Bài 2 hàm số y = ax + b nhóm ĐHSPHN image marked

Đường thẳng này được gọi là đường thẳng y b... Hơn nữa nếu gọi là góc tạo bởi phần đường  thẳng d nằm ở phía bên trên Ox và tia Ox thì ta có tan a.. Do vậy được gọi là hệ số góc của

CHUYÊN ĐỀ BÀI 2 HÀM SỐ y ax b 

Mục tiêu

 Kiến thức

+ Nhận dạng được hàm số y ax b  nắm được các nội dung về tập xác định, sự đồng biến, nghịch biến và đồ thị của hàm số

+ Phát hiện được vấn đề toán học và về hàm số được nghiên cứu từ những bài toán thực tế

+ Phát biểu và vận dụng được điều kiện để điểm M x ; y 0 0 thuộc đồ thị hàm số y ax b  , điều kiện để hàm số đồng biến (nghịch biến) trên tập X, điều kiện để hàm số là hàm chẵn (hàm lẻ) trên D

 Kĩ năng

+ Biểu diễn được các điểm trên mặt phẳng tọa độ, biết vẽ đồ thị hàm số y ax b  , y a x b  ,

, kiểm tra được các điểm cho trước có thuộc đồ thị hàm số hay không, tìm giao điểm

y ax b

của đồ thị hàm số với các trục tọa độ, xét sự tương giao của hai đồ thị

+ Xét được sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y ax b 

- Khi a 0 , hàm số y ax b a 0     đồng biến trên R.

Bảng biến thiên của hàm số y ax b a 0    :

Đồ thị của hàm số y b là một đường thẳng song song

hoặc trùng với trục hoành và cắt trục tung tại điểm 0; b

Đường thẳng này được gọi là đường thẳng y b .

hai đường thẳng y ax b  và y  ax b rồi xóa đi hai

phần đường thẳng nằm ở dưới trực hoành

Ví dụ: Hàm số y 2x 1  có tập xác định

D R

Vì a 2 0  nên hàm số y 2x 1  đồng biến trên R

Bảng biến thiên của hàm số y 2x 1  :

Do đó để vẽ đồ thị này ta chỉ cần xác định hai điểm

phân biệt thuộc đồ thị, chẳng hạn M x ;ax 1 1b,

và vẽ đường thẳng đi qua hai điểm

trục tọa độ.

Nhận xét: Đồ thị hàm số bậc nhất y ax+b a 0    là một đường thẳng không song song và không trùng

với các trục tọa độ Ox, Oy Đường thẳng đó cắt Ox, Oy lần lượt tại các điểm A b, 0 ; , có

a

  B 0, b hướng đi lên (đi xuống) từ trái sang phải nếu a 0 (tương ứng a 0 ) Nếu b 0 thì đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ O 0;0 và điểm C 1;a  Vì đồ thị hàm số y ax+b a 0   là đường thẳng d luôn cắt Oy tại điểm B 0; b  nên hệ số b được gọi là tung độ gốc của d Hơn nữa nếu gọi là góc tạo bởi phần đường 

thẳng d nằm ở phía bên trên Ox và tia Ox thì ta có tan a Do vậy được gọi là hệ số góc của đường 

b) Cho x 0 thì y 1 Cho x 1 thì y 1 Do đó đồ thị hàm số y 2x 1  là đường thẳng đi qua hai điểm M 0; 1  , N 1;1 

c) Cho x 0 thì y 3 Cho x 3 thì y 0 Do đó đồ thị hàm số y 3 x  là đường thẳng đi qua hai điểm M 0; 3 , N 3;0 

d) Đồ thị hàm hằng y 1 là đường thẳng vuông góc với trục tung tại điểm có tung độ bằng 1

Ví dụ 2

a) Vẽ đồ thị của hai hàm số y 3 2x  , y x 1  trên cùng một hệ trục tọa độ

b) Tập nghiệm của bất phương trình 3 2x x 1   là

 

Từ đó suy ra tập nghiệm của bất phương trình là

4

;3

- Bước 3 Xóa đi toàn bộ phần đồ thị y x 2  nằm phía dưới trục hoành ta

được đồ thị hàm số y x 2 như hình 3 dưới đây

Nhận xét:

