Slide bài giảng Môn giải tích

 Không gian n chiều  Định nghĩa hàm nhiều biến số  Giới hạn của hàm số nhiều biến số  Sự liên tục của hàm số nhiều biến số  Đạo hàm theo hướng..  Không gian n chiều  Định nghĩa

Giảng viên: Lê Văn Ngọc

E-mail: ngoclv@ptit.edu.vn

Giải tích 2

CHƯƠNG II CHƯƠNG I CHƯƠNG III CHƯƠNG IV

TÀI LIỆU HỌC:

[1] Vũ Gia Tê; Giáo trình giải tích 2; Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông, 2010

[1] Nguyễn Đình Trí; Toán cao cấp tập 3; NXB GD 1996

[2] Nguyễn Đình Trí; Bài tập toán cao cấp tập 3; NXB GD 1996 [3] Trần Đức Long- Nguyễn Định Sang- Hoàng Quốc Toàn ; Giáo trình giải tích tập 2,3; NXB DHQGHN 2007( In lần thứ tư )

[4] Trần Đức Long- Nguyễn Định Sang- Hoàng Quốc Toàn ; Bài

tập giải tích tập 2, 3; NXB DHQGHN 2007( In lần thứ tư )

TÀI LIỆU THAM KHẢO:

[5] Tô Văn Ban; Giáo trình giải tích 2; NXB khoa học kỹ thuật quan sự 2012

TIÊU CHÍ ĐÁNH GIÁ MÔN HỌC

1 Chuyên cần: Đi học đầy đủ tham gia bài học tích cực tính 10%

2 Thi giữa kỳ: Thi vào tuần 9 tính 10%

3 Bài tập làm trên lớp và bài tập lớn tính 10%

4 Thi cuối kỳ tính 70%

GIỚI THIỆU VỀ CHƯƠNG TRÌNH MÔN HỌC

• CHƯƠNG I: PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM

SỐ NHIỀU BiẾN

• CHƯƠNG II: TÍCH PHÂN BỘI

• CHƯƠNG III: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ

TÍCH PHÂN MẶT

• CHƯƠNG IV: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số là sự mở rộng một cách

tự nhiên và cần thiết của phép tính vi phân hàm số một biến số

Các bài toán thực tế thường xuất hiện sự phụ thuộc một biến số vào hai biến số hoặc nhiều hơn

Chẳng hạn nhiệt độ T của một chất lỏng biến đổi theo độ sâu z

và thời gian t theo công thức T  etz

Nhiệt lượng toả ra trên dây dẫn phụ thuộc điện trở dây, cường

độ của dòng và thời gian dẫn điện theo công thức Q  0, 24 RI t2

Vì vậy, khảo sát hàm số nhiều biến số vừa mang tính tổng quát vừa mang tính thực tiễn

Hàm sản xuất Cobb-Douglas phụ thuộc x đơn vị đầu tư lao động

và y đơn vị vốn được xác định bởi công thức P(x, y) = Cxayb

 Không gian n chiều

 Định nghĩa hàm nhiều biến số

 Giới hạn của hàm số nhiều biến số

 Sự liên tục của hàm số nhiều biến số

 Đạo hàm theo hướng Građiên (Gradient)

 Cực trị của hàm nhiều biến

 Trường vô hướng, Trường véc tơ, Rôta, Dive

 Không gian n chiều

 Định nghĩa hàm nhiều biến số

 Giới hạn của hàm số nhiều biến số

 Sự liên tục của hàm số nhiều biến số

 Đạo hàm theo hướng Građiên (Gradient)

 Cực trị của hàm nhiều biến

 Trường vô hướng, Trường véc tơ, Rôta, Dive

1 KHÔNG GIAN n CHIỀU

1 2( , , , n)

Tập E gọi là mở nếu mọi điểm của nó đều là điểm trong, gọi là đóng nếu nó chứa mọi điểm biên của nó

Tập E gọi là bị chặn hay giới nội nếu được chứa trong hình cầu nào đó

Tập E gọi là liên thông nếu mỗi cặp điểm M1, M2 trong E đều được nối với nhau bởi một đường cong liên tục nào đó nằm trọn trong E

Tập liên thông E gọi là đơn liên nếu nó bị giới hạn bởi một mặt kín (một đường cong kín với trường hợp E  2)

