07 hàm số bậc hai phần 3 đặng việt hùng image marked

Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số: a Không cắt trục Ox b Tiếp xúc với trục Ox c Cắt trục Ox tại 2 điểm phân biệt ở về bên phải gốc O.. c Đồ thị cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt ở về b

DẠNG 3 BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO – TIẾP TUYẾN

Ví dụ 1 [ĐVH] Tìm giao điểm của đồ thị hàm số :

a) y x 1 và y x 22x1 b)y2x5 và y x 24x1

Lời giải:

a) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị:

hoặc

22    1 1 23   0 0

Khi x0thì y 1; x3 thì y2

Vậy có 2 giao điểm A0; 1  và A 3; 2

b) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị:

24  1 2  5 26  4 0

Δ ' 9 4 5   x1 3 5 x2  3 5

Khi x1  3 5thì y1  1 2 5, khi x2  3 5 thì y2  1 2 5

Vậy có 2 giao điểm M3 5;1 2 5 ,  N 3 5;1 2 5 

Ví dụ 2 [ĐVH] Tìm tọa độ giao điểm của hai đường parabol:

a) y x 24 và y 4 x2 b) và

2 1 4

 x  

y x y x 22x1

Lời giải:

a) Phương trình hoành độ giao điểm: x2  4 4 x2 2x2  8 x2    4 x 2

Khi x 2 thì y0; x2thì y0 Vậy có 2 giao điểm A2; 0 và B 2; 0

b) Phương trình hoành độ giaod điểm: hoặc

2

x

Khi x0thì y1; x4 thì y9 Vậy có 2 giao điểm I 0;1 và J 4; 9

Ví dụ 3 [ĐVH] Chứng minh đường thẳng:

a) y  x 3 cắt  P y:   x2 4x1

b) y2x5 tiếp xúc với  P y x:  24x4

Lời giải:

a) Phương trình hoành độ giao điểm:     x 3 x2 4x 1 x23x 2 0

Vì Δ 9 8 0   nên đường thẳng cắt  P tại 2 điểm phân biệt

b) Phương trình hoành độ giao điểm: x24x 4 2x 5 x26x 9 0

Vì Δ 9 9 0   nên đường thẳng tiếp xúc với  P

Ví dụ 4 [ĐVH] Cho hàm số y x 22x m 1. Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số:

a) Không cắt trục Ox

b) Tiếp xúc với trục Ox

c) Cắt trục Ox tại 2 điểm phân biệt ở về bên phải gốc O.

Lời giải:

Chuyên đề: Hàm số bậc nhất, bậc hai

07 HÀM SỐ BẬC HAI (Phần 3)

Cho y 0 x22x m  1 0; Δ ' 1 m  1 2 m

a) Đồ thị không cắt trục Ox khi Δ ' 0     2 m 0 m 2

b) Đồ thị tiếp xúc trục Ox khi Δ ' 0     2 m 0 m 2

c) Đồ thị cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt ở về bên phải gốc O khi phương trình có nghiệm dương

phân biệt

2

1





m

m

m S

Ví dụ 5 [ĐVH] Biện luận số giao điểm của đường thẳng  d :y2x m với  P y x:  2 x 6

Khi cắt 2 điểm A, B, tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn AB.

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm: x2  x 6 2x m  x2   x 6 m 0

Do đó:

Δ 1 4 6  m 4m25

Nếu 25 thì phương trình vô nghiệm nên và không có điểm chung

4

 

Nếu 25 thì phương trình có nghiệm kép nên tiếp xúc với

4

 

Nếu 25 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt nên và có hai điểm chung phân

4

 

biệt

Giả sử  P và  d cắt nhau tại hai điểm A và B phân biệt thì A, B có tọa độ: A x 1; 2x1m và

 2; 2 2 

Do đó trung điểm của đoạn thẳng AB là 1 2

1 2

; 2



x x

Theo định lí Vi-ét, ta có x1x2 1nên điểm

1

1

 





