Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.... cVẽ Cx CC’.[r]
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI LẦN VII
Đề chính thức
Môn: Toán - Lớp 8
(Thời gian làm bài 150 phút, không kể phát đề)
Câu 1: (3,0 điểm )
a) Phân tích đa thức a b c2( )b c a2( )c a b2( )thành nhân tử.
b) Cho các số nguyên a b c, , thoả mãn (a b )3(b c )3(c a )3 210 Tính
Bài 1: (4,0 điểm)Cho biểu thức:
2 2
a Rút gọn biểu thức A b Tính giá trị của A , Biết x =
1
2.
c Tìm giá trị của x để A < 0 d Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.
Câu 2 (3,0 điểm).
Câu 3 (3,0 điểm): Đa thức P(x) bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là 1 Biết P(1)=0 ; P(3)=0 ;
P(5)= 0
Hãy tính giá trị của biểu thức: Q= P(-2)+7P(6)
Bài 4 (6 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm
AA '+
HB' BB' +
HC ' CC'
AIB Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM.
c) Chứng minh rằng:
AB+BC+CA ¿2
¿
¿
.
Câu 5 : (1 điểm)
Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện
tích bằng số đo chu vi
ĐÁP ÁN
1 a) Ta có a b c2( )b c a2( )c a b2( )a b c2( )b c a c b c c a2( ) 2( )
(b c a)( c ) (c a b)( c ) (b c a c a c)( )( ) (c a b c b c)( )( )
0,5 0,5
Trang 2(b c a c a c b c)( )( ) (b c a c a b)( )( )
b) Đặt a b x ; b c y; c a z x y z 0 z (x y )
Ta có: x3y3z3 210 x3y3 (x y )3 210 3 (xy x y ) 210
70
xyz
Do x y z, , là số nguyên có tổng bằng 0 và xyz 70 ( 2).( 5).7
nên
0,5 0,5 0,5
2a Biểu thức:
2 2
Rút gọn được kết qủa:
1 A
x 2
1,0
2b
1 x 2
2
hoặc
1 x 2
⇒ A= 32 hoặc A= 52
0,5 1,0 2c A < 0 ⇔ x - 2 >0 ⇔ x >2 0,5
2d A Z ⇔
−1
x −2 ∈ Z ⇔ x-2 Ư(-1) ⇔ x-2 { -1; 1} ⇔ x {1; 3}
1,0
3a x3 - 3x - 2 = 0 (x + 1)(x2 – x – 2) = 0 (x3 + 1) – 3(x + 1) = 0 (x - 2)(x + 1)2 = 0
x = 2; x = - 1
0,75 0,75 3b
P = x2 + 5y2 + 2xy – 4x – 8y + 2015
P = (x2 + y2 + 2xy) – 4(x + y) + 4 + 4y2 – 4y + 1 + 2010
P = (x + y – 2)2 + (2y – 1)2 + 2010 2010 => Giá trị nhỏ nhất của P = 2010 khi
;
0,5 0,5 0,5
4
Ta có: P(x)(x-1), (x-3), (x-5)
Nên P(x) có dạng: P(x) = (x-1)(x-3)(x-5) (x+a)
Khi đó: P(-2) +7P(6) = (-3).(-5).(-7).(-2 +a) +7.5.3.1.(6+a)
= -105.(-2+a) +105.(6+a)
= 105.( 2 –a +6 +a) = 840
1,0 2,0
Bài 5 (6 điểm):
Vẽ hình đúng (0,5điểm)
Trang 3
a) SHBC
SABC=
1
2 HA ' BC
1
2 AA ' BC
=HA '
AA ' ; (0,5điểm)
Tương tự: SHAB
SABC=
HC '
SABC=
HB ' BB' (0,5điểm)
HA ' AA '+HB'
BB' +
HC ' CC' =
SHBC
SABC
+SHAB
SABC
+SHAC
SABC
=1 (0,5điểm) b) Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC, ABI, AIC:
BIIC= AB
AC;
AN
NB =
AI
BI ;
CM
MA=
IC
AI (0,5điểm )
BI
IC.
AN
CM
AB
AI
IC
AB
IC
c)Vẽ Cx CC’ Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx (0,5điểm) -Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’ (0,5điểm)
- Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD BC + CD (0,5điểm)
- Δ BAD vuông tại A nên: AB2+AD2 = BD2 ⇒ AB2 + AD2 (BC+CD)2 (0,5điểm)
AB2 + 4CC’2 (BC+AC)2
4CC’2 (BC+AC)2 – AB2 Tương tự: 4AA’2 (AB+AC)2 – BC2
4BB’2 (AB+BC)2 – AC2 (0,5điểm) -Chứng minh được : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) (AB+BC+AC)2
AB+BC+CA ¿2
¿
¿
(0,5điểm)
(Đẳng thức xảy ra ⇔ BC = AC, AC = AB, AB = BC ⇔ AB = AC =BC ⇔ Δ ABC đều)
Câu 6 : (1đ)
Gọi các cạnh của tam giác vuông là x , y , z ; trong đó cạnh huyền là z
(x, y, z là các số nguyên dương )
Ta có xy = 2(x+y+z) (1) và x2 + y2 = z2 (2) 0,25
Từ (2) suy ra z2 = (x+y)2 -2xy , thay (1) vào ta có :
z2 = (x+y)2 - 4(x+y+z)
z2 +4z =(x+y)2 - 4(x+y)
⇔
Trang 4z2 +4z +4=(x+y)2 - 4(x+y)+4 (z+2)2=(x+y-2)2 , suy ra z+2 = x+y-2 0,25 z=x+y-4 ; thay vào (1) ta được :
xy=2(x+y+x+y-4) xy-4x-4y=-8 (x-4)(y-4)=8=1.8=2.4 0,25
Từ đó ta tìm được các giá trị của x , y , z là :
(x=5,y=12,z=13) ; (x=12,y=5,z=13) ;
(x=6,y=8,z=10) ; (x=8,y=6,z=10) 0,25