Biểu thức một biến số : Phương pháp : Muốn tìm giá trị cực đại hoặc cực tiểu của một biểu thức , ta có thể biến đổi biểu thức thành dạng : Hằng số A2 hoặc A2 hằng số.. Mẫu Min khi.[r]
Trang 1A BIEU THUC SO - BIEU THUC DAI SO
I Biéu Thirc S6 :
Bai 1: a) Chung minh can phuc tap :
2
A+ JB - [aria —B fA A —-B
( Dấu + đi với dẫu +, dấu - đi với dấu - )
b) Ap dung : Biến đổi U =A11+24/30;V =AS-4A3
(Luuy:A=11, JB =2V30 => B=4.30 )
: Số A|4+\7-A4-A7-A42 và0 số nào lớn hơn ? ( áp dụng căn phức tạp )
=— có nhận xét gì về M5 ”
GỢI ý : n— " er do do: "=
( ví dụ : fz 2555 2 a2)? )
Bai 4 : Trục căn thức ở mẫu :
GỢI Ý :
)|(J2+v3)-15 | b) |(d5+v6)-v | c)(3+2+v3) - d)
| (2+v/2)-(v3 +6) |
Bài 5 : Rút gọn các biểu thức sau :
a) \V5 3129-125 429-1205 b) 13+30/2+Jo4+4V2 c)
Jai +5 48—10N7 +4
d ) Chứng tỏ rằng : Ÿ70— 2/4901 + 70+/4901 =5 ( Đặt x¿ = Ÿ70—^/4901 + Ÿ70+^/4901
)
e) 9+4V5+{90-4N/5 (Đặt a= {9+4V/5+19-4Vj5 Tinh a=?)
f)A= y3= 2v2 J3+242 +49+ 4x5 + {9— 4/5
V17—12V2 _vI7+12/2
Bài 6 : I) Chứng minh rang Yn>0 ,ludnco:
1 =—- l I ( gợi ý : trục căn thức ở mầu - x rR )
(ñ+1Nn+tmjng vn nai
2) Tinh tong :
trong d6:A>0,B>0, A°>B
Bai i)
: Cho hôn so n
Trang 2
1 1 1 1
2432 372423 4/343V4 100/99 +.99./100
Bài 7 : Chứng minh rằng : n=2(V3+1) 2-3 1a sé hau ti
2
VV2+1-1 yV2+14+1
Tính giá trị biểu thức : A=(x'-x°-x°+2x-l)
⁄M2+43+X6+X8+4
V2+V34+V4 ~
Bai 8 : Cho x=
Bài 9 : Thu gon biéu thức : P=
Bài 10 : Tính giá trị biểu thức :
_ (2003*.2013+ 31.2004 — 1)(2003.2008 + 4)
_ 2004.2005.2006.2007.2008
5 s22) cac +2]
212)#+2] cac 21%2)
(1) gợi ý : + nhân tử và mẫu cho 2"
+ +4 (n' +4n”+ ni —4n
(n° +2) -
nội 2n+ an + 2n+2)
(=0 +1 (+0 +1]
Thayn=2,4,6,8, , 40 vào (1)
Bai 11 : Thu gon biéu thức :
1 (3V2-2N3
2 - v3 342+243 - Bai 12 : 1) Tinh giá trị biểu thức :
P=++y`-3(x+ y)+ 2004, biết rằng :
x= 9342V2 +4/3-2V2 , y= 9/174 122 + V17-12V2
1 1 1 1
I+4'5 \5+x9_ Jo+ 13 42001 +^/2005
Bài 13 : Chứng minh răng số tự nhiên :
¬ - ưu pt ! chia hét cho 2005
3 2003 2004
Gợi ý : két hop tung cap: | 1+ +} —+— |+
Trang 3Il BIEU THUC DAI SO:
Bai 1 : Cho biéu thic:
x°—Ax x+V¥x 2(x-I
a ) Rút gọn P
b ) Tim gia tri nho nhat cua P
c ) Tìm x để biểu thức Ó= ws nhận giá trị là số nguyên
Bài 2 : Cho biểu thức :
a ) Hãy tim điều kiện của x đề biểu thức M có nghĩa, sau đó rút gọnM
b ) Với giá trị nào của x thì biêu thức M đạt giá trị nhỏ nhật và tìm giá trị nhỏ nhât đó củaM ?
