HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

CHỦ ĐỀ 5: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC. VECTƠ

5.1. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

Em có biết? Loài người đã biết được khoảng cách giữa Trái Đất và Mặt Trăng cách đây khoảng hai ngàn năm với một độ chính xác tuyệt vời là vào khoảng 384000km. Sau đó khoảng cách giữa Trái Đất và Mặt Trăng đã được xác lập một cách chắc chắn vào năm 1751 do một nhà thiên văn người Pháp là Giô-dep La- Lăng (Joseph Lalande, 1732-1807) và một nhà toán học người Pháp là Ni-cô-la-cay (Nicolas Lacaille, 1713-1762). Một người đứng ở thủ đô Berlin của Đức, người kia đi đến Mũi Hảo Vọng ở Cộng hòa Nam phi.

Từ Berlin và Mũi Hảo Vọng, hai ông dùng kính hiển viễn vọng để quan sát một vị trí trên Mặt Trăng vào cùng một thời điểm. Hai nhà thiên văn đã biết khoảng cách giữa hai địa điểm Berlin và Mũi Hảo Vọng, vậy bằng cách nào họ có thể xác định được khoảng cách từ chỗ mình đứng đến Mặt Trăng xa xôi?

Trong các tiết dạy lí thuyết và bài tập về hệ thức lượng trong tam giác tôi luôn khai thác các bài toán trong thực tiễn mà có thể áp dụng các kiến thức đã dạy cho học sinh vào giải quyết các bài toán đó để bài dạy không còn khô cứng và sinh động làm cho không khí của lớp học vui vẻ hơn nhằm để tăng tính năng động, sáng tạo, tăng hứng thú học tập cho các em. Sau đây là một số bài toán thực tế mà tôi đã tìm tòi, sưu tầm, thiết kế để nhằm đạt được mục đính trên.

Bài toán 5.1.1. Một chiếc đu quay có bán kính 75 ,m tâm của vòng quay ở độ cao 90m so với mặt đất (tham khảo hình ảnh bên), thời gian thực hiện mỗi vòng quay của đu quay là 30 phút. Nếu một người vào cabin tại vị trí thấp nhất của vòng quay, thì sau 20 phút quay, người đó ở độ cao bao nhiêu mét so với mặt đất?

Hướng dẫn

Gọi điểm A là vị trí cabin thấp nhất mà một người bắt đầu vào, B là vị trí của người đó trong cabin sau 20 phút quay.

Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd..77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn

Nhận xét: Thời gian thực hiện mỗi vòng quay của đu quay là 30 phút. Nếu một người vào cabin tại vị trí thấp nhất của vòng quay, thì sau 20 phút quay thì người đó sẽ di chuyển được 2

3 vòng tròn.

Gọi C là hình chiếu vuông góc của điểm B trên trục hoành thì ta có góc BOC=30 .0 Gọi C là hình chiếu vuông góc của điểm B trên trục hoành.

Xét tam giác vuông BOC, ta có:

sin sin 300 37,5 .

BC BC

BOC BC m

= OB  =  =

Vậy sau 20 phút quay, người đó ở độ cao là h=37,5+90 127,5 .= m Bài toán 5.1.2. Một cánh tay robot dài 1m gắp vật từ vị

trí A, sau đó quay một góc 140 quanh O đến vị trí B rồi 0 thả vật rơi tự do chạm đất (tham khảo hình ảnh bên).

a. Khi vật rơi chạm đất, vật cách vị trí A bao nhiêu mét?

b. Nếu muốn vật rơi chạm đất cách vị trí A một khoảng 1,5m thì cánh tay robot cần quay một góc bao nhiêu độ?

Hướng dẫn

a. Xét tam giác vuông OBH,ta có: cos OH cos 400 0,77 0,77.1 0,77 .

