Khai thác ứng dụng định lí côsin trong tam giác theo hướng cụ thể hóa một số tư tưởng dạy học tích cực

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ THANH LOAN KHAI THÁC ỨNG DỤNG ĐỊNH LÍ CÔSIN TRONG TAM GIÁC THEO HƯỚNG CỤ THỂ HÓA MỘT SỐ TƯ TƯỞNG DẠY HỌC TÍCH CỰC Chuyên ngành: Lý luận và Phương pháp d

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN THỊ THANH LOAN

KHAI THÁC ỨNG DỤNG ĐỊNH LÍ CÔSIN TRONG TAM GIÁC THEO HƯỚNG CỤ THỂ HÓA MỘT SỐ

TƯ TƯỞNG DẠY HỌC TÍCH CỰC

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC GIÁO DỤC

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN THỊ THANH LOAN

KHAI THÁC ỨNG DỤNG ĐỊNH LÍ CÔSIN TRONG TAM GIÁC THEO HƯỚNG CỤ THỂ HÓA MỘT SỐ

TƯ TƯỞNG DẠY HỌC TÍCH CỰC

Chuyên ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán

Mã số: 60.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học: GS.TS ĐÀO TAM

LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu do tự bản thân thực hiện với sự hướng dẫn của GS.TS Đào Tam, không sao chép các công trình nghiên cứu của người khác để làm sản phẩm của riêng mình

Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực Tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm về tính xác thực và nguyên bản luận văn

Tác giả luận văn

NGUYỄN THỊ THANH LOAN

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy GS.TS

Đào Tam - người đã hết lòng giúp đỡ và tạo mọi điều kiện tốt nhất cho tôi hoàn

thành luận văn này Xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đến toàn thể quý thầy cô

trong Viện sư phạm tự nhiên và khoa sau đại học trường Đại học Vinh đã tận tình

truyền đạt những kiến thức quý báu cũng như tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất cho

tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Tôi xin cảm ơn các quý thầy, cô trong hội đồng chấm luận văn đã đọc, góp ý và

phản biện cho luận văn thêm hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn:

- Ban Giám hiệu và các thầy cô và học sinh trường THPT Cao Thắng, thuộc

tỉnh Hà Tĩnh đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi tiến hành nghiên cứu khảo sát, thử

nghiệm luận văn;

- Các anh, chị và các bạn học viên cao học khóa 23 chuyên ngành lý luận và

phương pháp dạy học bộ môn toán đã chia sẻ, động viên, giúp đỡ tôi rất nhiều trong

quá trình học tập và làm luận văn;

Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc những người thân trong gia đình đã

luôn là nguồn động viên lớn lao giúp tôi vượt qua những khó khăn trong suốt thời

gian học tập và nghiên cứu

Một lần nữa tôi xin chân thành cảm ơn!

Thành phố Vinh, tháng 8 năm 2017

Tác giả luận văn

NGUYỄN THỊ THANH LOAN

MỤC LỤC

Trang

LỜI CAM ĐOAN i

LỜI CẢM ƠN ii

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT vii

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục tiêu nghiên cứu 3

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 3

4 Đối tượng nghiên cứu 3

5 Phạm vi nghiên cứu 4

6 Giả thuyết khoa học 4

7 Phương pháp nghiên cứu 4

7 1 Nghiên cứu lý luận 4

7 2 Nghiên cứu thực tiễn 4

8 Cấu trúc luận văn 5

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN 6

1.1 Một số vấn đề về phương pháp dạy học tích cực 6

1.1.1 Những quan niệm về tính tích cực học tập 6

1.1.2 Khái niệm về phương pháp dạy học tích cực 9

1.2 Một số tư tưởng then chốt của phương pháp dạy học tích cực 10

1.2.1 Dạy và học thông qua tổ chức các hoạt động học tập của học sinh nhờ vào tương tác với các tình huống dạy học được thiết kế bởi giáo viên 10

1.2.2 Dạy học chú trọng rèn luyện phương pháp tự học 10

1.2.3 Tăng cường học tập cá thể phối hợp với học tập hợp tác 11

1.2.4 Kết hợp đánh giá của thầy với tự đánh giá của trò 11

1.2.5 Bảng so sánh đặc trưng của phương pháp dạy học truyền thống và phương pháp dạy học tích cực 12

1.3 Một số phương pháp dạy học tích cực 13

1.3.1 Phương pháp đặt và giải quyết vấn đề 14

1.3.2 Phương pháp dạy học hợp tác trong nhóm nhỏ 14

1.3.3 Phương pháp khám phá 14

1.4 Một số kỹ thuật dạy học tích cực 15

1.4.1 Kỹ thuật mảnh ghép 15

1.4.2 Kỹ thuật chia nhóm 15

1.4.3 Kỹ thuật phản hồi tích cực 15

1.4.4 Kỹ thuật lược đồ tư duy 15

1.4.5 Kĩ thuật đặt câu hỏi 16

1.5 Lịch sử định lý côsin 16

1.6 Các kiến thức cần thiết để học định lý côsin 18

1.6.1 Định lý Pitago 18

1.6.2 Tổng, hiệu hai vectơ 19

1.7 Các phương pháp chứng minh định lý côsin 20

1.8 Tiềm năng nội dung sách giáo khoa đối với việc khai thác ứng dụng định lí côsin theo hướng dạy học tích cực 27

1.9 Kết luận chương 1 33

CHƯƠNG 2 KHẢO SÁT THỰC TRẠNG 34

2.1 Khảo sát thực trạng dạy học của giáo viên 34

2.1.1 Mục tiêu khảo sát 34

2.1.2 Nội dung khảo sát 34

2.1.3 Công cụ khảo sát 34

2.1.4 Địa bàn khảo sát 34

2.1.5 Đánh giá khảo sát 35

2.2 Khảo sát đối với học sinh 38

2.2.1 Mục tiêu khảo sát 38

2.2.2 Nội dung khảo sát 39

2.2.3 Công cụ khảo sát 39

2.2.4 Địa bàn khảo sát 39

2.2.5 Đánh giá khảo sát 39

2.3 Kết luận chương 2 42

CHƯƠNG 3 THIẾT KẾ VÀ TỔ CHỨC CÁC TÌNH HUỐNG DẠY HỌC ỨNG DỤNG ĐỊNH LÍ CÔSIN TRONG TAM GIÁC NHẰM HỖ TRỢ HỌC SINH HOẠT ĐỘNG NHẬN THỨC THEO TƯ TƯỞNG DẠY HỌC TÍCH CỰC 43

3.1 Các định hướng thiết kế và tổ chức các tình huống dạy học ứng dụng định lý côsin theo tư tưởng dạy học tích cực 43

3.1.1 Một số định hướng khi thiết kế và tổ chức các tình huống áp dụng các kĩ thuật dạy học tích cực: 43

3.1.2 Một số tiêu chí lựa chọn những kĩ thuật dạy học có thể áp dụng trong tiết dạy 44

3.2 Đề xuất một số phương pháp dạy học tích cực ứng dụng định lí côsin trong trường phổ thông 44

