Bài giảng môn giải tích hàm nhiều biến

Theo định luật của Newton, lực F cần thiết để tạo ra chuyển động phải hướng về tâm của đường tròn : Lực Vì hướng của đường cong được quy định bởi góc φ từ trục Ox đến tiếp tuyến, ta xé

Đây là bài giảng môn Giải tích hàm số nhiều biến dành cho sinh viên năm thứ nhất của các

Khoa Công trình, Khoa Công nghệ thông tin và một số ngành khác của Trường đại học thủy lợi

Giáo trình chính Giải tích hàm nhiều biến (Lưu hành nội bộ) Sách dịch, do Bộ Môn Toán Trường Đại học Thủy Lợi biên dịch

+ Điểm Kiểm tra giữa kỳ (1 bài KT 50 phút)

2 Điểm kiểm tra cuối kỳ: chiếm 60%

3 Điểm học phần = ĐQT + ĐThi

LỊCH TRÌNH GIẢNG DẠY (SYLLABUS) Môn học : Giải tích hàm nhiều biến Mỗi tuần: 4 tiết Lý thuyết + 2 tiết Bài tập

1

Thông báo đề cương môn học, cách cho điểm quá trình, lịch kiểm tra

$1 Hệ tọa độ trong không gian ba chiều Mặt cong

+ Hệ tọa độ và véc tơ trong không gian ba chiều (18.1)

+ Đường thẳng và mặt phẳng (18.4)

+ Các mặt cong trong không gian ba chiều: mặt trụ, mặt tròn xoay, mặt bậc

2 không suy biến (nhấn mạnh parabol eliptic, nón) (16.5-16.6)

3

2

$2 Đạo hàm riêng

+ Hàm số nhiều biến, miền xác định, đường mức, mặt mức (19.1)

+ Đạo hàm riêng cấp một, đạo hàm riêng cấp 2 (19.2)

+ Mặt phẳng tiếp xúc đối với mặt cong (19.3)

2

3

$3 Đạo hàm có hướng, đạo hàm hàm hợp, đạo hàm hàm ẩn

+ Số gia và vi phân của hàm hai biến Bổ đề cơ bản (19.4)

+ Khái niệm, công thức đạo hàm theo hướng (19.5)

+ Gradient và ứng dụng trong hình học (tiếp diện, pháp tuyến với mặt

cong)

2

4

$4 Đạo hàm hàm hợp Giới thiệu phương trình đạo hàm riêng

+ Quy tắc dây chuyền (19.6)

+ Đạo hàm hàm ẩn (19.10)

+ Giới thiệu phương trình truyền sóng, phương trình truyền nhiệt, phương

trình Laplace và Poison (19.9): luyện tập tính đạo hàm riêng

2

5

$5 Bài toán giá trị cực đại và cực tiểu (19.7)

+ Khái niệm cực đại, cực tiểu của hàm số

+ Điều kiện cần hàm hai biến có cực trị

+ Điều kiện đủ hàm hai biến có cực trị

+ Ứng dụng cực trị tự do của hàm hai biến trong các bài toán thực tế

2

Buổi Nội dung bài giảng Số tiết

$6 Cực trị có điều kiện (19.8)

+ Khái niệm cực trị có điều kiện và phương pháp nhân tử lagrange

+ Điều kiện đủ theo tiêu chuẩn vi phân toàn phần cấp hai 2

7

$7 Tích phân bội hai

+ Tính thể tích bằng tích phân lặp (20.1)

+ Khái niệm tích phân bội hai (20.2)

+ Cách tính tích phân bội hai theo miền thẳng đứng và nằm ngang đơn

giản Đổi thứ tự lấy tích phân (20.2)

+ Giới thiệu công thức: Các ứng dụng vật lý của tích phân bội hai (20.3)

2

9

$8 Tích phân bội hai trong tọa độ cực

+ Đổi biến trong tích phân bội

+ Đổi biến sang toạ độ cực (20.4)

3

10

$9 Tích phân bội ba (20.5)

+ Khái niệm tích phân bội ba

+ Cách tính tích phân bội ba

+ Vẽ miền và chọn cận trong tính tích phân bội ba

2

11

$10 Đổi biến trong tích phân bội ba

+ Hệ toạ độ trụ, hệ toạ độ cầu (18.7)

+ Đổi biến sang toạ độ trụ (20.6)

+ Đổi biến sang toạ độ cầu (20.7)

+ Ứng dụng tích phân bội ba: thể tích

2

12

$11 Tích phân đường trong mặt phẳng

+ Lý thuyết trường: grad, dive, curl và ý nghĩa vật lý

+ Bài toán tính công của lực biến đổi và khái niệm tích phân đường (21.1)

+ Cách tính tích phân đường

2

Buổi Nội dung bài giảng Số tiết

$13 Tích phân mặt và định lý phân nhánh (A22, trang 249)

+ Khái niệm tích phân mặt

Trong cỏc bài toỏn Vật lý ta thường xột một chuyển động điểm và t

được hiểu là thời gian được đo từ thời điểm mà chuyển động bắt đầu

Điểm P =( , )x y =( ( ), ( ))x t y t vạch một đường cong khi t biến thiờn:

t ≤ ≤ t t

Nhận xột: 1 Phương trỡnh tham số mụ tả

+ Quỹ đạo mà điểm di chuyển + Hướng của chuyển động

+ vị trớ của quỹ tớch đối với nhiều giỏ trị của t ,

2 Với mỗi t ta xỏc định được vị trớ của điểm ( ( ), ( )) P x t y t

3 Cú thể cú nhiều cỏch tham số húa một đường cong

Một điểm P =( , )x y chuyển động dọc theo đường cong trong mặt

phẳng xy, tại mỗi thời điểm t sẽ xác định vị trí của điểm

có nghĩa là R( )t ưR( )t0 có thể có giá trị nhỏ tuỳ ý khi lấy t đủ gần t0

Như vậy : R( )t =x t( )i+y t( ) ;j R( )t0 =x t(0)i+y t(0)j R( )t liên tục nếu ( )

nếu giới hạn đó tồn tại ta nói rằng hàm véc tơ ( )Rt có đạo hàm (khả vi) theo t , và giá trị giới hạn đó là đạo

hàm cấp 1 của ( )R t , ký hiệu : '( ),t d

dt

R R

dtR = dt i+dt j

tương tự đối với đạo hàm cấp hai : R"( )t

có hướng chính là hướng của chuyển động, độ dài bằng tốc độ của chuyển động.