BOH OH m

= OB =    =

Khi vật rơi chạm đất, vật cách vị trí A một đoạn là AH=OA OH+ = +1 0,77 1,77 .= m b. Khi vật rơi chạm đất cách vị trí A một khoảng 1,5m thì AH =1,5mOH =0,5 .m

0 0 0 0

cos 1 60 180 60 120 .

BOH OH BOH AOB

 = OB =  =  = − =

Vậy cánh tay robot cần quay một góc 1200 thì vật rơi chạm đất cách A một khoảng 1,5m Bài toán 5.1.3. Góc nghiêng của Mặt Trời tại một vị trí trên Trái Đất là góc nghiêng giữa tia nắng lúc giữa trưa với mặt đất. Trong thực tế, để đo trực tiếp góc này, vào giữa trưa (khoảng 12 giờ), em có thể dựng một thước thẳng vuông góc với mặt đất, đo độ dài của bóng thước trên mặt đất. Khi đó tan của góc nghiêng Mặt Trời tại vị trí đặt thước bằng tỉ số giữa độ dài của thước và độ dài của bóng thước. Góc nghiêng của Mặt Trời phụ thuộc vào vĩ độ của vị trí đo và phụ thuộc vào thời gian đo trong năm (ngày thứ mấy trong năm).

Tại vị trí có vĩ độ  và ngày thứ N trong năm, góc nghiêng của Mặt Trời  còn được

tính theo công thức sau: 0 2( 10) 0 0

90 cos 180 .23,5 .

365

N m

 = − −  + −  

Trong đó m=0 nếu 1 N 172,m=1 nếu 173 N 355,m=2nếu 356 N 365.

a. Hãy áp dụng công thức trên để tính góc nghiêng của Mặt Trời vào ngày 10/10 trong năm không nhuận (năm mà tháng 2 có 28 ngày) tại vị trí có vĩ độ =20 .0

b. Hãy xác định vĩ độ tại nơi em sinh sống và tính góc nghiêng của Mặt Trời tại đó theo hai cách đã được đề cập trong bài toán (đo trực tiếp và tính theo công thức) và so sánh hai kết quả thu được.

Hướng dẫn a. Ngày 10/10 là ngày thứ 283 của năm không nhuận.

Do đó, góc nghiêng của Mặt Trời vào ngày này tại vĩ độ  =200 bằng

( )

0 0 2 283 10 0 0 0 221 0 0 0

90 20 cos 1 180 .23,5 70 cos .180 .23,5 62,35 .

365 365

 = − −  + −   = −    b. Vĩ độ của nơi có góc nghiêng Mặt Trời  vào ngày thứ N trong năm bằng

( )

0 2 10 0 0

90 cos 1 180 .23,5

365

 = − −  N + −  

Cách 1. Chẳng hạn như vào ngày thứ 200 trong năm (N=200), tại nơi có vĩ độ =25 .0 Thay vào công thức trên ta tìm được góc nghiêng Mặt Trời là .

Cách 2. Ta tiến hành thực nghiệm trong thực tế, tại nơi ta sinh sống vào ngày thứ 200 trong năm ta có thể đo trực tiếp góc này. Chọn thời điểm vào giữa trưa (khoảng 12 giờ), ta có thể dựng một thước thẳng vuông góc với mặt đất, đo độ dài của bóng thước trên mặt đất. Khi đó tan của góc nghiêng Mặt Trời tại vị trí đặt thước bằng tỉ số giữa độ dài của thước và độ dài của bóng thước.

So sánh kết quả tìm được theo 2 cách trên để kiểm nghiệm tính đúng đắn của công thức.

Bài toán 5.1.4. Tính khoảng cách AB giữa hai nóc tòa nhà cao ốc. Biết khoảng cách từ hai điểm đó đến một vệ tinh viễn thông lần lượt là 370km, 350km và góc nhìn từ vệ tinh đến A và B là 2,1 .0

Hướng dẫn Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC, ta có

2 2 2

2 . .cos AB = AC +BC − AC BC ACB

( )

2 2 2 0

370 350 2.370.350.cos 2,1 573,95 .

