Ma trận và các phép toán trên ma trận
Định nghĩa
Ma trận m hàng n cột với các hệ số trên trường K được định nghĩa cho hai số nguyên dương m và n Đây là một bảng có m hàng và n cột, trong đó phần tử tại vị trí i, j thuộc trường K, với điều kiện 1 ≤ i ≤ m và 1 ≤ j ≤ n.
hoặc ta viếtA= (ai j) m×n Ta cũng gọi Alà ma trậncấp (cỡ) (m,n), phần tửa i j là phần tử ở dòng thứivà cột thứ j.
Nếu m=nthì ma trậnAđược gọi là ma trận vuông cấpn
Ma trậnkhông, ký hiệu là0, là ma trận có tất cả các phần tử bằng0.
Ma trận vuông cấp n với tất cả các phần tử ngoài đường chéo bằng 0 được gọi là ma trận đường chéo Nếu các phần tử trên đường chéo chính đều bằng 1, ma trận này được gọi là ma trận đơn vị, ký hiệu là \(I_n\) hoặc đơn giản là \(I\) khi không cần chỉ định cấp.
Ma trận A= (a i j ) n được gọi là ma trận đối xứng (phản đối xứng) nếu A t A(A t =−A)haya i j =a ji (ai j =−aji)với mọii,j=1,2, ,n.
Hai ma trậnA= (a i j ) m×n vàB= (b i j ) m×n được gọi làbằng nhaunếua i j =b i j với mọii=1,2, ,m, j=1,2, ,n
Các phép toán trên ma trận
Phép cộng hai ma trận: Cho hai ma trận cấp m×n là A = (ai j) m×n và
B= (b i j ) m×n , ta gọitổng A+Blà một ma trậnC cấpm×n có dạngC= (a i j + b i j ) m×n
Phép nhân ma trận với một số: Tích của ma trận A= (ai j) m×n với một số λ ∈K là một ma trận có dạng λA= (λ.a i j ) m×n
Phép nhân hai ma trận: Cho hai ma trận A= (ai j) m×n và B= (bjk) n×p
Tíchcủa hai ma trậnAvàBlà một ma trậnC= (c ik ) m× p cấpm×pmà các phần tửc ik được xác định bởi c ik n
Nếu A là ma trận vuông cấp n thì ta có tích của n ma trận A kí hiệu là A.A A=A n
Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận bao gồm: (i) Đổi chỗ hai dòng hoặc hai cột của ma trận; (ii) Nhân tất cả các phần tử của một dòng hoặc một cột với một số khác không; và (iii) Cộng vào các phần tử của một dòng (hoặc cột) các phần tử tương ứng của một dòng (cột) sau khi đã nhân với cùng một số nào đó.
Ma trận nghịch đảo
Một ma trận vuông cấp n trên trường số K được gọi là khả nghịch nếu tồn tại một ma trận vuông B cấp n sao cho tích AB và BA đều bằng ma trận đơn vị In Khi đó, B được xem là ma trận nghịch đảo của A và được ký hiệu là B = A^{-1}.
Từ định nghĩa dễ dàng suy ra (A −1 ) −1 =A,(AB) −1 =B −1 A −1
Nếu ma trận vuôngAcấpnkhả nghịch thì ma trậnA −1 là duy nhất Hơn nữa, ma trận vuôngAcấpn là khả nghịch khi và chỉ khidet(A)̸=0.
Có nhiều phương pháp để tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A Dưới đây, chúng tôi trình bày phương pháp dùng phép biến đổi sơ cấp.
Giả sử ma trậnAvuông cấpn là ma trận khả nghịch, ta tìm ma trậnA −1 bằng phương pháp biến đổi sơ cấp Gauss như sau:
Để tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A, ta thêm vào ma trận A ma trận đơn vị I n, tạo thành ma trận có dạng (A|I n) Sau đó, sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận để chuyển đổi ma trận (A|I n) về dạng (I n|B) Ma trận B thu được chính là ma trận A^{-1} mà ta cần tìm.
Ví dụ 1.1.3 Tìm ma trận nghịch đảo của ma trậnA
Giải: Để tìmA −1 , ta xét(A|I 3 )
Vậy ma trận nghịch đảo của AlàA −1
Ngoài ra, người ta có thể tìm ma trận nghịch đảo bằng phương pháp sử dụng phần bù đại số (xem [4]).
