50 đề thi hsg toán 8 (có đáp án)

Tiếp tuyến tại M cắt AB và AC tại E, F, đường thẳng BC Câu 5: Một ngũ giác có tính chất: Tất cả các tam giác có 3 đỉnh là 3 đỉnh liên tiếp của ngũ giác đều có diện tích bằng 1.. Chứng mi

Đề Số 1

Đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 9

(Thời gian làm bài 150’)

Câu 1: Giải phương trình

x x

= 3 + 2 x−x2

Câu 2: Cho hệ phương trình:

x - 3y - 3 = 0

x2 + y2 - 2x - 2y - 9 = 0Gọi (x1; y1) và (x2; y2) là hai nghiệm của hệ phương trình trên Hãy tìm giá trịcủa biểu thức

M = (x1- x2)2 + (y1-y2)2

Câu 3: Từ điểm A nằm ngoài đường tròn tâm O kẻ hai tiếp tuyến AB và AC

(B,C là các tiếp điểm) Gọi M là điểm bất kỳ trên cung nhỏ BC của đường tròn(O) (M khác B và C) Tiếp tuyến tại M cắt AB và AC tại E, F, đường thẳng BC

Câu 5: Một ngũ giác có tính chất: Tất cả các tam giác có 3 đỉnh là 3 đỉnh liên

tiếp của ngũ giác đều có diện tích bằng 1 Tính diện tích của ngũ giác đó

Đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 9

(Thời gian làm bài: 150’)

Câu 1: Cho biểu thức.

(x + x2 +2006 (y+ y2 +2006) =2006

Hãy tính tổng: S = x + y

Câu 2: Trong các cặp số thực (x;y) thoả mãn: 2 2 1 0

2 2

≤

− +

− +

−

y x

y y x x

a Chứng minh rằng tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp

b Chứng minh rằng AB, CD và PT đồng quy

Câu 5: Giải phương trình.

x2 + 3x + 1 = (x+3) x 2 + 1

Sở giáo dục và đào tạo Đề thi học sinh giỏi lớp 9

Thanh hoá Môn: Toán

Với mọi số nguyên n lẻ ta đều có:

a Tìm m sao cho điểm C(-2; m)thuộc Parabol

b Có bao nhiêu điểm thuộc Parabol và cách đều hai trục toạ độ

Bài 7: Giải phương trình nghiệm nguyên:

1 Chứng minh OI = OM và tứ giác OMHN nội tiếp được

2 Gọi K là hình chiếu của O lên BI Chứng minh OK = KH và tìm quỹ tích điểm K khi M di động trên đoạn OB

Bài 9: Cho tam giác ABC có µA≠900, M là một điểm di động trên cạnh BC Gọi

O và

E lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên AB và AC Xác định vị trí của M để độ dài đoạn thẳng OE ngắn nhất

-Đề thi học sinh giỏi lớp 9 Bài I (2đ)

a a

a

2 1 1

2 1 2

1 1

2 1

−

−

− + + +

x3 =7x +3y

y3 = 7y+3x

Bài III (3đ)

Cho x,y,z là các số không âm và x+y+z =1

Tìm giá trị lớn nhất của M = xy+yz+zx

Bài IV (6đ)

Cho hình thang ABCD (AD//CD,AB ≠ CD) M,N lần lượt thứ tự là trungđiểm của các đường hcéo AC và BD , kẻ NH ⊥ AD, MH’ ⊥ BC Gọi I là giao điểm của MH’ và NH Chứng minh rằng I cách đều 2 điểm C và D

Bài V (3đ)

Cho a,b,c >0 và a+b+c = 1 Chứng minh b+c ≥ 16abc

đề thi học sinh giỏi - lớp 9 môn toán -thời gian : 150 phút

người ra đề : lê thị hương – lê thị tâm

Câu 1: (4 điểm)

Chứng minh biểu thức sau không phục thuộc giá trị x

1 12

10 2

3 )

2 )(

3 4 ( 2

3 ) 6 ( 6

−

−

−

− +

−

−

− +

−

− +

−

x x x

x x

x x

x x

ϕ = 16 16 2 2 2

2

10 2

10

) 1

( ) (

4

1 ) (

2

1

y x y

x x

y y

Câu 5: (3 điểm) cho tam giác ABC có AB = 3cm; BC = 4cm ; CA = 5cm đường

cao, đường phân giác, đường trung tuyến của tam giác kẻ từ đỉnh B chia tamgiác thành 4 phần Hãy tính diện tích mỗi phần