AB = + −  km

Kết luận: Vậy khoảng cách giữa hai nóc nhà cao ốc là AB 573,9523,96( )km .

Bài toán 5.1.5. Hai chiếc ca nô cùng xuất phát từ một vị trí A, đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau góc 60 .0 Ca nô B chạy với vận tốc 20 hải lí một giờ, ca nô C chạy với vận tốc 15 hải lí một giờ. Sau 2 giờ, hai ca nô cách nhau bao nhiêu hải lí? (1 hải lí 1,852 km)

Hướng dẫn

• Sau 2 giờ ca nô B đi được 40 hải lí, ca nô C đi được 30 hải lí.

Vậy tam giác ABC có AB=40; AC=30; BAC=60 .

• Áp dụng định lí côsin vào trong tam giác ABC, ta có

2 2 2 2 2 0

2. . .cos 30 40 2.30.40.cos60 1300 BC = AB + AC − AB AC BAC= + − =

Suy ra BC= 1300 36(hải lí). Vậy sau 2 giờ, hai ca nô cách nhau khoảng 36 hải lí.

Bài toán 5.1.6. Hai máy bay cùng xuất phát từ một sân bay A và bay theo hai hướng khác nhau, tạo với nhau góc 60 .0 Máy bay thứ nhất bay với vận tốc 650km h/ ,máy bay thứ hai bay với vận tốc 900km h/ .Sau 2 giờ, hai máy bay bay cách nhau bao nhiêu ki-lô-mét (làm tròn đến kết quả đến hàng phần trăm)? Biết rằng cả hai máy bay bay theo đường thẳng và sau 2 giờ bay đều chưa hạ cánh.

Hướng dẫn

Giả sử sau 2 giờ, máy bay thứ nhất đến vị trí B, máy bay thứ hai đến vị trí C. Ta có

( ) ( )

2.650 1300 , 2.900 1800

AB= = km AC= = km và BAC =60 .0 Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC, ta có:

2 2 2

2 2 0

2 . .cos

1300 1800 2.1300.1800.cos 60 2590000.

BC =AB + AC − AB AC BAC

= + − =

Do đó BC1609,35( )km .

Kết luận: Vậy sau 2 giờ, hai máy bay cách nhau 1609,35( )km .

Bài toán 5.1.7. Hai máy bay cùng cất cánh từ một sân bay nhưng bay theo hai hướng khác nhau. Một chiếc di chuyển với tốc độ 450km h/ theo hướng tây và chiếc còn lại di chuyển theo hướng hợp với hướng bắc một góc 25 về phía tây với tốc độ 6300 km h/ . Hỏi sau 90 phút, hai máy bay cách nhau bao xa? Giả sử chúng đang ở cùng độ cao.

Hướng dẫn

Gọi , ,O A B lần lượt là vị trí sân bay và hai máy bay sau 90 phút.

450.3 675 ,

OA= 2= km 3

630. 945 ,

OB= 2= km AOB=900 −250 =65 .0 Áp dụng định lí cosin trong tam giác OAB, ta có:

2 2 2 2 2 0

2. . .cos 675 945 2.675.945.cos65 AB =OA +OB − OA OB AOB= + −

2 809495 809495 900 .

AB   AB  km

Kết luận: Vậy sau 90 phút, hai máy bay cách nhau khoảng 900km

Bài toán 5.1.8. Hai máy bay rời sân bay cùng một lúc. Một chiếc bay với vận tốc 800km h/ theo hướng lệch so với hướng bắc 15 về phía tây. 0 Chiếc còn lại bay theo hướng lệch so với hướng nam 45 về phía tây với 0 vận tốc 600km h/ . Hỏi hai máy bay đó cách nhau bao xa sau 3 giờ?