Tập liên thông không đơn liên gọi là đa liên

 Không gian n chiều

 Định nghĩa hàm nhiều biến số

 Giới hạn của hàm số nhiều biến số

 Sự liên tục của hàm số nhiều biến số

 Đạo hàm theo hướng Građiên (Gradient)

 Cực trị của hàm nhiều biến

 Trường vô hướng, Trường véc tơ, Rôta, Dive

 Không gian n chiều

 Định nghĩa hàm nhiều biến số

 Giới hạn của hàm số nhiều biến số

 Sự liên tục của hàm số nhiều biến số

 Đạo hàm theo hướng Građiên (Gradient)

 Cực trị của hàm nhiều biến

 Trường vô hướng, Trường véc tơ, Rôta, Dive

2 ĐỊNH NGHĨA HÀM NHIỀU BIẾN SỐ

Cho tập Dn Ta gọi ánh xạ f : D 

là một hàm số của n biến số xác định trên D

D được gọi là miền xác định của hàm số f ; x1, x2, …, xn là các biến số độc lập, còn u gọi là biến số phụ thuộc

Nếu hàm số cho dưới dạng công thức xác định ảnh u = f(M)

mà không nói gì về miền xác định D của nó thì phải hiểu rằng miền xác định D của hàm số là tập hợp các điểm M sao cho biểu thức f(M) có nghĩa

Ví dụ 1.1 Tìm miền xác định của các hàm số sau và mô tả hình

học các miền đó

2 21

3

Đồ thị của hàm hai biến số

Cho hàm 2 biến z = f(x,y) với (x,y)  D

 Không gian n chiều

 Định nghĩa hàm nhiều biến số

 Giới hạn của hàm số nhiều biến số

 Sự liên tục của hàm số nhiều biến số

 Đạo hàm theo hướng Građiên (Gradient)

 Cực trị của hàm nhiều biến

 Trường vô hướng, Trường véc tơ, Rôta, Dive

 Không gian n chiều

 Định nghĩa hàm nhiều biến số

 Giới hạn của hàm số nhiều biến số

 Sự liên tục của hàm số nhiều biến số

 Đạo hàm theo hướng Građiên (Gradient)

 Cực trị của hàm nhiều biến

 Trường vô hướng, Trường véc tơ, Rôta, Dive

3 GIỚI HẠN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN SỐ

1 Nói rằng dãy điểm Mn(xn, yn) dần đến điểm M0(x0, y0), kí hiệu

Mn  M0 khi n   nếu lim ( 0, n) 0

M0(x0,y0) dần đến M0 ta đều có lim ( ,n n)

0(    0) (    0) : 0  d M M ( , )    f M ( )   l  )

Sử dụng ngôn ngữ “,  ” ta có định nghĩa như sau

Chú ý 1.1:

a Trong định nghĩa trên, khi M  M0 phải hiểu là các tọa độ của M đồng thời dần đến các tọa độ của M0 Vì vậy người ta còn có tên gọi là giới hạn bội của hàm nhiều biến

c Tất cả các khái niệm giới hạn vô hạn, hoặc quá trình

M ; các tính chất của hàm có giới hạn; các định lí về giới hạn của tổng, tích, thương đều tương tự như hàm số một biến số

b Hàm nhiều biến tồn tại giới hạn bội tại điểm M0 nếu khi cho

M tiến đến M0 giới hạn này không phụ thuộc đường đi

 Không gian n chiều

 Định nghĩa hàm nhiều biến số

 Giới hạn của hàm số nhiều biến số

 Sự liên tục của hàm số nhiều biến số

 Đạo hàm theo hướng Građiên (Gradient)

 Cực trị của hàm nhiều biến

 Trường vô hướng, Trường véc tơ, Rôta, Dive

 Không gian n chiều

 Định nghĩa hàm nhiều biến số

 Giới hạn của hàm số nhiều biến số

 Sự liên tục của hàm số nhiều biến số

 Đạo hàm theo hướng Građiên (Gradient)

 Cực trị của hàm nhiều biến

 Trường vô hướng, Trường véc tơ, Rôta, Dive

4 SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ

f x y  x  e  xy liên tục tại mọi (x,y)

vì nó là hợp của hai hàm số liên tục cos , u u  x2  e2 x  xy

B Tính chất

Định lý 1.2 : (Weierstrass)