3.2.1 Phương án 1: Dạy học ứng dụng định lí côsin theo tinh thần dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề 44

3.2.2 Phương án 2: Dạy học ứng dụng định lí côsin theo tinh thần dạy học hợp tác trong nhóm nhỏ 46

3.2.3 Phương án 3: Dạy học ứng dụng định lí côsin theo tinh thần dạy học khám phá 46

3.2.4 Phương án 4: Dạy học ứng dụng định lí côsin theo cách tiếp cận mô hình hóa toán học 48

3.3 Quy trình thiết kế các tình huống ứng dụng định lí côsin trong tam giác và cách tổ chức dạy học tình huống 49

3.4 Tổ chức dạy học các tình huống cụ thể 52

3.4.1 Các tình huống ứng dụng giải các bài toán về hệ thức lượng 52

3.4.2 Các tình huống nhận dạng tam giác 57

3.4.3 Các tình huống chứng minh các đẳng thức, bất đẳng thức liên quan đến tính độ dài và góc trong tam giác 61

3.4.4 Các tình huống ứng dụng vào thực tiễn liên quan đến tính độ dài, đo góc,

tối ưu 63

3.4.5 Các tình huống về các bài toán cực trị 70

3.5 Kết luận 72

CHƯƠNG 4 THỬ NGHIỆM SƯ PHẠM 74

4.1 Mục đích thử nghiệm 74

4.2 Kế hoạch và tổ chức thử nghiệm 74

4.2.1 Kế hoạch thử nghiệm 74

4.2.2 Tổ chức thử nghiệm 74

4.3 Nội dung thử nghiệm 74

4.4 Đánh giá kết quả thử nghiệm 93

4.5 Kết luận chung về thử nghiệm 94

KẾT LUẬN 95

TÀI LIỆU THAM KHẢO 96

PHỤ LỤC i

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Tiếp nối chủ trương đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo mà đại hội

lần thứ XI của Đảng đề ra, Đại hội Đảng XII xác định: “đổi mới căn bản và toàn diện

giáo dục, đào tạo theo hướng mở, hội nhập, xây dựng xã hội học tập, phát triển toàn diện năng lực, thể chất, nhân cách, đạo đức, lối sống, ý thức tôn trọng pháp luật và trách nhiệm công dân…” Chiến lược phát triển giáo dục 2011 – 2020 do Thủ tướng

chính phủ phê duyệt có nêu “tiếp tục đổi mới phương pháp dạy học và đánh giá kết

quả học tập, rèn luyện theo hướng phát huy tính tích cực, tự giác, sáng tạo và năng lực tự học của người học” Một trong các vấn đề cốt lõi, trọng tâm trong đổi mới giáo

dục đó là đổi mới phương pháp dạy và học, Đại hội XII cũng nhấn mạnh “dạy học

phổ thông cần đổi mới theo hướng chuyển từ lối truyền thụ một chiều, ghi nhớ máy móc sang tập trung dạy cách học, cách nghĩ; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức theo phương châm “giảng ít, học nhiều””

Luật giáo dục sửa đổi, bổ sung 2005, Điều 5.2 đã ghi: “Phương pháp giáo dục

phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học; bồi dưỡng cho người học năng lực tự học, khả năng thực hành, lòng say mê học tập và

ý chí vươn lên” và trong Điều 28.2 yêu cầu về nội dung, phương pháp giáo dục có

nêu rõ “phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ

động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, khả năng làm việc theo nhóm; rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tâp cho học sinh” “Vận dụng các phương pháp giáo dục đa dạng, linh hoạt, phù hợp với đối tượng và hoàn cảnh, ưu tiên cho thực hành, khuyến khích sáng tạo Chú trọng hình thức tổ chức các hoạt động giáo dục trong và ngoài nhà trường, rèn luyện phương pháp tự học và mong muốn học suốt đời”

Quá trình toàn cầu hóa và hội nhập quốc tế về giáo dục đã và đang tác động trực tiếp và gián tiếp đến nền giáo dục nước ta Sự giao thoa, đối thoại, hợp tác, cạnh tranh giữa các nền giáo dục làm cho nền giáo dục của mỗi nước vừa có giá trị dân

tộc, vừa có giá trị quốc tế - nhân loại Đổi mới nền giáo dục nước ta trong giai đoạn hiện nay đặt lên hàng đầu đổi mới tư duy - nhận thức - triết lý giáo dục, đổi mới quan niệm và mục tiêu giáo dục, vì đây là vấn đề có tính “mở đường”, “định hướng” cho quá trình đổi mới giáo dục Giáo dục lấy người học làm trung tâm, lý luận phải gắn liền với thực tiễn, tri thức và kỹ năng được củng cố, khắc sâu thông qua thực hành, vận dụng các kiến thức đã học Từ đó, góp phần bồi dưỡng năng lực

tự học, tự nghiên cứu để phát hiện cách giải quyết vấn đề, hoàn thiện tư duy

Trước những đòi hỏi mang tính cấp thiết thời đại đó, thúc đẩy công cuộc đổi mới PPDH trong tất cả các bậc học, ngành học từ thấp đến cao Tạo cơ hội triển khai một số mô hình dạy học tích cực trong quá trình khai thác tri thức phù hợp với đặc điểm từng môn học, từng chủ đề kiến thức riêng Làm sáng tỏ vai trò của tri thức trong chương trình môn học cũng như trong thực tiễn, tác động đa phương tiện đến người học trong quá trình rèn luyện tư duy, phát triển trí tuệ, thể chất, hình thành phẩm chất, bồi dưỡng năng lực công dân, nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện qua đó, góp phần tạo cơ hội kết nối tri thức đã học với thực tiễn

PPDH có mối quan hệ biện chứng với nội dung dạy học, việc sử dụng các PPDH đặc thù có vai trò quan trọng trong dạy học bộ môn SGK hiện nay nói chung cũng như hình học 10 nói riêng được biên soạn, chỉnh lý theo hướng tinh giản, hiện đại, thiết thực, phù hợp với lứa tuổi, trình độ và ngành nghề; tăng thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn và có nhiều chủ đề có thể vận dụng vào các kĩ thuật dạy học tích cực vào việc dạy và học Đã có nhiều tác giả nghiên cứu một số PPDH tích cực

cụ thể như PPDH phát hiện và giải quyết vấn đề, dạy học khám phá, dạy học hợp tác, dạy học theo quan điểm hoạt động Tuy nhiên, chưa có tác giả nào nghiên cứu tích hợp các tư tưởng then chốt của PPDH tích cực Nội dung định lý côsin đã được nghiên cứu nhiều trong các công trình khoa học trước Nhưng các nghiên cứu trước đây chỉ mới tập trung vào những vấn đề lý luận hoặc cụ thể hóa vấn đề dạy học khái niệm, định lý, quy tắc qua các chuyên mục khác nhau Chưa có đề tài nào nghiên cứu khai thác ứng dụng định lý côsin trong tam giác theo hướng hiện thực hóa phương

pháp dạy học tích cực cũng như cụ thể hóa các mô hình dạy học tích cực vào việc dạy học định lý