Hướng dẫn Ta có AOB=1800 −150 −450 =120 .0

Sau 3 giờ, máy bay thứ nhất đã bay được quãng đường là OA=3.800=2400km h/ Sau 3 giờ, máy bay thứ hai đã bay được quãng đường là OB=3.600 1800= km h/ . Áp dụng định lí cosin trong tam giác OAB, ta có:

2 2 2 2 2 0

2. . .cos 2400 1800 2.2400.1800.cos120 13320000

AB =OA +OB − OA OB AOB= + − =

Suy ra AB2 =13320000 AB= 13320000 3650km.

Kết luận: Vậy sau 3 giờ, hai máy bay cách nhau khoảng 3650km. Bài toán 5.1.9. Một tháp viễn thông cao 42m được dựng thẳng đứng trên một sườn dốc 34 so với phương ngang. Từ đỉnh tháp 0 người ta neo một sợi dây cáp xuống một điểm trên sườn dốc cách chân tháp 33m như hình vẽ bên. Tính chiều dài của sợi dây cáp đó.

Hướng dẫn

Ta có AC=42,BC=33,CMH =34 ,0 CHM =900

0 0 0

90 34 56 . ACB=MCH = − =

2 2 2 2 2 0

2. . .cos 42 33 2.42.33.cos56 1303 AB = AC +BC − AC BC ACB= + − 

1303 36,1 .

AB km

 =  Chiều dài của sợi dây cáp khoảng 36,1km.

Bài toán 5.1.10. Các nhà khảo cổ tìm được một mảnh chiếc đĩa cổ hình tròn bị vỡ. Để xác định đường kính của chiếc đĩa, họ lấy ba điểm trên vành đĩa và tiến hành đo đạc thu được kết quả như sau:

28,5 , 1200

BC cm BAC (tham khảo hình ảnh bên). Tính đường kính của chiếc đĩa theo đơn vị xăng-ti-mét (làm tròn đến kết quả hàng đơn vị).

Hướng dẫn

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC, ta có 0 ( )

2 28,5 33 .

sin120 sin

R BC cm

BAC

=  

Kết luận: Vậy đường kính của chiếc đĩa khoảng 33( )cm .

Bài toán 5.1.11. Trong khi khai quật ngôi mộ cổ, các nhà khảo cổ học đã tìm được một chiếc đĩa cổ hình tròn bị vỡ, các nhà khảo cổ muốn khôi phục lại hình dạng chiếc đĩa này.

Để xác định bán kính của chiếc đĩa, các nhà khảo cổ học lấy 3 điểm A, B, C trên chiếc đĩa và tiến hành đo đạc thu được kết quả như sau AB=4,3cm BC; =3,7cm AC; =7,5cm (tham khảo hình vẽ bên). Bán kính của chiếc đĩa này bằng (kết quả được làm tròn tới hai chữ số sau dấu phẩy).

Hướng dẫn

• Nửa chu vi của tam giác ABC là 4,3 3,7 7,5

7,75 .

p= + 2 + = cm Khi đó diện tích của tam giác ABC là S = 7,75(7,75−4,3) ( 7,75 3,7− ) ( 7,75−7,5)5, 2cm2.

• Bán kính của chiếc đĩa cổ là . . 4,3 3,7 7,5

5,74 .

4 ABC 4 5, 2

AB AC BC

R cm

 

= = 



Bài toán 5.1.12. Một người muốn đo khoảng cách từ vị trí A đến tòa nhà ở vị trí C nằm ở bên kia bờ kênh (tham khảo hình ảnh bên), anh ta thực hiện như sau: đứng ở hai vị trí A và B cách nhau 20 m ở cùng bờ bên này rồi ngắm nhìn tòa nhà C, anh ta đo được các góc ABC =760 và BAC =68 .0 Hãy giúp người đó tính được khoảng cách AC cần tìm (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Hướng dẫn

Xét tam giác ABC, ta có ACB=1800 −(760 +680)=36 .0

Theo định lí sin: sin 20sin 760 0

sin 36 33 .