- Để vẽ đồ thị hàm số

ta có thể vẽ đồ

y x 2thị của hai hàm số

y x 2  y  x 2cùng một hệ trục tọa độ rồi xóa đi toàn bộ những phần

đồ thị nằm ở phía dưới trục hoành

- Đồ thị hàm số y x 2nhận đường thẳng x 2làm trục đối xứng

- Hàm số y x 2 đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 tại

x 2

b) Ta viết lại hàm số y x 2 ở dạng x 2 khi x 0

- Bước 2 Lấy đối xứng qua trục tung phần đồ thị vừa vẽ ta được đồ thị hàm

số y x 2 như hình 2 dưới đây

Nhận xét:

- Hàm số y x 2 là hàm chẵn và đồ thị của nó nhận trục tung làm trục đối xứng

- Hàm số y x 2 đạt giá trị nhỏ nhất bằng -2 tại

- Đồ thị của hai hàm số

và

 

y f x y f  xđối xứng với nhau qua trục tung

Đồ thị hàm y f x   như hình vẽ dưới đây

Do f x    1, x R và f x    1 x 0, nên   đạt được khi

Vì (1) đúng với mọi m nên nó phải đúng với m 0 và m 1

Thay lần lượt m 0 và m 1 vào (1) ta thu được 0 0

Thử lại thấy x0  2, y0  1 thì (1) luôn đúng với mọi m

Vậy M 2; 1   là điểm cố định mà d luôn đi qua với mọi giá trị của m

Gọi d là đồ thị của hàm số ym 1 x 2m 5    Trên đường thẳng d ta lấy hai điểm A 1; m 6  ,

Xét đoạn thẳng AB trong đó lấy điểm đầu mút B nhưng không lấy điểm đầu mút A Ta

Câu 4: Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số sau?

Bài tập nâng cao

Sử dụng giả thiết sau để trả lời các câu hỏi từ 12 đến 14.

Cho bất phương trình a 4 x 1 2a 0 1      , ở đó x là ẩn và a là tham số

Câu 12: Tất cả các giá trị của a để (1) có nghiệm trên 0; 1 là

- Nếu a 0 thì hàm số y ax b  đồng biến trên R.

- Nếu a 0 thì hàm số y ax b  nghịch biến trên R

Hàm số ym 1 x 2m 1    đồng biến trên R khi và chỉ khi m 1 0  m 1

Ví dụ 4 Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để hàm số

D Hàm số có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất

Câu 3: Cho hàm số y 4x 1  Khẳng định nào sau đây đúng?

A Hàm số nghịch biến trên R.

B Hàm số đồng biến trên R.

C Hàm số nghịch biến trên ; 1 và đồng biến trên

Bài tập nâng cao

Câu 5: Cho hàm số sau xác định trên R

2x 1 khi x 1y

B Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm M 0; 3 

C Hàm số không phải hàm chẵn, cũng không phải hàm lẻ trên R.

D Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm N 1; 0

độ bằng 2

Hướng dẫn giải

Thay x 1, y 0 vào hàm số ta được   a b 0.Thay x 0, y 2  vào hàm số ta được b 2 Suy ra a b 2  Vậy y 2x 2 

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Cho hàm số ym 1 x 2m 1    ẩn x và m là tham số Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số

đi qua điểm M 2; 1 ?

Đường thẳng y ax b  đi qua điểm A 2; 3     3 2a b

Đường thẳng y ax b  đi qua điểm B 1; 1   1 a b

Vậy với a 4, b 5 thì đồ thị hàm số y ax b  đi qua hai điểm A 2; 3 , B 1; 1    

Ví dụ 3 Xác định các hệ số a, b để đồ thị hàm số y ax b a 0     là đường thẳng đi qua điểm 

, đồng thời cắt các tia Ox, Oy tại A, B (khác O) sao cho tam giác OAB có diện tích đạt giá trị

 

nhỏ nhất

Hướng dẫn giải

Đường thẳng :  y ax b  đi qua điểm M 1; 3   a b 3

Đường thẳng y ax b  cắt các tia Ox, Oy lần lượt tại A b; 0 , B 0; b  với và

ab

 

 

 

Câu 8: Một chất điểm chuyển động biến đổi đều với vận tốc ban đầu v0 1 cm / s , gia tốc

Gọi là vận tốc của chất điểm tại thời điểm ( có đơn vị cm/s, thời gian t đo

hoành độ điểm chung f x g x  (1)

- Nếu (1) vô nghiệm thì đồ thị của hai hàm số đã

cho không có điểm chung

Ví dụ Xét các hàm số y 2x 1, y 5 x    có đồ thị lần lượt là các đường thẳng d , d1 2 Phương trình hoành độ giao điểm của d , d1 2 là

2x 1 5 x   3x 6  x 2

Thay x 2 vào phương trình của d1hoặc d2 ta

- Nếu (1) có k nghiệm phân biệt thì hai đồ thị đó có

k điểm chung phân biệt, các điểm chung có tọa độ

dạng M x ; y 0 0, với x0 là nghiệm của (1) và

   

y f x g x

Nói cách khác, tọa độ điểm chung của đồ thị hai

hàm số đã cho là nghiệm của hệ phương trình

a) Hai đường thẳng d , d1 2 trùng nhau

b) Hai đường thẳng d , d1 2 là hai đường thẳng song song

c) Hai đường thẳng d , d1 2 là hai đường thẳng cắt nhau nhưng không vuông góc với nhau

d) Hai đường thẳng d , d1 2 là hai đường thẳng cắt nhau và vuông góc với nhau

Ví dụ 2 Có bao nhiêu giá trị của m để đường thẳng  2  song song với đường thẳng

Xét phương trình hoành độ giao điểm mx 3 2x 1   m 2 x 4 0    (1)

Đồ thị  d1 và  d2 có điểm chung khi và chỉ khi phương trình (1) có nghiệm, điều này xảy ra khi m 2

Chọn B.

Ví dụ 5 Cho hai điểm A 2; 3  , B 1; 1 

a) Xác định các hệ số a, b để đồ thị hàm số y ax b  là đường thẳng đi qua điểm A và cách điểm B một khoảng nhỏ nhất

b) Xác định các hệ số k, m để đồ thị hàm số y kx m  là đường thẳng trung trực của đoạn AB

Hướng dẫn giải

a) Gọi : y ax b  là đường thẳng đi qua A và H là hình chiếu của B trên 

Ta có d B,   HB 0

Khoảng cách từ B đến đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 khi B trùng với H, hay B thuộc  

Lúc này đi qua hai điểm  A 2; 3  , B 1; 1  nên 2a b 3 a 4

Vậy với a 4, b 5 thì đồ thị hàm số y ax b  là đường thẳng đi qua điểm A 2; 3   và cách điểm

một khoảng nhỏ nhất

 

B 1; 1

Lúc này đường thẳng AB có phương trình y 4x 5

b) Điểm M 3; 1 là trung điểm của AB Đường thẳng là đường trung trực của AB khi

Ở ví dụ 5 câu a, ta đã tìm được phương trình của đường thẳng AB là y 4x 5

Gọi H là hình chiếu của điểm B trên đường thẳng thì khoảng cách từ B đến là   d B,   HB

Ta có d B,   HB AB  17

Khi đó d B,  đạt giá trị lớn nhất bằng 17 khi A H , hay AB 

Hai đường thẳng AB,  vuông góc với nhau khi và chỉ khi tích hai hệ số góc bằng -1, tức là

Bài tập nâng cao

Câu 12 (Đề 2 thử sức trước kì thi, Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ, số 500, tháng 2-2019) Trong mặt

phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng d : x my 4m 2 0, d : mx y 3m 1 01     2     , với m là tham số Biết rằng với mỗi giá trị của m thì d ,d1 2 luôn cắt nhau tại M Khi m thay đổi thì điểm M chạy trên đường nào trong số các đường có phương trình cho ở bốn đáp án sau đây?

HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM

Câu 12 Chọn A.

Đồ thị của hàm số ya 4 x 1 2a    ứng với x0; 1 là đoạn thẳng AB, với A 0; 2a 1   và

, kể cả điểm A nhưng không kể điểm B

a5

a3

Đồ thị của hàm số ya 4 x 1 2a    ứng với x  1; 2 là đoạn thẳng CD với C 1; a 3   và

Đồ thị của hàm số ya 4 x 1 2a    ứng với x0; 8 là đoạn thẳng AM với A 0; 2a 1   và

không kể cả hai điểm A, M

M 8; 10a 33

Bất phương trình (1) vô nghiệm trên khoảng 0; 8 khi toàn bộ đoạn AM nằm phía bên trên trục hoành

M

1a

a33

a10

Dạng 3 Sự xác định của hàm số y ax b 

HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM