Toán 10 Bài 2 hàm số y = ax + b

HÀM SỐ y ax b Mục tiêu  Kiến thức + Nhận dạng được hàm số y ax b  nắm được các nội dung về tập xác định, sự đồng biến,nghịch biến và đồ thị của hàm số.. + Phát hiện được vấn đề toán

CHUYÊN ĐỀ BÀI 2 HÀM SỐ y ax b 

Mục tiêu

 Kiến thức

+ Nhận dạng được hàm số y ax b  nắm được các nội dung về tập xác định, sự đồng biến,nghịch biến và đồ thị của hàm số

+ Phát hiện được vấn đề toán học và về hàm số được nghiên cứu từ những bài toán thực tế

+ Phát biểu và vận dụng được điều kiện để điểm M x ; y thuộc đồ thị hàm số y ax b 0 0   , điềukiện để hàm số đồng biến (nghịch biến) trên tập X, điều kiện để hàm số là hàm chẵn (hàm lẻ)trên D

 Kĩ năng

+ Biểu diễn được các điểm trên mặt phẳng tọa độ, biết vẽ đồ thị hàm số y ax b  , y a x b  ,

yax b , kiểm tra được các điểm cho trước có thuộc đồ thị hàm số hay không, tìm giao điểmcủa đồ thị hàm số với các trục tọa độ, xét sự tương giao của hai đồ thị

+ Xét được sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y ax b 

- Khi a 0 , hàm số y ax b a 0     đồng biến trên R.

Bảng biến thiên của hàm số y ax b a 0    :

Đồ thị của hàm số y b là một đường thẳng song song

hoặc trùng với trục hoành và cắt trục tung tại điểm 0; b

Đường thẳng này được gọi là đường thẳng y b .

hai đường thẳng y ax b  và yax b rồi xóa đi hai

phần đường thẳng nằm ở dưới trực hoành

Ví dụ: Hàm số y 2x 1  có tập xác định

D R

Vì a 2 0  nên hàm số y 2x 1  đồng biếntrên R

Bảng biến thiên của hàm số y 2x 1  :

tại 1;02

  Đồ thị hàm số như hình vẽ

Ví dụ: Đồ thị hàm số y x 1 như hình vẽ

Do đó để vẽ đồ thị này ta chỉ cần xác định hai điểm

phân biệt thuộc đồ thị, chẳng hạn M x ;ax 1 1b ,

Đồng biến khi a 0

Nghịch biến khi a 0

Hàm sốHàm số

trục tọa độ.

Nhận xét: Đồ thị hàm số bậc nhất y ax+b a 0    là một đường thẳng không song song và không trùng

với các trục tọa độ Ox, Oy Đường thẳng đó cắt Ox, Oy lần lượt tại các điểm A b, 0

Khi a 0 thì hàm số y ax+b trở thành hàm hằng y b và có đồ thị là đường thẳng vuông góc với trụctung tại điểm có tung độ bằng b (ta coi hệ số góc của đường thẳng này bằng 0)

b) Cho x 0 thì y1 Cho x 1 thì y 1 Do đó đồ thị hàm số y 2x 1  là đường thẳng đi qua haiđiểm M 0; 1  , N 1;1 

c) Cho x 0 thì y 3 Cho x 3 thì y 0 Do đó đồ thị hàm số y 3 x  là đường thẳng đi qua haiđiểm M 0; 3 ,   N 3;0 

d) Đồ thị hàm hằng y 1 là đường thẳng vuông góc với trục tung tại điểm có tung độ bằng 1

Ví dụ 2

a) Vẽ đồ thị của hai hàm số y 3 2x  , y x 1  trên cùng một hệ trục tọa độ.

b) Tập nghiệm của bất phương trình 3 2x x 1   là

Từ đó suy ra tập nghiệmcủa bất phương trình là4

;3

- Bước 3 Xóa đi toàn bộ phần đồ thị y x 2  nằm phía dưới trục hoành ta

được đồ thị hàm số y x 2 như hình 3 dưới đây

Nhận xét:

- Để vẽ đồ thị hàm số

y x 2 ta có thể vẽ đồthị của hai hàm số

y x 2  , yx 2 trêncùng một hệ trục tọa độ rồixóa đi toàn bộ những phần

đồ thị nằm ở phía dưới trụchoành

- Đồ thị hàm số y x 2nhận đường thẳng x 2

làm trục đối xứng

- Hàm số y x 2 đạt giátrị nhỏ nhất bằng 0 tại

- Bước 2 Lấy đối xứng qua trục tung phần đồ thị vừa vẽ ta được đồ thị hàm

số yx 2 như hình 2 dưới đây

Nhận xét:

- Hàm số yx 2 làhàm chẵn và đồ thị của nónhận trục tung làm trụcđối xứng

- Hàm số yx 2 đạtgiá trị nhỏ nhất bằng -2 tại

x 0

- Đồ thị của hai hàm số

 

y f x và yf x đối xứng với nhau quatrục hoành

- Đồ thị của hai hàm số

 

y f x và y f xđối xứng với nhau quatrục tung

Vì (1) đúng với mọi m nên nó phải đúng với m 0 và m 1

Thay lần lượt m 0 và m 1 vào (1) ta thu được 0 0

Thử lại thấy x0 2, y0 1 thì (1) luôn đúng với mọi m

Vậy M 2; 1   là điểm cố định mà d luôn đi qua với mọi giá trị của m

Vậy với m 6 thì bất phương trình m 1 x 2m 5 0     có nghiệm x  1; 2

Bài tập tự luyện dạng 1

Bài tập cơ bản

Câu 1: Điểm M 1; 3 không thuộc đồ thị hàm số nào sau đây? 

A 2; 2 B 2; 1  C 2; 0 D 2; 2 

Bài tập nâng cao

Sử dụng giả thiết sau để trả lời các câu hỏi từ 12 đến 14.

Cho bất phương trình a 4 x 1 2a 0 1       , ở đó x là ẩn và a là tham số

Câu 12: Tất cả các giá trị của a để (1) có nghiệm trên 0; 1 là

- Nếu a 0 thì hàm số y ax b  đồng biến trên R

- Nếu a 0 thì hàm số y ax b  nghịch biến trên R

Chọn D.

Ví dụ 2 Trong các hàm số y2x 2 , y4, y 5x 1  , y 3 x, y 1x

2

 có bao nhiêu hàm sốnghịch biến trên R?

Hàm số ym 1 x 2m 1    đồng biến trên R khi và chỉ khi m 1 0   m 1

Ví dụ 4 Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để hàm số

Bài tập tự luyện dạng 2

Bai tập cơ bản

Câu 1: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y3m 2 x 2020   đồng biến trên R.

D Hàm số có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất

Câu 3: Cho hàm số y 4x 1  Khẳng định nào sau đây đúng?

Bài tập nâng cao

Câu 5: Cho hàm số sau xác định trên R

2x 1 khi x 1y

B Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm M 0; 3  

C Hàm số không phải hàm chẵn, cũng không phải hàm lẻ trên R.

D Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm N 1; 0

độ bằng 2

Hướng dẫn giải

Thay x1, y 0 vào hàm số ta được   a b 0.Thay x 0, y 2  vào hàm số ta được b 2

Suy ra a b 2  Vậy y 2x 2 

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Cho hàm số ym 1 x 2m 1    ẩn x và m là tham số Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số

đi qua điểm M 2; 1 ? 

Đường thẳng y ax b  đi qua điểm A 2; 3    3 2a b

Đường thẳng y ax b  đi qua điểm B 1; 1    1 a b

Vậy với a4, b 5 thì đồ thị hàm số y ax b  đi qua hai điểm A 2; 3 , B 1; 1    

Ví dụ 3 Xác định các hệ số a, b để đồ thị hàm số y ax b a 0     là đường thẳng  đi qua điểm

 

M 1; 3 , đồng thời  cắt các tia Ox, Oy tại A, B (khác O) sao cho tam giác OAB có diện tích đạt giá trịnhỏ nhất

Hướng dẫn giải

Đường thẳng : y ax b  đi qua điểm M 1; 3   a b 3 

Đường thẳng y ax b  cắt các tia Ox, Oy lần lượt tại A b; 0 , B 0; b 

Dấu “=” xảy ra OAB

Câu 8: Một chất điểm chuyển động biến đổi đều với vận tốc ban đầu v0 1 cm / s , gia tốc

a 2 cm / s Gọi v t là vận tốc của chất điểm tại thời điểm   t 0 (v t có đơn vị cm/s, thời gian t đo bằng giây) Khi đó v t là hàm số bậc nhất theo biến t Hỏi tại thời điểm nào chất điểm chuyển động với vận tốc lớn gấp 15 lần vận tốc ban đầu?

hoành độ điểm chung f x g x  (1)