Ví dụ 1 : Cho ( ) (4 cos 2 ) R t  t i(3 sin 2 )t j , hãy tìm quỹ đạo chuyển động của

điểm cuối P biểu diễn hàm véc tơ đó, tính vận tốc v và các điểm trên đường

trong đó v là lớn nhất và nhỏ nhất

Giải + Phương trình tham số 4 cos 2

+ Tốc độ nhỏ nhất là 6 khi sin 2t  , và đạt được khi P ở hai đầu trục phụ 0

+ Tốc độ lớn nhất là 8 khi sin 2t  do đó cos 21 t  nghĩa là P ở hai đầu trục chính 1

Vận tốc v của điểm chuyển động là tốc độ biến thiên vị trí của nó, gia

tốc a là là tốc độ biến thiên của vận tốc của điểm :

Nếu điểm dịch chuyển P là vị trí chuyển động cơ học của một vật có

khối lượng m chuyển động dưới tác động của lực F, theo Định luật II

Newton

F ma

Như vậy: lực và gia tốc có cùng hướng Cả F và a hướng tới bề lõm của

đường cong(trừ một số trường hợp ngoại lệ F và a có thể tiếp xúc với đường

Như vậy: Gia tốc luôn luôn hướng đến tâm của đường ellipse

Ví dụ 2: (Chuyển động tròn đều) Một vật có khối lượng m chuyển động

ngược chiều kim đồng hồ dọc đường tròn 2 2 2

x y r 2 với tốc độ không đổi

v Hãy tính gia tốc của vật và lực cần thiết để tạo ra sự chuyển động

Giả: + Đường cong quỹ đạo có thể viết như sau

Theo định luật của Newton, lực F cần thiết để tạo ra chuyển động phải hướng về tâm của đường tròn : Lực

Vì hướng của đường cong được quy định bởi góc φ từ trục Ox đến

tiếp tuyến, ta xét góc này như một hàm số của độ dài cung s và định

nghĩa độ cong k là tốc độ biến thiên của φ theo s :

d k ds

φ

= + k  có nghĩa là φ tăng khi s tăng và đường cong này dịch chuyển xa sang bên trái của đường tiếp 0

tuyến theo hướng dương

+ k  nghĩa là chuyển xa sang bên phải của tiếp tuyến 0

Nhận xét :  Đường thẳng có độ cong bằng không

 Đường tròn bán kính a có độ cong: 2 1

2

d k

d y dx k

dy dx

Ví dụ 1: Chứng minh rằng độ cong của parabola 2

y x là lớn nhất tại đỉnh của nó

Giải : Tính toán cụ thể ta có

x dy

Rõ ràng, đại lượng này có giá trị lớn nhất

khi x  nghĩa là tại đỉnh 0

II Mặt trụ Mặt tròn xoay Mặt bậc hai

0 Nhắc lại hệ tọa độ Đề cỏc trong ℝ3 Đường thẳng và mặt phẳng

1 Nhắc lại một số đường bậc hai trong mặt phẳng

Đường cong trong mặt phẳng xy thường có phương trình dạng ( , ) F x y = , các đường cô nic: 0

a ưb = ± (P) – Parabol: x2 = ±2py; y2 = ±2px

(C) - Đường tròn: (xưa)2 +(yưb)2 =R2…

2 Mặt trụ

a Định nghĩa: Xột một đường cong phẳng ( )C và một đường thẳng L

khụng song song với mặt phẳng của ( )C

Mặt trụ là hỡnh trong khụng gian được sinh ra bởi một đường thẳng dịch

chuyển song song với L và tựa trên ( ) C Đường thẳng chuyển động đó được gọi là đường sinh của mặt

trụ Đường cong ( )C goi là đường chuẩn

Nếu ( )C là đường tròn và L là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đưòng tròn khi đó ta được mặt

trụ tròn xoay

b Phương trình của mặt trụ: Giả sử đường cong cho trước ( )C có phương

trình (trong Oxy ): ( , ) F x y = và cho đường sinh song song với trục Oz 0

Khi đó phương trình ( , ) F x y = trong Oxyz cũng 0 là phương trình của mặt

trụ trong không gian ba chiều

Cách gọi tên: Mặt trụ + tên đường chuẩn+ ic

Kết luận Bất cứ một phương trình trong hệ toạ độ Oxy khuyết một biến đều biểu diễn một mặt trụ với các

đường sinh song song với trục toạ độ tương ứng với biến bị khuyết

+ =

Giải + Đây là phương trình của mặt trụ vì khuyết z trong Oxyz với các đường sinh song song với trục Oz

Mặt cong này được gọi là mặt trụ elliptic

Ví dụ 2 Vẽ mặt trụ 2

z =x Giải: Đây mặt trụ với các đường sinh song song với trục Oy vì khuyết

biến y trong phương trình Mặt cong này được gọi là mặt trụ parabolic

3 Mặt tròn xoay

a Định nghĩa: Một mặt cong do xoay đường cong phẳng ( )C quanh

một đường thẳng L không cùng thuộc mặt phẳng chứa ( ) C được gọi là

mặt tròn xoay với trục L

Đường cong ( )C lúc này gọi là đường sinh của mặt tròn xoay

b Mô tả phương trình mặt tròn xoay:

Giả sử đường cong ( )C nằm trong mặt phẳng Oyz có phương trình

Ví dụ 3 Nếu đuờng thẳng z 3y trong mặt phẳng Oyz xoay tròn quanh

trục Oz thì mặt tròn xoay là một mặt nón hai tầng với đỉnh tại gốc toạ độ

và trục là trục Oz Để có phương trình của mặt nón này chúng ta thay thế

y trong phương trình z 3y bởi 2 2

a Phương trình tổng quát của mặt bậc hai

Trong không gian ba chiều, dạng tổng quát của phương trình bậc hai có dạng:

Ax2+By2 +Cz2 +Dxy+Exz+Fyz +Gx +Hy+Iz + =J 0

giả thiết rằng tất cả các hệ số , , ,A B F không đồng thời bằng không nên bậc của phương trình thực sự là

bậc 2 Đồ thị của các phương trình này được gọi là mặt bậc hai

độ

+ Các lát cắt trong mặt phẳng Oxz và Oyz là các ellip:

thì chúng ta nhận thấy lát cắt ngang trong mặt phẳng z  là các ellip, và các k

elip này lớn dần khi dịch chuyển xa mặt phẳng Oxy

+ Lát cắt của mặt cong trong mặt phẳng Oyz là hyperbol : 2 2

thì các lát cắt ngang nằm trong mặt phẳng z  với k k ≥ là các ellip hoặc các c

điểm riêng biệt, còn các lát cắt ngang nằm trong mặt phẳng z  với k k < là c

+ Tất cả các lát cắt ngang bị căt bởi mặt phẳng z  với k k ≠ là các elip 0

+ Khi a  , mặt nón là mặt nón tròn b

Ví dụ 5: Mặt paraboloid elliptic(với ,a b cùng dấu): z =ax2 +by2

+Lát cắt thẳng đứng của mặt cong với mặt phẳng Oxz và mặt phẳng Oyz là

z =by mở quay lên và trong mặt phẳng Oxz là parabol

2

z = −ax mở quay xuống

+ Trong tất cả các mặt phẳng y  song song với mặt phẳng Oxz , các lát cắt là các parabol mở quay k

xuống và có các đỉnh chạy dọc theo parabol z =by2

+ Càng gần gốc toạ độ, mặt cong tăng theo y và giảm theox nên nó có hình dạng của yên ngựa hoăc khe

núi, vì vậy, mặt cong này thường đuợc gọi là mặt yên ngựa với gốc toạ độ là tâm yên ngựa

Về nhà: Tự đọc các Mục 18.1 đến 18.4

Bài tập: Tr 44, 50, 55

Đọc trước các Mục 19.1, 19.2, 19.3 chuẩn bị cho Bài số 2:

Hàm nhiều biến Đạo hàm riêng Mặt phẳng tiếp xúc

Bài số 2 HÀM NHIỀU BIẾN ĐẠO HÀM RIÊNG

MẶT PHẲNG TIẾP XÚC VỚI MẶT CONG

I Hàm số nhiều biến

1 Định nghĩa: Cho ( , )x y ∈D⊆ℝ2 = ℝ×ℝ, quy tắc cho tương ứng

mỗi cặp ( , )x y một phần tử duy nhất z ∈ ℝ được gọi là một hàm số của

hai biến x và y, ký hiệu : z = f x y( , )

Tương tự ta cũng có khái niệm của hàm số n biến với n ≥3

Ví dụ:

+ Trong hình học giải tích không gian: phương trình 2 2

z =x −y (p/t của mặt yên ngựa) là hàm số hai biến ,x y , lúc này mặt yên ngựa là đồ thị của hàm số này

+ Nếu chúng ta cho nhiệt độ tại điểm P biến thiên theo thời gian t , thì T = f x y z t( , , , )

2 Miền xác định

Xét hàm số hai biến z = f x y( , ), miền xác định của nó là tập hợp tất cả các điểm ( ; )P x y trong mặt phẳng

Oxy sao cho tồn tại một tương ứng z

Tương tự cũng có định nghĩa miền xác định đối với các hàm số trong không gian Oxyz , không gian Oxyzt,

nếu với mọi điểm ε > 0 nhỏ tuy ý luôn tồn tại số δ=δ ε( )>0 sao cho với mọi điểm M x y sao cho ( , )

Chú ý: Ta cũng có định nghĩa tương tự đối với hàm 3 biến, hàm n biến ( n> 3), các định nghĩa khác về

giới hạn của hàm nhiều biến cũng được định nghĩa tương tự như đối với các hàm một biến

4 Tính liên tục: Hàm số ( , )f x y được nói là liên tục tại một điểm ( , )x y o o trong miền xác định của nó nếu

giá trị ( , )f x y tiến gần tới f x y( , )o o khi ( , )x y đủ gần với ( , )x y o o , nghĩa là f x y( , )−f x y( , )o o bé tuỳ ý

+ + nên không thể dần tới f(0, 0)=0 khi ( , )x y đủ gần (0; 0).