Câu 6: (3 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong (0) có 2 đường chéo AC&BD

vuông với nhau tại H < H không trùng với tâm của (0) Gọi M,N lần lượt là chânđường vuông góc hạ từ H xuống các đường thẳng AB, BC; P&Q lần lượt là giaođiểm của đường thẳng MH & NH với các đường thẳng CD; OA chứng minhrằng đường thẳng PQ // đường thẳng AC và 4 điểm M, N, P, Q nằm trên một(0)

Sở GD-ĐT thanh hoá Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 9

y y x x y x

y x y y x x

y x

b a

b a

+ +

Câu 3, (6 điểm)

1, Số đo hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông là nghiệm của

Hãy xác định giá trị m để số đo của đường cao ứng với cạnh huyền

2

Câu 4: (5 điểm)

và N Các đường thẳng BC và BD lần lượt cắt đường thẳng MN tại P và

Q Các đường thẳng CM và DN cắt nhau tại E Chứng minh rằng:

1, Đường thẳng AE vuông góc với đường thẳng CD

2, Tam giác EPQ là tam giác cân

Sở giáo dục và đào tạo thanh hoá

đề thi học sinh giỏi lớp 9 – bảng b

1 1 1

1 2

2

1 2

2

1

2 2

+

= +

2 1 2 2

1 1 2

m my x

m y mx

Bài 5: Giải phương trình x2 + x+5 =5

Bài 6: Cho đường thẳng (d): y = x + 2m – 3 gọi A, B lần lượt là giao điểm của d

với Ox, Oy Xác định m để S∆ABO bằng 4.

Bài 7: Cho x, y, z > 0, x + y + z = 1

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức C = ( xyz)(x+y)(y+z)(z+x)

Bài 8: Tính bán kính đường tròn nội tiếp ∆ABC vuông ở A biết rằng đường

phân giác trong AD chia cạnh huyền thành 2 đoạn thẳng có độ dài 10 cm

Bài 10: Chứng minh rằng trong một tứ diện bất kỳ tồn tại 3 cạnh cùng xuất

phát từ một đỉnh mà một cạnh nhỏ hơn tổng hai cạnh kia

Tài liệu:

- Bài 1, 2, 5: Một số vấn đề phát triển Đại số 9

- Bài 3, 6 : Đại số nâng cao lớp 9

- Bài 7 : Bất đẳng thức – Phan Đức Chính

- Bài 8, 9, 10: Một số vấn đề phát triển Hình học 9

Sở Giáo dục và Đào Tạo đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS

thanh hoá Môn thi : Toán

( Thời gian làm bài : 150 phút)

a

a

−+++

có hai nghiệm x1,x2 thoả mãn x1x2=1 thì 5a2=2b2+ac

Bài III (5,0 điểm):

Cho tam giác ABC có cả ba góc nhọn AA’,BB’,CC’ lần lượt là các

đường cao H là trực tâm

Bài V (2,0 điểm):

Gọi A là tập hợp các số nguyên tố p sao cho phương trình :

x2+x+1 = py có nghiệm nguyên x,y

Chứng minh rằng A là một tập hợp vô hạn

Sở GD-ĐT Thanh Hóa Đề thi học sinh giỏi lớp 9

Trường THPT Mai Anh Tuấn Môn : Toán - Năm học: 2005 - 2006

(Thời gian làm bài: 180 phút)

Bài 1: (2,0đ)

Tính giá trị biểu thức:

A= 2 2 3

1 3

2 2

1

−

−

+ + +

HC

CH HB

BH HA

AH

m H A

AH =

'

a.Viết phương trình đường thẳng (d) di qua 2 điểm A và B thuộc (P) và

có hoành độ lần lượt là 2 và - 4

b.Tìm điểm C trên cung AB của (P) sao cho tam giác ABC có diện tíchlớn nhất

Bài 3: (4,0đ)

Cho tam giác ABC vuông cân tại B, nội tiếp đường tròn (O;R) Trên cung

AC có chứa điểm B, lấy 1 điểm D tùy ý; trên tia đối của tia DA lấy điểm E saocho DE = DC

a Chứng minh rằng trung điểm I của EC và điểm D thẳng hàng với 1điểm thứ ba cố định

b.Tìm tập hợp các điểm E khi D di động trên cung ABC

c.Xác định vị trí của D trên cung ABC để độ dài AE lớn nhất, tính độdài ấy theo R

(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)

Sở gd & đt Thanh hoá đề thi học sinh giỏi lớp 9 thcs

Trường thpt trần phú Môn : Toán

Nga Sơn Thời gian : 150 phút không kể thời gian

Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

Bài 2 : (3 điểm)

Cho Phương trình : x 2 – 2 (m - 1) x + m – 3 = 0

1)Chứng minh rằng luôn có nghiệm với V giá trị của m.