Vì tất cả những lý do trên chúng tôi đã chọn đề tài nghiên cứu là: “khai thác ứng dụng định lý côsin trong tam giác theo hướng cụ thể hóa một số tư tưởng day học tích cực”

2 Mục tiêu nghiên cứu

Đề tài hướng vào việc nghiên cứu cụ thể hóa các tư tưởng then chốt thể hiện trong các phương pháp dạy học tích cực khi dạy học ứng dụng định lý côsin trong tam giác nhằm nâng cao hiệu quả, chất lượng dạy học hình học 10 trung học phổ thông

Việc nghiên cứu khai thác các ứng dụng của định lí này không chỉ hướng vào

cụ thể hóa quan điểm dạy học tích cực mà còn bước đầu làm sáng tỏ quan điểm tích hợp trong dạy học toán

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Việc nghiên cứu đề tài nhằm vào việc thực hiện các nhiệm vụ sau:

- Làm sáng tỏ các tư tưởng then chốt trong các phương pháp dạy học tích cực cần được cụ thể hóa trong dạy học các chủ đề cụ thể ở trường phổ thông

- Làm sáng tỏ khả năng tích hợp một số phương pháp dạy học tích cực thể hiện trong một số phương pháp dạy học cụ thể

- Làm sáng tỏ tiềm năng dạy học ứng dụng của định lý côsin trong tam giác đối với việc tích cực hóa hoạt động người học theo tư tưởng của phương pháp dạy học tích cực

- Nghiên cứu đề xuất các phương án nhằm cụ thể hóa tư tưởng của phương pháp dạy học tích cực khi dạy học ứng dụng định lý côsin trong tam giác

- Nghiên cứu phát triển tri thức SGK qua khai thác các ứng dụng của định lí côsin

4 Đối tượng nghiên cứu

Nghiên cứu đề xuất các tình huống nhằm hướng học sinh vào các hoạt động phát hiện, khắc sâu các ứng dụng của định lý côsin trong dạy học hình học 10 theo hướng cụ thể hóa các tư tưởng về dạy học tích cực

5 Phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu quá trình dạy học toán thể hiện qua dạy học các nội dung cụ thể ứng dụng định lý côsin trong chương trình môn toán lớp 10 cho học sinh trường THPT Cao Thắng, huyện Hương Sơn, tỉnh Hà Tĩnh

6 Giả thuyết khoa học

Có thể thiết kế và tổ chức các tình huống dạy học ứng dụng định lý côsin trong tam giác nhằm hướng học sinh vào hoạt động nhận thức theo tư tưởng dạy học tích cực đề góp phần nâng cao hiệu quả giáo dục toán học ở trường phổ thông trong giai đoạn hiện nay

7 Phương pháp nghiên cứu

7 1 Nghiên cứu lý luận

- Phân tích làm sáng tỏ các tư tưởng về dạy học tích cực thông qua việc nghiên cứu các phương pháp dạy học hiện đại cụ thể

- Nghiên cứu một số quan điểm về tâm lý học nhận thức, quan điểm triết học về nhận thức hiện thực khách quan để làm sáng tỏ những yếu tố thúc đẩy hoạt động tích cực của học sinh trong quá trình tiếp nhận kiến thức ở trường phổ thông

- Nghiên cứu tiềm năng của định lý côsin đối với việc vận dụng vào nội bộ toán cũng như vận dụng vào thực tiễn

7 2 Nghiên cứu thực tiễn

- Nghiên cứu thực trạng nhằm thăm dò đội ngũ giáo viên toán về vai trò của định lý côsin đối với việc vận dụng tư tưởng dạy học tích cực

Tìm hiểu thực tiễn qua dự giờ của giáo viên đối với những tiết học về dạy học định lý côsin thông qua dạy học củng cố kiến thức, thực hành luyện tập

- Nghiên cứu thăm dò thực trạng hoạt động của học sinh trong phạm vi vận dụng định lý côsin Khảo sát học sinh thực hành giải các dạng toán ứng dụng định

lý côsin

- Thử nghiệm sư phạm để làm sáng tỏ vấn đề có thể luyện tập cho học sinh các hoạt động nhằm tích cực hóa hoạt động nhận thức theo tư tưởng của dạy học tích

cực để khai thác ứng dụng định lý côsin trong tam giác thông qua việc thiết kế và tổ chức các tình huống dạy học thích hợp

8 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo luận văn được dự kiến cấu trúc theo 4 chương:

Chương 1: Cơ sở lý luận

Chương 2: Khảo sát thực trạng

Chương 3: Thiết kế và tổ chức các tình huống dạy học ứng dụng định lý côsin trong tam giác nhằm hỗ trợ học sinh hoạt động nhận thức theo tư tưởng dạy học tích cực

Chương 4: Thử nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1 Một số vấn đề về phương pháp dạy học tích cực

1.1.1 Những quan niệm về tính tích cực học tập

Tính tích cực bao hàm tính chủ động, tính chủ định có ý thức của chủ thể Theo từ điển Tiếng Việt, tích cực là có ý nghĩa, có tác dụng khẳng định thúc đẩy sự phát triển Người tích cực là người tỏ ra chủ động có những hành động nhằm tạo ra

sự biến đổi theo hướng phát triển Với tư cách là khái niệm cơ bản của Triết học, tính tích cực đã được một số triết gia nổi tiếng: Ampedoclơ, Platon, Aristoles, thống nhất ở một số điểm như sau:

- Tính tích cực là thuộc tính chung của vật chất, tạo thành sự tự vận động của vật chất

- Tính tích cực thể hiện trong sự tác động thay đổi các khách thể, các vật thể có quan hệ đối tác với mình Tóm lại, tính tích cực nằm trong trạng thái hoạt động và biểu hiện trong những hành động, tính tích cực chỉ tính sẵn sàng với hoạt động, là nhu cầu đối với hành động Tính tích cực là một phẩm chất vốn có của con người trong đời sống xã hội Để tồn tại và phát triển con người luôn tìm tòi, khám phá cải biến môi trường để phục vụ con người

Xã hội loài người hình thành và phát triển ngày càng cao cho đến ngày nay là nhờ tính tích cực của con người Tính tích cực của con người biểu hiện ở chỗ con người đã chủ động sản xuất ra những của cải vật chất cần thiết cho sự tồn tại và phát triển xã hội; chủ động cải biến môi trường tự nhiên bắt chúng phục vụ mình, chủ động cải biến xã hội để xã hội ngày càng phát triển theo chiều hướng tốt đẹp hơn Theo V.I.Lênin, tính tích cực là thái độ của chủ thể đối với khách thể, đối với đối tượng sự vật xung quanh; là khả năng của mỗi người đối với việc tổ chức cuộc sống, điều chỉnh nhu cầu, năng lực của học thông qua các mối quan hệ xã hội Dưới góc độ tâm lý học, trên quan điểm tiếp cận hoạt động - nhân cách - giao tiếp, các nhà tâm lý học Việt Nam như Phạm Minh Hạc, Trần Trọng Thủy, Nguyễn

Công Uẩn đều thống nhất cho rằng: “tính tích cực là một phẩm chất nhân cách

điển hình của con người Các thành tố tâm lý của tính tích cực là nhu cầu, động cơ,

hứng thú, niềm tin, lý tưởng” [21; tr.58] Do đó, đã nói tới tính tích cực có nghĩa là

nói tới tính chủ thể trong hoạt động, tính tương đối ổn định và bền vững của thuộc tính tâm lý này

Về nguồn gốc của tính tích cực, ta thấy nhu cầu là yếu tố quan trọng nhất Nhu cầu là nguồn gốc, là động lực của tính tích cực

Tính tích cực của con người có một số biểu hiện cơ bản sau:

- Thứ nhất, cá nhân nhận thức sâu sắc và tự giác mục đích, nhiệm vụ, ý nghĩa xã hội và ý nghĩa cá nhân của hoạt động;

- Thứ hai, cá nhân có thái độ chấp nhận, ủng hộ đổi mới họat động;

- Thứ ba, về hành vi, cá nhân cố gắng suy nghĩ, tìm tòi ý tưởng mới - sáng tạo trong hoạt động và cố gắng vượt qua khó khăn trong việc thực hiện ý tưởng mới đó, hoàn thành có chất lượng cao nhiệm vụ, mục đích của hoạt động Tính tích cực được hình thành và biểu hiện trong hoạt động

Tính tích cực là một phẩm chất vốn có của con người trong đời sống xã hội Khác với động vật, con người không chỉ tiêu thụ những gì sẵn có trong tự nhiên mà còn chủ động sản xuất ra những của cải vật chất cần thiết cho sự tồn tại, phát triển của xã hội, sáng tạo ra nền văn hóa ở mỗi thời đại, chủ động cải biến môi trường tự nhiên, cải tạo xã hội Vì vậy, hình thành và phát triển tính cực là một trong các nhiệm vụ chủ yếu của giáo dục, nhằm đào tạo ra những con người năng động, thích ứng và góp phần phát triển cộng đồng

Trong hoạt động học tập tính cực thực chất là tính tích cực nhận thức, đặc trưng

ở khát vọng hiểu biết, cố gắng trí tuệ và nghị lực cao trong quá trình chiếm lĩnh tri thức Tính tích cực học tập có vai trò quan trọng trong việc nâng cao hiệu quả học tập của người học Trong học tập, tích cực hoá hoạt động học tập của người học là một hướng đổi mới đã được đông đảo các nhà nghiên cứu, nhà lí luận và các thầy cô giáo quan tâm và bàn tới ở nhiều khía cạnh khác nhau Thông qua quá trình học tập, người học nhận thức lĩnh hội tri thức mà loài người đã tích luỹ, đồng thời có thể nghiên cứu và tìm ra những tri thức mới cho khoa học Từ đó, cá nhân chiếm lĩnh được phương pháp luận, đạt mục đích nhiệm vụ học tập

Tính tích cực nhận thức trong hoạt động học tập liên quan trước hết với động

cơ học tập Động cơ đúng tạo ra hứng thú Hứng thú là tiền đề của tự giác Hứng thú

và tự giác là hai yếu tố tạo nên tính tích cực Tính tích cực học tập biểu hiện ở những dấu hiệu như: hưởng ứng và thấy rõ bổn phận cần thực hiện trong các tình huống học tập; hăng hái trả lời các câu hỏi của giáo viên, bổ sung các câu trả lời của bạn, thích phát biểu ý kiến của mình trước vấn đề nêu ra; thường xuyên có suy nghĩ phản biện, mở rộng đào sâu vấn đề, hay đặt câu hỏi tại sao một cách rất có chủ ý; chủ động vận dụng kiến thức kĩ năng đã học để nhận thức vấn đề mới; tập trung chú

ý vào vấn đề đang học; kiên trì hoàn thành các hoàn thành các bài tập, không nản trước tình huống khó khăn

Theo Sikuna, tính tích cực có thể chia làm ba cấp độ từ thấp đến cao như sau:

- Bắt chước: gắng sức làm theo hành động của thầy, của bạn Trong trường hợp này người học thao tác trên đối tượng, bắt chước theo mẫu hoặc mô hình của giáo viên nhằm chuyển đối tượng từ bên ngoài vào bên trong theo cơ chế nhập tâm chưa

có sự nỗ lực của tư duy Loại này thường phát triển mạnh ở những học sinh có năng lực nhận thức ở trình độ trung bình và dưới trung bình Nhưng nó lại là tiền đề cơ bản giúp học sinh nắm được nội dung bài giảng có điều kiện nâng tính tích cực lên cao

Ví dụ: khi giáo viên muốn học sinh giải thành thạo một dạng bài toán thường sẽ giải một bài tập mẫu để học sinh nắm được các thuật giải, biết cách trình bài lời giải, sau đó ra các bài tập tương tự như bài trên và yêu cầu học sinh giải

- Tìm tòi: độc lập giải quyết vấn đề đưa ra, tìm kiếm những cách giải khác nhau

về một số vấn đề Đó là khát khao hiểu biết, hứng thú học tập tự giác tìm kiếm các phương thức lĩnh hội có hiệu quả Tính tích cực tìm hòi không bị hạn chế trong những yêu cầu của giáo viên về kiến thức Cấp độ tìm tòi thường phát triển mạnh ở những học sinh có năng lực nhận thức trung bình, khá

Ví dụ: khi giáo viên ra một bài toán, ngoài cách giải truyền thống của loại toán

đó, giáo viên có thể yêu cầu học sinh giải theo nhiều cách khách nhau và so sánh tính tối ưu của các cách giải đó Như vậy, giáo viên đã phát huy tính tích cực của học sinh trong hoạt động học tập

- Sáng tạo: tìm ra cách giải quyết mới, độc lập, hữu hiệu Đây là cấp độ nhận thức cao nhất trong quá trình tư duy người học Cấp độ sáng tạo thường phát triển mạnh ở những học sinh có năng lực nhận thức khá, giỏi

Ví dụ: trong quá trình học tập, khi giải một bài toán, người học cố gắng tìm tòi, sáng tạo phát hiện ra nhiều cách giải mới, từ đó phát triển thành bài toán tổng quát hay tự khai thác thành các bài toán mới

1.1.2 Khái niệm về phương pháp dạy học tích cực

Hiện nay chúng ta thường nghe nói nhiều, bàn nhiều đến PPDH tích cực; và thực tế chúng ta cũng đang từng bước tích cực hóa các PPDH của mình Tuy vậy thực chất của PPDH này là gì? Nó được thể hiện như thế nào trong việc dạy, việc học? Đó là điều không phải lúc nào chúng ta cũng nhận thức đúng Điều này có thể dẫn đến sự quan trọng hóa, sự tuyệt đối hóa PPDH tích cực, coi đó là việc, với điều kiện như thế này, với điều kiện như thế kia ta chưa thể làm được

