Luận văn sư phạm Chéo hoá ma trận

Chéo hoá tr c giao.

L I C M N

Em xin chơn thƠnh c m n các th y cô giáo trong khoa toán, các th y

cô trong b môn Hình h c tr ng i h c S ph m HƠ N i 2 đã giúp em trong th i gian v a qua c bi t, em xin bƠy t lòng bi t n chân thành và

sơu s c t i cô inh Th Kim Thuý đã t n tình h ng d n vƠ giúp đ em, đ

em hoƠn thƠnh t t khoá lu n t t nghi p vƠ quá trình h c t p

Bên c nh đó, em mu n g i l i c m n đ n gia đình vƠ b n bè đã t o

m i đi u ki n đ em hoƠn thƠnh khoá lu n t t nghi p nƠy

Do đi u ki n th i gian có h n, nên khóa lu n c a em không tránh kh i

nh ng thi u sót Em r t mong nh n đ c s đóng góp ý ki n c a th y cô vƠ các b n đ khóa lu n đ c hoƠn thi n h n

HƠ N i, tháng 05 n m 2010

Nguy n Th Qu nh ông

L I CAM OAN

Khoá lu n t t nghi p nƠy lƠ k t qu c a em trong th i gian h c t p vƠ nghiên c u v a qua, d i s h ng d n c a cô inh Th Kim Thuý

Ng i th c hi n

1.2 Vect riêng ậ giá tr riêng

1.2.1 Không gian con b t bi n

1.2.2 Vect riêng ậ giá tr riêng

1.2.3 a th c đ c tr ng c a phép bi n đ i tuy n tính

1.2.4 nh lí Cayley ậ Hamilton, đa th c t i ti u

1.2.5 Các ph ng pháp tính giá tr riêng vƠ vect riêng c a t đ ng c u f 1.3 Chéo hóa ma tr n c a t đ ng c u

1.4 Chéo hoá tr c giao

A M U

1 Lý do ch n đ tƠi

có r t nhi u ng d ng trong các chuyên ngƠnh khác nhau c a toán h c nh :

Gi i tích, Hình afin, Vì v y đ tƠi ―Chéo hóa ma tr n‖ lƠ đ tƠi h p d n đ i

v i nhi u l p sinh viên yêu thích b môn hình h c

c bi t trong quá trình h c t p các môn h c vƠ bƠi gi ng chuyên đ , chúng em đã ti p thu đ c m t s ki n th c: Ma tr n, đ nh th c, h ph ng

trình tuy n tính, vect riêng vƠ giá tr riêng c a ma tr n, c s tr c chu n, ma

tr n tr c giao,chéo hóa ma tr n vƠ chéo hóa tr c giao…Chính nh ng ki n

th c nƠy đã t o cho em ni m say mê vƠ mong mu n tìm hi u k h n v bài

2 M c đích nghiên c u

B c đ u lƠm quen v i nghiên c u khoa h c, t đó hình thƠnh t duy

lôgic đ c thù c a b môn

Kh c sơu vƠ tìm hi u nh ng ki n th c v chéo hóa ma tr n

j j j

mj

aaaa

b ng c p cao nh t c a các đ nh th c con khác không c a A Nói rõ h n,

r(A) = k n u có đ nh th c con c p k c a A khác 0 vƠ m i đ nh th c con c p

1 5

1.2 Vect riêng ậ giá tr riêng

nh ngh a 1.7:

Cho m t không gian vect V trên tr ng K vƠ f là m t t đ ng c u

c a V Không gian vect con U c a V đ c g i lƠ m t không gian con n

đ nh đ i v i f ( hay m t không gian f - n đ nh) n u f(U)  U

Ví d 1: i v i t đ ng c u f: VVb t kì, các không gian con sau đơy đ u là f ậ n đ nh:  0

; V; Kerf ; Imf

Xét tr ng h p không gian con n đ nh 1 chi u:

Gi s L lƠ không gian con f - n đ nh m t chi u, vƠ  L (  0

Ta đi t i đ nh ngh a sau đơy:

1.2.2 Vect riêng và giá tr riêng

nh ngh a 1.8:

Gi s f lƠ m t t đ ng c u c a K-không gian vect V N u có vect

  0

vƠ vô h ng   K sao cho f( ) =. thì  đ c g i lƠ m t giá

tr riêng c a f còn vect   đ c g i lƠ m t vect riêng c a f ng v i giá tr

đ c g i lƠ đa th c đ c tr ng c a ma tr n A Nghi m c a đa th c nƠy đ c

g i lƠ giá tr riêng c a A

Vô h ng   K lƠ m t giá tr riêng c a t đ ng c u f: V  Vn u vƠ

ch n u  lƠ m t nghi m c a đa th c đ c tr ng c a f

det (f-.idv)= det (A-.En)

Vì ph n bù đ i s c a m i ph n t trong (A ậ X.En) đ u lƠ m t đa th c

c a X có b c không quá (n - 1), nên ta có th vi t:

PA(A)En = (A ậ A.En)B(A) = 0.B(A) = 0

B c 2: L p đa th c đ c tr ng det(A-.En) c a ma tr n A

B c 3: Gi i ph ng trình đa th c b c n đ i v i n :

B c 4: V i m i nghi m  c a ph ng trình Gi i h ph ng trình tuy n tính thu n nh t suy bi n :

