạo ra lực F2 có độ lớn là 300N lên xe. Các lực này đều được biểu diễn bằng vecto (như hình vẽ trên) sao cho (F F1, 2)=5 .0 Độ lớn lực tổng hợp tác động lên xe ô tô con là bao nhiêu Newton (làm tròn đến kết quả hàng đơn vị)?

Hướng dẫn

Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ bên, mỗi đơn vị trên trục ứng với 1 .N Ta có F1=(2000;0 ,) (F F1, 2)=50 nên tọa độ của F2là

( 0 0)

2 300.cos5 ; 300sin 5 .

F = Do đó, lực Ftổng hợp các lực tác động

lên xe ô tô con có tọa độ là F =F1 +F2 =(2000+300.cos5 ; 300.sin 5 .0 0) Độ lớn lực tổng hợp F tác động lên xe ô tô con là: F = (2000+300.cos50) (2 + 300.sin 50)2 2299 .N

Bài toán 6.1.10. Một vật bị ba lực tác động: lực tác động thứ nhất F1

có độ lớn là 1500 ,N lực tác động thứ hai F2 có độ lớn là 600 ,N lực tác động thứ hai F3 có độ lớn là 800 .N Các lực này được biểu diễn bằng các vecto (hình vẽ bên),với (F F1, 2)=30 ,0 (F F1, 3)=45 ,0 (F F2, 3 )=75 .0

Tính độ lớn lực tổng hợp tác động lên vật đã cho.

Hướng dẫn Chọn hệ trục tọa độ Oxynhư hình vẽ, trong đó gốc tọa O trùng với vị trí vật bị tác động, các điểm A, B, C thỏa mãn

1, 2, 3.

OA=F OB=F OC=F Khi đó ta có:

1500, 600, 800

OA= OB= OC= và AOB=30 ,0 AOC=45 .0 Từ đó tìm được tọa độ của các điểm

(1500;0 ,) (300 3; 300 ,) (400 2; 400 2 .)

A B C −

( ) ( ) ( )

1 1500;0 , 2 300 3; 300 , 3 400 2; 400 2 .

F F F

 − Gọi F là lực tổng hợp tác động

vào vật. Khi đó F =F1 +F2 +F3, suy ra F(1500+300 3 +400 2; 300−400 2 .)

Độ lớn của lực tổng hợp là F = (1500 300 3+ +400 2) (2 + 300 400 2− )2 2599 .N

Bài toán 6.1.11. Để kéo đường dây điện băng qua một hồ hình chữ nhật ABCD với độ dài AB=200 ,m AD=180 ,m người ta dự định làm 4 cột điện liên tiếp cách đều, cột thứ nhất nằm trên bờ AB và cách đỉnh A khoảng cách 20 ,m cột thứ 4 nằm trên bờ CD và cách đỉnh C khoảng 30 .m Tính các khoảng cách từ vị trí các cột thứ hai, thứ ba đến các bờ AB, AD.

Hướng dẫn

Chọn hệ trục tọa độ Oxysao cho A( ) (0;0 ,B 200;0 ,) (C 200;180 ,) (D 0;180 .)

Gọi vị trí các cột điện được trồng là C C C C1, 2, 3, 4 (tham khảo hình vẽ bên). Do C1thuộc cạnh AB và

1 20

AC = nên C1(20;0 .) Tiếp tục C4thuộc cạnh CD và

4 30

C C = nên C4(170;180 .) Khi đó C C1 4(150;180 .) Do 4 cột điện C C C C1, 2, 3, 4 được trồng liên tiếp nhau trên một đường thẳng nên 1 2 1 1 4

C C = 3C C và 1 3 2 1 4 C C = 3C C Gọi tọa độ C x y2( ); . Khi đó C C1 2 =(x−20;y). Mặt khác, do 1 4( )

1 50;60

3C C nên ta có hệ phương

trình 20 50 70

60 60.

x x

y y

− = =

 

 =  =

  Vậy tọa độ điểm C2(70;60 .)

Vậy d C AB( 2; ) (=d C Ox2; )=60( )m và d C AD( 2; ) (=d C Oy2; )=70( )m Tương tự ta tính được d C AB( 3; )=120( )m và d C AD( 3; )=120( )m . Bài toán 6.1.12. Một cuộc thi truy tìm kho báu có hai đội A và B tham gia.

Bản đồ họ được giao có đơn vị là 1 km. Đội A xuất phát từ điểm A và đi theo hướng Đông-Bắc (ĐB), đội B xuất phát từ điểm B và di chuyển theo hướng chếch về hướng bắc 15 so với hướng Tây-Bắc (TB). Ban tổ chức 0 cho biết kho báu nằm ở giao điểm của hai đường đi của hai đội. Do độ dài đường đi và tốc độ khác nhau nên cơ hội hai đội gặp nhau là rất thấp. Vì vậy để tìm được kho báu, các đội phải tự xác định được tọa độ của nó. Em hãy tư vấn giúp các đội tìm tọa độ của điểm M (vị trí của kho báu).