Bài 3 : Rút gọn các biêu thức sau :
m-n mt+tnt+ 2xhmn
Ím—vjn m+n
b) O= ab—ab Na-Vb
ab Va + Vb
Bài 4 : Cho biểu thức :
lee 2
a ) Rút gọn P
với a>0, b>0
b ) Tim x dé >2
Bài 5 : Cho biêu thức :
xVx-1 xx +1 x+I
a ) Rút gọn P
P=
b ) Tim x dé pas
Bài 6 : Cho biểu thức :
a-Va Aa-l) a-2Na+l
1) Tìm điều kiện xác định của a để M có nghĩa
2) Rut gonM
Bài 7 : Cho biêu thức : a) Voi gia tri nao cua x thì P được xác định
Trang 4Vict 26x ,2+5ýx
''x-2 Vx +2 4—x
II TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẬT CỦA B.THỨC
(MAX-MIN)
1 Biêu thức một biên sô :
Phương pháp : Muốn tìm gia tri cực đại hoặc cực tiểu của một biéu
thức, ta có thê biên đôi biêu thức thành dạng :
Hăng sô +A” hoặc A” + hăng sô
Bài 1: Cho biểu thức: A=x”+2x+3
a) Tìm x để Amin : b ) Tinh A min do
Giai :
A=x +2x4+3=2x°4+2x4+142
=(x+1 +2 Vậy A„=2 ©x=-l
Bài 2: Cho biểu thức : Ðð=-—x?+6x—4
a ) Tìm x để B„ ; b) Tính giá trị 8„ đó
Giai :
B=—-x +6x-4=(-x+6x-9)+5
=-(x°-6x+9)+5 vì -(x-3) <0,Vx nên 8<5 và B=5 © x=
vì (x+l) >0 nên A>2 vàA=2 ©x+I=0
=-(x-3) +5
3
Vậy giá trị lớn nhất của B =5 khix=3 hay 8 =5 ©x=3
1
x 42x43
b)Tính 8 đó
gợiý: 8 khi mẫu I(x+DỶ +2, Min
Bài 3: Cho biểu thức :B =
a) Tim x dé B `
max ?
Mẫu Min khi (x+l) =0 = x=-I
a ) Tìm x đê Pmin ; b) Tính P min đó
a ) Rút gọn B Gợi ý : p.fích mâu làm xuât hiện nhân tử chung (x + I)
b) Tìm x để B Tính B„ đó
ab? +bŸ(b°—a)+1
ab’ +2b' +a’ +2
a) Timadé BMax ; b) Tính giá trị B Max đó
Bai 6: Cho biểu thức: B=
Trang 5gợi ý :+ ab’ +b?(b’-a)+1=ab’ +b’ — ab’ +1 rit gon
+ p.tích a?b†+2b*+ a?+2 làm xuất hiện nhân tử chung (0 +1)
Bài 7: Cho biểu thức: 8=x(x+I)(x+2)(x+3)
a) TìmxđểBMin ; b) Tính B Min đó
gợi ý : + nhân từng cặp :x(x+lI) ;(x+2Xx+3)
+ Lấy kết quả thứ 1 nhân két qua thir 2: B=(x°+3x) +2(2°+3x) +1-1
2
a)Timxdé€BMin ; _ b) Tinh gia tri B Min do
2
a)TimxdéBMin ; b) Tính giá trịB Min đó
Gợi ý : + Tách hạng tử : x +x+l=+x+2x+l—x
+ Thêm bớt hạng tử : x =(x + l)— ]1 đề được :
B=i-— +
x+l (x+l)
2 Biêu thức 2 biến số trở lên :
Bail: Cho biểu thức: A=x?+2y?-2xy+2x-10y với x, y là các số thực
a ) Tìm x và y dé A Min ; b) Tính A Min đó
Gợi ý: + Viết A=(x-y+1) +(y-4) -17
Bài 2: Cho biểu thức: =x?+6y?+14z?—8yz+6zx— 4xy
a ) Tìm x và y và z để B Min ; b) Tính B Min đó
Gợi ý: Viết B=(x-2y+3z} +2(y?+2yz+z?)+3z
Bài 3: Cho biểu thức: =1677—x?— y?+36x+4y
