CHNG 1 h THC LNG

Một chùm bốn đường thẳng cắt một cát tuyến thay đổi theo một hàng điểm có tỉ số kép không đổi.. Chứng minh: Giả sử bốn đường thẳng a,b,c,d của chùm tâm O cắt hai cát tuyến k và l bất k

CHƯƠNG 1: HỆ THỨC LƯỢNG

1.1 Tỉ số đơn – Tỉ số kép

1.1.1 Trục số - Độ dài đại số - Tọa độ của một điểm

Định nghĩa 1 Trục tọa độ là một đường thẳng d, trên đó có chọn một điểm gốc O và

một vectơ đơn vị e Ký hiệu : d

- Chiều dương của trục là chiều của vectơ e

- Chiều âm của trục là chiều ngược lại

Định nghĩa 2 Cho vectơ AB cùng phương với vectơ đơn vị e của trục d Độ dài đại số của vectơ AB trên trục d là

ABAB nếu AB cùng hướng với vectơ e

AB AB nếu AB ngược hướng với vectơ e

Định nghĩa 3 Cho điểm M trên trục d, khi đó tọa độ của điểm M trên trục d là

M

x OM Ký hiệu: M(x ) M

Hệ thức Saclơ

- Cho 3 điểm bất kỳ A, B, C trên d Ta có:ACAB BC hay BCAC AB

- Cho n điểm A , A , A , , A trên trục d, ta có 1 2 3 n

Định nghĩa 4 Cho ba điểm sắp thứ tự A, B, C trên trục d, ta gọi tỉ số CA

CB là tỉ số đơn của ba điểm thẳng hàng đã cho Ký hiệu : CA

(ABC)

CB

Ví dụ 1: Cho ba điểm A(1), B(5),C( 2) d Tính (ABC),(ACB),(BCA)

Ví dụ 2: Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng có (ABC)k Hãy tính (ACB), (BCA), (BAC), (CAB), (CBA) theo k

Nhận xét:

- Nếu (ABC)0 thì C nằm giữa A, B

- Nếu (ABC)0 thì C nằm ngoài đoạn AB

Dựa vào định nghĩa ta có thể chứng minh các tính chất sau của tỉ số kép

a) Tỉ số kép của bốn điểm là không đổi nếu

- Hoán vị cặp điểm đầu với cặp điểm cuối, nghĩa là (ABCD) = (CDAB)

- Hoán vị đồng thời hai điểm đầu và hai điểm cuối, nghĩa là (ABCD) = (BADC)

- Viết chúng theo thứ tự ngược lại, nghĩa là (ABCD) = (DCBA)

b) Tỉ số kép của bốn điểm thay đổi nếu

- Hoán vị hai điểm đầu hoặc hai điểm cuối thì tỉ số kép của bốn điểm trở thành số đảo ngược của nó, nghĩa là

(ACBD)(DBCA) 1 (ABCD) 

1.2 Hàng điểm điều hòa

Định nghĩa 6 Cho hàng điểm A,B,C,D nằm trên trục số Nếu (ABCD) = - 1 thì ta nói

rằng bốn điểm A,B,C,D lập thành một hàng điểm điều hòa Khi đó

CA DA

CB  DB nghĩa là các điểm C,D chia đoạn AB theo các tỉ số đối nhau

AC BC

AD  BD nghĩa là các điểm A,B chia đoạn CD theo các tỉ số đối nhau

Dựa vào các biểu thức trên ta nhận thấy vai trò bình đẳng của A,B và C,D

1.2.1 Biểu thức tọa độ đối với hàng điểm điều hòa

Cho bốn điểm A,B,C,D nằm trên trục số Giả sử OAa,OBb,OCc,OD d

1.2.2 Một số ví dụ về hàng điểm điều hòa

Ví dụ 1: Cho bốn điểm A,B,C,D là hàng điểm điều hòa, I là trung điểm của CD và

k

IB Giải

x mx2m 3 0 nếu có sẽ được hiển thị bằng hai điểm M , M phân biệt trên trục 1 2

số Hãy chứng tỏ bốn điểm A,B,M , M lập thành một hàng điểm điều hòa và tìm điều 1 2kiện để có hai điểm M , M 1 2

1.3 Chùm điều hòa

1.3.1 Định nghĩa

Định nghĩa 7 Chùm đường thẳng là một tập hợp gồm tất cả các đường thẳng trong mặt

phẳng cùng đi qua một điểm và điểm đó gọi là tâm của chùm

Định lý 1 Một chùm bốn đường thẳng cắt một cát tuyến thay đổi theo một hàng điểm

có tỉ số kép không đổi

Chứng minh:

Giả sử bốn đường thẳng a,b,c,d của chùm tâm O cắt hai cát tuyến k và l bất kỳ không

đi qua tâm O theo các hàng điểm A,B,C,D và A',B',C',Dtương ứng Ta cần chứng minh

M

N'

M'

Định nghĩa 8 Tỉ số kép không đổi nói trên gọi là tỉ số kép của chùm đường thẳng a,b,c,d

và được ký hiệu là (abcd) Ta có (abcd) = (ABCD)

Định nghĩa 9 Cho chùm bốn đường thẳng a,b,c,d Nếu (abcd) = -1 thì ta nói chùm đã

cho là chùm điều hòa Khi đó, cặp đường thẳng a,b chia điều hòa cặp đường thẳng c,d hoặc a,b và c,d là hai cặp đường thẳng liên hợp điều hòa với nhau

1.3.2 Một số ví dụ về chùm điều hòa

Ví dụ 1: Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để bốn đường thẳng đồng quy lập thành

một chùm điều hòa là có một đường thẳng song song với một trong bốn đường đó bị chia thành hai đoạn thẳng bằng nhau

Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng cắt nhau a,b, gọi c,d là hai đường phân giác của các góc

tạo bởi a và b Khi đó, (abcd) 1

Chú ý: Với k 1 thì ta có một điểm M duy nhất chia đoạn AB theo tỉ số k Khi đó, ta

Ví dụ 1: Chứng minh rằng trong một tam giác cân, trung điểm của cạnh đáy, chân đường

phân giác trong của một góc kề đáy và chân đường phân giác ngoài của góc kề đáy còn lại là ba điểm thẳng hàng

Ví dụ 2: Chứng minh rằng trong một tam giác, chân các đường phân giác trong của hai

góc và chân đường phân giác ngoài của góc thứ ba là ba điểm thẳng hàng

1.4.2 Định lý Ceva

Cho tam giác ABC và các điểm A',B',C' lần lượt thuộc các đường thẳng BC,CA,AB

Điều kiện cần và đủ để các đường thẳng AA',BB',CC' đồng quy là

 Giả sử AA',BB',CC' đồng quy tại I

Áp dụng định lý Menelaus cho AA B  và ba điểm thẳng hàng I,C,C'

B' C'

I

Ví dụ 1: Chứng minh rằng ba đường phân giác trong của một tam giác đồng quy tại một

điểm

Ví dụ 2: Chứng minh rằng ba đường trung tuyến của tam giác đồng quy

1.4.3 Định lý Stewart

Trên đường thẳng d, cho ba điểm A,B,C Điểm M nằm ngoài d thì ta có

MA BC MB CA2  2 MC AB BC.CA.AB2   0

laA

la 1 bc[(b c)2 a ]2

b c

Tương tự

Bài 4: Cho một điểm A cố định và một đường thẳng d cố định không đi qua A Gọi O

là hình chiếu vuông góc của A trên d và I là trung điểm của đoạn AO Trên đường thẳng

d ta lấy hai điểm thay đổi P và Q không trùng với O dựng các đường thẳng Px và Qy vuông góc với d Đường thẳng QI cắt AP và Px lần lượt tại M và N Đường thẳng PI cắt

AQ và Qy lần lượt tại M’ và N’ Chứng minh (QMIN) 1,(PM'IN')  1

Bài 5: Cho hình bình hành ABCD, qua A vẽ đường thẳng d Gọi E,F,G lần lượt là giao

điểm của d với các cạnh BD,CD,BC Chứng minh rằng

1 1 1

AE  AFAG

Bài 6: Một đường thẳng cắt các cạnh BC,CA,AB của tam giác ABC hay phần kéo dài

của các cạnh đó lần lượt tại A ,B ,C Gọi 1 1 1 A ,B ,C lần lượt là các điểm đối xứng của 2 2 2

A ,B ,C qua trung điểm của các cạnh BC,CA,AB Chứng minh rằng ba điểm

A ,B ,C thẳng hàng

Bài 7: Cho ba điểm A ,B ,C theo thứ tự nằm trên các cạnh BC,CA,AB của một tam 1 1 1giác ABC sao cho AA ,BB ,CC đồng quy Gọi 1 1 1 A ,B ,C là giao điểm của đường tròn 2 2 2

đi qua ba điểm A ,B ,C với các cạnh BC,CA,AB Chứng minh rằng 1 1 1 AA ,BB ,CC2 2 2đồng quy

Bài 8: Trên các cạnh AB,AC của tam giác ABC vuông tại A, dụng bên ngoài tam giác

những hình vuông ABEF, ACGH Chứng minh rằng EC, BG và đường cao AK của tam giác ABC đồng quy

Bài 9: Trong tam giác ABC, lấy trên cạnh AB một điểm D, trên cạnh BC hai điểm E và

F sao cho

AD 3 BE, 1 BF, 4

DB 2 EC 3 FC  1

Hỏi đường thẳng AE chia đoạn thẳng DF theo tỉ số nào?

Bài 10: Cho tam giác ABC và đường trong nội tiếp tam giác đó tiếp xúc với các cạnh

BC,CA,AB lần lượt tại A’,B’,C’ Chứng minh rằng AA',BB',CC' đồng quy

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH



Ví dụ 2: Ở một nhà trẻ các cháu được chia thành các nhóm, mỗi nhóm có một cô phụ

trách Nếu mỗi nhóm có 6 cháu thì 4 cháu chưa có ai phụ trách Nếu mỗi nhóm có 8 cháu thì thừa 1 cô Hỏi có bao nhiêu cháu và bao nhiêu cô phụ trách? Hãy giải bài toán bằng lập phương trình và giải theo cách giải ở Tiểu học

Chú ý: Nếu trong phương trình 2

Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt khác không

Ví dụ 2 Cho f (x) 2x2 2(m 1)x m2 4m 3

Ký hiệu x , x1 2 là nghiệm của f(x) Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2.1.3 Phương trình đa thức với hệ số nguyên

2.1.3.1 Định nghĩa Phương trình đa thức với hệ số nguyên là phương trình có dạng

chính tắc

a xn n an 1xn 1   a x1 1a0  (1) 0

trong đó a ,an n 1, ,a ,a1 0 là những số nguyên và an  0

Định lý 5 Nếu phương trình đa thức với hệ số nguyên (1) có nghiệm nguyên  thì số nguyên  phải là ước của a0

Ví dụ 1 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình 3

x 2x 3  0Giải : Nghiệm nguyên của phương trình nếu có là ước của 3 Thử trực tiếp các số 1, 3 

ta thấy phương trình có một nghiệm nguyên duy nhất x 1

Định lý 6 Nếu phân số tối giản p

q là nghiệm hữu tỉ của phương trình đa thức với hệ số nguyên (1) thì p là ước của a và q là ước của 0 a n

Hệ quả Nếu phương trình đa thức với hệ số nguyên (1) có hệ số cao nhất an  thì 1mỗi nghiệm hữu tỉ của (1) đều là nghiệm nguyên

Ví dụ 2 : Tìm các nghiệm hữu tỉ của phương trình

Ví dụ 3 : Tìm nghiệm hữu tỉ của phương trình

x4 x3 7x2    x 6 0

Giải : Vì số hạng cao nhất là 1 nên nghiệm hữu tỉ của phương trình là nghiệm nguyên Nghiệm của phương trình nếu có chỉ có thể là ước của 6 nên chỉ có thể là 1, 2, 3, 6    Thay lần lượt các số trên vào phương trình ta thấy chỉ có 1,2, 3  là nghiệm của phương trình

Nhận xét : Phương pháp tìm nghiệm nguyên của phương trình đa thức với hệ số nguyên

sẽ khó khăn nếu a quá lớn Ta có thể giảm bớt số phép thử nhờ các dấu hiệu sau 0

Định lý 7 Nếu  là một nghiệm nguyên khác 1 của phương trình đa thức với hệ số nguyên

7



Theo định lý trên ta chỉ cần thử với 2, 3  Thử lần lượt vào phương trình ta thấy nghiệm nguyên của phương trình là 2, 3

4 rồi đặt y4x ta được phương trình y37y24y48 0

- Một phương trình đa thức với hệ số hữu tỉ bất kỳ đều đưa về phương trình đa thức với hệ số nguyên bằng cách nhân hai vế phương trình với bội số chung nhỏ nhất của các mẫu số của các hệ số của phương trình

2.2 Hệ phương trình

2.2.1 Phương trình nhiều ẩn

Cho hai biểu thức đại số f (x , x , , x ), g(x , x , , x )1 2 n 1 2 n có các miền xác định là D1

và D2 Ký hiệu D D1 D2 là miền xác định của hai biểu thức, giả sử D

Bài toán tìm tất cả các bộ số của D sao cho giá trị của hai biểu thức bằng nhau được gọi là giải phương trình f (x , x , , x )1 2 n g(x , x , , x )1 2 n Bộ số (a ,a , ,a )1 2 n D sao cho f (a ,a , ,a )1 2 n g(a ,a , ,a )1 2 n được gọi là nghiệm của phương trình

Tập S {(a ,a , ,a )1 2 n D : f (a ,a , ,a )1 2 n g(a ,a , ,a )}1 2 n được gọi là tập nghiệm của phương trình

Các tính chất của phương trình nhiều ẩn đều tương tự như phương trình một ẩn

Bộ số (a ,a , ,a )1 2 n D sao cho f (a ,a , ,a )i 1 2 n 0,i 1 2, , ,m được gọi là một nghiệm của hệ phương trình

Cho hai hệ phương trình của các ẩn số (x , x , , x )1 2 n Hai hệ phương trình được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập hợp nghiệm

Định lý 8 Nếu f (x , x , , x )1 1 2 n 0 tương đương với phương trình x1 (x , , x )2 n thì

hệ phương trình

n n

Định nghĩa Các phép biến đổi tương đương sau đây của hệ phương trình tuyến tính

được gọi là các phép biến đổi sơ cấp

- Đổi chỗ hai phương trình của hệ cho nhau

- Nhân hai vế của một phương trình với cùng một số khác không

- Cộng một phương trình với phương trình khác (sau khi đã nhân với cùng một số khác 0) vế theo vế

2.3.2 Các dạng đặc biệt của hệ phương trình tuyến tính

Định nghĩa Cho hệ phương trình tuyến tính (I)

Nếu b1b2   bm0 thì hệ phương trình (I) trở thành

được gọi là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Nếu A là ma trận vuông (mn) có các phần tử aii  , các phần tử 0 aij  với mọi 0

ji thì A gọi là ma trận tam giác và hệ phương trình (I) trở thành hệ tam giác

2.3.3 Cách giải hệ phương trình tuyến tính

2.3.3.1 Giải hệ tam giác

trong đó sn ( số phương trình nhỏ hơn số ẩn), aii 0,i 1,2, ,s

Ta chuyển các số hạng chứa xs 1 , , xn sang vế phải

Ta được một hệ tam giác Giải hệ tam giác ta xác định x1  1, x2  2, , xs   Khi s

đó ( 1, 2, ,s 1 , , là một nghiệm của hệ phương trình Vì có thể lấy tùy ý các giá n)trị s 1 , , nên hệ phương trình có vô số nghiệm n

2.3.3.3 Giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát bằng phương pháp Gauss

Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp ta đưa hệ phương trình tuyến tính tổng quát về hệ tam giác hoặc hệ hình thang Ta nhận thấy rằng việc biến đổi tương đương một hệ phương trình tuyến tính thực chất là biến đổi các số trong ma trận mở rộng của nó Vì vậy, ta chỉ cần viết quá trình biến đổi ở ma trận hệ số mở rộng

Ví dụ 1 : Giải hệ phương trình

2.4 Ứng dụng phương trình, hệ phương trình trong giảng dạy toán ở Tiểu học

Nhiều bài toán ở Tiểu học có thể giải bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình, việc giải này giúp định hướng hoặc suy ra trực tiếp cách giải các bài toán đó ở Tiểu học

Ví dụ 1: 3 lọ mực đỏ và 2 lọ mực xanh giá 2300 đồng

2 lọ mực đỏ và 3 lọ mực xanh giá 2200 đồng

Tính giá tiền một lọ mực mỗi loại

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Gọi x là giá tiền 1 lọ mực đỏ, y là giá tiền 1 lọ mực xanh (điều kiện x>0, y>0)

Theo giả thiết ta có hệ phương trình

Nhận xét: Nhân hai vế phương trình (1) với 2 tương đương với giả thiết rằng số tiền

mua 6 lọ mực đỏ và 4 lọ mực xanh là 4600 đồng Nhân hai vế phương trình (2) cho 3 tương đương với giả thiết rằng số tiền mua 6 lọ mực đỏ và 9 lọ mực xanh là 6600 đồng

Vì vậy có thể giải bài toán bằng cách dùng giả thiết tạm

Giải bài toán bằng cách giải ở Tiểu học

Số tiền mua 6 lọ mực đỏ và 4 lọ mực xanh là:

Ví dụ 2: Có 18 ô tô gồm 3 loại: loại 4 bánh chở 5 tấn, loại 6 bánh chở 6 tấn, loại 8 bánh

chở 6 tấn Các xe đó có tất cả 106 bánh và chở được 101 tấn Hỏi mỗi loại có bao nhiêu xe?

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Nhận xét : Nhân phương trình (1) với 6 rồi trừ vế theo vế với phương trình (3) để nhận

được kết quả x = 7 Điều đó có nghĩa là ta đã giả thiết mỗi xe đều chở 6 tấn nên số tấn hàng được chở thêm là 7 tấn Như vậy có 7 xe loại 4 bánh chở 5 tấn

Nhân cả hai vế của phương trình y + z = 11 với 6 tương đương với giả thiết là 11 xe còn lại mỗi xe đều có 6 bánh Khi đó số bánh xe thừa ra là 12 bánh Từ đó suy ra số xe

Số bánh của hai loại xe này là 106 – 7 x 4 = 78 bánh

Nếu 11 xe mỗi xe đều có 6 bánh thì số bánh xe là 11 x 6 = 66 bánh Như vậy số bánh

Khi đó ta có cách giải ở Tiểu học như sau

Giả sử mỗi xe đều chở 6 tấn thì số tấn hàng dư ra là 18 x 6 – 101 = 7 tấn Dư 7 tấn là

do mỗi loại xe 4 bánh chở thêm 1 tấn, vì vậy có 7 xe loại 4 bánh

Giả sử mỗi xe đều có 6 bánh thì số bánh xe nhiều lên là 18 x 6 – 106 = 2 bánh

Dó đó số xe loại 4 bánh nhiều hơn số xe loại 8 bánh là 1 xe

Vậy số xe loại 8 bánh là 7 – 1 = 6 xe

Số xe loại 6 bánh là 18 – ( 7 + 6 ) = 5 xe

Ví dụ 3 : Một trăm con trâu, một trăm bó cỏ Trâu đứng ăn 5, trâu nằm ăn 3, lụ khụ trâu

già 3 con 1 bó Hỏi có mấy trâu đứng, mấy trâu nằm, mấy trâu già ?

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Đặt x, y, z lần lượt là số trâu đứng, số trâu nằm , số trâu già Điều kiện x, y, z là các

số nguyên dương nhỏ hơn 100 Theo giả thiết ta có hệ phương trình

Chọn t thích hợp để x, y, z nghiệm đúng bài toán Vì x, y là các số nguyên dương nên

Cả ba trường hợp đều thỏa mãn, vậy bài toán có 3 đáp án

1) Trâu đứng 4, trâu nằm 18, trâu già 78

2) Trâu đứng 8, trâu nằm 11, trâu già 81

3) Trâu đứng 12, trâu nằm 4, trâu già 84

Vậy số trâu già chỉ có thể là 78, 81 hoặc 84

Nếu số trâu già là 78 thì số trâu đứng và trâu nằm là 100 78 22 và ăn

100 (78 : 3) 74 bó cỏ Nếu mỗi trâu đứng và trâu nằm đều ăn 5 bó cỏ, nghĩa là mỗi trâu nằm ăn thêm 2 bó cỏ thì số cỏ phải thêm là 5 22 74 36   bó Do đó, số trâu nằm

là 36 : 2 = 18 Số trâu đứng là 22 – 18 = 4

Lập luận tương tự cho hai trường hợp còn lại ta nhận được ba đáp án như cách giải bằng hệ phương trình

Ví dụ 4 : Khi cộng một số thập phân với một số tự nhiên, do sơ suất một học sinh đã

cộng thành dấu trừ nên được kết quả là 219,3 Tìm hai số đó biết kết quả đúng là 38,43

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Gọi số thập phân là x, số tự nhiên là y, ta có