MỘT SỐ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN: *Định lý 1: +Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực R +Hàm số phân thức hữu tỉ thương của hai đa thức và các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng [r]
Trang 2Bài tập: Cho các hàm số sau
2
) ( )
1 x nếu
1 x
nếu 3
2 )
( )
1 x nếu
1 x
nếu 2
)
(
)
2
) 1 (
5
3 )
( )
2
x
x x
f
+) Tìm tập xác định, xét x = 1 cĩ thuộc TXĐ của hàm số khơng?
) (
lim f x
1 x Tinh
)
f(1) Tính
)
có) nếu
lim và
f(1)
sánh
So
1
x ( ) (
Trang 3TXĐ: D=R, x = 1
thuộc D TXĐ: D=R\{1}, x = 1 khơng thuộc D TXĐ: D=R, x = 1 thuộc D TXĐ: D=R, x = 1 thuộc D
f(1) khơng xác định
2
) (
)
5 3
) ( )
2
x
x x
f
1 x nếu
1 x
nếu 2
)
( )
3 f x x
1 x nếu
1 x
nếu 3
2 ) ( )
1 )1
(
f f ( 1 ) 1 f ( )1 3
1 lim
) ( lim
2 1
1
x
x f
x
x
2 )
2 ( lim )
(
lim
1
x x
2 lim
) ( lim
1 2 lim )
( lim
1 1
1 1
x x
f
x f
x x
x x
) (
lim
1 f x
x
tại tồn không
) 1 ( )
(
lim
1 f x f
1 f x f
2 1
1
) 1 (
5
3 lim
) ( lim
x x
x f
x x
Trang 4Dựa vào ví dụ vừa nêu các em hãy nêu định nghĩa
Hàm số f(x) liên tục tại điểm x0
Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng K
và x0K
Trang 5I.HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM:
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng K
và x0 K
) (
) (
0
x f
x
f
x
Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục tại điểm
x0 nếu
*) Định nghĩa:
*) Lưu ý: Hàm số y = f(x) không liên tục tại x 0 đựơc gọi là gián đoạn tại điểm đó
Trang 6*) Hàm số y = f(x) không liên tục tại x0 khi một trong các điều
kiện sau xảy ra:
• x0 không thuộc TXĐ
• Không tồn tại
• Có
) (
lim
0
x
f
x x
) ( )
(
0
x f x
f
x
*)Các bước xét tính liên tục của hàm số y=f(x) tại một điểm x 0
Bước 1: Tìm TXĐ , kiểm tra x 0 TXĐ
Bước 3: Tìm lim ( )
0
x
f
x
x
Bước 4: So sánh lim ( )
0
x
f
x x và f(x 0 ) Bước 2: Tính f(x 0 )
Bước 5: Kết luận
Trang 7VD1: Xét tính liên tục của hàm số sau tại x0 = 2 ; ( ) 3 2 2 1
x f
3
1
2 )
(
2
x
x
x x
f
1 x neáu
1 x
neáu 1
1 )
(
2
x
x x
f
VD2: Xét tính liên tục của hàm số sau tại x0 = 3 ;
VD3:Xét tính liên tục của hàm số sau tại x0 = 0;
+) Cần thay số 3 bằng số nào để hàm số
liên tục tại x0 = 0
VD4: Xét tính liên tục của hàm số sau tại x0 = 1;
0 x neáu
0 x neáu
3
2 )
(
2
x
x
x x
f
VD5:CMR hàm số sau liên tục tại mọi x0 R; f ( x ) x2
Trang 8II.HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT KHOẢNG
• Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó
• Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên một đoạn [a ; b] nếu nó liên tục trên khoảng (a ; b) và
• Các khái niệm hàm số liên tục trên nửa khoảng như
(a ;b ] , [ a ; ) …… cũng được định nghĩa tương tự
*)Nhận xét : Đồ thị của hàm số liên tục trên một
khoảng
Trang 9-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
2 4 6 8
x y
2 )
( x x
1 x neáu
1 x
neáu 1
1 )
(
2
x
x x
f
Hàm số liên tục tại mọi điểm
thuộc R Suy ra hàm số cũng
liên tục trên khoảng (- 2 ; 2)
Hàm số gián đoạn tại điểm x = 1 Suy ra hàm số không liên tục trên khoảng (-2 ; 2)
*)Nhận xét : Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một
“đường liền” trên khoảng đó
2 -2
4
x y
0
Trang 10VD 6 : Xét tính liên tục của hàm số
trên đoạn[-2 ; 2]
2 4
)
Trang 11VD1: Hàm số liên tục tại x f ( x ) 3 x2 2 x 1 0 = 2
3
1
2 )
(
2
x
x
x x
f
1 x neáu
1 x
neáu 1
1 )
(
2
x
x x
f
VD2: Hàm số gián đoạn tại x0 = 3 ;
VD3: Hàm số gián đoạn tại x0 = 0;
+) Cần thay số 3 bằng số 2 thì hàm số
liên tục tại x0 = 0
VD4: Hàm số gián đoạn tại x0 = 1;
0 x neáu
0 x neáu
3
2 )
(
2
x
x
x x
f
VD5:Hàm số liên tục tại mọi xf ( x ) x2 0 R
Trang 12III MỘT SỐ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN:
) (
)
(
x g
x f
y
*)Định lý 1:
+)Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực R
+)Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) và các hàm
số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng
*)Định lý 2: Giả sử y =f(x) và y = g(x) là hai hàm số liên tục tại x0 Khi đó:
+) Các hàm số: y = f(x) + g(x), y = f(x) - g(x) , y =f(x).g(x) liên tục tại x0
+) Hàm số : liên tục tại x0 nếu g(x0 0)
Trang 13VD7: Xét tính liên tục của hàm số sau trên TXĐ của nó.
1 x
neáu
1 x
neáu
2x
-1
1
2
3 )
(
2
x
x
x x
f
VD8: Tìm m để hàm số sau liên tục trên R
2 x
neáu
2 x
neáu
1 -3m
8
2 )
x x
f
Trang 14Ghi nhớ :
1) Định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm
2) Định nghĩa hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn.
3)Một số định lý cơ bản
4)Cách xét tính liên tục của hàm số tại một điểm, trên một khoảng ,trên một đoạn
Trang 15củng cố
Chọn đáp án đúng:
Câu 1: Hàm số nào liên tục tại x = 3?
3
2 )
(
x
x
f
u(x) =
1 Nếu x 3
3 x
Nếu
1
x3
h(x) = 3.x + 2
g(x) =
5 Nếu x 3
3 x
Nếu
3
9
2
x x
1 -x
x
y số
C
A
A
B
C
D
Trang 16Bài tập về nhà :
1 ,2 , 3 (sgk - Trang 140 ,141)