Khóa luận tốt nghiệp Chéo hóa tam giác hóa ma trận và ứng dụng

Khóa luận dài 46 trang, gồm 3 chương. Chương 1: Chéo hóa ma trận. Chương 2: Tam giác hóa. Chương 3: Ứng dụng của chéo hóa ma trận. Mỗi phần đều có các ví dụ cụ thể. Cách trình bày khoa học, dễ diểu, được hội đồng bảo vệ đánh giá cao.

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

CHÉO HÓA – TAM GIÁC HÓA MA TRẬN VÀ ỨNG DỤNG

CHƯƠNG I: CHÉO HÓA MA TRẬN

1 Tính chéo hóa được

* Định nghĩa

1) Giải sử f (x)∈ (E) Ta nói rằng F chéo hóa được khi và chỉ khi tồn tại 1

cơ sở β sao cho Mat (f )β là ma trận chéo.

2) Giả sử A M (K)∈ n Ta nói rằng A chéo hóa được khi và chỉ khi tồn tại

ma trận chéo được khi và chỉ khi tồn tại ma trận chéo D thuộc M (K)n sao cho A đồng dạng với D

Nói cách khác, A chéo hóa được khi và chỉ khi

p pass( , ') ta nói A pDp'= β β = (Công thức đổi cơ sở cho 1 tự đồng cấu)

Mệnh đề: Giả sử f (x)∈ (E Các tính chất sau đây từng đôi từng đôi một tương đương.

i) f chéo hóa được

ii) Tồn tại một cơ sở của E được tạo nên từ các vectơ riêng của F

iii) Tổng các không gian con riêng của f bằng E

iv) Tổng các số chiều của không gian con riêng của f bằng dim(E)

Chứng minh

i⇒ii Giả sử f chéo hóa được

Tồn tại 1 cơ sở B (e ,e , ,e )= 1 2 n của E sao cho Mat (f )β là ma trận chéo, vậy khi đó sẽ tồn tại n

0β

Nên B (e ,e , ,e )= 1 2 n là cơ sở của E được tạo nên từ vectơ riêng của f

ii⇒iii Giai sư tồn tại một cơ sởB (e ,e , ,e )= 1 2 n được tạo nên từ vectơ riêng

( , , , ) Kλ λ λ ∈ sao cho ∀ ∈i {i, ,n},f (e )i = λe i rõ ràng mỗi λi là giá trị riêng của f ( một vectơ liên kết la ei )

Ta ký hiệu λ = λ{ i |1 i n}≤ ≤

Khi đó ∑(Ker(f − λ ⊃e) ∑Ker(f − λ =e) ∑Ker(f − λ ⊃e) ∑Kei = λ ∈λE0

Vậy tổng các không gian con riêng của F chính là

iv⇒i Giả sử tổng các số chiều các KGCR của f bằng dim(E).

Ta ký hiệu k Card(SP (f )), M , ,M= k 1 k là các phần tử của SP (f )k

Mỗi KGCR(f ,Mj)(1 j k)≤ ≤ có ít nhất 1 cơ sở βj ta kí hiệu

k j

Vậy β là cơ sở của E và ma trận f của βlà ma trận chéo vì các phần tử của

β là các véc tơ riêng của f:

Ta sẽ thấy dưới đây một tính chất tương tự cho các tự đồng cấu tam giác hóa được

Định lý: (Điều kiện cần và đủ của tính chéo hóa được)

1) Cho f∈ (E), f chéo hóa được khi và chỉ khi χftách được trên K và với mỗi giá trị λ của f, dim(KGCR(f , ))λ bằng cấp bội của λ

Chứng minh:

Với mỗi giá trị λ của f; ký hiệu (λ)

d( ) dim(KGCR(f , ))λ = λ và w( )λ là cấp bội của λ* ( trong χf)

• Giả sử f chéo hóa được

n

0Mat (f )

0β

Đảo lại giả sử χf tách được và ∀λ∈Sp (f ),d( ) w( )k λ = λ

Vì χf tách được và nghiệm của χf là các giá trị riêng của f nên

k

Sp (f )

w( ) nλ∈∑ λ =

Từ đó

k

Sp (f )

d( ) nλ∈∑ λ = vậy mệnh đề trên f chéo hóa được

2) Tính chất thứ 2 này rõ ràng là cách diễn đạt ma trận của tính chất thứ nhất

1 0 1(V ,V ,V ),p pass( , ) 1 1 0

Hệ quả: (Điều kiện đủ để tính chéo hóa được cho từng sản phẩm)

1) Giả sử f∈ (E), nếu f có n giá trị riêng từng đôi phân biệt trong đó = = dim (E) thì f chéo hóa được

2) Giả sử A M (k)∈ n Nếu A có n giá trị riêng từng đôi phân biệt thì A chéo hóa được

Chứng tỏ rằng A chéo hóa được

Ta lập đa thức đặc trưng bằng việc khai triển đối với dòng cuối

n 1 A

Rõ ràng χ λA( ) tách được trên C và có các nghiệm đơn căn bậc n của 1 trong

C/ ) theo hệ quả trên, A chéo hóa được trong Mn(C/ )

CHƯƠNG II TAM GIÁC HÓA

I Định nghĩa 1:

1) Giả sử f∈ (E) Ta nói rằng f tam giác hóa được khi và chỉ khi tồn tại 1 cơ sở βcủa E sao cho Mat (f )β là ma trận tam giác

2) Giả sử A M (K)∈ n Ta nói rằng A là tam giác hóa được khi và chỉ khi tồn tại 1

ma trận tam giác T thuộc Mn(K) đồng dạng với A

Nếu A M (K)∈ n tam giác hóa được thì ta gọi cac dữ liệu P,T và p-1sao cho

2) Mọi ma trận tam giác đều tam giác hóa được

3) Mọi ma trận tam giác dưới đều đồng dạng với 1 ma trận tam giác trên và ngược lại.Thật vậy, nếu T (t ) T (K)= ij ∈ nj kí hiệu

1

n j 11

4) Nếu f (x)∈ (E) tam giác hóa được thì các phần tử chéo của ma trận tam giác biểu diễn f là các giá trị riêng của f, được viết trên đường chéo này với số lần lặp bằng cấp bội của chúng

* Định lý: 1) Giả sử A M (K)∈ n 1 Hai tính chất sau đây là tương đương

i) A là tam giác hóa được

ii) χA tách được trên K

2) Giả sử f∈ (E) Hai tính chất sau đây là tương đươngi) f tam giác hóa được

ii) χf tách được trên K

Chứng minh 1) i⇒ii

Giả sử A tam giác hóa được, tồn tại:

11

n nn

Vì χA tách được trên K nên χA 2 tách được trên K

Theo giả thuyết quy nạp tồn tại Q GL (K),T T (K)∈ n ∈ n ,N sao cho 1

1 1

RT R− 1

1

2

LT

L

RT R

0 A

−λ

2) Giả sử f∈ (E) K – kgvt E có ít nhất 1 cơ sở β sử dụng và ký hiệu

A Mat (f )= β ta có (f tam giác hóa được) ⇔ ( A tam giác hóa được) ⇔( χA tách được ) ⇔ (χf tách được)

n n 1

χ = χ χ − λ vì tr(A)= λ + −1 (n 1).0 và tr(A) (1 n) (n 1) 0= − + − =

Ta suy ra λ =1 0

Như vậy, A thừa nhận một và chỉ một giá trị riêng chính là 0 và cấp n, vì không gian con riêng liên kết với 0 và có số chiêu n = 1, ( n)≠ nên A không chéo hóa được.

KGCR(A,0) có phương trình x1+ x+ n 1− + −(n 1)xn =0, do vậy có 1 cơ

sở (V V )1+ + n 1− , trong đó

1

11

10

;

10

Vn 2

10

11

00

Vậy (V ,V , ,V )1 2 n 1− là một cơ sở củaM (R)n ,1

Ký hiệu β =0 (e ,e , e )1 2 n là cơ sở chính tắc của M (R)n ,1 ,β =(V ,V , ,V )1 2 n 1−

Nhận xét: Giả sử A M (C)∈ n , theo hệ quả trên tồn tại p GL (C),T T (C)∈ n ∈ n,N

sao cho A pTp= − 1 Vậy ta có eA =pe pT − 1 với kí hiệu

1 .T

* Khái niệm cờ của 1 không gian vectơ hữu hạn chiều.

Định nghĩa: Ta gọi mọi họ (E ,E , E )1 2 n các không gian vectơ của E (Trong đó dim(E) = n) thỏa mãm

Mệnh đề sau là hiển nhiên.

* Mệnh đề 1: Giả sử (E ,E , E )1 2 n là các không gian vectơ của (E( n = dim(E) )

Để (E ,E , E )1 2 n là cờ của E cần và đủ là tồn tại một cơ sở (e ,e , e )1 2 n của E sao cho: ∀ ∈i {1, ,n}, E = Vect(e ,e , e )i 1 2 n

* Định nghĩa 3: Giả sử (E ,E , E )1 2 n là một cơ sở của E, (e ,e , e )1 2 n là một cơ

sở của E Ta nói rằng (e ,e , e )1 2 n là tương thích với cở (E ,E , E )1 2 n khi và chỉ khi ∀ ∈i {1, ,n}, E = Vect(e ,e , e )i 1 2 n

Theo mệnh đề trên với mọi cờ ∀ ∈i {1, ,n}, E = Vect(e ,e , e )i 1 2 n

Và E tồn tại một cơ sở (e ,e , e )1 2 n tương thích với cờ (E ,E , E )1 2 n .

Do đó mênh đề sau là hiển nhiên

Mệnh đề 2: Giả sử f ∈ (E), (E ,E , E )1 2 n là 1 cờ của E để f giữ

ổn định E ,E , E1 2 n ( tức là ∀ ∈i {1, ,n}, f(E )i ⊂Ei cần và đủ là tồn tại

1 cơ sở β của E tương thích với cờ (E ,E , E )1 2 n và sao cho Mat (f )β là

ma trận tam giác trên

Mệnh đề 3: Giả sử f∈ (E), Để f tam giác hóa được cần và đủ là tồn tại một cờ

(E ,E , E ) của E sao cho với mỗi ∀ ∈i {1, ,n}, Ei ổn định với f

* Một số ví dụ về tam giác hóa các ma trận vuông cấp ≤3

Giả sử A M (K)∈ 3 , dưới đây ta sẽ thấy rằng ( Định lý 3.1) nếu χAtách được trên K thì A tam giác hóa được, nghĩa là tồn tại p GL (K)= 3 ,

3,N

T T (K)∈ sao cho A pTp= − 1 ta giả sử A không chéo hóa được và χAtách được trên K1 khi đó:

• Hoặc A có 1 giá trị λ1và một giá trị λ2

• Hoặc A có một giá trị bội 3 λ1

Chúng ta kí hiệu β =0 (e ,e ,e )1 2 3 là cơ sở chính tắcM (K)3,1 và f là

một tự đồng cấu của M (K)3,1 sao cho

0

Mat (f ) Aβ =

Tam giác hóa 3

2 đơn

x

x y KGCR(A,2)z

 

 

= ∈

 3x 17y 25z 0 2x 11y 16z 0

là ma trận tam giác trên

2 0 0Mat (f ) 0 2 0

0 0 1β

5x 17y 25zMat (f (V ) AV 2x 9y 16z

x 5y 9zβ

Ta tìm V3∈M (R)3,1 sao cho β =(V ,V ,V )1 2 3 là 1 cơ sở của M (R)3,1 và

Mat (f )β là ma trận tam giác trên

Giả sử V3∈M (R)3,1 sao cho β =(V ,V ,V )1 2 3 là cơ sở của M (R)3,1 tồn tại

3

( , , ) Rα β γ ∈ sao cho

1 0Mat (f ) 0 1

0 0 2β

0

0 0

nếu λ = λ = λ1 2 3

CHƯƠNG III ỨNG DỤNG CỦA CHÉO HÓA MA TRẬN

I Định nghĩa và các định lý chéo hóa ma trận

+ Với mỗi giá trị riêng X của A, dim(KGCR(A, ))λ bằng cấp bội của λ

3 Hệ quả Điều kiện đủ của tính chéo hóa được

Giả sử A M (K)∈ n nếu A có n giá trị riêng từng đôi phân biệt thì A chéo được

II Ứng dụng của chéo hóa ma trận

1 Tính chất các lũy thừa của một ma trận riêng.

a) Giả sử A chéo hóa được, tồn tại D GL (K)∈ n ∃ ∈D D (K)n sao cho A pDp= −1



KGCR(A,3) có số chiều là 1 và có cơ sở V3, trong đó

Mặt khác, vì 0 Sp (A)∉ k nêu A khả nghịch, vậy A-1, Ak (K Z)∈ tồn tại k ta có

=



Vậy KGCR(A,2) có số chiều là 1 và có cơ sở ( V2) trong đó

2

1(V ) 2

5x 5x 5x 0x

+ KGCR(A, 16) có cơ sở V3 trong đó 3

KGCR(a, 1 + a) có cơ sở V2 trong đó 2 1

V1

1X

3 1

Tính các không gian con riêng ta thu đợc 1 cơ sở ( , , )v v v1 2 3 và các giá trị

n

U V W

n

n k k

=

Khi đó

1 1

a y

n

k k

a a a

Ta có 3 là giá trị riêng kép và 5 là giá trị riêng đơn

KGCR (A,3) = vecto (V1) trong đó:

139

3

1525

Vì 3 giá trị riêng kép và dim(KGCR(A,3)=1 nên không chéo hóa đợc

Ta sẽ tam giác hóa A

1525

Ví dụ 5: Xác định số hạng tổng quát của cấp số nhân, biết rằng số hạng đầu tiên

1 2

Từ đó ta có thể rút ra cách giải cho bài toán nh sau:

Bài 7: Tìm U n thỏa mãm điều kiện

1 1

U

α+

Ta xác định U n* nh sau :

a) Nếu λ ≠ 1 thì U n* đa thứ cùng bậc với f n

b) Nếu λ = 1 thì U n* =n g n với g n là đa thức cùng bậc với f n

Thay U n* Vào phơng trình, đồng nhất với các hệ số ta tình đợc các hệ số của U n*

U

⇒ = − do đó 3n 2n

n

U =c − vì U1 =1 nên c =1Vậy Un = −3n 2n

Bài 9: Từ bài toán trên ta có phơng pháp giải cho dạng toán nay nh sau

Tìm Un thỏa mãm điều kiện 1

Thay U vào phơng trình, đồng nhất hệ số của n* *

x a

px q x

+

Còng lµ nghiÖm cña (4) Gi¶i hÖ (5) b»ng c¸ch ®a vÒ ph¬ng tr×nh sai ph©n thuÇn nhÊt

Vậy với a = 24 thì dãy { }a n là dãy số nguyên

Bài 15: cho a, b là hai số nguyên dơng d là số thực dãy { }a n đợc xác định theo công thức

0 1

= thì dãy { }a n là 1 dãy số nguyên

Bài 16: Cho dãy số nguyên { }a n đợc xác đinh nh sau:

0

1

20 100

Giả sử h là số nguyên dơng thỏa mãn hệ thức an+h≡ an (mod 199)

Từ a0 = 20; a1 = 100 suy ra h≥ 2 Ta sẽ chứng minh rằng h thỏa mãn (8) khi và chỉ khi h chẵn (h≥ 2) và ah-1 ≡ 0 (mod 1998)

Nếu h lẻ thì suy ra h – 1 chẵn và ah = 5ah-1≡ 0 (mod 1998)

Trái với điều kiện ah≡ 20 (mod 1998) Vậy h phải chẵn, h ≥ 2 và ah-1≡ 0 (mod 1998)

Điều kiện đủ: Giả sử h ≥ 2, h chẵn và ah-1 ≡ 0 (mod 1998)

Vậy h = 108 là nhỏ nhất phải tìm.

Bài 17: Cho dãy số {xn} đợc xác định nh sau:

8 25.5 3

Bài 18: Cho dãy (xn) n∈ N đợc xác định bởi

Ta sÏ tam gi¸c hãa A T×m 2

Ta cã AV2 = 3V2 + V1⇔ y 3x 1z 9x 6= +

 = +

VËy ta cã thÓ chän 2

⇒ a = b = c = 1 Vậy dãy số {Un} đợc xác định bởi CT số hạng tổng quát sau

đây:

Un = 1 + 2n + (-3)n, n = 1,2…

Vì P là số nguyên tố, nên theo định lý Fecma ta có:

2P-1≡ 1(modP) hay 2P≡ 2(modP)

(-3)P-1≡ 1(modP) hay (-3)P ≡ -3(modP)

Vậy suy ra Up = 1 + 2P + (-3)P ≡ (1 + 2 - 3)(modP)

0 ( 1) 1

( 1) ( 2)( 3)

( 1) ( 2)

( 1) ( 1)( 2)( 3)

2

n n

n

x a

x x

n

n n n

x

X x x

+ +

1 2

0 0

0 2 0 0 2 0 6 8 2 2

0 0 3 0 0 3 2 3 1

n n n

III- Tµi liÖu tham kh¶o

1 S¸ch lý thuyÕt vµnh vµ m«®un