Tam giác hoá và chéo hoá ma trận

lời nói đầu Nh- chúng ta đã biết, các toán tử tuyến tính của một K-không gian vectơ E hữu hạn chiều đ-ợc đặc tr-ng bởi các ma trận biểu diễn của chúng bởi một cơ sỡ nào đó của E.. Vì vậy

Tr-êng §¹i häc Vinh

Gi¸o viªn h-íng dÉn: Th.S NguyÔn V¨n Gi¸m

Sinh viªn thùc hiÖn : NguyÔn ThÞ HiÒn

Vinh, th¸ng 5/2008

MụC LụC

Trang LờI Mở ĐầU 2

1 toán tử tuyến tính 4

2 Không gian con bất biến 7

3 Đa thức đặc tr-ng 10

4 Chéo hoá ma trận 14

5 Tam giác hoá ma trận 21

Kết luận 29

Tài liệu tham khảo 30

lời nói đầu

Nh- chúng ta đã biết, các toán tử tuyến tính của một K-không gian vectơ E hữu hạn chiều đ-ợc đặc tr-ng bởi các ma trận biểu diễn của chúng bởi một cơ sỡ nào đó của E Vì vậy việc nghiên cứu các toán tử tuyến tính của E

đ-ợc chuyển về nghiên cứu các ma trận.Các ma trận đồng dạng với một ma trận chéo (ma trận tam giác) thì gọi là chéo hoá (tam giac hoá) đ-ợc Vì vậy chéo hoá

ma trận hay tam giác hoá ma trận có ý nghĩa quan trọng cho việc nghiên cứu các toán tử tuyến tính

Khoá luận này góp phần giải quyết các vấn đề trên Khoá luận đ-ợc trình bày trong 5 tiết:

Đ1 Toán tử tuyến tính

Đ2 Không gian con bât biến

Đ3 Đa thức đặc tr-ng

Đ4 Chéo hoá ma trận

Đ5 Tam giác hoá ma trận

Các tiết Đ1; Đ2; Đ3 trình bày các kiến thức cơ bản để phục vụ cho Đ4;

Đ5 là nội dung cơ bản của luận văn

Trong Đ5 có các kết qủa chính sau:

- Một ma trận vuông A cấp n trên K tam giác hoá đ-ợc khi và chỉ khi

Khoá luận này đ-ợc hoàn thành d-ới sự h-ớng dẫn của thạc sỹ Nguyễn Văn Giám Tác giả xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của thầy giáo h-ớng dẫn cùng sự góp ý của các thầy giáo, cô giáo trong tổ đại số

Chắc chắn rằng khoá luận không tránh khỏi thiếu sót Rất mong đ-ợc

sự chỉ bảo, góp ý của các thầy cô giáo cùng các bạn

1.1.ĐỊNH NGHĨA: Một ánh xạ tuyến tính từ E vào E được gọi là một toán tử

tuyến tính của E Một toán tử tuyến tính còn được gọi là phép biến đổi tuyến

tính

Tập hợp tất cả các phép biến đổi tuyến tính của E được ký hiệu là L(E)

Trong L(E) ta định nghĩa phép cộng  của hai ánh xạ  và , và phép nhân

vô hướng a (aK) là những ánh xạ:

()(x):(x)(x)

(a)(x):=a(x),với xE

Đặc biệt ta có: Ánh xạ không (x): =,và ánh xạ đối ( ) của  xác định

bởi: ()(x):(x), đều là những toán tử tuyến tính của E

Ánh xạ hợp thành cửa hai toán tử tuyến tính luôn tồn tại và lại là một toán

tử tuyến tính Ta có thể coi việc lấy ánh xạ hợp thành như một phép nhân trong L(E) Đặc biệt, ánh xạ đồng nhất ide là một toán tử tuyến tính có vai trò như là một phần tử đơn vị trong L(E)

1.2.ĐỊNH LÝ: Không gian véc tơ L(E) là một vành có đơn vị

Ánh xạ nghịch đảo của một tự đẳng cấu là một tự đẳng cấu

Ánh xạ hợp thành của hai tự đẳng cấu cũng là một tự đẳng cấu

Ta có bổ đề sau:

1.4.BỔ ĐỀ: Cho  là một toán tử tuyến tính của một không gian véc tơ hữu hạn

sinh Các điều kiện sau là tương đương:

n n

n n

n n

e a e

a e a e

e a e

a e a e

e a e

a e a e

2 2

22 1

12 2

1 2

21 1

11 1

) (

) (

) (

n

n n

a a

a

a a

a

a a

2 22

21

1 12

11

1.5.ĐỊNH NGHĨA: Ta gọi ma trận vuông A=(aij)n  n (i,j=1,2,…,n) là ma

trận(biểu diễn) của  theo cơ sở  và ký hiệu Mat()

NHẬN XÉT:

 Ma trận của toán tử tuyến tính phụ thuộc 

 Ma trận của toán tử tuyến tính phụ thuộc vào cơ sở của E

1.6.ĐỊNH LÝ: Cho dim E = n Thì vành L(E) đẳng cấu với vành M n (K)

Chứng minh:

Lập tương ứng  : L(E)  Mn(K)

 () =A = aij  .

trong đó A=aijnnlà ma trận của  đối với một cơ sở nào đó của E

Trước hết, ta chứng minh  là ánh xạ Thật vậy: Theo định nghĩa 1.5, với mỗi phương trình của  đối với một cơ sở nào đó của E thì chỉ cho ta duy nhất

một ma trận và ngược lại, do vậy  là một ánh xạ và là song ánh

Ta chứng minh  là đồng cấu Thật vậy : Với mọi , L(E) và A, B lần lượt là ma trận của chúng đối với một cơ sở cho trước, ta có:

() = A+B = () ()

(.) = A.B = ().()

Suy ra  là đồng cấu Vậy  là đẳng cấu vành 

§2 KHÔNG GIAN CON BẤT BIẾN

Cho E là một không gian véc tơ hữu hạn sinh trên trường K và  là một toán tử tuyến tính của E

2.1.ĐỊNH NGHĨA: Một không gian con E′ của E được gọi là không gian bất

biến của  nếu (E′)E′

Nhận xét:

0, E là hai không gian con bất biến 

  : E  E là phép biến đổi tuyến tính thì ker là không gian con bất biến của 

2.2 BỔ ĐỀ: Không gian con E của E là không gian con bất biến của  khi và

chỉ khi ảnh của một hệ sinh của E nằm trong E

Chứng minh:

Điều kiện cần là hiển nhiên

Ta chứng minh điều kiện đủ: Giả sử S là hệ sinh của E’ và (S)  Edo mọi

phần tử xE là tổ hợp tuyến tính của S nên (x) cũng là tổ hợp tuyến tính của

0 (1)

Với A là ma trận vuông cấp r Khi đó A là ma trận thu hẹp của  của  theo



Chứng minh:

Giả sử A = (aij ) Nếu E là không gian con bất biến của  thì (xj), j = 1 ,r

là tổ hợp tuyến tính của  Tọa độ theo  của (xj) phải có dạng (a1j,…

a1r,0,…,0) Vì vậy ma trận của  phải có dạng (1)

Đảo lại, nếu A có dạng (1) thì aij = 0,ir,j = 1 ,r Điều này có nghĩa là

(x 1),…,(x r) là tổ hợp tuyến tính của 

Vậy theo bổ đề 1.2 thì E là không gian con bất biến của  Do đó tọa độ của

’(x j ) =(x j ) theo R là (a1j,… arj),j = 1 ,r và A’ = (aij)r  r Nên A′ là ma trận của

 theo  

2.4.ĐỊNH LÝ: Nếu E = E 1 … E r là tổng trực tiếp các không gian con bất

biến E 1 ,…,E r  là cơ sở của E 1 ,2 ,…r là các cơ sở tương ứng của E 1 ,…,E r

0 0

0 0

2 1

Chứng minh:

Ta sắp xếp S theo thứ tự các phần tử trong 1 rồi 2… Cuối cùng là r

Theo bổ đề 1.3 thì ma trận của  đối với  có dạng trên

2.5.ĐỊNH NGHĨA: Số c thuộc trường K gọi là giá trị riêng của  nếu tồn tại

x  0 của E sao cho (x) = cx Trong trường hợp đó x gọi là véc tơ riêng của  Tập hợp tất cả các giá trị riêng gọi là phổ của 

2.6 BỔ ĐỀ: Nếu E là không gian con bất biến của toán tử  và  là ánh xạ

thu hẹp của  trên E Khi đó mọi không gian con bất biến của  cũng là không gian con bất biến của 

Chứng minh:

Giả sử E1 là không gian con bất biến của E đối với ,nghĩa là ’(E1) 

E1 Khi đó do  là thu hẹp của  trên E nên (E1) =  (E1)  E1 Vậy E1 là không gian con bất biến đối với  

2.7.MỆNH ĐỀ: Nếu  là toán tử tuyến tính của E và E 1 ,…,E r là những không

gian con bất biến của  sao cho:

E = E1 E2… Er

thì (E) = (E1) (E2) … (Er)

Chứng minh:

Với mọi y(E) Khi đó phải tồn tại x E sao cho (x) = y Từ xE mà

E = E1  E2… Er nên x= x1… xr vớI xiE,i = 1 ,r Do  là toán tử tuyến

a t

a a

a a

t a

nn n

n

n n

2 22

21

1 12

11

Đa thức fA(t) = A – tI gọi là đa thức đặc trưng của ma trận A Người ta còn kí

hiệu đa thức đặc trưng của A là A

3.2.ĐỊNH NGHĨA: E là một không gian hữu hạn sinh và  là một toán tử tuyến

tính của E Đa thức đặc trưng của , ký hiệu là f(t)(hoặc (t)) là đa thức đặc trưng của một ma trận biểu diễn của 

3.3.MỆNH ĐỀ: Mọi ma trận trên trường số phức đều có giá trị riêng và véc tơ

riêng

Chứng minh:

Theo định lý cơ bản của đại số thì đa thức đặc trưng của ma trận trên trường

số phức là một đa thức bậc n với hệ số phức phải có một nghiệm phức Một nghiệm như vậy là giá trị riêng của ma trận đã cho 

3.4.MỆNH ĐỀ: Mọi toán tử tuyến tính của  của không gian tuyến tính thực E

hữu hạn chiều n1 đều có ít nhất một không gian con bất biến một chiều hoặc

hai chiều

Chứng minh:

Gọi A là ma trận của  đối với cơ sở e1, e2,…, en (1) nào đó của E

 Nếu đa thức đặc trưng fA(t) có một nghiệm thực r thì  có trong E một véc tơ riêng Không gian con sinh bởi véc tơ riêng đó là không gian bất biến một chiều của E

 Nếu đa thức đặc trưng fA(t) của  không có nghiện thực và số chiều của E là

n2 Trường hợp này fA(t) có ít nhất một nghiện phức  = a  bi

Trong đó x1,…, xn là tọa độ của véc tơ riêng cần tìm đối với cơ sở (1)

Do fA() = A  I  = 0 nên hệ phương trình (3) có nghiệm khác nghiệm không trong trường số phức là:

Gọi U là véc tơ có tọa độ trong cơ sở (1) là t1 ,t2,…,,tn và v là véc tơ có tọa

độ trong cơ sở (1) là v 1 ,v 2 ,…,v n thì các đẳng thức trên viết thành (u) = av  bu

Điều đó chứng tỏ không gian con hai chiều sinh bởi u và v là bất biến đối với

 

3.5.MỆNH ĐỀ: Mỗi toán tử tuyến tính của không gian tuyến tính thực với số

chiều lẻ có ít nhất một không gian con bất biến một chiều

Chứng minh: Vì đa thức đặc trưng f(t) là một đa thức bậc lẻ trên trường số

thực nên có ít nhất một nghiệm thực.

3.6.ĐỊNH LÝ: (CaylayHamintơn) Mỗi ma trân vuông A cấp n là nghiệm của

đa thức đặc trưng f A (t) của nó Nghĩa là f A (A)=0

Chứng minh:

Xét ma trận B=(bij) trong đó mỗi bij là phần phụ đại số của mỗi phần tử ở vị trí

(i,j) của ma trận A  tI ; i, j=1, 2, , n Khi đó

) (

1

t

f A B (A  tI) = I hay B(A  tI) = fA(t).I (2)

Vì mỗi phần phụ đại số bij của A  tI  là một đa thức của t với bậc bé hơn n nên ta có thể viết B dưới dạng

Nhân lần lượt các đẳng thức trên với I,A,A1,…,An

ta có vế trái triệt tiêu nên

bằng 0, còn vế phải chính là fA(A)

Vậy fA(A) = (1)n(C0I C1A … CnAn) = 0 

3.7.ĐỊNH LÝ: Nếu E = E 1  E 2… E r là tổng trực tiếp của các không gian

con bất biến E 1 ,E 2 ,…,E r Cho các i là ánh xạ thu hẹp của toán tử tuyến tính  trên E i ,i =1 ,r

Khi đó : f(t) = f1(t) f2(t)… fr(t)

Chứng minh:

Do tổng là tổng trực tiếp nên nếu gọi ma trận của mỗi ánh xạ thu hẹp i đối với

cơ sở Si nào đó của Ei là Ai , i = 1 ,rvà lấy cơ sở S = S1S2…Sr của E thì

ma trận của  đối với S có dạng:

0 0

0 0

2 1

Ta có đa thức đặc trưng của  là :

f(t) = A  tI  = A1 tI  A2 tI  …Ar  tI 

hay f(t) = f1(t) f2(t)… fr(t)

§ 4 CHÉO HÓA MA TRẬN

4.1.ĐỊNH NGHĨA:

a) Giả sử f  L(E) Ta nói rằng f chéo hóa được khi và chỉ khi tồn tại một

cơ sở  của E sao cho Mat(f) là ma trận chéo

b) Giả sử A  M n (K).Ta nói rằng A chéo hóa được khi và chỉ khi tồn tại một

ma trận chéo hóa D  M n (K) sao cho A đồng dạng với D

Nhận xét:

i) Giả sử f  L(E) ;  là một cơ sở của E, A = Mat(f) Khi đó f chéo hóa được

khi và chỉ khi A chéo hóa được Thật vậy:

 Nếu f chéo hóa được thì tồn tại cơ sở  của E sao cho ma trận D của f

trong  là ma trận chéo Ký hiệu ma trận chuyển cơ sở từ  sang  là

P = Pass(,) Ta có : A = PDP1

 Nếu A chéo hóa được thì tồn tại P  GLn(K);DDn(K) sao cho : A

=PAP1 và do vậy D là ma trận của f trong cơ sở  của E xác định bởi P

= Pass(,)

ii) Tồn tại các ma trận chéo hóa được và các ma trận không chéo hóa được

iii) Mọi ma trận chéo đều chéo hóa được

4.2.MỆNH ĐỀ: Giả sử f  L(E).Các tính chất sau đây từng đôi một tương đương

i) f chéo hóa được

ii) Tồn tại một cơ sở của E được tạo nên từ các véc tơ riêng của f

iii) Tổng các không gian con riêng của f bằng E

iv) Tổng các số chiều của các không gian con riêng của f bằng dim(E)

Chứng minh:

i) ii): Giả sử f chéo hóa được ta cần chứng minh tồn tại một cơ sở của E là

=e1 ,e2 ,…en sao cho Mat(f) là ma trận chéo

Vậy tồn tại (1,…,n)Kn sao cho

1



Vì với i =1 ,n , f(ei) = iei (ei0) nên  =e1 ,e2 ,…en là cơ sở của E được tạo

nên từ véc tơ riêng của f

ii) iii): Giả sử tồn tại một cơ sở  =e1 ,e2 ,…en được tạo nên từ véc tơ riêng

của f ta cần chứng minh tổng các không gian con riêng của f bằng E

Thật vậy, tồn tại (1,…,n)Kn sao cho i =1 ,n, f(ei) = Iei Rõ ràng mỗi i là

một giá trị riêng của f

iii)iv): Giả sử tổng các không gian con riêng của f bằng E Ta cần chứng minh

tổng các số chiều của các không gian con riêng của f bằng dim(E)

Thật vậy : Vì tổng các không gian con riêng của f bằng E là tổng trực tiếp nên

iv)i): Giả sử tổng các số chiều của các không gian con riêng của f bằng

dim(E) Ký hiệu : K = card(Spk(f));1,2,…,k là các phần tử của Spk(f) Mỗi

Vậy  là một cơ sở của E và ma trận của f trong  là ma trận chéo vì các phần

tử của  là các véc tơ riêng của f:

Nhận xét: Theo chứng minh trên, nếu f  L(E) chéo hóa được thì các phần tử

chéo của một ma trận chéo biểu diễn cho f chính là các giá trị riêng của f, được

viết trên đường chéo với số lần bằng cấp bội của chúng

4.3.ĐỊNH LÝ: (Điều kiện cần và đủ của tính chéo hóa được)

a) Cho f  L(E),f chéo hóa được khi và chỉ khi:

i) f tách được trên K

ii) Với mỗi giá trị riêng  của f, dim (KGCR(f,)) bằng cấp bội của 

b) Cho A  Mn(K),A chéo hóa được khi và chỉ khi :

4.4.HỆ QUẢ: (Điều kiện đủ của tính chéo hóa được)

i) Giả sử f  L(E) Nếu f có n giá trị riêng từng đôi phân biệt (trong đó n =

dim(E)) thì f chéo hóa được

ii) Giả sử A Mn(K) Nếu A có n giá trị riêng từng đôi phân biệt thì A chéo

Khi đó : Do f chéo hóa được nên tồn tại(1 ,…,n )K và một cơ sở của 

của E sao cho với D = Mat(f) ta có :

0

1



Mặt khác do f lũy linh nên tồn tại kN* sao cho Dk = 0

Suy ra được : 1k = ….= nk = 0

Suy ra 1 = …= n= 0  D = 0  f = 0.

4.6.ĐỊNH LÝ: Cho nN * , A,B M n (K) sao cho A.B chéo hóa được Khi đó:

B.A chéo hóa được nếu A hay B khả nghịch và kết quả đó không còn đúng nếu A hay B không khả nghịch

Chứng minh:

) Giả sử A khả nghịch

Khi đó tồn tại P  GLn(K);DDn(K) sao cho A.B = PDP1

Ta có : B.A = (A1A)(B.A) = A1(AB)A = A1PDP1A = (P1A)1DP1A

Vậy B.A chéo hóa được

) Giả sử B khả nghịch

Khi đó P  GLn(K); DDn(K) sao cho A.B = PDP1

Tacó B.A = (BA)(B.B1) = B(AB)B1 = BPDP1B1 = (PB)D(PB)1

Vậy BA chéo hóa được

1 0

1 1

1 0

1 1

0 0

chéo hóa được

1 1

1 0

1 0

không chéo hóa được

Vậy nếu A hay B không khả nghịch thì B.A không chéo hóa được

4.7.MỆNH ĐỀ : Cho nN * , A  M n (K) Khi đó A phân tích được thành tổng

của hai ma trận chéo hóa được

Chứng minh :

Đặt A = (aij)ij

Khi đ ó tồ n tạ i 1 ,…,n ; 1 ,…,n  R sao cho

 (1,…,n ) có từng đôi một phân biệt

 (1,…,n) có từng đôi một phân biệt

2 21

n

a

a a

1 21

4.8.ĐỊNH LÝ: Cho nN * , A  M n (R) sao cho A tách được trên R Khi đó A

chéo hóa được trong M n (R) khi và chỉ khi A chéo hóa được trong M n (C)

Chứng minh:

() : Giả sử A chéo hóa được trong Mn(R) Ta cần chứng minh A chéo hóa

được trong Mn(C) : Hiển nhiên Vì A chéo hóa được trong Mn(R) tức là P

GLn(R); D  Dn(R) sao cho A = PDP1 thì A chéo hóa trong Mn(C) tức là :

P GLn(C); D  Dn(C) : A = PDP1