Trước hết cần khẳng định rằng: dạy học tích cực không phải là một PPDH cụ thể, chuyên biệt nào đó; dạy học tích cực càng không phải là sự phủ nhận các PPDH truyền thống Đây là một thuật ngữ rút gọn, được dùng ở nhiều nước, để chỉ những phương pháp giáo dục dạy học theo hướng phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo của người học

Theo Nguyễn Bá Kim [8], phương pháp thường được hiểu là con đường, cách thức để đạt được những mục tiêu nhất định “Tích cực” trong PPDH tích cực dùng với nghĩa là hoạt động, chủ động, trái với không hoạt động, thụ động chứ không đúng theo nghĩa trái với tiêu cực

PPDH là cách thức hoạt động và giao lưu của thầy gây nên những hoạt động và giao lưu cần thiết của trò nhằm đạt mục tiêu dạy học

Nói đến PPDH tích cực thực chất là muốn nhấn mạnh một định hướng khai thác mặt tích cực của các PPDH hiện có Điều cốt yếu của dạy học tích cực là phải lựa chọn và vận dụng các phương pháp sao cho phù hợp với nội dung của bài dạy và đặc biệt là phù hợp với đối tượng người học Người thầy trong dạy học tích cực cần chú ý khai thác và sử dụng các kĩ thuật dạy học nhằm tích cực hoá hoạt động nhận

thức và phát triển tư duy người học, hình thành cho họ khả năng độc lập, năng động, sáng tạo trong việc tiếp thu và xử lí thông tin, cũng như trong việc giải quyết những công việc cụ thể sau này

Chúng tôi nhận thức PPDH tích cực hướng vào việc kích thích nhu cầu bên trong của người học, phát huy một cách cao độ nội lực bên trong của người học, hướng tư duy của người học vào việc tăng cường sự tuong tác giữa các thao tác tư duy: so sánh, phân tích, tổng hợp, khái quát hóa

Ngoài ra, PPDH tích cực cũng coi trọng tư duy phản biện của người học khi học tương tác với môi trường, tương tác với tập thể nhóm

1.2 Một số tư tưởng then chốt của phương pháp dạy học tích cực

1.2.1 Dạy và học thông qua tổ chức các hoạt động học tập của học sinh nhờ vào tương tác với các tình huống dạy học được thiết kế bởi giáo viên

Trong PPDH tích cực, người học - đối tượng của hoạt động “dạy”, song song là chủ thể của hoạt động “học” - được cuốn hút vào các hoạt động học tập do giáo viên

tổ chức và chỉ đạo, thông qua đó tự lực khám phá những điều mình chưa rõ chứ không phải thụ động tiếp nhận những kiến thức đã được giáo viên sắp xếp Được đặt vào những tình huống thực tế, người học trực tiếp quan sát, bàn bạc, làm thí nghiệm, giải quyết tình huống đặt ra theo cách suy nghĩ của mình, từ đó nắm được kiến thức

kĩ năng mới, vừa nắm được phương pháp “làm ra” kiến thức, kĩ năng đó, không rập theo những khuôn mâu sẵn có, được bộc lộ và phát huy tiềm năng sáng tạo

1.2.2 Dạy học chú trọng rèn luyện phương pháp tự học

PPDH tích cực xem việc rèn luyện phương pháp học tập cho học sinh không chỉ

là một phương pháp nâng cao hiệu quả dạy học mà còn là một mục tiêu dạy học Trong xã hội hiện đại đang biến đổi nhanh - với sự bùng nổ thông tin, khoa học, kĩ thuật, công nghệ phát triển như vũ bão - thì không thể nhồi nhét vào đầu óc học sinh khối lượng kiến thức ngày càng nhiều Phải quan tâm dạy cho học sinh phương pháp học ngay từ bậc Tiểu học và càng lên bậc học cao hơn càng phải được chú trọng

Trong các phương pháp học thì then chốt là phương pháp tự học Nếu rèn luyện cho người học có được phương pháp, kĩ năng, thói quen, ý chí tự học thì sẽ tạo cho

họ lòng ham học, khơi dậy nội lực vốn có trong mỗi con người, kết quả học tập sẽ được nhân lên gấp bội Vì thế, ngày nay người ta nhấn mạnh mặt hoạt động học trong

quá trình dạy học, nỗ lực tạo ra sự chuyển biến từ học tập thụ động sang tự học chủ

động, đặt sự tình phát triển tự học ngay trong trường phổ thông, không chỉ tự học ở

nhà sau bài lên lớp mà tự học cả trong tiết học có sự hướng dẫn của giáo viên

1.2.3 Tăng cường học tập cá thể phối hợp với học tập hợp tác

Trong một lớp học mà trình độ kiến thức, tư duy của học sinh không thể đồng đều tuyệt đối thì khi áp dụng phương pháp tích cực buộc phải chấp thuận sự phân hóa về cường độ, tiến độ hoàn tất nhiệm vụ học tập, nhất là khi bài học được thiết

kế thành một chuỗi công việc độc lập

Tuy nhiên, trong học tập, không phải mọi kiến thức, kỹ năng, thái độ hoài nghi đều được hình thành bằng những hoạt động độc lập cá nhân Lớp học là môi trường tiếp xúc với nhau thầy - trò, trò - trò, tạo nên mối quan hệ hợp tác giữa các cá nhân trên con đường chiếm lĩnh nội dung học tập Thông qua thảo luận, tranh luận tập thể, quan điểm mỗi cá nhân được thổ lộ, khẳng định hay bác bỏ, qua đó người học nâng mình lên một trình độ mới Bài học vận dụng được vốn hiểu biết và kinh nghiệm của mỗi học sinh và của cả lớp chứ không phải chỉ dựa trên vốn hiểu biết và kinh nghiệm sống của người thầy giáo

Trong nhà trường, phương pháp học tập hợp tác được tổ chức ở cấp nhóm, tổ, lớp hoặc trường Được sử dụng phổ biến trong dạy học là hoạt động hợp tác trong nhóm nhỏ 4 đến 6 người Trong hoạt động theo nhóm nhỏ sẽ chẳng thể có hiện tượng ỷ lại; tình cách năng lực của mỗi thành viên được thổ lộ, uốn nắn, phát triển tình bạn, ý thức tổ chức, tinh thần tương trợ

1.2.4 Kết hợp đánh giá của thầy với tự đánh giá của trò

Trong dạy học, việc đánh giá học sinh không chỉ nhằm mục đích nhận định thực trạng và sắp xếp hoạt động học của trò mà còn đồng thời tạo điều kiện nhận định thực trạng và sắp xếp hoạt động dạy của thầy

Trước đây giáo viên giữ độc quyền đánh giá học trò Trong PPDH tích cực, giáo viên phải chỉ dẫn học sinh phát triển kĩ năng tự đánh giá để tự sắp xếp cách học Liên

quan với điều này, giáo viên cần tạo điều kiện thuận lợi để học sinh được tham gia đánh giá lẫn nhau Tự đánh giá đúng và sắp xếp hoạt động kịp thời là năng lực rất cần cho sự thành đạt trong cuộc sống mà nhà trường phải trang bị cho học sinh

Theo hướng phát triển các PPDH tích cực để đào tạo những con người năng động, sớm thích ứng với đời sống xã hội, thì việc kiểm tra, đánh giá chẳng thể dừng lại ở yêu cầu tái hiện các tri thức, lặp lại các tài năng đã học mà phải khuyết khích trí thông minh, óc sáng tạo trong việc giải quyết những tình huống thực tế

Từ dạy và học thụ động sang dạy và học tích cực, giáo viên không còn đóng vai

trò thuần tuý là người truyền đạt tri thức, giáo viên trở thành người thiết kế, tổ chức,

hướng dẫn các hoạt động độc lập hoặc theo nhóm nhỏ để học trò tự lực chiếm lĩnh

nội dung học tập, chủ động đạt các mục tiêu kiến thức, kĩ năng, thái độ theo yêu cầu của chương trình Trên lớp, học trò hoạt động là chính, giáo viên có vẻ nhàn nhã hơn nhưng trước đó, khi soạn giáo án, giáo viên đã phải đầu tư công sức, thời gian rất nhiều so với kiểu dạy và học thụ động mới có thể thực hiện bài lên lớp với vai

trò là người gợi mở, xúc tác, động viên, cố vấn, trọng tài trong các hoạt động tìm tòi

háo hứng, tranh luận sôi nổi của học sinh

1.2.5 Bảng so sánh đặc trưng của phương pháp dạy học truyền thống và phương pháp dạy học tích cực

lý thông tin,… tự hình thành hiểu biết, năng lực và phẩm

chất

Bản chất Truyền thụ tri thức, truyền thụ và

chứng minh chân lí của giáo viên

Tổ chức hoạt động nhận thức cho học sinh Dạy học sinh

cách tìm ra chân lí

Mục tiêu Chú trọng cung cấp tri thức, kĩ Chú trọng hình thành các năng

năng, kĩ xảo Học để đối phó với thi cử Sau khi thi xong những điều đã học thường bị bỏ quên

hoặc ít dùng đến

lực (sáng tạo, hợp tác,…) dạy phương pháp và kĩ thuật lao động khoa học, dạy cách học Học để đáp ứng những yêu cầu của cuộc sống hiện tại và tương lai Những điều đã học cần thiết, bổ ích cho bản thân học sinh và cho sự phát triển xã

hội

Nội dung Từ sách giáo khoa + giáo viên

Từ nhiều nguồn khác nhau: SGK, GV, các tài liệu khoa học phù hợp, thí nghiệm, bảng tàng, thực tế…gắn với:

- Vốn hiểu biết, kinh nghiệm

và nhu cầu của HS

Các phương pháp diễn giảng,

truyền thụ kiến thức một chiều

Các phương pháp tìm tòi, điều tra, giải quyết vấn đề; dạy học

lớp đối diện với giáo viên

1.3 Một số phương pháp dạy học tích cực

1.3.1 Phương pháp đặt và giải quyết vấn đề

Đây không phải là phương pháp hoàn toàn mới đối với giáo viên Từ những năm 1960, giáo viên ở nước ta đã làm quen với thuật ngữ phương pháp nêu vấn đề, quan tâm tới việc tạo các tình huống có vấn đề để thu hút học sinh vào quá trình nhận thức tích cực Cho đến nay đa số giáo viên chưa vận dụng thành thạo và chỉ mới ở trình độ thấp

Dạy học đặt và giải quyết vấn đề là kiểu dạy học mà ở đó người GV tạo ra những tình huống gợi vấn đề, điều khiển học sinh phát hiện vấn đề, hoạt động tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo để giải quyết vấn đề, thông qua đó kiến tạo tri thức, rèn luyện kĩ năng và đạt được các mục tiêu học tập khác nhau

1.3.2 Phương pháp dạy học hợp tác trong nhóm nhỏ

Lớp học được chia thành từng nhóm nhỏ từ 4 đến 6 người Tuỳ theo mục đích, yêu cầu của vấn đề học tập, các nhóm được phân chia ngẫu nhiên hoặc có chủ định, được duy trì ổn định hoặc thay đổi trong từng phần của tiết học, được giao cùng một nhiệm vụ hoặc những nhiệm vụ khác nhau Trong nhóm, dưới sự lãnh đạo của nhóm trưởng, sự hỗ trợ của giáo viên, học sinh kết hợp giữa làm việc cá nhân, làm việc theo cặp, chia sẻ kinh nghiệm và hợp tác cùng nhau để hoàn thành nhiệm vụ

- Trong dạy học khám phá, học sinh tiếp thu các tri thức khoa học thông qua con đường nhận thức: từ tri thức của bản thân thông qua hoạt động hợp tác với bạn

đã hình thành tri thức có tính chất xã hội của cộng đồng lớp học;

Những phương pháp dạy học tích cực này sẽ được chúng tôi trình bày kĩ hơn trong chương 3 của luận văn

1.4 Một số kỹ thuật dạy học tích cực

1.4.1 Kỹ thuật mảnh ghép

HS được phân thành các nhóm, sau đó GV phân công cho mỗi nhóm thảo luận, tìm hiểu sâu về một vấn đề của bài học Chẳng hạn: nhóm 1- thảo luận vấn đề A, nhóm 2- thảo luận vấn đề B, nhóm 3- thảo luận vấn đề C, nhóm 4- thảo luận thảo luận vấn đề D,…

HS thảo luận nhóm về vấn đề đã được phân công Sau đó, mỗi thành viên của các nhóm này sẽ tập hợp lại thành các nhóm mới, như vậy trong mỗi nhóm mới sẽ

có đủ các “chuyên gia” về vấn đề A, B, C, D, và mỗi “ chuyên gia” về từng vấn đề

sẽ có trách nhiệm trao đổi lại với cả nhóm về vấn đề mà em đã có cơ hội tìm hiểu sâu ở nhóm cũ

1.4.2 Kỹ thuật chia nhóm

Khi tổ chức cho HS hoạt động theo nhóm, GV nên sử dụng nhiều cách chia nhóm khác nhau để gây hứng thú cho HS, đồng thời tạo cơ hội cho các em được học hỏi, giao lưu với nhiều bạn khác nhau trong lớp Dưới đây là một số cách chia nhóm:

- Chia nhóm theo số điểm danh, theo các màu sắc, theo các loài hoa, các mùa trong năm,…;

1.4.4 Kỹ thuật lược đồ tư duy

Lược đồ tư duy (còn được gọi là bản đồ khái niệm) là một sơ đồ nhằm trình bày một cách rõ ràng những ý tưởng mang tính kế hoạch hay kết quả làm việc của cá

nhân hay nhóm về một chủ đề Lược đồ tư duy có thể được viết trên giấy, trên bản trong, trên bảng hay thực hiện trên máy tính

Kĩ thuật này có thể tiến hành như sau:

- Viết tên chủ đề/ ý tưởng chính ở trung tâm

- Từ chủ đề/ ý tưởng chính ở trung tâm, vẽ các nhánh chính, trên mỗi nhánh chính viết một nội dung lớn của chủ đề hoặc các ý tưởng có liên quan xoay quanh ý tưởng trung tâm nói trên