Các hàm số sơ cấp thì liên tục tại điểm bất kì thuộc miền xác định của nó Tương tự tính liên tục được định

nghĩa đối với hàm số của ba hay nhiều hơn biến

5 Đường mức

Định nghĩa:Xét hàm số z = f x y( , ) Một đường cong

được gọi là một đường mức nếu nó nằm trong miền xác định

của hàm số, và trên đó z = f x y( , ) có giá trị không đổi c

Ứng dụng: + Mô tả bản chất hình học của một hàm số

nhiều biến (khi khó vẽ đồ thị của nó)

+ Trong vẽ bản đồ địa hình với thung lũng, đồi và núi: nhận được một hình ảnh rõ ràng về các sự thể trên

mặt đất trong không gian ba chiều từ sự mô tả trong không gian hai chiều

Tập hợp các đường mức được gọi là bản đồ trắc địa

6 Mặt mức

Chúng ta không thể vẽ đồ thị đối với hàm ba biến vì khi đó cần một không gian hữu hình bốn chiều để chứa

đồ thị Tư tưởng của đường mức sẽ dẫn tới khái niệm mặt mức

Định nghĩa Xét hàm số ba biến w =f x y z( , , ) Một mặt cong được gọi là một mặt mức nếu nó nằm

trong miền xác định của hàm số, và trên đó w = f x y z( , , ) có giá trị không đổi c

Ứng dụng : Mặt mức có thể khó vẽ, nhưng kiến thức về chúng có thể giúp chúng ta định dạng ý tưởng

trực giác có ích về bản chất của các hàm số này

Ví dụ 3: +Xét hàm số w = +x 2y +3z , có mặt mức là các mặt phẳng x+2y+3z =c

+ Hàm số w = x2 +y2 +z2 , có mặt mức là khối cầu đồng tâm 2 2 2

x +y +z =c

II ĐẠO HÀM RIÊNG

1 Định nghĩa: Xét hàm hai biến z  f x y( ; ), trước hết chúng ta giữ y cố định và cho x biến thiên Tốc

độ biến thiên của z theo x được kí hiệu là z

Tương tự ta cũng có định nghĩa đạo hàm riêng cho hàm nhiều hơn hai biến

Quy tắc: lấy đạo hàm riêng của hàm nhiều biến số theo một biến chúng ta coi tất cả các biến độc lập

khác là hằng số và khi đó ta thực hiện các phép toán đạo hàm riêng (theo một biến đó) như các phép

toán lấy đạo hàm của hàm một biến

+ Đối với hàm nhiều biến: đạo hàm riêng không được hiểu theo cách như vậy

được liên hệ với nhau bởi phương trình

Kết quả bằng -1 : không thể coi các đạo hàm riêng ở vế trái như là các phân số

2 Ý nghĩa hình học của đạo hàm riêng cấp một

Xét h/số hai biến z  f x y( ; ) có đồ thị là một mặt

cong

Xét điểm ( , )x y0 0 trong mặt phẳng Oxy tương ứng với

điểm ( , , )x y z0 0 0 trên mặt cong Giữ y cố định tại điểm

0

y nghĩa là chia mặt cong bởi mặt phẳng y =y0, và

giao là đường cong z = f x y( , )0 0 trong mặt phẳng đó

Số

0 0

0 0 ( , )

x α

Tương tự, giao của mặt cong với mặt phẳng x =x0 là đường cong z = f x y( , )0 0 ,và đạo hàm riêng còn lại

là độ nghiêng của tiếp tuyến đối với đường cong tại y =y0, và

0 0

( , ) 0, 0tan z x y f x y y( )

y β

3 Đạo hàm riêng cấp cao

Đối với hàm hai biến z  f x y( ; ), các đạo hàm riêng f x = f x y x( , ) và f y = f x y y( , ) cũng là các hàm số hai

biến, và có thể chúng cũng có các đạo hàm riêng

Như vậy các đạo hàm riêng cấp hai được định nghĩa thông qua đạo hàm riêng cấp một

x

f f x

∂

=

f f y

 Các đạo hàm riêng cấp hai hỗn hợp:

∂ ∂ ∂ ∂ , tức là thứ tự lấy đạo hàm riêng trong trường hợp này không quan

trọng Tuy nhiên điều này không phải lúc nào cũng đúng

Điều kiện quan trọng : Nếu x

2

y

f f

x y

∂

=

∂ ∂ tồn tại đối với tất cả các điểm gần ( , )x y0 0

và liên tục tại điểm đó thì f xy( ,x y0 0)=f yx( ,x y0 0)

Các đạo hàm riêng cấp lớn hơn hai, cũng như các đạo hàm cấp cao của các hàm số nhiều hơn hai biến, được

định nghĩa tương tự

Xét w  f x y z( ; ; ) thì :

( ) ( )

III MẶT PHẲNG TIẾP XÚC ĐỐI VỚI MẶT CONG

Xét mặt cong z  f x y( ; ), mặt phẳng y = y0 giao với mặt cong

này theo đường cong ( )C1 có phương trình là

z =f x y( , 0),

và mặt phẳng x = x0 giao với mặt cong này theo đường cong ( )C2 có phương trình là : z = f x( , )0 y

Độ dốc của các đường thẳng tiếp xúc đối với các đường cong này tại điểm P =( ,x y z0 0, 0) là các đạo hàm

riêng :f x y x( ,0 0) và f x y y( ,0 0) Hai đường thẳng tiếp xúc này xác định một mặt phẳng, nếu mặt cong đủ

trơn gần P0 thì mặt phẳng này sẽ tiếp xúc đối với mặt cong tại P0

1 Định nghĩa: Cho P0 là một điểm trên mặt cong có p/t z  f x y( ; ), T là mặt phẳng qua P0 và cho P là

một điểm bất kì khác trên mặt cong Nếu, khi P tiến tới P0 dọc theo mặt cong, góc giữa đoạn thẳng P0 P và

mặt phẳng T tiến tới không, thì T được gọi là mặt phẳng tiếp xúc đối với mặt cong tại P0

Chú ý: Một mặt cong không nhất thiết có mặt phẳng tiếp xúc tại P0

, xét nửa mặt nón 2 2

z = x +y Rõ ràng các đường cong (C1) và (C2) không có đường thẳng tiếp xúc tại gốc toạ độ, và các đạo hàm

riêng không tồn tại ở đây Kể cả khi các đường cong (C1) và (C2) đủ

trơn để có các đường thẳng tiếp xúc tại P0, mặt cong có thể vẫn

không có mặt phẳng tiếp xúc tại P0, bởi vì quan hệ không trơn gần

P0 trong miền giữa (C1) và (C2)

2 Véc tơ pháp tuyến và phương trình mặt phẳng tiếp xúc:

Xétmặt cong có p/t z  f x y( ; )

Giả sử tồn tại mặt phẳng tiếp xúc tại điểm P0 =( ,x0 y z0, 0) Các véc tơ V1 và V2 tiếp xúc với đường

cong (C1) và (C2) tại P0:

V 1 = +i 0j+f x y x( , )0 0 k tiếp xúc với (C1) tại P0

V 2 =0i+ +j f x y i( , )0 0 k tiếp xúc với (C2) tại P0

Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng tiếp xúc:

Ví dụ 10 Tìm mặt phẳng tiếp xúc với mặt cong : z = f x y( , )=2xy3−5x2 tại điểm (3, 2, 3)

Giải: + Kiểm tra xem điểm (3, 2, 3) nằm trên mặt cong đã cho

+ Ta có f x =2y3−10x và f y =6xy2 nên f x(3,2)= −14 và f y(3, 2)=72

+ Vậy phương trình của mặt phẳng tiếp xúc là …

(Chú ý giải thích tại sao tồn tại mặt phẳng tiếp xúc ?????)

Ví dụ 11 Tìm mặt phẳng tiếp xúc với hình cầu : 2 2 2

Phương pháp khác : Ta thấy phương trình xác định z là hàm ẩn của x và y , và sẽ tìm các đạo hàm

riêng bằng đạo hàm hàm ẩn Với phương pháp này chúng ta có phương trình mặt phẳng tiếp xúc là

Ví dụ 12 Tìm mặt phẳng tiếp xúc của ví dụ 2 bằng phương pháp vừa đề nghị

+ Trước hết chúng ta giữ y cố định và đạo hàm hàm ẩn đối với x , dẫn đến

P

z x

P

z y

Bài số 3

VI PHÂN ĐẠO HÀM THEO HƯỚNG GRADIENT

I SỐ GIA VÀ VI PHÂN BỔ ĐỀ CƠ BẢN

1 Nhắc lại: Xét hàm số một biến: y  f x( ) có đạo hàm tại

điểm x0 Nếu x∆ là một số gia từ x0 tới điểm x0 + ∆ , ta x

có số gia tương ứng của y:

 Có thể viết ở dạng tương đương

∆ =y f x'( )0 ∆x + ε∆x trong đó ε→0 khi ∆ →x 0

 Vi phân của hàm số là dy= f x dx′( )0

Chú ý : Đối với hàm số một biến y  f x( )

+ Có đạo hàm tại một điểm thì liên tục tại điểm đó

+ Có đạo hàm tại một điểm thì sẽ khả vi tại điểm đó

+ dy biến thiên theo y dọc theo tiếp tuyến

2 Vi phân của hàm hai biến

Xét hàm số z  f x y( ; ) và cho ( , )x y0 0 là một điểm tại

đó các đạo hàm riêng f x y x( , )0 0 và f x y y( , )0 0 đều tồn tại

+ Số gia của z là :

∆ =z f x( 0+ ∆x y, 0 + ∆y )−f x y( 0, 0)

+ Ta có thể viết dưới dạng:

∆ =z f x y x( , )0 0 ∆x + f x y( ,0 y0)∆ +y ε1 ∆ +x ε2 ∆y (*)

∆ có thể biểu thị dạng (*) trong đó ε1 và ε2 →0 khi ∆x và ∆ →y 0

Định nghĩa: Cho hàm số z  f x y( ; ) sao cho các đạo hàm riêng của nó f x và f y xác định tại điểm

0 0

( , )x y , (tức f x y x( , )0 0 , f x y y( , )0 0 tồn tại) và ở lân cận của điểm này hơn nữa các đạo hàm riêng đó liên

tục tại ( , )x y0 0 , khi đó ta nói rằng z  f x y( ; ) khả vi tại ( , )x y0 0 , và định nghĩa vi phân dz bởi :

Chú ý + Với giả thiết hàm số khả vi, ta có thể chứng minh rằng mặt cong z  f x y( ; ) có một tiếp diện

tại ( ,x0 y z0, 0) và dz là sự thay đổi theo z dọc theo mặt phẳng này

+ Hàm số z  f x y( ; ) khả vi tại một điểm thì liên tục tại đó (vì khi ∆x và ∆ →y 0 thì ∆ →z 0.)

+ Sự tồn tại của các đạo hàm riêng f x và f y tại một điểm không kéo theo sự liên tục của ( ; ) f x y tại

II Đạo hàm theo hướng

1 Trường vô hướng

Cho hàm số w= f x y z( , , ) xác định trong một miền D , khi đó ta nói rằng ta đã xác định một trường vô

hướng trên miền D đó

2 Đạo hàm theo hướng Gradient

 Nhận xét: Cho f x y z : xác định trên một miền của không gian ( , , ) ℝ3,

P là một điểm trong miền này, khi đó tốc độ biến thiên của hàm f theo

hướng dương của các trục Ox , Oy , và Oz được xác định bởi các đạo

∂

∂ , và

f z

b Đạo hàm theo hướng

Khái niệm : Xét điểm P=( , , )x y z và R=xi+ +yj zk là véc tơ chỉ vị trí của P , một hướng xác định

hàm f sẽ thay đổi một lượng là ∆f

Khoảng cách giữa P và Q là ∆ = ∆s | R|, phân số f

s

∆

∆ là tốc độ biến thiên trung bình của f (về mặt

khoảng cách) khi di chuyển từ P đến Q (Chú ý s là tham số tự nhiên)

Giá trị giới hạn của f

Chẳng hạn, nếu f là hàm nhiệt độ, df

ds biểu diễn tốc độ biến thiên tức thời của nhiệt độ theo khoảng cách-

theo cách nào nhanh nhất để nhiệt độ trở lên nóng hơn tại P khi chúng ta di chuyển điểm P theo

ds là véc tơ đơn vị, có cùng hướng với u và do đó bằng u Khi đó công thức (5) tương

đương với: df (grad f ).u

Tính chất 1: Đạo hàm theo hướng df

ds theo một hướng nào đó cho trước là tích vô hướng của grad f và véc tơ đơn vị theo hướng đó

Chú ý: + Đạo hàm theo hướng df

ds của một hàm nhiều biến là đại lượng vô hướng

+ Giá trị df

ds phụ thuộc vào hướng cần tính đạo hàm và tọa độ điểm P + Nếu hàm số f x y z( , , ) khả vi tại điểm P thì tại điểm đó nó có đạo hàm theo mọi hướng tại điểm

đó

Như vậy, vectơ grad f bao hàm tự bên trong nó đạo hàm theo hướng

của f tại P theo mọi hướng có thể

Nếu chọn u cùng hướng với hướng của grad f, thì θ= và cos0 θ = , 1

từ (7) thấy rằng df

ds đạt giá trị lớn nhất - có nghĩa là f tăng nhanh nhất - theo hướng này Do vậy giá trị lớn nhất này chính là | grad |f

Tính chất 2: Hướng của véc tơ grad f trùng với hướng mà theo hướng đó hàm f tăng nhanh nhất

Tính chất 3 : Độ dài của véc tơ grad f là tốc độ tăng lớn nhất của f

( , , )

f x y z =x − + , tìm đạo hàm theo hướng y z df

ds tại điểm P(1, 2,1) theo hướng của véc

tơ v = 4i−2j+4k

Giải : + Tại điểm P(1,2,1) ta có gradf =(2xi− +j 2zk )(1,2,1) =2i− +j 2k

+ Véc tơ đơn vị theo hướng đang xét :

P theo hướng đã cho

Ví dụ 2: Nhiệt độ của không khí tại các điểm trong không gian được xác định bởi hàm

( , , )

f x y z =x − + Một con muỗi đậu tại P (1,2,1) với mong muốn được mát nhanh nhất Nó nên bay y z

theo hướng nào?

Giải :

+ Từ Ví dụ 1 ta thấy rằng gradf = − +2i j 2k tại P(1,2,1)

+ Bởi vì hướng của grad f là hướng mà theo hướng đó nhiệt độ tăng nhanh nhất, con muỗi nên bay theo

hướng ngược với hướng đó, nghĩa là theo hướng −grad f = - 2i+ j- 2k

Xét P x y z0( 0, ,0 0) là điểm cố định, và ta cho c0 là giá trị của hàm f tại điểm P0 Tập hợp tất cả các điểm

trong không gian mà tại đó f x y z( , , ) có cùng giá trị c0 tạo là mặt mức chứa điểm P0 có phương trình

0

( , , )

f x y z =c Chúng ta thấy rằng véc tơ grad f là pháp tuyến (vuông góc) của mặt đó tại P0 Nếu ta di

chuyển đến điểm gần Q trên đường này với độ dịch chuyển s dọc theo đường đó, thì ∆ =f 0 bởi vì f có

giá trị không đổi tại mọi điểm trên mặt, và từ đó df 0

ds = tại P0 theo hướng tiếp tuyến của đường cong Từ công thức (5) dẫn đến

Tính chất 4: Gradient của hàm f x y z( , , ) tại điểm P0 là pháp tuyến của mặt mức của f tại điểm P0

Phương trình của mặt cong bất kì trong 3

ℝ đều có thể viết dưới dạng f x y z( , , )=c0, và do đó có thể xem xét như là mặt mức của hàm w= f x y z( , , ) Nếu P0 =(x y z0, ,0 0) là một điểm trên mặt này, thì Tính chất 4 cho

Ví dụ 3: Tìm phương trình của tiếp diện và pháp tuyến của mặt xy z2 3 =12 tại điểm P(3, 2,1− )

Giải: + Mặt này là mặt mức của hàm f x y z( , , )=xy z2 3

+ Véc tơ grad f tại điểm (3, 2,1− ) là VTPT của mặt tại điểm này:

1 Đạo hàm theo hướng và gradient được sử dụng chủ yếu trong hình học và vật lý trong không gian 3

chiều Tuy nhiên, những khái niệm đó cũng có thể được định nghĩa trong không gian hai chiều, chúng cũng

có các tính chất một cách tương tự (tuy ít hơn) Bởi vì đường f x y( , )=c0 có thể hiểu là đường mức của

hàm z =f x y( , ) và gradient của hàm này được định nghĩa bởi

Tương tự như toán tử vi phân d

dx , khi del tác động vào hàm f nó cho ta véc tơ grad f

1 Đạo hàm hàm hợp

 Nhắc lại trường hợp hàm một biến: Cho y =f x( ) và x =g t( ) với t ∈ , khi đó ta có hàm hợp D y =f g

được xác định bởi y =(f g t)( )= f g t ( ) Nếu f g, là các hàm khả vi thì y = f g t ( ) cũng là hàm khả vi

theo biến t và đạo hàm của y theo biến t đước tính thông qua quy tắc dây chuyền:

dy dy dx

dt =dx dt (1)

 Đối với hàm nhiều biến:

a) Trường hợp 1: Giả sử w =f x y( , )trong đó: x =g t( ) và y =h t( ) là các hàm khả vi Khi đó hàm hợp

Đây là quy tắc dây chuyền trong đối với hàm hai biến

 Ví dụ 1: Cho w =3x2 +2xy− ở đó y2 x =cost và y =sint, tìm dw

+ Đổi biến x =cost và y =sint , ta có thể viết biểu thức này chỉ theo biến t,

(6 cos 2 sin )( sin ) (2 cos 2 sin (cos ))

6 cost −sint +2 sin −sint +2 cos t−2 sin cost t

Tổng quát: Công thức (2) mở rộng đối với số biến trung gian bất kì

x + y + z

+ Tương tự đối với trường hợp w = f x ( 1, , ,x2 x n) trong đó x i =x t i( ), i=1,2, ,n

b) Trường hợp 2: Nếu w=f x y( , ), trong đó ( , )

x y

w t

Khi đó w là hàm phu thuộc hai biến mới t và u và các đạo

hàm riêng của chúng được xác định bởi

w t

2 Đạo hàm dưới dấu tích phân

Cho hàm số f x y( , ): xác định, liên tục và có các đạo hàm riêng cấp một liên tục trong miền chữ nhật đóng

− , với đk mẫu số khác không

Để ý rằng: trong (3) ta không dễ dàng tìm được công thức hiện y =f x( ), tuy nhiên ta vẫn có thể tìm được đạo

hàm của y theo x

Ví dụ 7: Xét phương trình : F x y( , )=x2+y2 = 1 (4)

là p/t của đường tròn đơn vị và đó là đường mức của hàm số F x y( ), =x2+y2 Đồ thị của (4) không phải là

đồ thị của một hàm số Cụ thể, nếu y0 >0 thì (x y0, 0) thuộc đồ thị của hàm số

b) Định nghĩa hàm ẩn

 Định nghĩa: Hàm y =f x( ) sao cho F x f x , ( ) = c(với mọi x ∈D f ) được gọi là hàm ẩn xác định bởi

Từ (7) ta thấy: Đồ thị của hàm thứ nhất là tập rỗng, của hàm thứ hai chỉ là một điểm nên không tồn tại hàm ẩn

+ Từ phương trình F x y z( , , )=c, ta cũng có thể nhận được hàm ẩn (2 biến) z = f x y( , ) nếu

( , , ( , ))

F x y f x y =c với mọi ( , )x y ∈D f

Câu hỏi đặt ra:

1 Liệu có phải luôn tìm được hàm ẩn từ phương trình F x y( ), = ? c

2 Không tìm được công thức cụ thể của hàm ẩn thì ta có tìm được công thức tính đạo hàm của hàm ẩn

  Nếu ∂∂F z ≠0 tại điểm (x y z0, ,0 0) trên mặt F x y z( , , )= , c thì trong lân cận của

điểm này xác định duy nhất một hàm ẩn z =f x y( , ) sao cho z0 =f x y( , )0 0 , và hơn nữa các đạo hàm riêng

của hàm số này được xác định bởi:

x

z

F z

F z

do vậy đồ thị này không rỗng

Cách 1: Chúng ta đạo hàm hai vế (9) theo biến x (coi y là hằng số), dẫn đến

nếu mẫu số khác 0 (dễ thấy trong lân cận điểm (1,2, 1− : ta có mẫu số khác 0) )

 Nhận xét: + Hạn chế của phương pháp trên là: không biết ban đầu liệu đã tồn tại một hàm ẩn z =f x y( , )

hay chưa?

+ Lấy đạo hàm hàm ẩn theo mỗi biến trong ba biến được xem xét theo một cách khác, và nó thực sự dễ

dàng bị mất phương hướng nên làm gì tiếp theo

điều đó tránh được sự hỗn độn khi lấy đạo hàm hàm ẩn

 Ví dụ 10: Định lí hàm ẩn (đối với hai biến) cho phép cho chúng ta hoàn thiện Bài toán tìm đạo hàm của hàm

ngược của hàm cho trước g y( )=x

Một trong những ứng dụng cơ bản của đạo hàm các hàm số một biến là các bài toán giá trị cực đại và giá

trị tiểu (cực trị) xuất hiện trong các bài toán hình học và vật lý

Có 2 quy tắc cơ bản để tìm cực trị đối với hàm một biến số:

1 Dựa vào sự đổi dấu của đạo hàm cấp một khi đi qua các điểm tới hạn

2 Dựa vào việc xét dấu của đạo hàm cấp hai tại các không điểm của đạo hàm cấp một

Bài toán cực trị đối với hàm hai hay nhiều biến phức tạp hơn nhiều Ở đây chúng ta quan tâm tới bài

toán cực trị của hàm hai biến thông qua việc khảo sát đạo hàm cấp hai

1 Một số khái niệm

Định nghĩa 1: Cho hàm số z =f x y( , ) xác định trong lân cận của P x y0( , )0 0

a) Nếu f x y( , )< f x y( , )0 0 với mọi ( , )x y trong lân cận của P x y0( , )0 0 trừ đi điểm đó, đồng thời

0 0

( , ) ( , )

f x y = f x y thì ta nói rằng hàm số z =f x y( , ) đạt cực đại tại P x y0( , )0 0 và ( , )x y0 0 gọi là điểm cực

đại của hàm số, z0 = f x y( , )0 0 gọi là giá trị cực đại của hàm số đó

b) Nếu f x y( , )> f x y( , )0 0 với mọi ( , )x y trong lân cận của P x y0( , )0 0 trừ đi điểm đó, đồng thời

0 0

( , ) ( , )

f x y = f x y thì ta nói rằng hàm số z =f x y( , ) đạt cực tiểu tại P x y0( , )0 0 và ( , )x y0 0 gọi là điểm cực

tiểu của hàm số, z0 = f x y( , )0 0 gọi là giá trị cực tiểu của hàm số đó

Nếu hàm số đạt cực đại (hoặc cực tiểu) tại ( , )x y0 0 thì ta gọi chung đó là điểm cực trị của hàm số và giá trị của

hàm số lúc này gọi là cực trị của hàm số đó

Định nghĩa 2: Cho hàm số z = f x y( , ) có miền xác định D Nếu f x y( , )≤M (t.ư f x y( , )≥m) với mọi

