Slide bai giang mon giai tich 1 cua tac gia le xuan dai

Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn TP... Giới hạn vô cùng bé của hàm số... Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao.l

01 Gioi Han Lien Tuc Cua Ham Mot Bien

02 Gioi Han Cua Day So

03 Dao Ham Vi Phan Ham Mot Bien

04 Phuong Trinh Vi Phan Cap 1

05 Phuong Trinh Vi Phan Cap 2

06 He Phuong Trinh Vi Phan

07 Tich Phan Xac Dinh

08 Tich Phan Bat Dinh

09 Tich Phan Suy Rong

10 Ung Dung Cua Tich Phan

Mục Lục

GIỚI HẠN - TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN

Bài giảng điện tử

TS Lê Xuân Đại

Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng

Email: ytkadai@hcmut.edu.vn

TP HCM — 2013

Lý thuyết tương đối của Albert Einstein

Nếu L0 là khoảng cách từ người đứng yên đến vậtđang đứng yên, L là khoảng cách từ người đứngyên đến vật đang chuyển động với vận tốc v (m/s)thì ta có công thức

Theo yêu cầu bài toán chúng ta cần tìm

Định nghĩa điểm giới hạn

Cho X ⊂ R là 1 tập hợp số nào đó, còn a ∈ R là

1 số cố định nào đó

Định nghĩa

Nếu số a ∈ R là điểm giới hạn của tập hợp

X ⊂ R, thì tồn tại dãy số (xn) ⊂ X \ a hội tụ vềđiểm a này xn → a

Định nghĩa

Tập hợp (a − ε, a + ε), với ε > 0 là số tùy ý, đượcgọi là lân cận của a Kí hiệu O(a, ε)

Ví dụ

Tìm giới hạn I = lim

n→∞

ln nn

xn = n → ∞, ta có f (xn) = ln n

n → 0 Vậy I = 0

Chú ý Nếu tồn tại 2 dãy (xn), (yn) cùng hội tụ về

a nhưng f (xn), f (yn) tiến tới 2 giới hạn khác nhau

thì KHÔNG TỒN TẠI giới hạn lim

2 → 0 và yn = nπ1 → 0 Ta cólim

Xa+ = {x ∈ X \ x > a}, Xa− = {x ∈ X \ x < a}.Cho hàm số f (x ) xác định trên tập hợp X ⊂ Rcòn a ∈ R là điểm giới hạn của tập hợp Xa+(Xa−).

x →a−0f (x ), f (a − 0)

f (0 − 0) = lim

x →0−0f (x ) = −1

Cho a ∈ R là điểm giới hạn của tập hợp

x →a−0f (x ) = A

Tính chất của giới hạn của hàm số

x →a[f (x ) ± g (x )] = A ± Blim

Phân loại giới hạn của hàm số

Các dạng không phải vô định

Tính chất của giới hạn của hàm số

1o Nếu hàm số f (x ) khi x → a có giới hạn hữuhạn lim

x →af (x) = A thì giới hạn đó là duy nhất

x →af (x ) = A

Giới hạn vô cùng bé của hàm số

Cho hàm số α = α(x ) xác định trên tập hợp

X ⊂ R và số a là điểm giới hạn của tập hợp X

Định nghĩa

Hàm số α = α(x ) được gọi là hàm vô cùng bé

(VCB) khi x → a, nếu như giới hạn của nó bằng 0

lim

x →aα(x ) = 0

Cho hàm số α = α(x ) và β = β(x ) xác định trêncùng 1 tập hợp X ⊂ R và số a ∈ R là điểm giớihạn của tập hợp X

3o Nếu α = α(x ) là VCB khi x → a thì với mọi

∀c ∈ R tích c.α(x ) cũng là VCB khi x → a

4o  α = α(x) −VCB khi x → a

β = β(x) −VCB khi x → a

⇒ α.β = α(x).β(x) = α(x).β(x)−VCB khi x → a

Định nghĩa

Những VCB α = α(x ) và β = β(x ) khi x → ađược gọi là tương đương nếu như lim

x →a

α(x)β(x ) = 1 Kíhiệu α(x ) ∼ β(x ) khi x → a hay α(x ) x →a∼ β(x)