sin sin sin

AC AB AB ABC

AC m

ABC = ACB  = ACB = 

Kết luận: Vậy khoảng cách từ vị trí A đến tòa nhà C xấp xỉ 33 .m

Bài toán 5.1.13. Có một ngọn núi cao chắn giữa hai tỉnh P và Q (tham khảo hình ảnh bên). Để đi từ P đến Q chỉ có một con đường dưới chân núi xuất phát từ A đi đến C rồi từ C đi đến B. Đoạn đường AC, BC dài lần lượt là 15 km và 13 km, góc ACB=350 (biết hai đoạn đường này đều là đoạn thẳng). Để tiện cho việc lưu thông giữa hai tỉnh, người ta quyết định làm một đường hầm xuyên núi thẳng từ A đến B.

Hỏi sau khi xây dựng xong, đoạn đường đi từ A đến B theo đường hầm giúp giảm đi bao nhiêu km so với đoạn đường đi lúc đầu? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)

Hướng dẫn

Áp dụng định lí cosin trong ABC, ta có: AB2 = AC2 +BC2 −2AC BC. .cosACB

2 2 2 0

15 13 2.15.13.cos35 74,53 8,6 .

AB = + −  kmAB km

Khi đó AC+BC− AB15 13 8,6 19, 4+ −  km.

Kết luận: Vậy đoạn đường đi từ A đến B giảm đi 19, 4km so với đoạn đường đi lúc đầu Bài toán 5.1.14. Tam giác Bermuda còn gọi là Tam giác

Quỷ là một vùng biển bao la nằm về phía tây Đại Tây Dương và đã trở thành nổi tiếng nhờ vào nhiều vụ việc được coi là bí ẩn mà trong đó tàu thủy, máy bay hay thủy thủ đoàn được cho là biến mất không có dấu tích. Nó được xác định là phần diện tích tam giác có ba đỉnh là tại ba điểm ở ba vị trí là Florida, Puerto Rico và quần đảo Bermuda. Hãy tính diện tích tâm giác này biết:

Khoảng cách giữa Florida và Puerto Rico là 1938,89km, khoảng cách giữa Florida và Bermuda là 1596,41km, khoảng cách giữa Bermuda và Puerto Rico là 1587,77 km.

Hướng dẫn

Nửa chu vi của tam giác là 1596,41 1938,89 1587,77

2561,535 .

p= + 2 + = km

Diện tích của vùng tam giác quỷ là: S = p p( −1938,89)(p−1596,41)(p−1587,77) 2561,535(2561,535 1938,89)(2561,535 1596,41)(2561,535 1587,77) 1224303,984 2.

S = − − −  km

Bài toán 5.1.15. Từ hai vị trí A và B của một tòa nhà, người ta quan sát đỉnh C của một ngọn núi (tham khảo hình vẽ bên). Biết rằng độ cao AB bằng 70 ,m phương nhìn AC tạo với góc nằm ngang góc 30 ,0 phương nhìn BC tạo với góc nằm ngang góc 15 30'.0 Hỏi ngọn núi đó cao bao nhiêu mét so với mặt đất?

Hướng dẫn

• Xét tam giác ABC có BAC=900 −300 =60 ,0 ABC=900 +15 30' 105 30',0 = 0 ACB=1800 −(BAC+ ABC)=1800 −(600 +105 30'0 )=14 30'0

• Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC, ta có

0 700 269, 4( ).

sin105 30' sin14 30'

sin sin

AC AB AC

AC m

ABC = ACB  =  

• Gọi CH là khoảng cách từ C đến mặt đất. Xét tam giác vuông ACH, ta có

( )

0 269, 4

sin 30 134,7 .

2 2

CH AC

CH m

= AC  =  = Vậy ngón núi cao khoảng 135 (m)

Bài toán 5.1.16. Muốn đo chiều cao của Tháp Chàm Por Klong Garai ở Ninh Thuận, người ta lấy hai điểm A và B trên mặt đất có khoảng cách AB=12m và cùng thẳng hàng với chân C của tháp để đặt hai giác kế (tham khảo hình 1 và hình 2 dưới đây).