2)Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu nhau.

Câu 3: (2 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + y2,biết rằng: x2 + y2 – xy = 4.

Câu 4: (2 điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau: 7x2 + 13y2 =

Thời gian làm bài : 150 phút

Bài 1 : Cho biểu thức

( a)

a

a a a a

+

+ +

: 1

a) Tìm a để biểu thức A có nghĩa

b) Rút gọn A

Bài 2 : Cho 2 số dương x,y thoả mãn x+y=1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

1 ) 1 ( 4

b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2thoả mãn biểu thức

2 2 1 2

2

1x x x

x + đạt giá trị nhỏ nhất, tính giá trị này

Bài 4 :Một vận động viên bắn súng đã bắn hơn 11 viên và đều trúng vào vòng

9,10 điểm; tổng số điểm đạt được là 109 điểm Hỏi vận động vieen đó đã bắn bao nhiêu viên và kết quả bắn vào các vòng ra sao?

Bài 5 : Giải phương trình

5 1 6 8 1

b)chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn đi qua điểm cố định A∈(P)

Bài 7:

Tìm các nghiệm nguyên của phương trình

1820 13

A S

S

ABC HIK = 1 − cos 2 − cos 2 − cos 2

Bài 9:Cho hình vuông ABCD Gọi MNPQ là tứ giác lồi có 4 đỉnh lần lượt nằm

Sở giáo dục & đào tạo thi học sinh giỏi lớp 9 THcs

Thanh hoá

4 4 7 7

3

yxyx

yx

2/ Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x3 + y3 + 6xy = 21

Bài IV (2,5 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O ) tâm O M là điểm chínhgiữa cung BC không chứa điểm A Gọi M’ là điểm đối xứng với M qua O.Các đường phân giác trong góc B và góc C của tam giác ABC cắt đườngthẳng AM’ lần lượt tại E và F

1/ Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp được trong đường tròn

2/ Biết đường tròn nội tiếp tam giác ABC có tâm I bán kính r

Chứng minh: IB.IC = 2r.IM

Bài V (2 điểm)

1/ Cho các số a, b thoả mãn các điều kiện: 0≤a ≤3; 8≤ b≤11

và a + b = 11 Tìm giá trị lớn nhất của tích P = a.b

2/ Trong mặt phẳng ( P ) cho 3 tia chung gốc và phân biệt Ox ; Oy ; Oz

Tia Ot không thuộc (P) và xOt = yOt = zOt Chứng minh Ot vuông gócvới mặt phẳng (P)

-Sở GD&ĐT Thanh Hoá

139

19

5

15

1

1

++

++

++

++

Bài 2 (2 điểm)

Cho ba số dương x; y; z thoả mãn điều kiện xy + yx + xz = 1

Hãy tính giá trị của biểu thức sau :

2 2

2

2 2

2

2 2

1

)1)(

1(1

)1)(

1(1

)1)(

1

(

z

y x

z y

x z

y x

z y

x

+

++

++

++

++

++

Bài 3 ( 2 điểm)

132

53

2

2

++

++

x x

x x

33 3

y x

y x y

x

Bài 5 (2 điểm)

Tìm giá trị của x để đẳng thức sau là đẳng thức đúng :

4524

42818

3x2 − x+ + x2 − x + = – x2 + 6x -5

Bài 6 (2 điểm)

Cho Parabol (P) : y =

24

1

x

và đường thẳng (d) qua hai điểm A, B trên (P)

có hoành độ lần lượt là -2 và 4 Tìm điểm M trên cung AB của (P) tương ứng cóhoành độ x ∈[-2; 4] sao cho tam giác MAB có diện tích lớn nhất

Bài 7 ( 2 điểm)

Tìm mọi cặp số nguyên dương (x; y) sao cho 1

22

4+

+

y x x

là số nguyên dương

Bài 8 (2 điểm):

Cho 2 đường tròn (01, R1) và (02, R2) có R1> R2 tiếp xúc ngoài với nhautại A Đường thẳng d đi qua A cắt đường tròn (01, R1) tại M và đường tròn (02, R2) tại N ( các điểm M, N khác A) Tìm tập hợp các trung điểm I của các đoạnthẳng MN khi đường thẳng d quay quanh điểm A

Bài 9 (2 điểm):

Trong hình vuông mà độ dài mỗi cạnh bằng 4 có cho trước 33 điểm, trong

đó không có 3 điểm nào thẳng hàng Người ta vẽ các đường tròn có bán kínhđều bằng 2 , có tâm là các điểm đã cho Hỏi có hay không 3 điểm trong số cácđiểm nói trên sao cho chúng đều thuộc vào phần chung của 3 hình tròn có cáctâm cũng chính là 3 điểm

Bài 10 (2 điểm):

Cho tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối bằng nhau, trong mặt phẳng(BCD) dựng các điểm P, Q, R sao cho B, C, D lần lượt là trung điểm của PR;QR; QP

Chứng minh rằng AP; AQ; AR đôi một vuông góc./

Đề thi học sinh giỏi lớp 9 - Môn Toán: Thời gian: 150phút

Bài 1(2 điểm): Thực hiện phép tính:

2 2 5 3 5 3

4 2 4 10 17 5 17 5

− +

−

− +

=

A

Bài 2(2 điểm): Phân tích đa thức ra phân tử

24x3 - 26x2 + 9x - 1

Bài 3(2 điểm): Tìm m để phương trình:

x2 - 2x - x-1 + m = 0 có 4 nghiệm phân biệt

Bài 4(2 điểm): Tìm m để hệ sau có nghiệm:

m y x

y x

= +

= +

2

3 2

Bài 5(2 điểm): Tìm m để hệ:

1 3

2

1

−

= +

= +

m y x

y mx

có nghiệm (x;y) thoả x2 + y2 = 1

Bài 6(2 điểm): Cho đường (dm): y = mx - 3m + 2

a) Vẽ đồ thị (d2) (tức khi m = 2)

b) Tìm m để khoảng cách từ gốc toạ độ O tới (dm) lớn nhất

Bài 7(2 điểm): Tìm (x;y) nguyên thoả 2 3

5 11

−

+

− +

=

x

x x x y

Bài 8(2 điểm): Cho điểm I, qua I kẻ 2 đường a và b thoả a ⊥ b

Trên a về hai phía của I lấy 2 điểm A, D

Trên b về hai phía của I lấy 2 điểm B, C

Thoả IA.ID = IB.IC

a) Chứng minh rằng A, B, C, D thuộc 1 đường tròn

b) Qua D kẻ đường song song với b cắt AB kéo dài tại F Hãy xác địnhđiểm E trên FD sao cho AE ⊥ FI Khi đó ICED là hình gì?

Bài 9(2 điểm): Cho hình bình hành ABCD có chu vi không đổi là 2p M, N trên

AB thoả AM = MN = NB

P, Q trên DC sao cho DP = PQ = QC

AQ cắt DN, BP lần lượt tại A1D1

CM cắt DN, BP lần lượt tại B1C1

Hỏi hình bình hành ABCD có đặc điểm gì thì tứ giác A1B1C1D1 có diện tích đạtgiá trị lớn nhất

Bài 10(2 điểm): Cho hình trụ bán kính đáy R, chiều cao h và có thể tích là 30m3.

2 đáy là 2 đường tròn (O) và (O'), AB là 1 đường kính của đường tròn tâm (O),

C di động trên đường tròn (O) S thuộc đường tròn tâm (O')

a) Xác định C để diện tích ∆ ABC là lớn nhất

b) Khi ∆ ABC đạt giá trị lớn nhất Hãy tính thể tích hình chóp SABC

Sở giáo dục - đào tạo thanh hóa

Đề thi học sinh giỏi lớp 9 THCSTrường THPT bc lê viết tạo

****************************

Bài 1:

a) Chứng minh rằng:

3 3 3

3 3

9

4 9

2 9

1 1

b) Tính giá trị biểu thức

1 3

b a a c

a c c b

c b b c a c

b a a

b c b

a c c

− + +

−

= + +

− +

+ +

− +

+

+

−

) )(

( ) )(

( ) )(

(

2 2 2

2 2

2

Bài 3: Cho phương trình: x2 − 2mx+ 2m− 1 = 0

Tìm m để phương trình có 2 nghiệm sao cho nghiệm này bằng bìnhphương nghiệm kia

Bài 4: Giải phương trình: 8+ x + 5− x =5

Bài 5: Chứng minh nếu a >2 thì hệ sau vô nghiệm:

5

y x

a y x

Bài 6: Cho Parabol (P)

4 4 2

8x + y + z =t

Bài 8: Cho tam giác ABC Phân giác AD, trung tuyến AM Lấy đối xứng trungtuyến AM qua AD cắt BC tại N Chứng minh: 2

2

AC

AB NC

Sở giáo dục & đào tạo thanh hoá

đề thi học sinh giỏi lớp 9

−

− +

− +

x 9 x

3

2 x x 2

3 x : 9 x

x 3 x 1 P

c Qua O có thể kẻ được đường thẳng d nào tiếp xúc với (P) hay không ?

Bài 3: (4 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau

a) x 4 x 5 x 4x 1 0

2 − + − = +



= +

= + +

7 y x

4 y 1 x

Bài 4: (5 điểm) Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH vẽ đường

tròn tâm O đường kính AH Đường tròn này cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại D

c Cho AB = 8cm, AC = 9cm Tính diện tích tứ giác MDEN

Bài 5: (2 điểm) Chứng minh bất đẳng thức sau:

xy 1

2 y

1

1 x

1

1

2

2 + + ≥ + + với x ≥ 1, y ≥ 1 Người ra đề

Nguyễn Thị Tuyết

Sở GD & ĐT Thanh hoá đề thi học sinh giỏi tỉnh lớp 9

Trường THPT Quảng Xương 1 Môn: môn toán - bảng A - năm học 2005 - 2006

(Thời gian 150 phút, không kể thời gian giao đề)

x

x x P

1

11

1> Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình x2 + mx + n =0 Tìm m, n thoã mãn hệ

3 1

2 1

x x

x x

2> Giải phương trình:

4)

11

2

−

=+

x x

BE =

b> Biết AB = a, CD = 2a, BE = 2AE Tính diện tích ABCD

2> Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC có B= 1v, cạnh bên SA vuông góc (ABC) tại A Gọi H, K là hình chiếu vuông góc của A lên SC và SB Chứng minh tứ giác BCHK nội tiếp

Bầi 4: (5 điểm)

1> Tìm a∈R để phương trình ẩn x sau: 2) 4 7 0

11 4 (

2x2 − a+ x+ a2 + =

có nghiệm nguyên

2> Chứng minh rằng:

3)

(

4

2

2 2

2 2

y y

x y

x

y

x

với x, y khác 0

-Hết -Sở GD & ĐT Thanh Hoá

Trường THPT Quảng Xương II

2

3 1

2

3 1 1

2

3 1

−

−

− + + + +

b Giải phương trình:

3 3

−

= +

−

= +

1 4

1 4

1 4

y z

x

x z y

z y x

b Tìm nghiệm nguyên: x+xy+y=9

Bài3 (5điểm)

a Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

c b

c a

b a

c b

a

− +

+

− +

+

− +

16 9

4

Với a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác

b Với a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác chứng minh phương trình:

x2+(a+b+c)x+ab+bc+ca=0 vô nghiệm

Bài 4 (5điểm)

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn Đường cao HE Trên đoạn HE lấy điểm B sao cho tia CB⊥AH Hai trung tuyến AH và BK của tam giác ABC cắt nhau tại

I Hai trung trực của AC và BC cắt nhau tại O

a Chứng minh ∆ABH đồng dạng với ∆MKO

b Chứng minh

3

3 3 3

3 3 3

IB IH IA

IM IK IO

+ +

+ +

= 4 2

Ngân hàng đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9

Thời gian: 150 phút.

Tổ Toán, Trường THPT Quảng Xương III

Bài 1:

1 3

1 6 27 3

+ +

=+

12

10

2 2

x

y x

2

x

1) (2đ) AB và CD song song

2) (2đ) AB và CD không song song

Hết

Đề thi học sinh giỏi lớp 9

Môn: Toán - Thang điểm: 20

Bài 1: (6đ)

1 (2đ) Rút gọn biểu thức A = 2 2 3

3 2 3

2 2

3 2

−

−

− +

+ + +

2 (4đ) Tính giá trị của tổng

1 99

1 1

3

1 2

1 1 2

1 1

+

c b

b a a

Cho ∆ABC vuông tại A, đường cao AH Gọi (P), (Q) theo thứ tự là đườngtròn nội tiếp hai tam giác AHB và AHC Kẻ tiếp tuyến chung ngoài (khác BC)của (P) và (Q) cắt AB, AH, AC theo tự M, K, N Chứng minh rằng.

a (2đ) ∆HPQ ~ ∆ABC

b (2đ) KP // AB, KQ // AC

c (2đ) tứ giác BMNC nội tiếp được

sở gd & đt thanh ho á Đề thi học sinh giỏi lớp 9

truờng thpt đặng thai mai môn : Toán

5

5 6

+

− +

−

=

a

a a a B

; a≠ − 1.2.Tính giá trị biểu thức B ở phần 1, khi

z x y x

a

+

= +

5

và (x+z) = (z− y)(2x+ y+z)

16 25

m x

m m

m y

1.Tìm điểm cố định của họ đường thẳng (Dm)

2.Tìm m để đường thẳng của họ (Dm) cắt Parabol (P) : y = x2 tại hai điểm

có hoành độ dối nhau.Xác định toạ độ các giao điểm ấy

3.Trên đường tròn tâm O đã cho lấy điểm M1≠M Gọi A1, B1, C1 lần lượt

là hình chiếu của M1 lên các đường thẳng BC , CA , AB Tìm vị trí của điểm M1 trên đường tròn tâm O để đường thẳng A1B1C1 vuông góc với đường thẳng A/B/C/

1 1

2 >

+ + +

+

n n

n  với mọi số tự nhiên n> 1./

2 1

+ +

+

x

2 1 1

2 1

Câu 2:(1 đ) Cho phương trình x2 - mx + m - 1 = 0

Tìm Giá trị lớn nhất của biểu thức 2( 1)

3 2

2 1

2 2

2 1

2 1

+ +

+

+

=

x x x

x

x x C

Với x1, x2 là các nghiệm của phương trình đã cho.

Câu 3:

a.(1 đ) Giải Phương trình: 4x2 +3x(4 1+x -9) = 27

b.(1.5 đ) Giải phương trình nghiệm nguyên: z

Câu 5: Cho đường tròn( O, R) và hai đường kính AB, MN Các đường thẳng

BM, BN cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn( O) tương ứng tại M’ và N’ Gọi P,

Q theo thứ tự là các trung điểm M’A và N’A

a.(1 đ) Chứng minh tứ giác MNN’M’ nội tiếp

b.(1 đ ) Chứng minh rằng các đường cao của ∆BPQ cắt nhau tại trung điểmcủa bán kính OA

c.(1 đ) Giả sử AB cố định, MN thay đổi Tính giá trị nhỏ nhất của diện tích ∆BPQ theo R

sở gd&đt thanh hóa

2

2 4 2

2

= +

+

+

− +

−

x x

m m x m x

b Giả hệ phương trình sau

x2 +y2 =2

1

(1) 4x( x3 –x2 +x-1) =y2+2xy -2 (2)

Câu 2 (1.5điểm)

Giải phương trình nghiệm nguyên

x2y2-x2 -8y2 = 2xy (1)

Câu 3 (1.5 điểm )

Cho ba số thực dương x,y, z thỏa mãn điều kiện x+y+z ≤1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Q = )

1 1 1 ( 3 ) (

2

z y x z y

là số nguyên tố

Câu5 (3 điểm)

Cho ba điểm A,B,C theo thứ tự nằm trên đường thẳng d sao cho AB=2 ; BC=4 (đơn vị dài ) Một đường tròn (O) di động có tâm O và đi qua BC Gọi AT,AT’ là hai tiếp tuyến kẻ từ A đến đường tròn (O) với T,T’ là hai tiếp điểm

Bài 1:(4đ) Cho biểu thức:

a\ Rút gọn biểu thức P

b\ Chứng minh rằng: 0<P<32/9 ∀x≠ ± 1

1

4 1

1 1

3

2 3 4 5 3

4 3

4 − + − − + − − − − + − + −

=

x x x x x x x x x x x P

Bài 2:(4đ) Cho parabol (P):

d\ Chứng minh rằng độ dài đoạn AB>4 ∀m ≠ 0

Bài 3:(4đ) Cho phương trình: (m-1)x2-2(m-2)x+m+1=0

a Giải và biện luận theo thámố m

b Khi phương trình có 2 nghiệm x1, x2 Hãy tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 độc lập với tham số m