- Nếu (1) vô nghiệm thì đồ thị của hai hàm số đã

cho không có điểm chung

- Nếu (1) có k nghiệm phân biệt thì hai đồ thị đó có

k điểm chung phân biệt, các điểm chung có tọa độ

dạng M x ; y , với  0 0 x là nghiệm của (1) và0

   

y f x g x

Nói cách khác, tọa độ điểm chung của đồ thị hai

hàm số đã cho là nghiệm của hệ phương trình

trình hoành độ giao điểm của d , d là1 2

2x 1 5 x    3x 6  x 2 Thay x 2 vào phương trình của d hoặc 1 d ta2

được y 3 Vậy hai đồ thị d , d cắt nhau tại điểm duy nhất1 2

a) Hai đường thẳng d , d trùng nhau.1 2

b) Hai đường thẳng d , d là hai đường thẳng song song.1 2

c) Hai đường thẳng d , d là hai đường thẳng cắt nhau nhưng không vuông góc với nhau.1 2

d) Hai đường thẳng d , d là hai đường thẳng cắt nhau và vuông góc với nhau.1 2

Ví dụ 2 Có bao nhiêu giá trị của m để đường thẳng  2 

Ví dụ 4 Cho hai hàm số y mx 3, y 2x 1    , biến x và m là tham số, có đồ thị lần lượt là d , d Tìm1 2

tất cả các giá trị của m để d , d có điểm chung.1 2

Hướng dẫn giải

Xét phương trình hoành độ giao điểm mx 3 2x 1    m 2 x 4 0    (1)

Đồ thị  d và 1  d có điểm chung khi và chỉ khi phương trình (1) có nghiệm, điều này xảy ra khi 2 m 2

Chọn B.

Ví dụ 5 Cho hai điểm A 2; 3  , B 1; 1  

a) Xác định các hệ số a, b để đồ thị hàm số y ax b  là đường thẳng đi qua điểm A và cách điểm B mộtkhoảng nhỏ nhất

b) Xác định các hệ số k, m để đồ thị hàm số y kx m  là đường thẳng trung trực của đoạn AB

Hướng dẫn giải

a) Gọi : y ax b   là đường thẳng đi qua A và H là hình chiếu của B trên 

Ta có d B,   HB 0

Khoảng cách từ B đến  đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 khi B trùng với H, hay B thuộc 

Lúc này  đi qua hai điểm A 2; 3  , B 1; 1 nên   2a b 3 a 4

  là trung điểm của AB Đường thẳng d : y kx m  là đường trung trực của AB khi

và chỉ khi d qua điểm M và dAB

  thì đồ thị hàm số y kx m  là đường thẳng trung trực của đoạn AB

Cách khác: Ta thấy rằng, điểm N x; y thuộc đường trung trực d của đoạn AB khi và chỉ khi   AN BN

Ở ví dụ 5 câu a, ta đã tìm được phương trình của đường thẳng AB là y4x 5

Gọi H là hình chiếu của điểm B trên đường thẳng  thì khoảng cách từ B đến  là d B,   HB

Ta có d B,   HB AB  17

Khi đó d B,  đạt giá trị lớn nhất bằng 17 khi   A H , hay AB  

Hai đường thẳng AB,  vuông góc với nhau khi và chỉ khi tích hai hệ số góc bằng -1, tức là

Bài tập nâng cao

Câu 12 (Đề 2 thử sức trước kì thi, Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ, số 500, tháng 2-2019) Trong mặt

phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng d : x my 4m 2 0, d : mx y 3m 1 01     2     , với m là tham số.Biết rằng với mỗi giá trị của m thì d ,d luôn cắt nhau tại M Khi m thay đổi thì điểm M chạy trên đường1 2

nào trong số các đường có phương trình cho ở bốn đáp án sau đây?

Dạng 1 Đồ thị hàm số y ax b 

HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM

Câu 12 Chọn A.

Đồ thị của hàm số ya 4 x 1 2a    ứng với x0; 1 là đoạn thẳng AB, với A 0; 2a 1   và

B 1; 3a 5 , kể cả điểm A nhưng không kể điểm B

Bất phương trình (1) có nghiệm trên 0; 1 khi đoạn AB có phần nằm phía dưới trục hoành, hoặc có phầnthuộc trục hoành

Điều này xảy ra khi A

B

1a

a5

a3

M 8; 10a 33 không kể cả hai điểm A, M

Bất phương trình (1) vô nghiệm trên khoảng 0; 8 khi toàn bộ đoạn AM nằm phía bên trên trục hoành.

Điều này xảy ra khi A

M

1a

a33

a10

Bất phương trình mx 2m 1 0   nghiệm đúng với mọi x  1; 2 khi toàn bộ đoạn PQ không nằm phíadưới trục hoành.

Điều này xảy ra khi P

Q

m 1

m 11

Dạng 3 Sự xác định của hàm số y ax b 

HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM