Rót gän c¸c biÓu thøc chøa biÕn vµ c¸c bµi to¸n phu 2.1/CÁC BƯỚC THỰC HIÊN PHẦN RÚT GỌN: Bớc: Tìm ĐKXĐ của biểu thức Nếu bài toán cha choPhân tích mẫu thành nhân tử, tìm điều kiện để că[r]
Trang 11, Kiến thức 6, 7, 8 quan trọng cần nhớ.
a, Tính chất về phân số (phân thức): A M
B M =
A
B ( M ≠ 0 , B ≠ 0)
b, Các hằng đẳng thức đáng nhớ:
+) (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2
+) (A - B) 2 = A 2 - 2AB + B 2
+) A 2 - B 2 = (A - B)(A + B)
+) (A + B) 3 = A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3
+) (A - B) 3 = A 3 - 3A 2 B + 3AB 2 - B 3
+) A 3 + B 3 =(A + B)(A 2 - AB + B 2 )
+) A 3 - B 3 =(A - B)(A 2 + AB + B 2 )
2, Các kiến thức về căn bậc hai
1) Nếu a ≥ 0, x ≥ 0, √ a = x x2 = a
2)Để √ A có nghĩa thì A ≥ 0
3) √ A2
= | A | 4) √ AB= √ A √ B ( với A 0 và B 0 ) 5) √ A
B =
√ A
√ B ( với A 0 và B > 0 )
6) √ A2B= | A | √ B (với B 0 ) 7) A √ B= √ A2B ( với A 0 và B 0 )
A √ B=− √ A2B ( với A < 0 và B 0 ) 9) √ A
B =
√ AB
| B | ( với AB 0 và B 0 ) 10) A
√ B =
A √ B
B ( với B > 0 )
11)
2
A B
( Với A 0 và A B2 )
12)
A B
( với A 0, B 0 và A B )
II CÁC BÀI TOÁN RÚT GỌN:
1 Rút gọn các biểu thức không chứa biến
1.1/Rút gọn nhờ sử dụng hằng đẳng thức √ A2
= | A |
*)Ví dụ 1: Rút gọn:
a)
−3 ¿2
¿
−8 ¿2
¿
¿
√¿
; b) 3 − √ 5 ¿2
¿
√¿
c)
1− √ 2 ¿2
¿
1+ √ 2 ¿2
¿
¿
√¿
d)
√ 5− 3 ¿2
¿
2 − √ 5 ¿2
¿
¿
√¿
Giải:
a)
( 3) ( 8) 3 8 3 8 11
b)
2
(3 5) 3 5 3 5
c) (1 2)2 (1 2)2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2
Trang 2d)
( 5 3) (2 5) 5 3 2 5 5 3 2 5 1
*)VÝ dô 2: Rót gän :
a) A= √ 4 − 2 √ 3 b) B = √ 14+8 √ 3 (2 √ 2 − √ 6) ;
c) C = √ 7− 4 √ 3 + √ 7+4 √ 3 d) D = √ 5− 2 √ 7 −2 √ 6
Gi¶i:
a) A =
√ 3 −1 ¿2
¿
¿
b) B = √ 14+8 √ 3 (2 √ 2 − √ 6) = √ 14+2 √ 48(2 √ 2− √ 6) = √ 8+2 √ 8 √ 6+6 ( √ 8 − √ 6)
=
√ 8+ √ 6 ¿2
¿
¿
√¿
c) C = √ 7− 4 √ 3 + √ 7+4 √ 3 =
2− √ 3 ¿2
¿
2+ √ 3 ¿2
¿
¿
√ 7− 2 2 √ 3+ √ 7 − 2 2 √ 3=√¿
= 2- √ 3 + 2 + √ 3 = 4
d) D = √ 5− 2 √ 7 −2 √ 6
2
=
√ 6 −1 ¿2
¿
¿
√¿
*)VÝ dô 3: Rót gän A = √ 2− √ 3+ √ 2+ √ 3
Gi¶i:
C¸ch1: 2A = 4 2 3 4 2 3 3 2 3 1 3 2 3 1 3 1 2 3 1 2
3 1 3 1 3 1 3 1 2 3
Suy ra A = √ 6
C¸ch 2: Ta cã: A2 = 2− √ 3+2 √ 4 −3+2+ √ 3=6
Do A > 0 nªn A = √ 6
*)Bµi tËp:
Bµi 1: TÝnh: a ) 1 3 2 3 b ) 2 3 2 1 3 2
Bµi 2: TÝnh: a ¿ √ 8 −2 √ 7 b ¿ √ 4 − √ 7 − √ 4 + √ 7 c ¿ √ 3 − √ 5+ √ 3+ √ 5
Trang 3Bµi 3: Rót gän A = √ √ 3 − √ 1 − √ 21 −12 √ 3
B i 4: à Rót gän A = √ 6+2 √ 3+2 √ 2+2 √ 6
1.2/ Rót gän vËn dông c¸c quy t¾c khai ph ¬ng, nh©n chia c¸c c¨n bËc hai:
*)VÝ dô 1:TÝnh
a) √ 14 √ 56 b) √ 3 1
2 . √ 3 3
Gi¶i:
a) √ 14 √ 56 = √ 14 56= √ 14 14 4= √ 142 4= √ 142 √ 4=14 2=28
b) √ 3 1
2 . √ 3 3
7 . √ 12= √ 7
2 . √ 24
7 . √ 12= √ 7
2 .
24
7 12= √ 122=12
c) 4 7 4 7 4 7 4 7 16 7 9 3
*)VÝ dô 2: Rót gän: a ) 5 20 80 b ) 3 12 3 2 24
Gi¶i:
a
b
*) Bµi tËp:
Bµi 1 : TÝnh: a) √ 12 √ 75 b) √ 2 7
9 . √ 1 24
25 . √ 36
25 c) √ 0 , 04 25 ;d ¿ √ 90 6,4
e) 9 17 9 17
Bµi 2: Rót gän:
a) 12 5 3 48 b) 5 5 20 3 45
c) 2 32 4 8 5 18 d) 3 12 4 27 5 48
e) 12 75 27 f) 2 18 7 2 162
1.3/ Rót gän biÓu thøc chøa c¨n thøc bËc hai ë mÉu vËn dông trôc c¨n thøc ë mÉu b»ng ph ¬ng ph¸p nh©n liªn hîp.
*)VÝ dô 1: Trôc c¨n ë mÉu c¸c biÓu thøc sau
a) 1
√ 3 − √ 2 b)
1 2+ √ 3 c)
1
1 − √ 2 d)
1
1 − √ 3 −
1 1+ √ 3
Gi¶i:
3 2
4 3
1 2
a
b
c
d) 1
1 − √ 3 −
1 1+ √ 3 =
1+ √ 3 (1− √ 3)(1+ √ 3) −
1− √ 3 (1+ √ 3)(1 − √ 3) =
1+ √ 3
1− 3 −
1 − √ 3
1 −3 =
1+ √ 3−(1 − √ 3)
−2
Trang 4= 1+ √ 3 −1+ √ 3
2 √ 3
− 2 =− √ 3
*)VÝ dô 2: Trôc c¨n ë mÉu: a)
)
Gi¶i:
a)
7
5 3 2
25 18
b)
11
2 3 1
12 1
2 3 1 (2 3 1) 2 3 1
*)VÝ dô 3: Rót gän:
A = ( √ 5 − 2 √ 3 −
2
√ 5+ √ 3 − 4 ) : 2+ √ 3
√ 3− 2
*)Bµi t©p: Rót gän c¸c biÓu thøc sau:
a)
1
3
2 3 b)
3 1 3 1 c)
3 1 1 3 1 1
d)
1.4/ Rót gän biÓu thøc chøa c¨n thøc bËc hai ë mÉu nhê ph©n tÝch thµnh nh©n tö:
*) VÝ dô 1: Rót gän c¸c biÓu thøc:
a)
3 1
b)
c)
d)
Gi¶i:
a)
3
b)
3 2
c)
2 3 2 3 4 3 1
d)
*)Bµi t©p: Rót gän c¸c biÓu thøc sau:
Trang 5a)
5 2
b)
c)
d)
2 Rút gọn các biểu thức chứa biến và các bài toán phu
2.1/CÁC BƯỚC THỰC HIấN PHẦN RÚT GỌN:
B
ớc : Tìm ĐKXĐ của biểu thức (Nếu bài toán cha cho)(Phân tích mẫu thành nhân tử, tìm điều kiện để căn có nghĩa, các nhân tử ở mẫu
khác 0 và phần chia khác 0)
B
ớc :Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (rồi rút gọn nếu đợc).
B
ớc : Quy đồng, gồm các bước:
+ Chọn mẫu chung : là tích củc nhân tử chung và riêng, mỗi nhân tử lấy số mũ lớn nhất
+ Tìm nhân tử phụ: lấy mẫu chung chia cho từng mẫu để được nhân tử phụ tương ứng
+ Nhân nhân tử phụ với tử – Giữ nguyên mẫu chung
B
ớc : Bỏ ngoặc: bằng cách nhân đa thức hoặc dùng hằng đẳng thức.
B
ớc : Thu gọn: là cộng trừ các hạng tử đồng dạng.
B
ớc : Phân tích tử thành nhân tử (mẫu giữ nguyên).
B
ớc : Rút gọn.
L
u ý: Bài toán rút gọn tổng hợp thờng có các bài toán phụ: tính giá trị biểu thức khi cho giá trị của ẩn; tìm điều kiện của biến để biểu thức lớn hơn (nhỏ hơn) một số nào đó; tìm giá trị của biến để biểu thức có giá trị nguyên; tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức Do vậy ta phải áp dụng các phơng pháp giải tơng ứng, thích hợp cho từng loại toán.
2.2/ Các ví dụ về bài tập rút gọn tổng hợp:
*)Ví dụ 1: Cho biểu thức:
a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn A
Bài giải: ĐKXĐ:
0
1 0
a a
0 1
a a
Ta có:
a a a 2 a a ( a 1) a ( a 2)
( a 1) : ( a 1)
Vậy A =
1 1
a a
b) Tìm a để A = 5 (Dạng bài toán phụ thứ nhất).
Ph
ơng pháp: Thay A bởi biểu thức vừa rút gọn đợc vào và giải phơng trình:
1
5 1
a
a
a 1 5( a 1) a 1 5 a 5 4 a 6
(TMĐK)
Vậy với a =
9
4 thì A = 5.
c) Tính giá trị của A khi a = 3 + 2 2 (Dạng bài toán phụ thứ hai).
Ph
ơng pháp: Thay giá trị của biến vào biểu thức vừa rút gọn đợc rồi thực hiện các phép tính (Lu ý: Có thể tính giá trị a rồi thay vào).
Trang 6Ta có:
Suy ra a 2 1 2 1
Do đó thay vào biểu thức A ta đợc:
A =
d) Tìm giá trị a nguyên để A nhận giá trị nguyên (Dạng bài toán phụ thứ ba).
Ph
ơng pháp: Chia tử cho mẫu, tìm a để mẫu là ớc của phần d (một số), chú ý điều kiện xác định.
Ta có: A =
1 1
a
a
= 1 +
2 1
a
Để A nguyên thì
2 1
a nguyên, suy ra a 1 là ớc của 2
0
1 1
4
a
a a
a
a
Vậy a = 0; 4; 9 thì A có giá trị nguyên
e) Tìm a để A < 1 (Dạng bài toán phụ thứ t).
Ph
ơng pháp: Chuyển vế và thu gọn đa về dạng
M
N < 0 (hoặc
M
N > 0) trong đó dựa vào điều kiện ban đầu ta đã biết đợc M hoặc N dơng
hay âm, từ đó dễ dàng tìm đợc điều kiện của biến
1
1
a
a
< 1
1 1
a a
- 1 < 0
1
a
< 0
2 1
a < 0 a 1 < 0 a <1 Kết hợp điều kiện ban đầu, suy ra
0 a < 1.
*)Ví dụ 2: Cho biểu thức
a) Tìm điều kiện xác định, Rút gọn A
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A
Bài giải: a) ĐKXĐ x > 0; x1 Rút gọn
A=( √ x
√ x −1 +
2
x − √ x ):
1
√ x −1 =(
√ x
√ x − 1 +
2
√ x( √ x −1) ):
1
√ x −1
2
1
b)Tìm giá trị nhỏ nhất của A (Dạng bài toán phụ thứ năm).
Ph
ơng pháp: Dựa vào điều kiện ban đầu và các bất đẳng thức.
Ta có A=
(BĐT Côsi cho hai số dơng)
min
2
x
(TMĐK)
Vậy Amin = 2 2 x 2 .
*)Ví dụ 3: Cho biểu thức
a) Tìm ĐKXĐ, và rút gọn A
Trang 7b)Tìm giá trị của x để A A
Bài giải: a) ĐKXĐ x > 0; x 1.
=
A
x 1
b)
2
x 1
2
x 1
x 3 0
x 1 0
(vì x > 1) x 9 Vậy x > 9 thì A A .
*)Ví dụ 4: Cho biểu thức
A
a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn biểu thức A
b) Với giá trị nào của x thì A A
Bài giải: a) ĐKXĐ x > 0; x 1
A
b)
x 1
x
(vì x 0 )
Kết hợp với điều kiện xác định 0 < x <1 thì A A
*)Ví dụ 5:
Cho biểu thức:
x 1 x x
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P
b) Tìm x để P 5 2 6 x 1 2 x 2005 2 3.
Bài giải:
a) ĐKXĐ: x > 0; x 1:
1 P
b) P 5 2 6 x 1 2 x 2005 2 3
2
1
x 1
x 2005
(TMĐK)
Trang 8Vậy x = 2005 thì P 5 2 6 x 1 2 x 2005 2 3
2.3/ Bài tập t ơng tự:
Bài 1: Cho biểu thức
a) Tìm điều kiện xác định, rút gọn biểu thức A
b) Với giá trị nào của x thì A >
1 3
c) Tìm x để A đạt giá trị lớn nhất
Bài 2 Cho biểu thức
a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P
b) Tìm các giá trị của x để P =
5 4
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M
x 12 1
P
x 1
Bài 3 Cho biểu thức:
x 9
a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn biểu thức
b) Tìm x để D <
-1 2
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của D
Bài 4 Cho biểu thức:
a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P
b) Tìm a Z để P nhận giá trị nguyên.
B
a) Tìm x để B có nghĩa và rút gọn B
b) Tìm x nguyên để B nhận giá trị nguyên
Bài 6 Cho biểu thức
P
a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
c) Tìm x để biểu thức
2 x Q
P
nhận giá trị nguyên
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P b) Tìm x để P > 0
Bài 8 Cho biểu thức
a) Tìm ĐKXĐ, rút gọp P
Trang 9b) Tìm giá trị của a để P > 0
Bài 9 (Đề thi tuyễn sinh vào lớp 10 - Năm học 2011 - 2012)
Cho
A
x 25
, với x 0 và x 25.
1) Rỳt gọn biểu thức A
2) Tỡm giỏ trị của A khi x = 9
3) Tỡm x để A <
1
3.
Bài 10 Cho biểu thức:
P
x 1
a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P
b) Tìm x để P <
1
2 .
Bài 11 Cho biểu thức
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn A
b) Tìm tất cả các giá trị của x sao cho A < 0
Bài 12 Cho biểu thức:
với a > 0 và a1.
a) Rút gọn biểu thức P
b) Với những giá trị nào của a thì P >
1
2.
Bài 13 Cho biểu thức : A =
2 1
với ( x > 0 v x à ≠ 1) 1) Rút gọn biểu thức A
2) Tính giá trị của biểu thức khi x 3 2 2
Bài 14 Cho biểu thức P = ( √ 1 x +
√ x
√ x +1 ) : √ x
x + √ x
a) Rút gọn P
b) Tính GT của P khi x= 4
c) Tìm GT của x để P = 13
3
(Đề thi Hà Nội năm 2008-2009)
Bài 15. Cho biểu thức : A =
1 2
1) Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức A
2) Với giá trị nào của x thì A < -1
Bài 16 Cho biểu thức : A =
(Với x 0; x 1
) a) Rút gọn A
b) Tìm x để A = - 1
Trang 10Bài 17 Cho biểu thức : B = x
x x
x 2 2 1
1 2
2 1
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức B
b) Tính giá trị của B với x = 3
c) Tính giá trị của x để 2
1
A
x x
x x
x
4
5 2 2
2 2 1
a) Tìm TXĐ rồi rút gọn P
b) Tìm x để P = 2
Bài 19 Cho biểu thức : Q = (
) 1
2 2
1 (
: )
1 1
1
a a
a a
a
a) Tìm TXĐ rồi rút gọn Q
b) Tìm a để Q dơng
c) Tính giá trị của biểu thức khi a = 9 - 4 5
Bài 20 Cho biểu thức : M =
1 1
2
1
a a a
a a a a
a) Tìm TXĐ rồi rút gọn M
b) Tìm giá trị của a để M = - 4.