( , )x y trong miền D, hơn nữa tồn tại ( , )x y0 0 thuộc D sao cho M = f x y( , )0 0 (t.ư m = f x y( , )0 0 ) thì ta nói

rằng hàm số z = f x y( , ) đạt giá trị lớn nhất (t.ư nhỏ nhất) tại ( , )x y0 0 và z0 = f x y( , )0 0 là giá trị lớn nhất

(t.ư giá trị nhỏ nhất) của hàm số đó trên miền D

Nhận xét:

 Khái niệm cực đại, cực tiểu chỉ mang tính chất địa phương

 Nếu hàm số đạt cực trị tại một điểm P thì điểm đó là điểm trong (không là điểm biên nếu MXĐ là miền

đóng) của MXĐ

 Trên MXĐ, hàm số có thể đạt nhiều cực trị (cực đại, cực tiểu) khác nhau

 Nếu MXĐ là miền đóng, hàm số z =f x y( , ) liên tục trên MXĐ đó và đạt cực trị trên MXĐ Ta so sánh các

giá trị cực trị đó với các giá trị của hàm số trên biên, khi đó:

+ Giá trị lớn nhất trong các giá trị đó cũng là GTLN của hàm số trên MXĐ đó

+ Giá trị nhỏ nhất trong các giá trị đó cũng là GTNN của hàm số trên MXĐ đó

 Tuy nhiên có những trường hợp hàm số z =f x y( , ) đạt GTLN (hoặc GTNN) nhưng chưa chắc đạt cực đại

(hoặc cực tiểu)

 Nếu MXĐ là miền mở, hàm số z =f x y( , ) liên tục trên MXĐ có duy nhất một điểm tới hạn (dạng điểm

dừng – điểm mà tại đó các ĐHR cấp 1 triệt tiêu ) và đạt cực trị tại điểm tới hạn đó, khi đó:

+ Nếu cực trị đó là cực đại thì giá trị cực đại đó cũng là GTLN của hàm số trên MXĐ

+ Nếu cực trị đó là cực tiểu thì giá trị cực tiểu đó cũng là GTNN của hàm số trên MXĐ

2 Điều kiện cần cực trị của hàm hai biến

 Giả sử rằng hàm số z =f x y( , ) đạt giá trị cực đại tại điểm P x y0( , )0 0 (là một điểm trong của miền xác định

của nó), khi đó z =f x y( , ) xác định và f x y( , )≤f x y( , )0 0 trên lân cận của P0

+ Nếu chúng ta cố định y tại y0 thì z = f x y( ), 0 chỉ là hàm của x, và nó sẽ đạt giá cực đại tại x =x0, do đó

∂ (1)

Ta cũng có nhận xét tương tự trong trường hợp số z =f x y( , ) đạt giá trị cực tiểu tại điểm P x y0( , )0 0

Định lý: Nếu hàm số z =f x y( , ) đạt cực đại hoặc cực tiểu tại điểm ( , )x y0 0 , và tại đó hàm số có đạo hàm cấp

+ Tuy nhiên, cũng như đối với hàm một biến, điều ngược lại không đúng, để ý điểm yên ngựa như hình

trên bên phải cũng thoả mãn (1) và tại P x y0( , )0 0 hàm số đạt cực đại theo một hướng và đạt giá trị cực tiểu theo

hướng khác

Điểm (x y0, 0) mà tại đó cả hai đạo hàm riêng cấp một của hàm số z =f x y( , ) bằng không là điểm dừng

(một dạng điểm tới hạn) của hàm số đó

Như vậy, (x y0, 0) là điểm cực trị của hàm số thì nó phải là điểm tới hạn

+ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ( , )x y =( , )x y0 0 =(1, 3), và tại đó hàm số đạt GTNN

+ Điểm ( , )x y0 0 =(1, 3) cũng là điểm mà tại đó hàm số đạt cực tiểu (duy nhất) trên MXĐ

+ Như vậy điểm tới hạn (0, 0) không thể là điểm cực trị của hàm số (điểm này là điểm yên ngựa)

3 Điều kiện đủ cực trị của hàm hai biến

Định lý: Nếu f x y( , ) có đạo hàm đến cấp hai liên tục trong một lân cận của điểm tới hạn (x y0, 0) và nếu

số D (gọi là biệt số) xác định bởi:

i) Điểm cực đại nếu D  và 0 f xx(x y0, 0)< ; 0

ii) Điểm cực tiểu nếu D  và 0 f xx(x y0, 0)> ; 0

iii) Điểm yên ngựa nếu D  0

Hơn nữa, nếu D  thì chưa thể đưa ra kết luận, và bất kì khả năng nào từ (i) đến iii) đều có thể xảy ra 0

+ Tính đạo hàm riêng và giải hệ:

do vậy h/số có một điểm tới hạn M0(−2,1)

+ Tính đạo hàm riêng cấp hai

+ Tại M1(0, 0) ta có : A=0;B =3;C =0, do đó D = − < , nên điểm này không phải là điểm 9 0

cực trị của hàm số mà là điểm yên ngựa

+ Tại M2(1,1) ta có A=6;B =3;C =6, do đó D=27>0, hơn nữa A= > nên hàm số đạt 6 0

cực tiểu tại M2(1,1) và GTCT đó là: 1

4 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm hai biến

Ví dụ 5 Tìm các kích thước của hình hộp chữ nhật bỏ mặt trên và có thể tích không đổi 4ft mà diện tích 3

+ Theo BĐT Cauchy khẳng định tại x = =y 2 hàm số đạt GTNN

+ Kết luận: hình hộp có diện tích mặt nhỏ nhất khi mặt đáy là một hình vuông và các kích thước là:

x = =y z =

 Cách 2 : Gọi các kích thước như trên và xét hàm số hai biến