Bài 4(6đ) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, các tiếp điểm của (O) và các cạnhBC, CA, AB lần lượt là D, E, F Kẻ BB1⊥ AO , AA1BO

⊥

Chứng minh rằng 4 điểm D, E, A, B thẳng hàng

Bài 5(2đ) Tìm nghiệm nguyên của phương trình

y2=-2(x6-x3y-32)

Đề thi học sinh giỏi lớp 9

Môn: Toán Thời gian:

Giáo viên thực hiện: Nguyễn Khắc Trữ

Hà Quang Hiểu

Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức:

A =

2

2 2

+

− + +

−

x x x

x x

a) Rút gọn A

b) Tìm xnguyên để A nguyên

Bài 2: (4điểm) Cho phương trình:

x2 − 2(m− 1)x+m− 1 = 0 (1)

a) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt

b) Giả sử x1, x2là 2 nghiệm của phương trình (1) Tìm giá trị nhỏ nhất của

Μ =x12 +x22 +1

Bài 3: (3 điểm) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình

7

1 1 1

= +

y x

Bài 4: (3 điểm) Giải hệ phương trình

Sở GD&ĐT Thanh hoá Đề xuất Đề thi học sinh giỏi lớp 9

Môn: Toán Bảng A

(Thời gian làm bài: 150 phút )

Bài 1: (4 điểm)

Cho phương trình x4 + 2mx2 + 4 =0Tìm giá trị của tham số m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt x1, x2,x3, x4 thỏa mãn x14 + x24 + x34 + x44 = 32

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB=2R (R là một độ dài cho trước)

M, N là hai điểm trên nửa đường tròn (O) sao cho M thuộc cung AN và tổngcáckhoảng cách từ A, B đến đường thẳng MN bằng R 3

1) Tính độ dài đoạn MN theo R

2) Gọi giao điểm của hai dây AN và BM là I, giao điểm của các đường thẳng

AM và BN là K Chứng minh rằng 4 điểm M, N, I, K cùng nằm trên một đườngtròn Tính bán kính của đường tròn đó theo R

3) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích ∆KAB theo R khi M, N thay đổi những vẫnthỏa mãn giả thiết của bài toán



x xy y x y

x y x y

Đề thi toán học sinh giỏi lớp 9

Thời gian: 180 phút ( không kể thời gian giao đề)

1

1 1

x

z y x

1

1 1

y

x z

y

+

+ +

2

2 2

1

1 1

z

y x

z

+

+ + +

2) Tìm nghiệm nguyên của hệ: 



= + +

= + +

8

5

zx yz xy

z y x

Chứng minh 3 đường thẳng CM, DE, BF đồng qui

2) Chứng minh rằng nếu các cạnh của một tam giác không lớn hơn 1 (đơn vịdài) thì diện tích của nó không lớn hơn 4

b- Xác định m để (1) đúng với mọi x?

Sở giáo dục và đào tạo kỳ thi học sinh giỏi lớp 9

Thanh hoá môn thi : toán

Thời gian:(150 phút-không kể thời gian giao đề)

Bài 1 : Tính giá trị biểu thức:

2 8

38 5 17

3

− +

6 6 6

1 1

2 1 1

x

x x x

x

x x

x P

+ +

Bài 3 :Chứng minh rằng phương trình :

x2 − 2mx+ 2 2005 2006 = 0 không có nghiệm nguyên với mọi m∈Z

Bài 4: Tìm tất cả tam giác vuông có các cạnh là số nguyên và số đo diện tích

bằng số đo chu vi

Bài 5: Giải phương trình :x2 + 2−x =2x2. 2−x

Bài 6 : Cho Parabol (P):

Bài 7 : Trên một đường tròn viết 2006 số tự nhiên,biết rằng mỗi số là trung bình

cộng của 2 số đứng liền trước và sau nó Chứnh minh rằng tất cả các số đó bầng nhau

Bài 8 : Các đường cao của tam giác ABC cắt nhau tại H Biết rằng HC=AB ,

tìm góc ở đỉnh C

Bài 9 : Từ điểm P nằm ngoài đường tròn tâm O, bán kính R kẻ hai tiêp tuyến PA

và PB với A,B là các tiếp điểm Gọi H là chân đường vuông goc hạ từ điểm A đến đường kính BC

a Chứng minh rằng PC cắt AH tại trung điểm của AH

b.Tính AH theo R và PO =d

Bài 10 :Cho 10 điểm nằm ngoài mặt phẳng (P) Nối từng cặp 2 điểm với nhau

ta được các đoạn thẳng Mặt phẳng (P) có thể có 30 giao điểm với các đoạn thẳng nói trên không?

Đề thi học sinh giỏi toán lớp 9

(Thời gian làm bài 150 phút)

Bài I (3 điểm)

1/ Rút gọn biểu thức:

A = 4+ 5 3+5 48−10 7+4 32/ Giải phương trình:

7yx31y2

Bài II: (5 điểm)

1/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

B = x 1

3x4

2 ++

2/ Cho parabol y = x2 gọi M, N là giao điểm của đường thẳng y = kx + 2với parabol (k là tham số) Tìm giá trị k để đoạn thẳng MN đạt giá trị nhỏnhất Cho biết công thức tính khoảng cách giữa hai điểm A(x1;y1) vàB(x2;y2) là:

2 1

2 x ) (y y )x

2 ab+bc+ca≤ 33 (a+b)(b+c)(c+a)

Bài IV: (4 điểm)

Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi E, F là hai tiếp điểm của AB,

BC với đường tròn (O), K là giao điểm của đường phân giác trong BACvới EF Chứng minh rằng CKA = 900

Bài V: (4 điểm)

Cho hình thoi ABCD, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O Đườngtrung trực của AB cắt BD, AC tại M, N Biết MB = a, NA = b Tính diện tíchcủa hình thoi theo a và b

Sở gd & ĐT thanh hoá

Trường thpt triệu sơn 3

======***=====

đề thi tuyển sinh vào 10 - thpt chuyên lam sơn

môn: toán chuyên

( Thời gian: 150 phút, không kể giao đề )

Giáo viên ra đề : Trịnh Quốc Phượng

Bài 1(2đ) ( Đề thi vào chuyên toán THPT Lê Hồng Phong- Nam Định – 2002 và

chuyên toán tin -ĐHSPHN-2003 )

1/ Không sử dụng máy tính và bảng số , chứng minh rằng

29322

323

22

325

++

A

++

−

−+

−+

=

52.549

347.32

4

6 3

Bài 2(2đ) (Tuyển tập 5 năm Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ)

Ba số thực x,y,z đôi một khác nhau thoả mãn điều kiện

( y − z )31 − x3 + ( z − x )31 − y3 + ( x − y )31 − z3 = 0

Chứng minh rằng

3 3

3

1 ( − x − y − z = − xyz

Bài 3(2đ) (Tuyển chọn các bài toán từ các cuộc thi của một số nước Đông

Âu-Th.s Nguyễn Văn Nho)

Giả sử phương trình x2 +(m−4)x +m2 −3m+3 =0( với m ≠ 0, m ≠ 2)

có hai nghiệm x1 và x2

1/ Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho x12+ x22 = 6

2/ Chứng minh rằng 9

1218

11

1

2

2 2 1

=

−++

128

42

2 y x

y x y

x

Bài 5(2đ) (Đề thi vào 10 – THPT Chu Văn An –2003)

1/ Giải phương trình

151

2/ Giải phương trình x2 − 3 x + 2 + x + 3 = x − 2 + x2 + 2 x − 3

Bài 6(2đ) ( Thi học sinh giỏi Toán 9 – TPHCM 1994 –1995)

Trong mặt phẳng toạ độ oxy cho Parabol (P) 4

2

x

y=−

và điểm I(0;-2), gọi (d)

là đường thẳng đi qua I có hệ số góc là m

1/ Vẽ (P) Chứng minh rằng với mọi số thực m , (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B

2/ Tìm giá trị của m để đoạn thẳng AB ngắn nhất

Bài 7(2đ) ( Phương trình và các bài toán nghiệm nguyên – Vũ Hữu Bình)

Tìm nghiệm nguyên của hệ phương trình 



=++

=++

3

33 3

x

z y x

Bài 8(2đ) (Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ 2001)

Các đường cao AH, BE và CF của tam giác nhọn ABC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác đó tại các điểm thứ hai tương ứng M, N và K Tính

CF

CK BE

BN

AH

AM

++

Bài 9(2đ) ( Bất đẳng thức hình học – TSKH Vũ Đình Hoà)

Từ một điểm M trong tam giác ABC cho trước , hạ các đường vuông góc MA1 , MB1 và MC1 xuống các đường thẳng BC, CA và AB Với vị trí nào của điểm M thì đại lượng