Tương giao hàm bậc ba phần 4 đặng việt hùng

VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA CÁC ĐIỂM CĐ, CT VÀ ỨNG DỤNG Phương pháp tìm pt đường thẳng qua CĐ, CT của hàm bậc 3: Thự

VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA CÁC ĐIỂM CĐ, CT VÀ ỨNG DỤNG

Phương pháp tìm pt đường thẳng qua CĐ, CT của hàm bậc 3:

Thực hiện phép chia đa thức y cho ' y ta được y= y h x' ( )+r x trong đó r(x) là phần dư của phép chia ( )

Khi đó y = r(x) được gọi là phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu của hàm số

Ý nghĩa : Phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu có tác dụng giúp ta lấy ra tọa độ của các

điêm cực đại, cực tiểu, trong các bài toán xử lí có liên quan đến tung độ cực đại và cực tiểu

Ứng dụng của đường thẳng đi qua CĐ, CT:

+) Tìm đk để hàm số có cực đại, cực tiểu

+) Viết được phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu (chú ý cách chứng minh nhanh) Giả sử

đường thẳng viết được có dạng ∆:y=ax b Ta có một số trường hợp thường gặp +

 ∆ song song với đường thẳng d : y = Ax + B khi  =



≠



 ∆ vuông góc với đường thẳng d : y = Ax + B khi a A= −1

 ∆ tạo với đường thẳng d : y = Ax + B một góc φ nào đó thì

2 2 2 2

cos φ

∆

∆

+







d

d

Cuối cùng, đối chiếu với đk tồn tại cực đại, cực tiểu ta được giá trị cần tìm của tham số m

Ví dụ 1: [Video] Cho hàm số

3

2 (5 4) 2 3

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu song song với đường thẳng

: 8 +3 + =9 0

Ví dụ 2: [Video] Cho hàm số y=x3+mx2+7x+3

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu vuông góc với đường thẳng

: 9 +8 + =1 0

Ví dụ 3: [Video] Cho hàm số y=x3−3x2−mx+2

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu tạo với đường thẳng

: +4 − =5 0

d x y góc 450

Ví dụ 4: [ĐVH] Cho hàm số: 3 2 ( 2) 3 2

3 3 1

y= − +x mx + −m x m+ −m

Xác định m để hàm số đã cho luôn có cực đại, cực tiểu A, B sao cho ∆OAB vuông tại O

Lời giải:

CỰC TRỊ HÀM SỐ BẬC BA – P4 (Tham khảo)

Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn

Nhận xét: ( )'

1 0, m

∗

∆ = > ∀ Vậy hàm số đã cho luôn có cực đại, cực tiểu và hoành độ các điểm cực đại,

cực tiểu thỏa mãn: 1 2

2

1 2

2 1

x x m

+ =







Thực hiện phép chia cho 'y ta được: 1 2

3 3

m

Vậy đường thẳng đi qua các điểm cực đại cực tiểu có dạng: 2

2

y= x m− +m

Vậy tọa độ các điểm cực đại, cực tiểu là: ( ) ( 2 ) ( ) ( 2 )

1; 1 1; 2 1 ; 2; 2 2; 2 2

A x y = x x −m +m B x y = x x −m +m

Để 2 điểm cực đại, cực tiểu tại A, B tạo với O một tam giác vuông tại O thì:

OA OB





= ⇔x x + x −m +m x −m +m =

5x x 2m x x 2m x x m 2m 0 m 6m 9m 5 0

( 2 )( 2 )

1 5 2

5 5 2

m

m









Vậy 1 5 5; 5

m  ± ± 

  là các giá trị cần tìm

Ví dụ 5: [ĐVH] Cho hàm số 1 3 2

1 3

Chứng minh rằng với mọi m hàm số đã cho luôn có cực đại, cực tiểu Xác định m sao cho khoảng cách

giữa các điểm cực đại, cực tiểu là nhỏ nhất

Lời giải:

Ta có: 2

' m 1 0, m

∆ = + > ∀ ⇒Hàm số đã cho luôn có cực đại, cực tiểu với mọi m và hoành độ các điểm

cực đại, cực tiểu luôn thỏa mãn: 1 2

1 2

2 1

x x

+ =





= −



Thực hiện phép chia cho 'y ta được: 1 2( 2 ) 2

m

Vậy phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu có dạng: 2( 2 ) 2

y= − m + x+ m+

Vậy tọa độ các điểm cực đại, cực tiểu là: ( 2 ) ( 2 )

Do đó, khoảng cách giữa các điểm cực đại, cực tiểu là:

  Để AB nhỏ nhất ( 3 )

4t 9t

⇔ + nhỏ nhất

Xét hàm ( ) 3 [ )

f t = t + t D= +∞

2

' 12 9 0, 1

Suy ra f t( )≥ f ( )1 =13 Vậy 2 13 1 0

3

Min

Vậy m=0 là giá trị cần tìm

1

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu tạo với đường

thẳng ( )d :y= − +2x 1một góc 0

45

Lời giải:

Để hàm số có cực đại cực tiểu thì phương trình ( )∗ luôn có 2 nghiệm phân biệt:

( )

3

m

m

>



Thực hiện phép chia cho 'y ta được:

2

2

1 1

m

Vậy đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu có dạng:

2

2

3

m

3

m

Để ( )∆ tạo với đường thẳng ( )d :y= − +2x 1một góc 45o

:

2

1

2





(**Cách khác: Sử dụng CT : ( ) ( ) 1 2 2 1

1 2 1 2

tan ; d a b a b

a a b b

−

( )

2

2

2

3 3 3

2

m



− ±



Vậy 3 3 3

2

m=− ±

thỏa mãn yêu cầu đề bài

Ví dụ 7: [ĐVH] Cho hàm số y= − +x3 3m x2 2 +1 (với m là tham số thực)

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu sao cho

b) AB=2 5, với A, B là tọa độ các điểm cực trị

c) x CÑ2 +2x CT =8

Hướng dẫn:

PT đường thẳng qua CĐ, CT là 2 ( )

2 1,

y m x

2

= ±

Lời giải

Ta xét hàm: y= − +x3 3m x2 2+1, y'= −3x2+6m x y2 ; ''= − +6x 6m2

2 6

y' 0



Để hàm số có cả cực đại và cực tiểu thì 2m2 ≠0 hay m≠0

'' 0 6 0

y = m > ⇒ điểm cực tiểu A( )0;1 ; ( )2 2

2 ; 4 1

2

d





b)

Ví dụ 8: [ĐVH] Cho hàm số y= −x3 3mx2+2 (với m là tham số thực)

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu sao cho đường thẳng đi qua hai điểm cực trị cắt các trục tọa độ tạo

thành một tam giác có diện tích bằng 4

Lời giải

Ta có y= −x3 3mx2+2, y'=3x2−6mx Cho ' 0 0

2

x y

=



=

Để hàm số có cả cực đại và cực tiểu thì 'y =0 có hai nghiệm phân biệt, tức là m≠0

Ta có 1( ) 2

' 2 2 3

y= x m y− + m x+ ⇒ phương trình qua cực trị là 2

y= m x+

Tại x=0⇒ y=2, y 0 x 12

m

Nên diện tích tam giác tạo bởi với các trục là 1.2 12 4 1

m

Vậy 1

2

= ±

m là giá trị cần tìm

Ví dụ 9: [ĐVH] Cho hàm số y= −x3 3mx2+3(m2−1)x m− 3+1 (với m là tham số thực)

Tìm m để hàm số có đạt cực trị tại A, B sao cho AMB=900 với M( 2; 2)−

Lời giải

y = x − mx+ m −

y





Từ đây ta tìm được 2 điểm cực trị là A m( − −1; 3m+3) và B m( + −1; 3m−1)

Để AMB=900 thì ( ) (2 )2 2 5 2 0

1

m AB

m

=



= −



Vậy m=0 và m= −1 là giá trị cần tìm

Ví dụ 10: [ĐVH] Cho hàm số y=x3−3x2+(m−6)x+ −m 2 (1), với m là tham số thực

Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị sao cho khoảng cách từ điểm A(1; 4)− đến đường thẳng đi qua hai điểm cực trị bằng 12

265

Lời giải

Ta có: y′ =3x2−6x m+ −6

Hàm số có 2 điểm cực trị ⇔ PT y′ =0 có 2 nghiệm phân biệt

⇔ ∆′ = −32 3(m− > ⇔ <6) 0 m 9 (*)

′

y 2m 6 x 4m 4

d A

( , )

265



=





m m

1 1053 249

(thoả (*))

Thầy Đặng Việt Hùng