  



x I

Vì điều kiện 25 nên

4

 

5

 

y

Vậy quỹ tích của trung điểm I là phần đường thẳng: 1, giới hạn

2



5

 

y

Ví dụ 6 [ĐVH] Cho parabol  P y x:  24x3

Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A 4;1 biết rằng:

a) d cắt P tại hai điểm phân biệt b) d tiếp xúc với  P

Lời giải:

Gọi k là hệ số góc của đường thẳng đi qua A, phương trình của d là:

Phương trình hoành độ giao điểm: x24x 3 kx4k 1 x2k4x4k 2 0

Δ k4 4 4k2 k 8k4

a) d cắt P tại hai điểm phân biệt khi Δ 0

 2

Phương trình d y kx:  4k1

b) d tiếp xúc với  P khi Δ 0 k28k    4 0 k 4 2 2

Vậy d y: 4 2 2 x 15 8 2; y4 2 2 x 15 8 2

Ví dụ 7 [ĐVH] Lập phương trình tiếp tuyến với  P y x:  2 x 1

a) Tại điểm A2;1 b) đi qua B 1; 5

Lời giải:

a) Đường thẳng d đi qua A2;1có hệ số góc k:

Phương trình hoành độ giao điểm: x2  x 1 kx2k 1 x2 1 k x  2 2k 0

Δ 0  1 k 4 2k2  0 k 6k    9 0 k 3

:   3 5

b) Đường thẳng d đi qua B1; 5có hệ số góc :k'

Phương trình hoành độ giao điểm: x2  x 1 kx k  5 x2 1 k x   4 k 0

Δ 0  1 k 4 4k  0 k 2k15 0  k 3 k 5

Khi k3, phương trình tiếp tuyến d y1: 3x2

Khi k 5, phương trình tiếp tuyến d2:y  5x 10

Ví dụ 8 [ĐVH] Cho parabol  P y x:  23x2 Lập phương trình tiếp tuyến của  P biết rằng:

a) Tiếp tuyến đó tạo với tia Ox một góc bằng 450

b) Tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y2x1

c) Tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng 1 2

3

Lời giải:

a) Theo giả thiết tiếp tuyến d tạo với tia Ox một góc bằng 450 nên hệ số góc của đường thẳng d là

, do đó

0

tan 45 1

Phương trình hoành độ giao điểm: x23x   2 x b x24x 2 b0

Điều kiện tiếp xúc: Δ ' 4  2 b   0 b 2

Vậy phương trình đường thẳng d là y x 2

b) Tiếp tuyến d song song với đường thẳng y2x1 nên hệ số góc của d bằng 2, do đó

: 2  , 1

d y x b b

Phương trình hoành độ giao điểm: x23x 2 2x b x25x 2 b0

Điều kiện tiếp xúc: Δ ' 25 4 2  0 17

4

Vậy phương trình tiếp tuyến d là 2 17

4

c) Tiếp tuyến d vuông góc với đường thẳng 1 2 nên có hệ số góc của d bằng 3, do đó

3

: 3 

d y x b

Phương trình hoành độ giao điểm: x23x 2 3x b x26x  2 b 0

Điều kiện tiếp xúc: Δ ' 9  2 b   0 b 7

Vậy phương trình tiếp tuyến d là y3x7

Ví dụ 9 [ĐVH] Tìm m để đường thẳng d y x:  1 cắt parabol  P y x:  2mx1tại hai điểm P, Q

mà đoạn PQ3

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm: x2mx   1 x 1 x2m1x 2 0

Điều kiện cắt tại 2 điểm P Q, : Δ 0 m22m 7 0

9

2

 x x  x x  S  P

Theo định lí Vi-ét: S x1 x2    b 1 m P x x,  1 2  c 2

2 2

   m   m

DẠNG 4 TỔNG HỢP VỀ HÀM SỐ BẬC HAI

Ví dụ 1 [ĐVH] Tìm giá trị lớn nhất, bé nhất (bé nhất) nếu có của các hàm số:

a) y7x23x10

b) y 2x2 x 1

Lời giải:

a) y7x23x10 có a 7 0 nên y đạt giá trị bé nhất tại đỉnh 1 3 là

  b 

x

a

và không tồn tại giá trị lớn nhất

 

b) y 2x2 x 1 có a  2 0nên y đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh 1 1 là

  b  

x

a

và không tồn tại giá trị nhỏ nhất

 

Ví dụ 2 [ĐVH] Cho hàm số y x 26x5

a) Vẽ đồ thị của hàm số y x 26x5 trên đoạn  0; 4

b) Tìm GTLN và GTNN của trên y  0; 4

c) Tìm tập hợp các giá trị của x 0; 4 sao cho y0

Lời giải:

a) Tập xác định: D

Tọa độ đỉnh:

Bảng biến thiên:



( )

f x

5

4



3



Bảng giá trị:



Đồ thị hàm số như hình vẽ sau:



b) Dựa vào bảng biến thiên, ta được

  0;4   0;4

maxy5; min y 4 c) Dựa vào đồ thị, ta thấy ( )P nằm trên đường thẳng y0 khi x 0;1

Vậy bất phương trình y  0 x  0;1

Ví dụ 3 [ĐVH] Cho hàm số y x 24x3  P

a) Vẽ đồ thị  P

b) Xét sự biến thiên của hàm số trong khoảng  0;1

c) Xác định giá trị của sao cho x y0

d) Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn  0;3

Lời giải:

Tập xác định: D

Tọa độ đỉnh:

Bảng biến thiên:



( )

f x

 

1



 

Bảng giá trị:



Đồ thị hàm số như hình vẽ sau:



b) Bảng biến thiên của hàm số trên khoảng (0;1) như sau:

( )

f x

3

0

c) Dựa vào đồ thị, ta thấy ( )P nằm dưới đường thẳng y0 khi x 1;3

Do đó, bất phương trình y  0 x  1;3

d) Dựa vào đồ thị, ta được

  0;3   0;3

maxy3; miny 1

Ví dụ 4 [ĐVH] Với mỗi hàm số y  x2 2x3 và 1 2

4

2

y x  x

a) Vẽ đồ thị của hàm số

b) Tìm tập hợp các giá trị sao cho x y0

c) Tìm tập hợp các giá trị sao cho x y0

Lời giải:

Tập xác định: D

Tọa độ đỉnh:

Bảng biến thiên:



( )

f x

 

4

 

Bảng giá trị:



Đồ thị hàm số như hình vẽ sau:



Dựa vào đồ thị, ta thấy nằm trên đường thẳng khi

Do đó, bất phương trình y  0 x (1;3)

Dựa vào đồ thị, ta thấy nằm dưới đường thẳng khi

1

x x





 



Do đó, bất phương trình y     0 x ( ;1) (3; ).

b) Tập xác định: D

Tọa độ đỉnh:

Bảng biến thiên:



( )

f x

 

9 2



 

Bảng giá trị:



2

2

2



Đồ thị hàm số như hình vẽ sau:



Ta có

2

y  x      x x x2

Dựa vào đồ thị, ta thấy ( )P nằm trên đường thẳng y0 khi 2

4

x x





  



Do đó, bất phương trình y      0 x ( ; 4) (2; )

Dựa vào đồ thị, ta thấy nằm dưới đường thẳng khi

Do đó, bất phương trình y   0 x ( 4; 2)

Ví dụ 5 [ĐVH] Cho hàm số y x 24x m P  

a) Tìm để m  P qua M2;1 ;

b) Khảo sát hàm số và vẽ  P với tìm được;m

c) Tìm tập hợp các giá trị sao cho y x0;

d) Tìm tập hợp các giá trị sao cho y x0

Lời giải:

a) Theo bài ra, ta có ( 2) 1y       4 8 m 1 m5

Do đó, phương trình parabol là ( ) :P y x 24x5

b) Tập xác định:  D

Tọa độ đỉnh:

Bảng biến thiên:



( )

f x

 

1

 

Bảng giá trị:



Đồ thị hàm số như hình vẽ sau:



c) Với x0, dựa vào đồ thị, ta được y 5 T y (5; )

d) Với x0, dựa vào đồ thị, ta được y 1 T y   1; 

Ví dụ 6 [ĐVH] Cho Parabol  P y x:  23x2 và đường thẳng d y mx:  2

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số  P // Bỏ qua ý này

b) Tìm tham số m để hai đồ thị của hai hàm số tiếp xúc nhau (có duy nhất một điểm chung), cắt nhau

tại hai điểm phân biệt

c) Biện luận theo m số nghiệm phương trình x23x 3 2m0

Lời giải:

b) PT hoành độ giao điểm của d và  P : x23x 2 mx 2 x23x mx  x x  3 m0

Để hai đồ thị của hai hàm số tiếp xúc nhau thì:      3 m 0 m 3

Để hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân biệt thì:      3 m 0 m 3

c) Xét phương trình x23x 3 2m0 * 

Ta có Δ 9 4 3 2    m8m3

Kết luận:

+) PT vô nghiệm khi 3

8



m

+) Có nghiệm duy nhất khi 3

8



m

+) Có 2 nghiệm phân biết khi 3

8



m

Ví dụ 7 [ĐVH] Cho Parabol  P y x 21

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ  P // bỏ qua ý này nhé em

b) Xác định điểm M trên  P để đoạn OM là ngắn nhất.

c) Chứng minh rằng khi OM ngắn nhất thì đường thẳng OM vuông góc với tiếp tuyến tại M của P

Lời giải:

b) Gọi  2    2 2  2 2 4 2 2 1 2 1 1

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 1 ; 1 , 1 ; 1

c) Trong hai trường hợp trên ta có OM vuông góc với tiếp tuyến của (P) tại M.

Ví dụ 8 [ĐVH] Cho đường thẳng d y: 2x 1 2m và Parabol  P đi qua điểm A 1;0 và đỉnh

3; 4 

S

a) Lập phương trình và vẽ Parabol  P

b) Chứng minh rằng d luôn đi qua một điểm cố định.

c) Chứng minh rằng d luôn cắt  P tại hai điểm phân biệt

Lời giải:

a)  P y ax:  2bx c Ta có    

   

3; 4





a b c

Hơn nữa S3; 4 là đỉnh nên

1 5 0

5

  



  



a

a b c b

a

b a

c

b) d không có điểm cố định.

c) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là

(*)

 x  x  x  mx  x  x  m  x  x m 

Hai đồ thị cắt nhau khi (*) có hai nghiệm phân biệt, tức là Δ 66 10 0 33

5

   m   m

Ví dụ 9* [ĐVH] Cho hai hàm số y1    x 1 x 1 và 2

2

1

a) Chứng minh đồ thị của có trục đối xứng.y1

b) Tìm những giá trị của x để y1 y2

Lời giải:

a) y1  f x    x 1 x 1 có D R x D :    x D

Vậy f là hàm số chẵn nên đồ thị có trục đối xứng Oy.

           1 1 1 1  

b) Ta có 1  







Ta xét 3 trường hợp:

1 2

Chọn nghiệm: 11 105 1

2

x

- Với 2 Chọn nghiệm

1 2

  x y y   x  x x23x     4 0 4 x 1   1 x 1

1 2

x y y x x x x25x    4 0 1 x 4

Vậy giá trị x cần tìm 11 105 4

2

x

Ví dụ 10* [ĐVH] Cho f x ax2bx c thỏa mãn f x     1, x  1; 0;1

Chứng minh:   5,  1;1

4

Lời giải:

Ta có:

 

 

 

   

   

 

1

2 1

1

2



   



Do đó:   2 1    2  1    2     2

Vì f   1 1, f  0 1, f  1 1 nên có:

1

 x  x x   x x

2 2

2 2

1



x x khi x

x x khi x