Nếu f(x,y) liên tục trong miền đóng D giới nội thì nó đạt giá trị

lớn nhất và giá trị bé nhất trong miền D tức là: M1D, M2 D

M D thì nó đạt mọi giá trị trung gian giữa f M và  1 f M 2

Nói riêng nếu f M   1  f M2  0 thì phương trình f M   0 luôn

có nghiệm trong D

 Không gian n chiều

 Định nghĩa hàm nhiều biến số

 Giới hạn của hàm số nhiều biến số

 Sự liên tục của hàm số nhiều biến số

 Đạo hàm theo hướng Građiên (Gradient)

 Cực trị của hàm nhiều biến

 Trường vô hướng, Trường véc tơ, Rôta, Dive

 Không gian n chiều

 Định nghĩa hàm nhiều biến số

 Giới hạn của hàm số nhiều biến số

 Sự liên tục của hàm số nhiều biến số

 Đạo hàm theo hướng Građiên (Gradient)

 Cực trị của hàm nhiều biến

 Trường vô hướng, Trường véc tơ, Rôta, Dive

5 ĐẠO HÀM RIÊNG

Cho hàm số u = f(x,y) xác định trong miền D và M0(x0,y0)  D

Cố định y = y0 sẽ nhận được hàm số một biến số u = f(x,y0)

Nếu hàm số này có đạo hàm tại x0 thì đạo hàm đó được gọi là đạo hàm riêng của f(x,y) đối với x tại M0(x0, y0) và kí hiệu như sau

Tương tự ta có định nghĩa đạo hàm riêng của hàm số đối với ytại M0(x0, y0), ký hiệu

Chú ý 1.3

a Có thể chuyển toàn bộ các quy tắc tính đạo hàm của hàm một biến số: cộng, trừ, nhân, chia, sang phép tính đạo hàm riêng

b Sự tồn tại các đạo hàm riêng chưa đảm bảo tính liên tục của hàm số

 Không gian n chiều

 Định nghĩa hàm nhiều biến số

 Giới hạn của hàm số nhiều biến số

 Sự liên tục của hàm số nhiều biến số

 Đạo hàm theo hướng Građiên (Gradient)

 Cực trị của hàm nhiều biến

 Trường vô hướng, Trường véc tơ, Rôta, Dive

 Không gian n chiều

 Định nghĩa hàm nhiều biến số

 Giới hạn của hàm số nhiều biến số

 Sự liên tục của hàm số nhiều biến số

 Đạo hàm theo hướng Građiên (Gradient)

 Cực trị của hàm nhiều biến

 Trường vô hướng, Trường véc tơ, Rôta, Dive

6 VI PHÂN TOÀN PHẦN

A Định nghĩa

Cho hàm số u = f(x,y) xác định trong miền D chứa (x0,y0)

Nếu số gia toàn phần của hàm số tại (x0,y0) có dạng

B Điều kiện cần của hàm số khả vi

Định lý 1.4 Nếu f(x,y) khả vi tại (x0,y0) thì liên tục tại đó

f x   x y    y f x y          A x B y  x  y

khi (  x,  y)  (0,0)

Vậy hàm số liên tục tại (x0,y0)

Định lý 1.5 Nếu f(x,y) khả vi tại (x0,y0) thì hàm số có các đạo

Từ định lý 1.5 ta có thể viết vi phân của hàm số u=f(x,y) tại (x0,y0)

C Điều kiện đủ của hàm số khả vi

D Sử dụng vi phân toàn phần để tính gần đúng giá trị hàm số

Một hình trụ bằng kim loại có chiều cao h = 20 cm và bán kính đáy

r = 4 cm Khi nóng lên h và r nở thêm các đoạn h = r = 0,1 cm Hãy tính gần đúng thể tích hình trụ khi nóng lên

 Không gian n chiều

 Định nghĩa hàm nhiều biến số

 Giới hạn của hàm số nhiều biến số

 Sự liên tục của hàm số nhiều biến số

 Đạo hàm theo hướng Građiên (Gradient)

 Cực trị của hàm nhiều biến

 Trường vô hướng, Trường véc tơ, Rôta, Dive

 Không gian n chiều

 Định nghĩa hàm nhiều biến số

 Giới hạn của hàm số nhiều biến số

 Sự liên tục của hàm số nhiều biến số

 Đạo hàm theo hướng Građiên (Gradient)

 Cực trị của hàm nhiều biến

 Trường vô hướng, Trường véc tơ, Rôta, Dive

7 ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP CAO, VI PHÂN CẤP CAO

Hàm hai biến u = f(x,y) có các đạo hàm riêng f ’x(x,y), f ’y(x,y)

VI PHÂN CẤP CAO

d ( , ) f x y  fx ( , )d x y x  fy ( , )d x y y

Ta nhận thấy

cũng là một hàm số của hai biến x, y nên có thể xét vi phân của nó

Vi phân của vi phân df(x,y) được gọi là vi phân cấp hai của hàm

số, kí hiệu là d2f(x,y)  d(df(x,y)) và nói rằng f(x, y) khả vi đến cấp 2 tại (x, y)

Tổng quát vi phân cấp n được định nghĩa theo quy nạp

1

dn f x y ( , )  d(dn f x y ( , ))

Với hàm m biến số ta có kí hiệu vi phân cấp n

1

n n

 Không gian n chiều

 Định nghĩa hàm nhiều biến số

 Giới hạn của hàm số nhiều biến số

 Sự liên tục của hàm số nhiều biến số

 Đạo hàm theo hướng Građiên (Gradient)

 Cực trị của hàm nhiều biến

 Trường vô hướng, Trường véc tơ, Rôta, Dive

 Không gian n chiều

 Định nghĩa hàm nhiều biến số

 Giới hạn của hàm số nhiều biến số

 Sự liên tục của hàm số nhiều biến số

 Đạo hàm theo hướng Građiên (Gradient)

 Cực trị của hàm nhiều biến

 Trường vô hướng, Trường véc tơ, Rôta, Dive

8 ĐẠO HÀM RIÊNG CỦA HÀM SỐ HỢP

Cho u = f(x,y) với x = x(s,t); y = y(s,t)

Khi đó hàm hợp u = f (x(s,t),y(s,t)) có đạo hàm riêng cấp 1 được tính theo công thức

Chú ý 1.5

1) Nếu u = f(x,y), y = y(x) khi đó u là hàm số hợp của một biến

x Do vậy người ta đưa ra khái niệm đạo hàm toàn phần và công thức tính sẽ là

mở rộng nhiều hơn hai biến s, t

n n

3) Hàm thuần nhất và công thức Euler

Hàm f(x1,x2,…,xn) thuần nhất bậc k nếu với mọi 

VI PHÂN CỦA HÀM HỢP

Cho u = f(x,y) với x = x(s,t); y = y(s,t)

Vi phân của hàm hợp u = f (x(s,t),y(s,t)) được tính theo công thức

 Không gian n chiều

 Định nghĩa hàm nhiều biến số

 Giới hạn của hàm số nhiều biến số

 Sự liên tục của hàm số nhiều biến số

 Đạo hàm theo hướng Građiên (Gradient)

 Cực trị của hàm nhiều biến

 Trường vô hướng, Trường véc tơ, Rôta, Dive

 Không gian n chiều

 Định nghĩa hàm nhiều biến số

 Giới hạn của hàm số nhiều biến số

 Sự liên tục của hàm số nhiều biến số

 Đạo hàm theo hướng Građiên (Gradient)

 Cực trị của hàm nhiều biến

 Trường vô hướng, Trường véc tơ, Rôta, Dive

9 ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ ẨN

Cho một hệ thức giữa hai biến x, y dạng F(x,y) = 0

trong đó F(x,y) là hàm hai biến xác định trong miền mở D chứa

(x0,y0) và F(x0,y0) = 0

Giả sử rằng  x  (x0  , x0  ),  y(x) sao cho (x,y)  D và

F(x,y) = 0 Khi đó hàm số y = y(x) gọi là hàm ẩn của x xác định bởi phương trình F(x,y) = 0

Hàm ẩn y = y(x) xác định bởi phương trình F(x,y) = 0 có đạo hàm

x y

F dy



 



Ví dụ 1.13 Tính y’(1) xác định bới phương trình xy  ex sin y  

Giải: Coi y là hàm của x, sử dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp ta có

y  xy   e y  e y y  

Thay x=1 vào phương trình hàm ẩn, nhận được y (1)    sin (1) y

Dùng phương pháp đồ thị giải phương trình này, nhận được nghiệm y (1)  

Phương trình F(x,y,z) = 0 thoả mãn điều kiện F’z(x0,y0,z0)  0

xác định hàm ẩn với z = z (x,y) có các đạo hàm riêng trong lân cận của (x0,y0)

x

F F

Cho hàm ẩn z = z (x,y) xác định bới phương trình

Lấy vi phân hai vế của phương trình hàm ẩn, ta có

Hệ 2 phương trình của 4 biến  

udu udx xdu udv vdu ydy

udv vdu vdv xdy ydx

 Không gian n chiều

 Định nghĩa hàm nhiều biến số

 Giới hạn của hàm số nhiều biến số

 Sự liên tục của hàm số nhiều biến số

 Đạo hàm theo hướng Građiên (Gradient)

 Cực trị của hàm nhiều biến

 Trường vô hướng, Trường véc tơ, Rôta, Dive

 Không gian n chiều

 Định nghĩa hàm nhiều biến số

 Giới hạn của hàm số nhiều biến số

 Sự liên tục của hàm số nhiều biến số

 Đạo hàm theo hướng Građiên (Gradient)

 Cực trị của hàm nhiều biến

 Trường vô hướng, Trường véc tơ, Rôta, Dive

10 ĐẠO HÀM THEO HƯỚNG, GRADIENT

A Định nghĩa

Cho hàm số u(x,y,z) xác định trên

miền D  3, M0(x0,y0,z0) D, một

hướng được đặc trưng bởi véc tơ

có véc tơ đơn vị 0(cos , cos , cos )   

0 0

0

u M

 Không gian n chiều

 Định nghĩa hàm nhiều biến số

 Giới hạn của hàm số nhiều biến số

 Sự liên tục của hàm số nhiều biến số

 Đạo hàm theo hướng Građiên (Gradient)

 Cực trị của hàm nhiều biến

 Trường vô hướng, Trường véc tơ, Rôta, Dive

 Không gian n chiều

 Định nghĩa hàm nhiều biến số

 Giới hạn của hàm số nhiều biến số

 Sự liên tục của hàm số nhiều biến số

 Đạo hàm theo hướng Građiên (Gradient)

 Cực trị của hàm nhiều biến

 Trường vô hướng, Trường véc tơ, Rôta, Dive

11 CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

11.1 Cực trị không điều kiện ràng buộc

A Định nghĩa

Điểm M0(x0,y0) gọi là điểm cực đại (cực tiểu) của hàm f(M) nếu có lân cận đủ bé của M0 để trong lân cận đó (trừ M0) xảy ra bất đẳng thức f(M)  f(M0) ( f(M)  f(M0) )

Điểm M0 trong các trường hợp trên gọi chung là điểm cực trị

Nhận xét 1.4

Điểm mà tại đó các đạo hàm riêng bằng không gọi là điểm dừng của hàm số

Như vậy hàm số chỉ đạt cực trị tại những điểm dừng

Tuy nhiên điểm dừng chưa chắc là điểm cực trị

Giả sử f(x,y) có đạo hàm riêng cấp hai liên tục tại lân cận điểm dừng (x0, y0) đồng thời đặt

 Nếu  > 0 thì hàm số không đạt cực trị tại (x0, y0)

 Nếu  = 0 chưa kết luận được về cực trị của hàm số tại (x0, y0)

Ví dụ 1.22 Tìm cực trị của hàm số z  e x(  y x)(  y 4)

• Tìm điểm dừng

Nhận được hai điểm dừng

• Tính biệt số  tại điểm dừng

x y

x

4 1

11.2 Cực trị có điều kiện ràng buộc

0

Tìm cực trị hàm số f (x,y)

Với điều kiện ràng buộc  (x,y)  0

a) Nếu từ ràng buộc  (x,y) ta giải ra được một biến, chẳng hạn y=y(x), rồi thay vào hàm mục tiêu đã cho: f(x,y(x)) thì

ta sẽ có bài toán tìm cực trị tự do của hàm một biến

Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp, việc đưa về bài toán cực trị

tự do với số biến ít hơn là rất khó khăn

b) Xét hàm số L(x,y,  ) = f(x,y) +  (x,y) được gọi là hàm Lagrange và  được gọi là nhân tử Lagrange

Cực trị điều kiện chỉ đạt được

Nếu d2L(x0,y0, 0) có dấu thay đổi trong miền thỏa mãn ràng buộc

trên thì f (x,y) không đạt cực trị có ràng buộc tại (x0, y0)

Nếu d2L(x0,y0, 0) >0 thì f (x,y) đạt cực tiểu có ràng buộc tại (x0, y0) Nếu d2L(x0,y0, 0) <0 thì f (x,y) đạt cực đại có ràng buộc tại (x0, y0)