Hạng của ma trận
Định nghĩa 1.1.4 ChoAlà ma trận cấpm×n Ta gọi
(i) Định thức con cấp k của A là định thức được suy từ A bằng cách bỏ đi m−k hàng vàn−k cột.
Hạng của ma trận A, ký hiệu là r(A) hoặc rank(A), được xác định là cấp cao nhất của các định thức con khác 0 của A Ngoài ra, hạng của ma trận không được coi là bằng 0.
Để xác định hạng của ma trận, ta có thể dựa vào hai kết quả quan trọng: Thứ nhất, hạng của ma trận không thay đổi khi thực hiện các phép biến đổi sơ cấp Thứ hai, hạng của ma trận bậc thang được xác định bằng số dòng khác 0 của nó.
Vectơ riêng, giá trị riêng
Ánh xạ tuyến tính
Định nghĩa 1.2.1 ChoX vàY là hai không gian vectơ trên trường K, một ánh xạ f :X →Y thỏa mãn các điều kiện sau đây được gọi là ánh xạ tuyến tính:
Nếu X =Y thì f được gọi làphép biến đổi tuyến tínhcủa X.
Ánh xạ f :X →Y được coi là tuyến tính nếu và chỉ nếu thỏa mãn điều kiện f(αu+βv) =αf(u) +β f(v) với mọi u,v∈X và mọi α,β ∈K Định lý 1.2.2 khẳng định rằng, nếu B ={e 1 ,e 2 , ,en} là một cơ sở của không gian vectơ X và {v 1 ,v 2 , ,v n } là một hệ vectơ tùy ý của không gian vectơ Y, thì tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính f :X →Y sao cho f(ei) =vi với mọi i=1, ,n.
Ký hiệu Hom K (X,Y) đại diện cho tập hợp tất cả các ánh xạ tuyến tính từ không gian vectơ X vào không gian vectơ Y Tập hợp này, Hom K (X,Y), đi kèm với hai phép toán.
(ii) (α f)(x) =αf(x),∀x∈X,∀α ∈K, lập thành không gian vectơ trên trường K, và được gọi là không gian các ánh xạ tuyến tính.
Ma trận của ánh xạ tuyến tính
Định nghĩa 1.2.3: Cho ánh xạ tuyến tính f: X → Y giữa các không gian hữu hạn chiều trên trường K, với dim X = n và dim Y = m Giả sử B = {u₁, u₂, , uₙ} và C = {v₁, v₂, , vₘ} là các cơ sở tương ứng của X và Y Khi biểu diễn các ảnh f(uᵢ) qua cơ sở C, ta thu được kết quả cần thiết.
được gọi là ma trận củaánh xạ tuyến tính f đối với cặp cơ sở(B,C).
Trong trường hợp X =Y và cơ sởBtrùng với cơ sởCthì ta nói ma trậnA f là ma trận của phép biến đổi tuyến tính f đối với cơ sở đã cho.
Ví dụ 1.2.4 Tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính f :P 2 [x]→P 1 [x] xác định bởi f(ax 2 +bx+c) = (a+b)x+ (b+c) đối với cặp cơ sở(E,F) với E = (1;x;x 2 ) vàF = (1+x; 2x).
Vậy ma trận của f đối với cặp cơ sở(E,F) làA
Ma trận đồng dạng
Trước khi định nghĩa hai ma trận đồng dạng, cần xem xét mối quan hệ giữa các ma trận tương ứng của cùng một ánh xạ tuyến tính khi sử dụng các cơ sở khác nhau.
Cho không gian \(X\) với hai cơ sở \(B = \{u_1, u_2, \ldots, u_n\}\) và \(B' = \{u'_1, u'_2, \ldots, u'_n\}\), cùng với không gian \(Y\) có hai cơ sở \(C = \{v_1, v_2, \ldots, v_n\}\) và \(C' = \{v'_1, v'_2, \ldots, v'_n\}\) Giả sử ánh xạ tuyến tính \(f: X \to Y\) có ma trận tương ứng với các cơ sở \(B\) và \(C\).
A= (ai j) m×n , ma trận đối với cơ sở (B ′ ) và (C ′ ) là B= (bi j) m×n Ta tìm mối liên hệ giữaAvàB.
Gọi P, T theo thứ tự là các ma trận chuyển từ cơ sở (B) sang cơ sởB ′ và từ cơ sở(C)sang cơ sở (C ′ ): P= (ci j)n,T = (ti j)n.
Gọi X, X ′ theo thứ tự là các ma trận cột của tọa độ vectơu∈X n đối với các cơ sở(B),(B ′ ) Khi đó ta có X =PX ′
Ma trận cột của tọa độ của vectơ ảnh f(u)∈Y m đối với cớ sở(C)là AX, đối với cơ sở(C ′ ) làBX ′
Ta có AX =T(BX ′ ) =T(BP −1 )X Từ đó suy raA=T BP −1
Trong trường hợp m=n,X n ≡Y m ,(B ′ )≡(C ′ )và(B)≡(C)thìP=T và khi đó ta có kết quả sau:A=PBP −1
Hai ma trận A, Bliên hệ với nhau bởi hệ thứcA=PBP −1 gọi là hai ma trận đồng dạng Ta ký hiệuA∼=B.
Vectơ riêng, giá trị riêng
Trong không gian vectơ K, không gian con V' được coi là bất biến đối với phép biến đổi tuyến tính f nếu mọi vectơ α thuộc V' đều được biến đổi bởi f và vẫn nằm trong V' Một vectơ α khác vectơ không được gọi là vectơ riêng của f nếu tồn tại một số k thuộc K sao cho f(α) = kα, trong đó k được gọi là giá trị riêng của f tương ứng với vectơ riêng α Nếu A là ma trận của tự đồng cấu f, thì giá trị riêng của f cũng được xem là giá trị riêng của ma trận A.
Mỗi vectơ riêng α tương ứng với một giá trị riêng k duy nhất, nhưng điều ngược lại không đúng Nếu α là vectơ riêng ứng với giá trị riêng k, thì không gian con một chiều sinh bởi α là không gian con bất biến đối với phép biến đổi tuyến tính f Ngược lại, nếu không gian con một chiều V' của V là không gian con bất biến đối với phép biến đổi tuyến tính của V, thì mọi vectơ khác không của V cũng sẽ thuộc vào không gian này.
V là một vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng k Tập hợp tất cả các vectơ riêng ứng với giá trị riêng k của tự đồng cấu f tạo thành một không gian con bất biến của V, được gọi là không gian riêng ứng với giá trị riêng k Định nghĩa 1.2.6: Giả sử A = [a_{ij}] là ma trận của phép biến đổi tuyến tính f trong không gian chiều đối với cơ sở α_1, , α_n.
Ma trận đặc trưng của ma trận A được xác định bởi định thức |A−kI|, là một đa thức bậc n theo ẩn k, gọi là đa thức đặc trưng của ma trận A Nghiệm của đa thức này được gọi là nghiệm đặc trưng của ma trận A Đáng lưu ý, đa thức đặc trưng của A không phụ thuộc vào việc chọn cơ sở mà chỉ phụ thuộc vào phép biến đổi tuyến tính f Theo định lý 1.2.7, số thực k là giá trị riêng của phép biến đổi tuyến tính f khi và chỉ khi k là nghiệm đặc trưng của f.
Cách tìm vectơ riêng và giá trị riêng của f: a) Dùng định nghĩa. b) Dựa vào định lý trên:
• Lập ma trận đặc trưng[A−KI].
• Tìm nghiệm đặc trưng thực:|A−kI|=0.
• Tìm nghiệm(x 1 ,x 2 , ,x n ) khác không của hệ
(a 11 −k)x 1 +a 12 x 2 +ã ã ã+a 1n x n =0 a 21 x 1 + (a 22 −k)x 2 +ã ã ã+a 2n x n =0 ã ã ã a n1 x 1 +a n2 x 2 +ã ã ã+ (a nn −k)x n =0 vectơ riờng ứng vớik chớnh là: x 1 α1+x 2 α2+ã ã ã+x n αn.
Ví dụ 1.2.8 Giả sử ma trận:
là ma trận của phép biến đổi tuyến tính f của không gian vectơ 3 chiều V đối với cơ sởα1, α2,α3 nào đó Tìm giá trị riêng và vectơ riêng của f.
Ta có đa thức đặc trưng là
Vậy giá trị riêng làk =4.
Vậy các vectơ riêng ứng với giá trị riêngk=4 làα =aα1+aα2, a̸=0.
Ví dụ 1.2.9 Cho phép biến đổi tuyến tính f :R 3 →R 3 , f(x 1 ,x 2 ,x 3 ) = (x 1 −x 2 ,x 2 ,x 3 −x 1 ) Tìm giá trị riêng và vectơ riêng của f. Giả sử k là giá trị riêng,α = (x 1 ,x 2 ,x 3 )là vectơ riêng ứng vớik Ta có: f(α) = (x 1 −x 2 ,x 2 ,x 3 −x 1 ) =kα
Hệ có nghiệm khác0 khi
Vậy (0,0,a)vớia̸=0 là vectơ riêng.
Chéo hóa ma trận
Ma trận chéo hóa được
Ma trận vuông \( A \) được gọi là ma trận chéo hóa được nếu nó đồng dạng với một ma trận chéo Điều này có nghĩa là tồn tại một ma trận khả nghịch \( P \) và một ma trận đường chéo \( D \) sao cho \( A = P^{-1} D P \).
- Ma trậnP,D không duy nhất.
- Mọi ma trận chéo đều chéo hóa được.
Điều kiện cần và đủ để ma trận chéo hóa được
Để ma trận \( A \) của phép biến đổi \( f: V \to V \) có thể chéo hóa, điều kiện cần và đủ là phải tồn tại một cơ sở của không gian \( V \) bao gồm các vectơ riêng của \( f \).
Giả sử không gian V có cơ sở {u i |i= 1,2, ,n} sao cho ma trận B của nó có dạng
trong đó các k i không nhất thiết khác nhau Khi đó f(u i ) =k i e i , nghĩa là e i là một vectơ riêng của f tương ứng với giá trị riêngki.
Nếu không, khi không gian V có một vectơ cơ sở {ei | i=1,2, ,n} bao gồm các vectơ riêng của f, thì f(ui) = kiei Trong trường hợp này, ma trận của f đối với cơ sở này sẽ được xác định.
Giả sử các giá trị riêng \( k_1, k_2, \ldots, k_s \) của phép biến đổi \( f \) có ma trận \( A \) với bội tương ứng \( m_1, m_2, \ldots, m_s \) (với \( m_1 + m_2 + \ldots + m_s = n \) và các \( k_j \) đôi một khác nhau) Nếu \( m_j = n - r_j \) (trong đó \( r_j \) là hạng của ma trận \( A - k_j I \) với \( j = 1, 2, \ldots, s \)), thì ma trận \( A \) có thể được đưa về dạng đường chéo.
Giả sử phép biến đổi tuyến tính \( f \) có ma trận là \( A \) Đối với giá trị riêng \( k_i \), vectơ riêng tương ứng có các tọa độ \( x_1, x_2, \ldots, x_n \) là nghiệm của phương trình.
(A−k i I)X =0, trong đóX là ma trận cột của các toạ độx 1 ,x 2 , ,x n
Ma trận \( A - k_i I \) có dạng ràng buộc, dẫn đến hệ nghiệm cơ sở của phương trình chứa \( n - r_i \) vectơ nghiệm Những vectơ này sẽ chọn \( r_i \) vectơ riêng độc lập tuyến tính với cùng giá trị riêng \( k_i \) Do đó, ta có \( n = \sum_{i=1}^{s} m_i \) vectơ riêng độc lập tuyến tính của \( f \), tạo thành một cơ sở cho không gian Kết quả là, ma trận \( A \) có thể được đưa về dạng chéo.
Nếu tất cả các giá trị riêng của phép biến đổi tuyến tính \( f: V \to V \) đều khác nhau, thì ma trận \( A \) của \( f \) (theo một cơ sở nào đó) có thể được chuyển đổi về dạng đường chéo.
Nhận xét 1.3.6 (Cách xác định ma trậnP, D)
Khi ma trận A có thể chéo hóa, nó sẽ đồng dạng với ma trận chéo D, trong đó các phần tử trên đường chéo chính là các giá trị riêng, bao gồm cả nghiệm bội.
Khi ma trận A được chéo hóa, ma trận P được xác định bởi n vectơ riêng độc lập tuyến tính của A Cột thứ i của ma trận P chính là cột tọa độ của vectơ riêng thứ i tương ứng với giá trị riêng k_i.
Thực hành chéo hóa một ma trận
ChoAlà ma trận vuông câpn Khi đó, ta thực hiện chéo hóaAtheo các bước sau:
Bước 1: Giải phương trình đặc trưng |A−λIn|=0để tìm các giá trị riêng λ của ma trậnA.
+ NếuAkhông có giá trị riêng thì Akhông chéo hóa được.
+ Nếu A có giá trị riêng k giá trị riêng λ1,λ2, ,λk với số bội tương ứng n 1 ,n 2 , ,n k
- Nếun 1 +n 2 + +n k