DE THI HSG TOAN 8 CO ĐAP AN

Tìm giá trị nhỏ nhất đó.. Gọi M là một điểm nằm trên cạnh AB, hai đờng thẳng DM và BC cắt nhau tại N, CM cắt AN tại E.

Câu I: (2 điểm)

a) Rút gọn biểu thức: =  +  +

x x x 1 x 2x 1

b) Xác định các hệ số a, b để đa thức f(x) = 3+ +

x ax b chia hết cho đa thức 2+ −

x x 6

Câu II: (2 điểm)

Giải các phơng trình sau:

2

1

x 3x 4 x 4 x 1

b) x x 2 x 1 x 1 ( − ) ( − ) ( + = ) 24

Câu III: (2 điểm)

a) Cho x, y, z là các số khác không và đôi một khác nhau thỏa mãn: 1 1 1 + + = 0

x y z .

Tính giá trị của biểu thức: = + +

A

x 2yz y 2xz z 2xy .

b) Cho biểu thức M = 2− +

2

x 2x 2011

x với x > 0

Tìm x để M có giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

Câu IV: (3 điểm )

Cho hình thoi ABCD có ã = 0

BAD 120 Gọi M là một điểm nằm trên cạnh AB, hai đờng

thẳng DM và BC cắt nhau tại N, CM cắt AN tại E Chứng minh rằng:

a) ∆ AMD ∽ ∆ CDN và 2 =

AC AM.CN

b) ∆ AME ∽ ∆ CMB

Câu V: (1 điểm)

Cho a , b là các số dơng thỏa mãn: a3+ b3 = + a5 b5 Chứng minh rằng: a2+ b2 ≤ + 1 ab

Đáp án và biểu điểm:

a)

1 đ

ĐKXĐ

Rút gọn A:

( ) ( )

+

− +

=

−

=

2 2

1 1 x 1

x x x 1 x 2x 1

1 1 x 1

x x 1 x 1 x 1

x 1

1 x

x x 1 x 1

x 1 A

x

0,25 đ ,25 đ 0,25 đ

0,25 đ b)

1 đ f(x) chia hết cho x2+ − x 6 ⇒ f(x) chia hết cho (x + 3)(x -2)

⇒ f(- 3) = 0 ⇔ − + = 3a b 27 (1)

Tơng tự ta có f(2) = 0 ⇔ 2a b + = − 8 (2)

Trừ hai vế của (1) cho (2) ta đợc: - 5a = 35 ⇔ = − a 7

Thay a = - 7 vào (1) tìm đợc b = 6

0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ

a)

1 đ

ĐKXĐ: x ≠ − 4 ; x 1 ≠

=



⇔ + = ⇔  = −

2

2

2

x 3x 4 x 4 x 1

1

x 4 (x 1) x 4 x 1

15x 12 x 1 4 x 4 x 3x 4

x 4x 0

x 0

x x 4 0

x 4

x = 0 (thỏa mãn đ/k) ; x = - 4(không thỏa mãn đ/k)

Vậy nghiệm của phơng trình là x = 0

0,25 đ

0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ

b)

1 đ x x 2 x 1 x 1( − ) ( − ) ( + =) 24

⇔ 2− 2− − =

x x 1 x 2 x 1 24

x x x x 2 24

Đặt x2− x = t Phơng trình trở thành:

( − = )

t t 2 24

t 2t 24 0

Giải phơng trình tìm đợc t = - 4 ; t = 6

* Với t = - 4 => 2 − = −

x x 4 ⇔ − + = ⇔ − ữ + =

2

4 4

(ph-ơng trình vô nghiệm)

* Với t = 6 => x2− = ⇔x 6 (x 2 x 3+ ) ( − =) 0

Giải phơng trình đợc: x= - 2 ; x = 3

0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ

a)

1 đ Từ giả thiết:

+ +

1 1 1 yz xz xy

x,y,z >0)

⇒yz= − − ⇒xy xz x2+2yz x= 2+yz xy xz− − = −x z x y−

Tơng tự ta có: 2+

z 2xy = (z x z y− ) ( − )

y2+ 2xz = (y z y x− ) ( − )

Khi đó: =( − ) ( − ) (+ − ) ( − ) (+ − ) ( − )

A

x z x y y z y x z x z y

=

=

=

=

yz y z xz z x xy x y

x z x y y z

yz y z xz x z xy x z y z

x z x y y z

yz y z xz x z xy x z xy y z

x z x y y z

x x z y z y y z x z

x z x y y z

x z x y y z

1

x z x y y z

0,25 đ

0,25 đ

0,25 đ

0,25 đ b)

x 2x 2011 2011x 2.2011x 2011

0,25 đ

=

2

x 2.2011x 1 2011 2010x

2011x

x 2011 2010x x 2011 2010 2010 2011x 2011x 2011 2011

Dấu “=” xấy ra ⇔( − )2 = ⇔ =

x 2011 0 x 2011 (thỏa mãn) Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 20102011 đạt đợc khi x 2011 =

0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ

a)

1,5 đ

M

A

B

C

D N

E

0,25 đ

* Xét ∆AMD và ∆CDN có

ã = ã

AMD CDN ( so le trong)

ã = ã

ADM CND ( so le trong)

⇒ ∆AMD ∽ ∆CDN ( g g )

* Vì ∆AMD ∽ ∆CDN

⇒ AM CN = AD CD

Vì BAD 120 ã = 0 ⇒ CAD 60 ã = 0⇒ ∆ ACD đều

⇒ AM CN = AC 2

0,25 đ 0,25 đ

0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ

b)

1,25 đ

Vì AM CN = AC2 theo (a)

⇒ AM=AC

AC CN Chứng minh MAC ACN 60 ã = ã = 0

⇒ ∆ MAC ∽ ∆ CAN ( c g c)

⇒ ACM CNA ã = ã

Mà ã + ã = 0

ACM ECN 60

CNA ECN 60

AEC 60

Xét ∆ AME và ∆ CMB có

ã = ã

AME BMC ( đối đỉnh); AEM MBC 60ã =ã = 0

⇒ ∆ AME ∽ ∆ CMB ( g g)

0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ

0,25 đ

1 đ

2 2

a b 1 ab

⇔ + ≤ +

a b ab 1

a b a b ab a b

a b a b

a b a b a b a b 2a b ab a b

ab a 2a b b 0

⇔ab a2−b2 2≥0 đúng ∀ a, b > 0

0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ

0,25 đ

Ví dụ 7:Cho a,b,c và x,y,z khác nhau và khác 0 Chứng minh rằng nếu: + + = 0 ; + + = 1

c

z b

y a

x z

c y

b x a

2 2

2

2

2

= + +

c

z b

y

a

x

Giải: + + = 0 ⇒ + + = 0 ⇒ ayz + bxz + cxy = 0

xyz

cxy bxz ayz z

c y

b

x

a

1

1

2 1

2 2 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

= +

+

⇒

= + + +

+

+

=











 + +

⇒

=

+

+

c

z

b

y

a

x

abc

cxy bxz ayz c

z

b

y

a

x

c

z b

y a

x c

z

b

y

a

x

1 Phân tích đa thức thành nhân tử :

a x2 − x − 12

b x2 + 8 x + 15

c x2 − 6 x − 16

d x3 − x2 + x + 3

2 Phân tích đa thức thành nhân tử :

( x2 − x ) (2 − 2 x2 − x ) − 15

3 Phân tích đa thức thành nhân tử

1.(a - x)y3 - (a - y)x3 + (x - y)a3

2.bc(b + c) + ca(c + a) + ba(a + b) + 2abc

3.x2 y + xy2 + x2 z + xz2+ y2 z + yz2 + 2xyz

4 Tìm x,y thỏa mãn: x2 + 4y2 + z2 = 2x + 12y - 4z - 14

5 Cho a +| b + c + d = 0

Chứng minh rằng a3 + b3 + c3 + d 3= 3(c + d)( ab + cd)

6 Chứng minh rằng nếu x + y + z = 0 thì :

2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2)

7 Chứng minh rằng với x,y nguyên thì :

A = y4 + (x + y) (x + 2y) (x + 3y) (x + 4y)

là số chính phương

8 Biết a - b = 7 Tính giá trị của biểu thức sau: a2( a + 1 ) − b2( b − 1 ) + ab − 3 ab ( a − b + 1 )

9 Cho x,y,z là 3 số thỏa mãn đồng thời:











= + +

= + +

= + +

1 1 1

3 3 3

2 2 2

z y x

z y x

z y x

Hãy tính giá trị biếu thức

P = ( )17 ( ) (9 )1997

1 1

10

a.Tính 12 − 22 + 32 − 42 + + 992 − 1002 + 1012

b.Cho a + b + c = 9 và a2 + b2 + c2 = 53

Tính ab + bc + ca

11 Cho 3 số x,y,z thỏa mãn điều kiện

x + y + z = 0 và xy + yz + zx = 0

Hãy tính giá trị của Biếu thức : S = (x-1)2005 + (y - 1)2006 + (z+1)2007

12 Cho 3 số a,b,c thỏa điều kiện :

c b a c b

a+ + = + +

1 1 1 1

Tính Q = (a25 + b25)(b3 + c3)(c2008 - a2008)

1 Phân tích đa thức thành nhân tử :

a x2 − x − 12 = ( x − 4 )( x + 3 ) b x2 + 8 x + 15 = ( x + 3 )( x + 5 )

c x2 − 6 x − 16 = ( x + 2 )( x − 8 ) d x3 − x2 + x + 3 = ( x + 1 ) ( x2 − 2 x + 3 )

2 Phân tích đa thức thành nhân tử :

3 Phân tích đa thức thành nhân tử

1.(a - x)y3 - (a - y)x3 + (x-y)a3

( x − y )( x − a )( y − a )( x + y + a )

=

2.bc(b + c) + ca(c + a) + ba(a + b) + 2abc

( a + b )( b + c )( c + a )

=

3.x2 y + xy2 + x2 z + xz2+ y2 z + yz2 + 2xyz

( x + y )( y + z )( z + x )

4 x2 + 4y2 + z2 = 2x + 12y - 4z - 14

( ) (2 )2 ( )2

2

| 3 2

−

5 Từ a + b + c + d = 0 ( )3 ( )3

d c b

⇒ Biến đổi tiếp ta được :a3 + b3 + c3 + d 3= 3(c + d)( ab + cd)

6 Nếu x + y + z = 0 thì :

2 2 2 5

5 5

2 2 2 5

5 5

2 2 2 2

2 2 3 3 3

3 3 3

2

*

; 6

2 2

3 3 3

z y x xyz zx yz xy xyz

z y x xyz zx

yz xy xyz z

y x

z y x xyz zx

yz xy xyz z y x

z y x xyz z

y x z y x

xyz z

y x

+ +

= + +

−

+ +

= + +

− + +

⇔

+ +

= + +

− + +

⇔

+ +

= + + +

+

⇒

= + +

2

z y

Thay (**) vào (*) ta được:

2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2)

7 Với x,y nguyên thì :

A = y4 + (x + y) (x + 2y) (x + 3y) (x + 4y)

5

=

8 Biến đổi a2( a + 1 ) − b2( b − 1 ) + ab − 3 ab ( a − b + 1 ) ( = a − b ) (2 a − b + 1 )

9 Từ







= + +

= + +

1

1 3 3

3 y z x

z y x

( x + y + z ) − x − y − z = ( x + y )( y + z )( z + x )











=

+

=

+

=

+

0

0

0

x

z

z

y

y

x

2

−

=

⇒ P

10

a Sử dụng hằng đẳng thức a2 - b2 ; S -=5151

b Sử dụng hằng đẳng thức (a + b + c)2; P = 14

11 Từ giả thiết suy ra: x2 + y2 + z2 = 0 suy ra : x = y = z = 0;S = 0

c b a c b

a + + = + +

1 1

1 1

: (a + b)(b + c)(c + a) = 0 Tính được Q = 0