a ) Tìm x và y để B đạt giá trị lónnhất — ; b) Tính B Max đó
Goi y : Cé thé viét B = 2005 —(x-18) —(y-2)
Bài 4: Cho hai số thực thỏa mãn điều kiện: x?+ y?=1
Tìm giá trị lớn nhật và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x + y
Hướng dân :
Tacó: (x+y) <2(x+y?)=2 =A?<2 =|Al<w2_ >-V2<A<2
Bài 5: Cho hai số dương x và y có tổng băng 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của 8 = (1 — =) 1 — |
> dua vé binh phương của Ï hiệu
Huong dan: + Bién doi: B= 142 ( nhân phá bỏ ngoặc ,„ quy đồng, thu gon)
xy
2 + 1=(xt+y) >4xy >—>8 D> B>09
xy
Bai 6: Tim giá trị nhỏ nhất của : y= (x-ay} +6(x-ay)++x +l6y°—8xy+2x—8y+10
Trang 6(voix,y,alacac so nguyén )
Huong dan:
y=|(x=ay) +6(x~ay)+9 |+(x”=§xy+16y?)+2(x~ 4y) +l
=(x-ay+3) +(x-4y)} +2(x-4y)+1
=(x-ay+3) +(x-4y+l) >0
x-ay+3=0 (1)
x-4y+I=0 (2)
Bai 7: Cho M =Va+3-4Va-1+Va+15-8Va-1
a ) Tìm điều kiện xác định của a để M được xác định
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của M và giá trị của a tương ứng
Hướng dẫn :
a) M xác định với mọi z>I
a+3-4Va—1=(Va—1-2) a+15-8Va—1=(Va-1-4)
=> M =|Va-1-2|+|4—Va-1| ( vận dụng : |a|+|b|> |ø+ b| )
Vậy:minM=2 khi 2<4a-l<4_ suyra giá trị của a
Bai 8: Cho ba so duong x, y , z thoa man : 4 4 >2
l+x I+y l+z
> miny=0
b) Ta có :
Tìm giá trị lớn nhất của tích : P=x.y.z
Hướng dân :
_Ì vị lnnp | ý, š s2 ESTES
l+x l+y I+zj l+y l+z (1+ y)(1+z)
Tương tự :
Hà eat (I+z) ae (1+x)(1+ y) (lo)
1
Từ đó suy ra: P= `" > maxP=— khix=y=z=
(x-1991)
8
Bài 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A= \(x- 1990) +
Hướng dẫn : vận dụng cách làm bài 7
Bai 10:
Tìm giá trị nho nhat cua biéu thirc :B=a° +b? +ab ; cho biét a và b thỏa mãn a + b = Ï Hướng dẫn :
+ =(a+b)(a? ~ab+b?)+ab= a —ab+b’+ab=a +b
+ Ta có: 2(a°+Д)>(a+b} =1 = a? +b
Trang 7Vay: minB= khia=b=+
Bài II:
Cho biểu thức: P= 3 _ I _ Ị
Chứng minh rằng: 0< P< = với mọi giá trỊ của x#+1
Hướng dẫn :
petich: x-x +x-l=(x-l
x+xz -x-I=(x-Il
x = x4 49° 2? += 15 (x=1)(0° +.x41)(x° - x41)
Do đó P có thê rút gọn thanh :
2 4
bo ie 32 KD TA CA 7 1Ã, 1A
Xét hiệu : > P nều hiệu này dương, taco két luận
Bài 12: Cho biểu thức p=L- 1L xX x+y x+y+z _—†
Với giá tri nao cua cac so nguyén duong x, y,, z thì P đạt giá tri duong bé nhat
1 +.————— 1 1
l
vì P>0 < —-+
x xty x+y+z 2
Dat Q=—+ +—— thh P=—-O
xX x+y xd+y+z 2
Dod6Pmin © @„ ©& xnhỏ nhất
Tacd: tet & x>2 6 x>3 do đóx nhỏ nhất khi x =3