Hướng dẫn

• Giả sử M x y( ); là vị trí của kho báu. Đội A đi theo hướng của vecto u( )1;1 . Do AM

cùng hướng với u nên tồn tại số thực xmà AM = xu=(x x; ).Khi đó điểm M x x( ); .

• Gọi C là giao điểm của đường đi của đội B với trục N-B.

Ta có ABC =600 và AB=3 nên tìm được AC =3 3, suy ra C(0; 3 3) và BC(−3; 3 3 .)

• Nhận xét: Các vecto BM x( −3;x) và BC(−3; 3 3) cùng phương nên tồn tại số thực

k thỏa mãn ( )

( ) ( ) 1

3 . 3 3 3 3 3 3 1

. 3 3 3 3 3 3

3 1

x k k k

BM k BC

x k x k x

 =



 − = − + = +

  

=   

 =  = 

   = +

• Vậy tọa độ của vị trí kho báu cần tìm là 3 3 3 3

;

3 1 3 1

M 

 

+ +

  hay M(1,9; 1,9 . )

Bài toán 6.1.13. Một chiếc xe đạp chạy theo hướng Tây, đến điểm E nó chạy với vận tốc không đổi theo cung một phần tư đường tròn để chuyển sang hướng Nam ở điểm F. Biết rằng độ dài cung tròn EF là 288 m và thời gian xe chạy hết cung EF là 36 giây. Chọn hệ trục tọa độ như Hình vẽ bên với các vecto đơn vị có độ dài 1m. Tìm tọa độ của vecto gia tốc khi xe ở vị trí điểm M là điểm chính giữa cung EF.

Hướng dẫn Gọi R là bán kính của đường tròn tâm O. Theo giả thiết chiếc xe đạp chuyển động tròn đều trên một phân tư đường tròn (cung EF) gây ra một gia tốc hướng tâm a, vecto này cùng hướng với MO. Theo giả thiết độ dài cung EF là 288m nên ta có đẳng

thức 288

R

=  Bán kính 576 576

R OM

 

=  =

Thời gian chạy trên cung EF hết 36 giây nên chu kì chuyển động là T =144 giây.

Gọi  là vận tốc góc, khi đó 2 2 2

144 72.

T T

    

=   = = = Độ lớn cuả gia tốc là

2 2 2

2 576

. . .

72 9 5184 5184

a R   a  OM a  MO



 

= =   =  =  =

Mặt khác điểm M nằm chính giữa cung EF nên tìm được 576 576

; .

2 2

M  

 

 

 

Vậy tọa độ của vecto gia tốc hướng tâm cần tìm là

2 2 2

; .

5184 18 18

a=  MO= −  −  

 

 

Bài toán 6.1.14. Trên màn hình ra đa của đài kiểm soát không lưu (được coi như mặt phẳng tọa độ Oxy với đơn vị trên các trục tính theo ki-lô-mét), một máy bay trực thăng chuyển động thẳng đều từ thành phố A có tọa độ (600; 200) đến thành phố B có tọa độ (200; 500) và thời gian bay quãng đường AB là 3 giờ. Hãy tìm tọa độ của máy bay trực thăng tại thời điểm sau khi xuất phát 1 giờ.

Bài toán 6.1.15. Một chiếc bàn hình vuông có kích thước 50cm50cm được chia thành 25 hình vuông nhỏ bằng nhau (tham khảo hình ảnh bên). Quy ước chỉ được chọn hệ trục tọa độ mà các trục trùng với hai cạnh giao nhau của một hình vuông nhỏ nào đó và vecto đơn vị trên các trục có độ dài bằng cạnh hình vuông nhỏ. Hãy chọn một hệ trục tọa độ sao cho tọa độ điểm A là ( )2;0 và giải tam giác ABC.

Bài toán 6.1.16. Một quả bóng được giữ bằng sợi dây nối với I ở trên một cây cột cao 8m, vuông góc với mặt đất. Quả bóng chuyển động tròn đều quanh điểm I theo chiều kim đồng hồ. Bán kính của quỹ đạo của quả bóng là 2m. Chu kì chuyển động tròn đều này là 4s. Chọn hệ trục tọa độ với gốc tọa độ là điểm I và các vecto đơn vị có độ dài 1m (tham khảo hình ảnh bên). Tìm tọa độ của vecto gia tốc hướng tâm khi quả bóng ở điểm A.

Bài toán 6.1.17. On the map, each square of the grid represents 1 square mile. Find each distance to the nearest tenth of a mile.

a. Find the distance along Highway 201 from Cedar City to Milltown.

b. A car breaks down on Rounte 1, at the midpoint between Jefferson and Milltown. A tow truck is sent out from Jefferson. How far dose the truck travel to reach the car.

BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VỀ VECTO

HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ

BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 1 ẨN