Nguyên lý thay thế VCB tương đương

giới hạn trên tồn tại

Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao.

lim

x →a

Tổng hữu hạn các VCBTổng hữu hạn các VCB =

= lim

x →a

Tổng các VCB có bậc thấp nhất của tửTổng các VCB có bậc thấp nhất của mẫu

Chú ý Tổng các VCB có bậc thấp nhất của tử vàmẫu phải TỒN TẠI, có nghĩa là chúng không bịtriệt tiêu

Khi x → 0 những hàm VCB sau tương đương

1 sin x ∼ x, tan x ∼ x , 1 − cos x ∼ 1

5 (1 + x)µ − 1 ∼ µ.x(µ ∈ R), √1 + x − 1 ∼ x

2,n

Bảng các VCB tương đương thường gặp khi x → 0.

đương

Cách sử dụng VCB tương đương khi tính giới hạn

Định lý

Nếu α(x ) → α0 6= 0 và β(x) ∼ β(x) khi x → athì α(x ).β(x ) ∼ α0.β(x) khi x → a

Những lỗi SAI thường gặp

1 Nếu f (x ), g (x ) là những VCB tương đương khi

3 Nếu f (x ), g (x ) là những VCB tương đương khi

x → a thì cos f (x ) ∼ cos g (x ) SAI ??? vì

cos f (x ), cos g (x ) KHÔNG là VCB

Những lỗi SAI thường gặp

Giới hạn vô cùng lớn của hàm số

3 lim

x →a

f (x )

g (x ) = 0 thì f (x ) được gọi là VCL có bậc thấp hơn g (x ).

4 không tồn tại lim

x →a

f (x )

g (x ) hữu hạn hay vô cùng thì

f (x ), g (x ) được gọi là VCL không so sánh được.

Định nghĩa

Những hàm vô cùng lớn f (x ) và g (x ) khi x → ađược gọi là tương đương nếu như lim

x →a

f (x )

g (x ) = 1.Quy tắc ngắt bỏ VCL cấp thấp

lim

x →a

Tổng hữu hạn các VCLTổng hữu hạn các VCL =

= lim

x →a

Tổng các VCL có bậc cao nhất của tửTổng các VCL có bậc cao nhất của mẫu

Những giới hạn cơ bản của vô cùng lớn.

Tìm giới hạn bằng cách thay VCL tương đương

32

Hàm số liên tục tại 1 điểm

Định lý

Cho điểm x0 ∈ X là điểm giới hạn của tập hợp

Xx+0, Xx−0 có nghĩa cũng là điểm giới hạn của tậphợp X Khi đó để hàm số f (x ) liên tục tại điểm

x0 ∈ X điều kiện cần và đủ là luôn có đẳng thức

f (x0 + 0) = f (x0 − 0) = f (x0)

Định nghĩa

Hàm số f (x ) được gọi là gián đoạn tại điểm

x0 ∈ X nếu như nó không liên tục tại điểm x0 đó

Vậy hàm số f (x ) gián đoạn tại điểm x0 ∈ X thìtại điểm này không xảy ra ít nhất 1 trong 2 đẳngthức f (x0 + 0) = f (x0 − 0) = f (x0) Điều đó cónghĩa là:

1 có ít nhất 1 trong 2 giới hạn f (x0 + 0) và

f (x0 − 0) không tồn tại hoặc bằng vô cùng

2 cả 2 giới hạn f (x0 + 0) và f (x0 − 0) tồn tạihữu hạn nhưng không thỏa mãn ít nhất 1 trongnhững đẳng thức trên

Định nghĩa

Điểm x0 ∈ X được gọi là điểm gián đoạn loại I của

f (x ) nếu tại x0 ∃ giới hạn hữu hạn f (x0 + 0) và

f (x0 − 0) nhưng không thỏa mãn ít nhất 1 trong 2đẳng thức f (x0 + 0) = f (x0 − 0) = f (x0)

Định nghĩa

Điểm x0 ∈ X được gọi là điểm gián đoạn khử được

của f (x ) nếu tại x0 ∃ những giới hạn hữu hạn

f (x0 + 0) và f (x0 − 0) sao cho

f (x0 + 0) = f (x0 − 0) 6= f (x0)

Định nghĩa

Điểm x0 ∈ X được gọi là điểm gián đoạn với bướcnhảy hữu hạn của hàm số f (x ) nếu như tại điểmnày tồn tại những giới hạn hữu hạn f (x0 + 0) và

f (x0 − 0) sao cho f (x0 + 0) 6= f (x0 − 0) Khi đó

f (x0 + 0) − f (x0 − 0) 6= 0 được gọi là bước nhảy

của hàm số f (x ) tại điểm x0

Định nghĩa

Điểm x0 ∈ X được gọi là điểm gián đoạn loại II

của hàm số f (x ) nếu như tại điểm này có ít nhất 1trong 2 giới hạn f (x0 + 0) và f (x0 − 0) hoặc bằng

vô cùng hoặc không tồn tại

Cách lệnh cơ bản đối với hàm số

Các lệnh cơ bản đối với biểu thức toán học

1 Rút gọn biểu thức: simplify(f) Ví dụ: symsx; f = sin(x ))ˆ2 + (cos(x ))ˆ2; simplify (f ) ⇒ans = 1

2 Viết biểu thức dưới dạng ngắn nhất:

simple(f) Ví dụ: syms x;

f = (x + 1) ∗ x ∗ (x − 1); simple(f ) ⇒

ans = x ˆ3 + 1

Các lệnh nhập - xuất thông tin

1 Nhập chuỗi ký tự từ bàn phím:

input(’Hãy nhập vào giá trị x’, x)

2 Xuất thông tin: disp(’Giá trị của x là’, x)

THANK YOU FOR ATTENTION

GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

Bài giảng điện tử

TS Lê Xuân Đại

Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng

Email: ytkadai@hcmut.edu.vn

TP HCM — 2013

Tính diện tích của hình tròn có bán kính R

A = lim

n→∞An = πR2

Nội dung bài học

1 Khái niệm dãy số

2 Tính chất của dãy số

3 Giới hạn của dãy số

Định nghĩa dãy số

Định nghĩa

Ánh xạ f : N −→ R từ tập hợp số tự nhiên lêntập hợp số thực R được gọi là dãy số

Dãy số được kí hiệu là (xn) xn được gọi là phần tửtổng quát thứ n của dãy số

Phương pháp thứ nhất.

Dãy số (xn) được biểu diễn bằng đồ thị của nó từnhững điểm (n, xn)

Phương pháp thứ hai.

Dãy số (xn) được biểu diễn bởi những điểm củatrục Ox

1 Tính tăng và tính giảm.

Định nghĩa

Dãy số (xn) được gọi là dãy tăng (dãy giảm)

nếu như với mọi n ∈ N luôn có bất đẳng thức

xn < xn+1(xn > xn+1)

(Bất đẳng thức Bernuli.) Nếu số h > −1 và h 6= 0thì luôn có bất đẳng thức (1 + h)n > 1 + nh vớimọi số tự nhiên n > 2

Ví dụ

Dãy xn = (1 + 1n)n, (n ∈ N) là dãy tăng

Chứng minh Vì xn = (1 + n1)n > 0 nên ta chỉcần chứng minh xn+1

xn > 1 Ta có

xn+1

xn = (1+

1 n+1 )n+1(1+1n)n = (

n+2 n+1 )n+1(n+1n )n =

n+2 n+1 n+1 n

Ví dụ

Dãy số xn = (1 + 1n)n+1, (n ∈ N) là dãy giảm

Chứng minh Vì xn = (1 + n1)n+1 > 0 nên ta chỉcần chứng minh xn

n+1

n )n+1(n+2n+1)n+2 =

n+1 n n+2 n+1

2 Tính bị chặn.

Định nghĩa

Dãy số (xn) ⊂ R được gọi là bị chặn trên (dưới),nếu như tồn tại số ∃M ∈ R (m ∈ R), sao cho vớimọi ∀n ∈ N luôn có xn 6 M(xn > m)

Số M (m) được gọi là cận trên (cận dưới) của dãy(xn)

xn0 > M (xn0 < m).

Định nghĩa

Số a ∈ R được gọi là giới hạn của dãy

(xn) ⊂ R, nếu như với mọi ∀ε > 0 tồn tại số

N = N(ε) sao cho với mọi ∀n > N luôn có bấtđẳng thức |xn − a| < ε

Chú ý Nếu số a ∈ R là giới hạn của dãy

(xn) ⊂ R thì ta viết là lim

n→∞xn = a

Định lý

Mọi dãy hội tụ (xn) ⊂ R đều bị chặn

Chú ý Điều ngược lại không đúng Ví dụ dãy

an = (−1)n bị chặn nhưng phân kỳ

Định lý

Nếu dãy số (xn) ⊂ R có giới hạn hữu hạn a thìgiới hạn đó là duy nhất

Chứng minh Vì 0 < 1q < 1 nên theo giới hạn cơbản, ta có

lim

n→∞

 1q

lim

n→∞qn = +∞

Lấy 1 số M > 0 bất kỳ và đặt ε = M1 > 0, khi đótheo định nghĩa giới hạn thì đối với số ε > 0 nàytồn tại số N = N(ε) > 0 sao cho với mọi ∀n > Nluôn có bất đẳng thức ||q1n| − 0| = |q|1n < ε = M1,

có nghĩa là |xn| = |qn| = |q|n > M(∀n > N) Nhưvậy lim

n→∞qn = ∞

Chú ý Số +∞ và −∞ trong trường hợp này

không là giới hạn của dãy xn = qn(n ∈ N) với

q < −1 Vì với mọi số chẵn n thì xn = qn > 0,còn với mọi số lẻ n thì xn = qn < 0

Định nghĩa

Cho dãy số (xn) ⊂ R và n1 < n2 < < nk < một dãy số tự nhiên tăng bất kỳ, khi đó dãy số

xn1, xn2, , xnk, được gọi là dãy con của

dãy (xn) Dãy con được kí hiệu là (xnk)

Định nghĩa

Số c ∈ R được gọi là giới hạn riêng của dãy(xn), nếu như tồn tại dãy con (xnk) của dãy (xn),hội tụ đến số c

Ví dụ

Cho dãy (xn) với xn = (−1)n Với n = 2k thì dãy{1, 1, , 1, } được gọi là 1 dãy con của dãy(xn) và giới hạn riêng của nó x2k → 1, k → ∞.Với n = 2k + 1 thì dãy {−1, −1, , −1, }cũng là 1 dãy con của dãy (xn) và giới hạn riêngcủa nó x2k+1 → −1, k → ∞

Nếu như dãy (xn) hội tụ đến số a, thì với mọi dãycon (xnk) của dãy (xn), giới hạn của nó là a.

Chú ý Để chứng minh dãy (xn) phân kỳ ta làmnhư sau:

Cách 1 Chỉ ra 2 dãy con hội tụ về 2 giới hạnriêng khác nhau

Cách 2 Chỉ ra 1 dãy con phân kỳ

Ví dụ

Không phải với dãy số nào cũng có giới hạn riêng.Dãy số 1, 2, , n, không có giới hạn riêng

Giới hạn của dãy đơn điệu Định lý Weierstrass

Định lý

Nếu dãy số đơn điệu tăng (giảm) (xn) ⊂ R bị

chặn trên (dưới)

x1 6 x2 6 6 xn 6 6 y(x1 > x2 > > xn > > z),

thì nó có giới hạn hữu hạn Còn nếu như dãy sốđơn điệu tăng (giảm) (xn) ⊂ R không bị chặn trên

(dưới) thì giới hạn của nó là +∞(−∞)

= e

Chú ý Số e là số siêu việt (không phải là số đạisố) Nó không là nghiệm của đa thức với hệ sốnguyên có bậc n > 1.

Số e ≈ 2, 718281828459045, số này còn được gọi

là số Neper hay số Ơle

Dùng biến đổi đại số để tìm giới hạn của dãy số

n2) =

= −1

Ví dụ

Tìm giới hạn I = lim

n→∞

(n + 1)4 − (n − 1)4(n2 + 1)2 − (n2 − 1)2.Giải I =

lim

n→∞

(n + 1 − n + 1)(n + 1 + n − 1)((n + 1)2 + (n − 1)2)

(n 2 + 1 − n 2 + 1)(n 2 + 1 + n 2 − 1) =lim

n→∞

2n(n2 + 1)

Ví dụ

Tìm giới hạn I = lim

n→∞

1n(√

n2 − 1 − n).Giải

I = lim

n→∞

√

n2 − 1 + nn(n2 − 1 − n2) = limn→∞

1 + 1

n2 + 1

= 0

1 + 1

n2 + 1

= ∞

Dùng định lý kẹp giữa tìm giới hạn của dãy số

Với mọi ∀n > 1 ta có n > n(n−1)2 (√n

n − 1)2 Do đóvới mọi ∀n > 1, 0 < √n

n − 1 <

r2

n − 1 Mặt

khác lim

n→∞

r2

|q| = 1 + h, h > 0 Theo bất đẳng thức Bernouli1

2n

3n = 0

Ví dụ

Tìm giới hạn lim

n→∞

5.2n − 3.5n+1100.2n + 2.5n

Chia tử số và mẫu số cho 5n ta có

5n(−6)n − 6

Dùng định lý Weierstrass về sự tồn tại giới hạn của dãy đơn điệu

Dãy an bị chặn trên Thật vậy

trên nên nó hội tụ

Dãy an bị chặn trên Thật vậy

trên nên nó hội tụ

Ví dụ

Chứng minh rằng dãy an = 2

n

n! hội tụ và tìm giớihạn của nó

Giải Dãy an là dãy đơn điệu giảm Thật vậy, vì

an+1

an =

2n+1(n+1)!

2nn!

n + 1 < 1, ∀n > 1.

nên an+1 < an

Dãy an bị chặn dưới bởi 0 vì an > 0 Như vậy, dãy

an đã cho đơn điệu giảm và bị chặn dưới nên nóhội tụ

Giả sử lim

n→∞an = a Ta có an+1 = 2

n + 1an Lấygiới hạn 2 vế của đẳng thức này khi n → ∞ tađược

Ví dụ

Cho dãy a1 = √

2, an+1 = √

2an Chứng minh rằngdãy (an) hội tụ và tìm giới hạn của nó

Thật vậy, an+1 = √

2an 6 √2.2 = 2 Vậy theonguyên lý qui nạp ta có an 6 2, ∀n ∈ N

Như vậy, dãy an đã cho đơn điệu tăng và bị chặntrên nên nó hội tụ

n→∞an = 2

Ví dụ

Cho dãy x1 = √

a, x2 = pa +√

a, , xn =r

rằng dãy (xn) hội tụ và tìm giới hạn của nó

Giải Dãy an là dãy đơn điệu tăng vì

x1 < x2 < x3 < Ta sẽ chứng minh dãy xn bịchặn trên bởi √

a + 1

Thật vậy, x1 = √

a < √

a + 1, x2 = pa +√

a <p

Lấy giới hạn 2 vế của đẳng thức này khi n → ∞

Sử dụng giới hạn của số e tính giới hạn dạng 1∞

lim

n→∞



1 + 1n

Ví dụ

Tìm giới hạn lim

n→∞

n

= e12

Chứng minh dãy số phân kỳ

Ví dụ

Chứng minh rằng dãy an = (−1)n2n + 3

3n + 1 phân kỳ.Giải Xét 2 dãy con với chỉ số chẵn và lẻ ta có

Các lệnh cơ bản

1 Khai báo dãy số: ví dụ: syms n; xn=1/n

2 Tính giới hạn của dãy số: limit(xn, n, inf)

3 Biểu diễn hình học của dãy số:

Ví dụ: N = 1000; for i = 1 : N X(i) = 1/i;

plot(X(i),’.’); end;

THANK YOU FOR ATTENTION

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN

Bài giảng điện tử

TS Lê Xuân Đại

Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng

Email: ytkadai@hcmut.edu.vn

TP HCM — 2013

Bài toán máy bay rơi

Trong lĩnh vực hàng không, giả sử máy bay đangbay thì hết xăng, độ cao của máy bay khi hết xăngđược mô tả bởi phương trình

H(t) = H0+ v0t − 16t2, với H0(km) là độ cao củamáy bay lúc hết xăng, v0(km/h) là vận tốc củamáy bay lúc hết xăng Thời gian từ lúc hết xăngcho đến khi máy bay đạt độ cao lớn nhất là 0, 3h.Hãy tìm vận tốc v0 của máy bay khi hết xăng?

Thời gian từ lúc hết xăng cho đến khi máy bay đạt

độ cao lớn nhất là 0, 3h, có nghĩa là khi t = 0, 3thì v (0, 3) = 0

Theo công thức, ta có

v (t) = (H(t))0 = v0 − 32.t

Như vậy

v (0, 3) = v0 − 32.(0, 3) = 0 ⇒ v0 = 9, 6(km/h)

và được ký hiệu là f 0(x0) hay y0(x0).

Định lý

Hàm số y = f (x ) có đạo hàm tại x0 khi và chỉ khi

nó có đạo hàm trái và đạo hàm phải tại x0 và

chúng phải bằng nhau

f 0(x0) = f−0(x0) = f+0(x0)

Các quy tắc tính đạo hàm

Định lý

Nếu hàm số u = u(x ) có đạo hàm hữu hạn u0(x0)tại điểm x0 thì hàm số y = cu = cu(x ) với c ∈ Rcũng có đạo hàm hữu hạn y0 tại điểm x0, lúc này

ta có đẳng thức y0 = cu0 = cu0(x0)

Định lý

Nếu hàm số u = u(x ) và v = v (x ) có đạo hàmhữu hạn u0 = u0(x) và v0 = v0(x ) tại điểm x0 ∈ Xthì tại điểm này hàm số y = u ± v = u(x ) ± v (x )cũng có đạo hàm hữu hạn y0 tại điểm x0, lúc nàyluôn có đẳng thức y0 = u0 ± v0 = u0(x0) ± v0(x0)

Định lý

Nếu hàm số u = u(x ) và v = v (x ) có đạo hàmhữu hạn u0 = u0(x) và v0 = v0(x ) tại điểm x0 ∈ Xthì tại điểm này hàm số y = u.v = u(x ).v (x )

cũng có đạo hàm hữu hạn y0 tại điểm x0, lúc nàyluôn có đẳng thức

y0 = u0.v + u.v0 = u0(x0).v (x0) + u(x0).v0(x0)

Chú ý Công thức trên cũng có thể mở rộng chomọi số lượng hữu hạn thừa số (u.v ω)0 =

u0.v ω + u.v0 .ω + + u.v ω0

Định lý

Nếu hàm số u = u(x ) và v = v (x ) có đạo hàmhữu hạn u0 = u0(x) và v0 = v0(x ) tại điểm x0 ∈ Xsao cho v (x0) 6= 0 thì tại điểm này hàm số

Đạo hàm của hàm hợp

Định lý

Cho hàm số y = f (x ) có đạo hàm hữu hạn f 0(x0)tại điểm x0 còn hàm số z = g (y ) có đạo hàm hữuhạn g0(y0) tại điểm tương ứng y0 = f (x0) ∈ E (f ),thì hàm hợp z = h(x ) = g (f (x )) có đạo hàm hữuhạn tại điểm x0, lúc đó luôn có đẳng thức

h0(x0) = g0(y0).f0(x0) hay zx0 = zy0.yx0

Ví dụ

Tìm đạo hàm của hàm y = sin5(4x + 3)

y0 = 5 sin4(4x + 3) cos(4x + 3).(4x + 3)0 =

20 sin4(4x + 3) cos(4x + 3)

Đạo hàm của hàm ngược

Định lý

Cho hàm số y = f (x ) tăng (hoặc giảm), liên tụctrên khoảng X ⊂ R xác định từ khoảng X ⊂ Rlên toàn khoảng Y ⊂ R và có đạo hàm hữu hạn

f 0(x0) 6= 0 tại điểm x0 Khi đó hàm ngược

x = g (y ) = f −1(y ) có đạo hàm hữu hạn tại điểmtương ứng y0 = f (x0) ∈ Y , và luôn có đẳng thức

Ý nghĩa hình học

Trong bài toán về tiếp tuyến ta đã chứng minhđược rằng đối với đường liên tục y = f (x ) hệ sốgóc k0 của tiếp tuyến tại điểm M0(x0, f (x0)) đượctính theo công thức

Như vậy, ý nghĩa hình học của đạo hàm của hàm

số f (x ) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến củađường y = f (x ) tại điểm M0(x0, f (x0))