X
+khix=3 > g-t,1,_! <1
3 34+y 3+y+z 2
> — + < = 3+y 3+y+z 2 3 6
Vì: : không đổi nên QMax ©> y nhỏ nhất
Mà: = <a © 3+y>6 = 3+y>7 < y>4 vậy y nhỏ nhất bằng 4
+
Vi: 0=S+T+— nénQMax <= znhỏ nhất (LL tương tự :z=36 )
+Z
Trang 8Tóm lai : min ¬
Bài 13: Cho x, y, z là các sô thực không âm thỏa mãn :
3x+4y-3z=4 (2)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =2x + 3y— 4z
Hướng dân Cong vé theo vé (1) va (2): 5x +5y=10 < y=2-x
Thé vao (1): 2x +2-x+3z=6 © z=5-4
Khi đó : P=2x+3(2-x)-4|S-*|=*+2 3 3 3 3
vix>O = a => minP=— khix= ,y= ,Z=
Bai 14:
Tìm giá trị của x dé biểu thức y= x—Ax—1993 đạt giá trị nhỏ nhất Tìm g.trị NN đó
Hướng dẫn + TXD: ?
+ thém bot hang tu (- 1993 ) vao y dé SD duoc HDT
Bai 15:
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số : y=~“—+~— với 0<x<1 —-X x
Hướng dẫn +Viết: yẽ- +t eS “¿+ *!F, (với 0<x<l) I-x x l—x x
+ thu gon y , su dung BDT cau chy
Bai 16:
Tim gid tri lon nhat va nho nhat cua biéu thite A=x?+y"
Biết rằng x và y là các số thực thỏa mãn : x?+ y°—xy=4
Hướng dẫn
Từ: x +y-xy=4 & 2x +2y`-2xy=8
& (x? + y?)+(2° -2xy + y’)=8 ©A+(x-y) =8
Max A=?
Mặt khác: 2x+2y°=8+2xy © 3(1Ì+ y?)=8+(3?+2xy+ +”)
= 3A=8§+(x+y) >8 Tim min A=?
Cho x, y, z là các sô thỏa mãn : x + y +Z = 3
Tìm giá trị lớn nhât của biêu thức : M = xy + yz + zx
Hướng dân M=xy+z(x+y)=xy+(3-x-y)(x+y)= xy+3(x+y)-(x+y}
Trang 9Bai 18:
Cho x, y là hai số thỏa man x + 2y =3 Tim gia tri nho nhat cla: B= x? +2y’
Hướng dẫn Biểu diễn x theo y rồi thế vào E
Bài 19:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
A=x +2y”+3z”-2xy+ 2xz — 2x— 2y — 8z + 2000
Hướng dẫn
Biểu diễn: A=(x-y+z-1) +(y+z-2) +(z-l) +1994
Bài 20 :
Cho x y là hai sô dương thay đôi luôn luôn thỏa mãn điêu kiện xy = T1
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A= posts y 7
x+y x+y
Hướng dẫn
l Từ: (2-yÌ>0 = x'+y?>2x#y > <=
x =y
+ để ý : Max A = Lkhi 4y?°=x
+y=l
Bai 21:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 8 = (x- a) +(x-b} + (x-c} vớia,b,c cho trước
Hướng dẫn
+b+
Baa xO" | (a +i +e) Et)
+b+
o minB=(a°+b° rer) ry Bài 22 :
Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức :
a) P=x`-2xy+6y”-l2x+2y+45
b) O=xˆ-2xy+3yˆ-2x—10y+20
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
c€) E=-x +2xy-4y°+2x+l10y-3
Hướng dẫn :
Biểu diễn:a) P=(x-6-y)} +5(y-1) +4
b) Q=(x-y-1) +2(y-3) 41 c) E=l0-(x-y-1} -3(y-2}