Chéo hóa ma trận, tam giác hóa ma trận và ứng dụng

KIẾN THỨC CƠ SỞ

MA TRẬN

Cho m, n là các số nguyên dương, một ma trận cấp (m, n) trên trường K là một bảng chữ nhật, những phần tử thuộc K đƣợc sắp xếp theo m dòng, n cột

  Để cho gọn, đôi khi ta viết A a ij  m n  , i  1, m, j 1, n

Phần tử a là phần tử thuộc dòng thứ i và cột thứ j trong ma trận Để ký hiệu ma trận, người ta thường sử dụng hai dấu ngoặc vuông [ ] hoặc hai dấu ngoặc tròn ( ) Trong bài khóa luận này, chúng ta sẽ sử dụng dấu ngoặc vuông để ký hiệu ma trận.

Nếu m = n thì A đƣợc gọi là ma trận vuông cấp n

    b Các hệ số của hệ phương trình tuyến tính:

 tạo nên một ma trận vuông cấp 3 là:

- Ma trận A được gọi là ma trận dòng (tương ứng, cột) nếu nó chỉ có một dòng (tương ứng, một cột), nghĩa là ma trận cấp (1, n) (tương ứng, cấp (m, 1))

- Đối với ma trận vuông A      a ij cấp n, các phần tử a ,a , ,a 11 22 nn lập thành đường chéo chính, còn các phần tử a ,a 1n 2(n 1)  , ,a n1 lập thành đường chéo phụ

SV: Kee MAI THAM THOR 6 Lớp: K20-ĐHSP Toán

Ma trận vuông A được gọi là ma trận đường chéo khi tất cả các phần tử nằm ngoài đường chéo chính đều bằng 0 Đặc biệt, nếu các phần tử trên đường chéo chính đều bằng 1, ma trận này được gọi là ma trận đơn vị.

Khi đó ta thường ký hiệu là I n hoặc đơn giản là I nếu không cần nhắc tới cấp của nó

A   a m n  đƣợc gọi là ma trận không nếu mọi phần tử

  a ,ij  i 1, m, j 1, n  của nó đều bằng 0

  là một ma trận đường chéo b) 3

  là ma trận đơn vị cấp 3

- Ma trận vuông A có dạng:

  lần lƣợt là các ma trận tam giác trên và ma trận tam giác dưới

Ma trận không vừa là ma trận tam giác trên vừa là ma trận tam giác đưới

- Ma trận cấp tùy ý đƣợc gọi là ma trận hình thang nếu nó có dạng:

SV: Kee MAI THAM THOR 7 Lớp: K20-ĐHSP Toán

3 Các phép toán trên ma trận

3.1 Phép cộng hai ma trận a Định nghĩa:

Tổng A + B của hai ma trận

   trong đó c ij  a ij b ,i 1,m, j 1,n ij   b Ví dụ:

Tập hợp M n,p ( ) các ma trận cấp (n,p) trên trường , với phép cộng ma trận, tạo thành một nhóm giao hoán Trong nhóm này, phần tử trung hòa là ma trận không, và phần tử đối của ma trận A = \(\begin{bmatrix} a_{ij} \end{bmatrix}\) là ma trận \(-A = \begin{bmatrix} -a_{ij} \end{bmatrix}\).

3.2 Phép nhân ma trận với một số a Định nghĩa:

Tích kA của một số k ∈ K với ma trận A   a ij là ma trận ij   kA c m n

   , trong đó c ij ka , i 1,m, j 1,n ij    

SV: Kee MAI THAM THOR 8 Lớp: K20-ĐHSP Toán b Ví dụ: Cho ma trận:

      c.Tính chất: Với các ma trận có cấp phù hợp và các số k, l  Kta có:

3.3 Phép nhân hai ma trận a Định nghĩa:

Tích AB của hai ma trận ij  

C c  trong đó it n ij jt   j 1 c a b , i 1, m, t 1, p

Cho A, B là hai ma trận cùng cấp và k K ta có:

+ Nếu A là ma trận cấp (m, n) thì I A m AAI n

SV: Kee MAI THAM THOR 9 Lớp: K20-ĐHSP Toán

Nói riêng, tập hợp M (K) n các ma trận vuông cấp n (n>1) trên trường là một vành không giao hoán

4 Ma trận chuyển vị a Định nghĩa:

Ma trận chuyển vị của ma trận A, ký hiệu là \( A^T \), là ma trận được tạo ra bằng cách đổi các dòng thành các cột tương ứng của ma trận A Ví dụ, cho ma trận T.

Cho các ma trận cấp phù hợp và k ϵ K ta có:

Xét tập hợp A Chúng ta biết rằng mỗi phép thế bậc n trên tập X là một song ánh f: X → X, thường được biểu diễn dưới dạng:

Cặp số tự nhiên (i, j) được gọi là nghịch thế nếu i > j Dấu của hàm f có thể được định nghĩa bằng công thức s(f) = -(-1)^k, trong đó k là số lượng nghịch thế của dãy f(1), f(2), , f(n).

Cho A    a ij là ma trận vuông cấp n Ta gọi định thức của ma trận A là tổng 1f (1) 2f (2) nf (n ) f s(f )a a a

 , trong đó f chạy qua tất cả các phép thế bậc n và s(f) là dấu của nó Định thức của ma trận A đƣợc ký hiệu bởi:

SV: Kee MAI THAM THOR 10 Lớp: K20-ĐHSP Toán

Thay cho ký hiệu det A người ta còn viết A

5.3 Định thức của ma trận a Định thức của ma trân cấp hai

Cho ma trận vông cấp 2, 11 12

  b Định thức của ma trân cấp n

Cho ma trận vông cấp n,

 Khai triển theo dòng i Khi đó n   i j ij ij j 1 det A 1  a M

 Khải triển theo dòng j Khi đó n   i j ij ij i 1 det A 1  a M

  trong đó M ij là ma trận thu đƣợc từ ma trận A bỏ đi dòng i cột j

Khai triển theo dòng 1, khi đó ta đƣợc

5.4 Các tính chất của định thức

- Định thức của ma trận A bằng định thức của ma trận chuyển vị A T của nó

- Nếu tất cả các phần tử của một dòng hay một cột nào đó của ma trận đều bằng

0 thì định thức của ma trận đó bằng 0

SV: Kee MAI THAM THOR 11 Lớp: K20-ĐHSP Toán

Nếu tất cả các phần tử trong một dòng của ma trận có chung một nhân tử, thì nhân tử này có thể được đưa ra ngoài dấu định thức.

- Nếu đối với cột thứ j nào đó (1