Chân của giác kế có chiều cao h=1,3m. Gọi D là đỉnh của tháp và hai điểm A B1, 1 cùng thẳng hàng với C1 (điểm C1 thuộc đường cao CD của tháp). Biết rằng người ta đo được các góc DA C1 1 =490 và DB C1 1=350. Tính chiều cao CD của tháp đó.

A B

H C

(Hình 1) (Hình 2)

Hướng dẫn

Gọi x=C D1 , ta có A B1 1 =B C1 1− A C1 1 =C D1 .cot 350 −C D1 .cot 490

Khi đó ta có phương trình 12=x.cot 350 −x.cot 490 x. cot 35( 0 −cot 490)=12.

Từ đó tính được 012 0 21, 472( )

cot 35 cot 49

x=  m

− .

Kết luận: Do đó chiều cao của tháp là: CD=CC1+C D1 =21,472 1,3 22,772+ = ( )m . Bài toán 5.1.17. Một ô tô đi từ A và C nhưng giữa A và C

là một ngọn núi cao nên ô tô phải chạy thành hai đoạn đường từ A đến B và từ B đến C, các đoạn đường này tạo thành tam giác ABC có AB=15km, BC=10km và góc ABC =1050 , biết rằng cứ 1km đường ô tô phải tốn 0,5 lít dầu Diezen.

a. Tính số dầu ô tô phải tiêu thụ khi chạy từ A đến C mà phải qua B.

b. Giả sử người ta khoan hầm qua một núi và tạo ra một con đường thẳng từ A đến C thì ô tô chạy trên con đường này tiết kiệm được bao nhiêu tiền so với chạy đường cũ biết rằng 1 lít dầu giá 15,1368 nghìn đồng.

Hướng dẫn

a. Tổng quãng đường ô tô phải đi từ A đến C mà phải qua B là AB+BC= + =15 10 25( )km .

Vậy số lít dầu mà ô tô phải tiêu thụ là 25.0,5 12,5= lít.

b. Giả sử có con đường chạy thẳng từ A đến C, khi đó: Theo định lí hàm số cosin, ta có:

( )

2 2 2 2 2 0

2 . .cos 15 10 2.15.10.cos105 20,1 .

AC = AB +BC − AB BC ABCAC= + −  km

Vậy quãng đường rút ngắn được khi đi ô tô theo con đường thẳng AC (không đi qua B) là 25−20.1 4,9= km.Số tiền tiết kiệm được là S=4,9.15,1368 74 (nghìn đồng).

Nhận xét: Bài toán trên có sử dụng định lý cosin khi tính chiều dài quãng đường AC.

Đồng thời, nó cho thấy một thực tế rằng nếu trong quy hoạch giao thông sử dụng các công nghệ tiên tiến hiện đại để tạo ra các con đường thẳng nối giữa các thành phố, các tỉnh hay các địa điểm khác nhau sẽ giúp giảm chi phí đi lại, tiết kiệm thời gian, tiết kiệm nhiêu liệu từ đó giúp giảm khí thải từ phương tiện giao thông, giảm tai nạn giao thông.

Có thể nêu ví dụ cụ thể như: Đường hầm Hải Vân, các cây cầu bắc qua sông, đường hầm vượt sông Sài Gòn đường bay vàng Hà Nội Sài Gòn, mang lại hiệu quả kinh tế rất cao.

Bài toán 5.1.18. Để tránh núi, đường giao thông hiện tại phải đi đường vòng như mô hình trong hình bên. Để rút ngắn khoảng cách và tránh sạt lở núi, người ta dự định làm đường xuyên núi, nối thẳng từ A tới D. Hỏi độ dài đường mới sẽ giảm bao nhiêu ki-lô-mét so với đường cũ?

Hình 1 Hình 2

HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ

BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 1 ẨN