- Từ mỗi nhánh chính vẽ tiếp các nhánh phụ để viết tiếp những nội dung thuộc nhánh chính đó

- Tiếp tục như vậy ở các tầng phụ tiếp theo

1.4.5 Kĩ thuật đặt câu hỏi

Trong dạy học theo phương pháp cùng tham gia, GV thường phải sử dụng câu hỏi để gợi mở, dẫn dắt HS tìm hiểu, khám phá thông tin, kiến thức, kĩ năng mới, để đánh giá kết quả học tập của HS; HS cũng phải sử dụng câu hỏi để hỏi lại, hỏi thêm

GV và các HS khác về những nội dung bài học chưa sáng tỏ

1.5 Lịch sử định lý côsin

Trước khi trình bày nội dung của định lý hàm số côsin, trong phần này sẽ trình bày một số thông tin về định lý hàm số côsin

Định lý côsin được phát minh ra bởi nhà toán học Al Kashi Al Kashi (

1380 - 22/06/1429) được sinh ra ở vùng Kashan, Iran Ông là một nhà toán học, thiên văn học lớn của vùng Trung Á và là một trong những nhà bác học lớn cuối cùng của trường phái Samarkand đầu thế kỷ XV Do đó, trong nhiều tài liệu người

ta còn gọi định lý côsin là định lý Al Kashi

Định lý côsin là mở rộng của định lý Pythagore Nếu định lý Pythagore cung cấp cho chúng ta một công cụ hiệu quả để tìm một cạnh còn thiếu trong một tam giác vuông, thì định lý côsin đưa ra một phương pháp giúp ta tìm được một cạnh của tam giác thường khi biết được hai cạnh và góc xen giữa chúng, các góc của một tam giác khi biết các cạnh của một tam giác, cạnh thứ ba của một tam giác nếu biết hai cạnh và góc đối của một trong hai cạnh đó

Vào thế kỷ III trước công nguyên, có một định lý được phát biểu dưới dạng hình học do nhà toán học Euclide đưa ra mà được xem là tương đương với định lý hàm số côsin Định lý của Euclide được phát biểu như sau:

“Trong một tam giác tù, bình phương của cạnh đối diện góc tù lớn hơn so với tổng bình phương của của hai cạnh kề góc tù là hai lần diện tích của hình chữ nhật bao gồm một cạnh bằng một trong hai cạnh kề góc tù của tam giác ( cụ thể là cạnh có đường cao hạ xuống nó ) và đoạn thẳng đã được cắt giảm từ đường thẳng kéo dài của cạnh đó về phía góc tù bởi đường cao trên” [10, tr.3]

Định lý trên đã được Thomas L Heath phiên dịch lại Và nếu như ta xét tam giác ABC có góc C là góc tù (hình 1.1), ta có thể phát biểu dưới dạng đại số:

Hình 1.1

Ta phát biểu định lý hàm số côsin như sau:

“Trong một tam giác, bình phương một cạnh bằng tổng bình phương hai cạnh

kia trừ đi hai lần tích của chúng với cosin của góc xen giữa hai cạnh đó” [10, tr.4]

Trong tam giác ABC, với AB = c, BC = a, AC = b (hình 1.2) ta có

Hình 1.2 Công thức:

1.6 Các kiến thức cần thiết để học định lý côsin

1.6.1 Định lý Pitago

Nội dung định lý: “Trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng

tổng bình phương hai cạnh góc vuông”[10; tr.6]

Chứng minh (hình 1.3):

Hình 1.3 Cho tam giác ABC vuông tại A Đặt Ta cần chứng minh Thật vậy:

Dựng đường cao AH của tam giác ABC Đặt

Xét hai tam giác vuông HBA và ABC ta có:

Từ (1) và (2) ta có:

(đpcm)

1.6.2 Tổng, hiệu hai vectơ

- Tổng hai vectơ:

Cho hai vectơ ⃗ ⃗⃗ Lấy một điểm A nào đó rồi xác định các điểm B và C sao

cho ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ Khi đó vectơ cho ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ được gọi là tổng của hai vectơ ⃗ ⃗⃗

Kí hiệu ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗ + ⃗⃗

Phép lấy tổng của hai vectơ được gọi là phép cộng hai vectơ (hình 1.4)

Hình 1.4

- Hiệu hai vectơ:

Vectơ đối của một vectơ:

Nếu tổng của hai vectơ ⃗ ⃗⃗ là vectơ - không, thì ta nói ⃗ là vectơ đối của vectơ ⃗⃗, hoặc ⃗⃗ là vectơ đối của vectơ ⃗

Vectơ đối của vectơ ⃗ kí hiệu là ⃗

Định nghĩa hiệu của hai vectơ:

Hiệu của hai vectơ ⃗ ⃗⃗, kí hiệu ⃗ ⃗⃗, là tổng của hai vectơ ⃗ và vectơ đối của vectơ ⃗⃗, tức là ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ Phép lấy hiệu của hai vectơ gọi là phép trừ vectơ

1.6.3 Tích vô hướng của hai vectơ

Tích vô hướng của hai vectơ ⃗ ⃗⃗ là một số, kí hiệu là ⃗ ⃗⃗, được xác định bởi ⃗ ⃗⃗ | ⃗| | ⃗⃗| ⃗ ⃗⃗

a+b

b

b

a a

C

B

A

- Biểu thức tọa độ của tích vô hướng:

Trên mặp phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ ⃗ ⃗⃗ , khi đó biểu thức tọa độ của tích vô hướng hai vec tơ ⃗ ⃗⃗ được tính theo công thức sau: ⃗ ⃗⃗

1.7 Các phương pháp chứng minh định lý côsin

H C

B

Trường hợp 3: (hình 1.8)

Khi đó, ta xét 3 trường hợp như hình vẽ sau:

c

a b

D  B

C A

a

c b

D  C

B A

Hình a Hình b Hình c

Hình 1.8 Theo hình a ta có: (*)

Theo hình b ta có: (**)

Từ (*) và (**) ta suy ra: (2)

Mặt khác, theo hình c ta lại có:

Cách 3: Ta dùng định lý Pythagore để chứng minh định lý côsin

Trường hợp 1: Tam giác ABC có một góc tù, giả sử góc C tù (hình 1.9)

Hình 1.9

D

B A

C

b c

a

C D

A

B

a D

B H

C

Công thức này đúng với công thức định lý Pythagore

Trường hợp 3: Tam giác ABC có ba góc đều nhọn (hình 1.11 )

C

B A

h

a c

b H

C A

B

Cách 4: Cách chứng minh dưới đây được lấy ý tưởng chứng minh định lý hàm số

côsin của chính nhà toán học Al Kashi – người đã phát minh ra định lý này

Ta có thể trình bày cách chứng minh này như sau:

Cho tam giác ABC, với BC a, AC b, AB c Ta lần lượt dựng các đường cao

AH, BK, CL

Trường hợp 1: Cả ba góc A, B, C đều nhọn (hình 1.12)

Hình 1.12 Lần lượt xét các tam giác vuông sau:

Trong tam giác vuông AHB có: BH c.cosB

Trong tam giác vuông AHC có: CH b.cosC

Trong tam giác vuông ALC có: AL b.cosA

Trong tam giác vuông BLC có: BL a.cosB

Trong tam giác vuông AKB có: AK c.cosA

Trong tam giác vuông BKC có: CK a.cosC

KL

{

Công thức này đúng theo định lý Pythagore

Trường hợp 3: Tam giác ABC có một góc tù, giả sử góc A tù (hình 1.14 )

Lần lƣợt xét các tam giác vuông sau:

Trong tam giác vuông AHB có: BH c.cosB

Trong tam giác vuông AHC có: CH b.cosC

Trong tam giác vuông ALC có: ̂

Trong tam giác vuông BLC có: BL a.cosB

Trong tam giác vuông AKB có: AK c ̂

Trong tam giác vuông BKC có: CK a.cosC

a c

b A

C B

L K

Hướng 1: ứng dụng trong nội bộ môn toán thông qua việc phát hiện các mối liên hệ biện chứng giữa các tri thức trong từng chương mục khác nhau, mối liên hệ giữa các tri thức của môn học

Hướng 2: khai thác mối liên hệ giữa nội dung môn toán với thực tiễn Trong luận văn này, chúng tôi cố gắng khai thác vai trò của định lí côsin đối với việc giải thích các hiện tượng thực tiễn nhằm khắc sâu định lí, đồng thời khai thác vai trò của định lí trong việc giải quyết các bài toán đặt ra trong thực tiễn

Qua việc nghiên cứu sách giáo khoa, chúng ta có thể tóm tắt một số hướng ứng dụng của định lí côsin Từ đó, trong luận văn này chúng tôi cố gắng phân loại, phát hiện một số ứng dụng mới

Ở phạm vi SGK, ta xét các bài toán sau:

Dạng 1: Bài toán giải tam giác

Trong dạng bài tập này, ta thường nhận thấy các chi tiết sau:

- Đề bài cho một số yếu tố như: độ dài cạnh, độ lớn của góc, diện tích tam giác, và một số yếu tố khác

- Yêu cầu tính một số yếu tố còn lại (các cạnh, các góc, đường trung tuyến, đường cao,…) hoặc yêu cầu giải tam giác trên (tính tất cả các cạnh, các góc còn lại của tam giác)

Các công thức tính diện tích của tam giác

Bài toán minh họa

Bài toán 1: (ví dụ 1, trang 49, SGK hình học 10 cơ bản)

Cho tam giác ABC có các cạnh AC = 10cm, BC = 16cm và góc ̂ Tính cạnh AB và các góc A, B của tam giác đó

Để giải bài toán này, HS cần nắm được nội dung định lý côsin và hệ quả của định lý này Và đây cũng là một ví dụ nhằm củng cố lại cho HS về nội dung định

lý côsin Với bài toán này, SGK đã trình bày lời giải:

suy ra ̂ , ̂ ̂ ̂

Thông qua ví dụ này có thể giúp cho học sinh sử dụng định lý côsin vào giải các bài toán cụ thể một cách thành thạo hơn

Bài toán 2: (Ví dụ 3 trang 56, SGK hình học 10)

Cho tam giác ABC có cạnh là a cm, b 13cm, c 15cm Tính diện tích

S của tam giác và bán kính của đường trong nội tiếp

Sách giáo khoa trình bày lời giải như sau:

Theo định lí côsin ta có:

, như vậy ̂ là góc tù và tính được ̂

Ta có

16 10

c

C

Áp dụng công thức ta có Vì nên

Dạng 2: Bài toán nhận dạng tam giác

Trong dạng bài toán này, chúng ta thường gặp các yêu cầu như sau:

- Tam giác này là tam giác gì?

- Tam giác này có đặc điểm gì?

- Hãy chứng minh tam giác trên là tam giác cân (tam giác vuông, tam giác đều)

Bài toán minh họa

Bài toán 1: (bài tập 6a trang 59, SGK hình học 10)

Tam giác ABC có các cạnh là a 8cm, b 10cm, c 13cm

a) Tam giác đó có góc tù không?

Bài toán 2: (bài tập 18 trang 65, SGK hình học 10 nâng cao)

Cho tam giác ABC Chứng minh các khẳng định sau:

a Góc A nhọn ;

b Góc A tù ;

c Góc A vuông

Bài toán 3: (bài tập 28 trang 66, SGK hình học 10 nâng cao)

Chứng minh rằng tam giác ABC vuông ở A khi và chỉ khi Dạng 3: Chứng minh các đẳng thức, bất đẳng thức liên quan đến tính độ dài và góc trong tam giác

Trong dạng bài tập này, ta thường nhận thấy các chi tiết sau:

Với dạng toán này, ta thường gặp các yêu cầu bài toán như sau:

- Chứng minh một đẳng thức, bất đẳng thức nào đó trong hình học liên quan đến tính độ dài và góc trong tam giác

- Cho trước một vài dữ kiện, yêu cầu chứng minh một đẳng thức, bất đẳng thức nào đó trong hình học liên quan đến tính độ dài và góc trong tam giác

Bài toán minh họa

Bài toán 1: (bài tập 9 trang 59, SGK hình học 10)

Cho hình bình hành ABCD có Chứng minh rằng +

Bài toán 2: (bài tập 30 trang 66, SGK hình học 10 nâng cao)

Cho tứ giác ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BD Chứng minh rằng

Dạng 4: Bài toán thực tiễn liên quan đến tính độ dài, đo góc, tối ưu

Dạng bài toán ứng dụng thực tế thường được yêu cầu giải quyết một vấn đề trong thực tế như là: tính chiều cao của cây, ngọn hải đăng, tính chiều rộng của đầm lầy, tính khoảng cách giữa hai tàu sau một thời gian khởi hành, Với loại toán này

ta chuyển bài toán thực tế về bài toán trong toán học để giải

Bài toán minh họa

Bài toán 1: (ví dụ 2 trang 50, SGK hình học 10 cơ bản)

Hai lực ⃗⃗⃗⃗ và ⃗⃗⃗⃗ cho trước cùng tác dụng lên một vật tạo thành góc nhọn ( ⃗⃗⃗⃗,

⃗⃗⃗⃗ Hãy lập công thức tính cường độ của hợp lực ⃗

Trong ví này tác giả đã không đưa ra trực tiếp bài toán trên mô hình hình học

mà đã đặt bài toán trong một mô hình vật lý Qua đó, học sinh có thể thấy rằng định lý hàm số côsin có ứng dụng thực tiễn

Bài toán 2: (ví dụ 1 trang 54, SGK hình học 10 nâng cao)

Hai chiếc tàu thủy cùng xuất phát từ một vị trí A, đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau góc Tàu B chạy với tốc độ 20 hải lí một giờ Tàu C chạy với tốc độ

15 hải lí một giờ Sau 2 giờ, hai tàu cách nhau bao nhiêu hải lí? (1 hải lí 1,852

km) (hình 1.17)

Sách giáo khoa trình bày lời giải bài toán này như sau:

Hình 1.17