( Vì l y m i hƠng (k t hƠng th 2) tr đi cho hƠng đ ng tr c nó)

Khai tri n theo c t cu i ta đ c :

- Tr c h t xác đ nh các giá tr riêng c a ma tr n A=(aij)nxn cho tr c

trình đ c tr ng c a ma tr n A

+ N u khai tri n det (A-.En) theo l y th a  thì ta có det (A-.En) là

đa th c b c n c a  Kí hi u:D() vƠ g i lƠ đa th c đ c tr ng c a ma tr n A:

() = ao.n

+ a1.n-1 +…+ an-1. + an nh n ma tr n A lƠm nghi m Theo

đ nh lí Cayley- hamilton thì đa th c đ c tr ng D( ) c a ma tr n A nh n A lƠm nghi m, đ ng th i nó còn nh n ma tr n chuy n v c a A là At lƠ nghi m, ngh a lƠ:

D(A) = (-1)n[An - P1 .An-1 - …- Pn.En] = 0

D(At) = (-1)n[(At) - P1.(At)n—1 -…- Pn .En] = 0

Trong t p h p các đa th c nh n A lƠm nghi m s t n t i duy nh t đa

th c () có h s cao nh t b ng 1 vƠ có b c nh nh t trong các đa th c nh n

A lƠm nghi m lƠ đa th c t i ti u c a ma tr n A

ơy chính lƠ h ph ng trình tuy n tính không thu n nh t n lƠ 1, , m

cóđ nh th c c a ma tr n h s khác không nên nó có nghi m duy nh t lƠ các

h s c a đa th c () đ ng th i c ng lƠ các giá tr riêng c a A Tuy nhiên

tr ng h p nƠy ta không xác đ nh đ c t t c giá tr riêng c a A

- Ti p theo tìm các vect riêng c a ma tr n A

Gi s h C(o),…, C(n-1) lƠ h vect đ c l p tuy n tính (trong tr ng h p

ng c l i, chúng ta l y C(o),…, C(m) lƠ h vec t đ c l p tuy n tính t i đ i c a

h vect trên) Khi đó vect riêng xi

c a ma tr n A ng v i giá tr riêng i s tìm đ c d ng sau đơy:

+(d1 .Pn-1 - i.dn-1 + dn).C(1)+ (d1 .Pn - i.dn).C(o) = 0

Vì h C(o),…, C(n-1)lƠ h đ c l p tuy n tính nên ta có :

Ch n d1 b t kì khác 0, h nƠy cho di,  i 1,n vƠ t đó tìm đ c các vect xi

* Tóm l i ph ng pháp krylov g m các b c nh sau:

B c 1: L y vect C(o)

= (C1(o),…, Cn(o)) b t kì, xác đ nh h vect

(C(i))ni=0 b i công th c: C(i)

= A C(i-1)  i 0,n , trong đó A lƠ ma tr n bi u

Hãy xác đ nh giá tr riêng c a ma tr n A vƠ vect riêng ng v i giá tr

V y ma tr n A có các giá tr riêng lƠ: 1 = 1; 2 = 4; 3 = 3 và các

vect riêng t ng ng v i giá tr riêng lƠ:

đó xác đ nh các giá tr riêng vƠ vect riêng ng v i giá tr riêng c a ma tr n

1 3

2

1 3

ii i

ii i

H nƠy có nghi m không t m th ng lƠ: ( -3a, a, a) (a  0)

V y vect riêng ng v i giá tr riêng 1= 0 là :

H nƠy có nghi m không t m th ng lƠ: ( 0, a, -2a) (a  0)

V y vect riêng ng v i giá tr riêng 2 = 3 là :

2

 = a (e2 2e3), (a  0)

V i 3 = 2 ta xét h ph ng trình tuy n tính thu n nh t:

H nƠy có nghi m không t m th ng lƠ: ( -a, -a, a) (a  0)

V y vect riêng ng v i giá tr riêng 3 = 2 là :

3

 = a (e 1 e2 e3), (a  0)

1 3 Chéo hóa ma tr n c a t đ ng c u

chéo hóa đ c n u ta tìm đ c m t c s V g m nh ng vect riêng c a f Nói cách khác f chéo hóa đ c n u có m t c s c a V mƠ ma tr n c a f đ i v i

c s đó lƠ ma tr n chéo

G i A Mat n n K   ,  lƠ ma tr n c a f trong m t c s b t kì c a V T

đ nh ngh a ta suy ngay ra r ng f chéo hóa đ c n u vƠ ch n u t n t i m t ma

tr n CMat n n K  , không suy bi n (detC ≠ 0) vƠ C-1

.A.C có d ng chéo ngh a lƠ:

Gi s A lƠ ma tr n trong m t c s nƠo đó c a V thì f chéo hóa đ c khi vƠ ch khi ma tr n A c a f đ ng d ng v i ma tr n chéo

nh ngh a 1.15:

Ma tr n A Mat n n K   ,  đ ng d ng v i ma tr n chéo

B Mat n n K  thì A đ c g i lƠ ma tr n chéo hóa đ c

N u A chéo hóa đ c thì m i ma tr n đ ng d ng v i nó c ng chéo hóa

đ c

nh lí 1.16:

Gi s 1, , lƠ nh ng vect riêng c a t đ ng c u m

f: V  V ng v i nh ng giá tr riêng đôi m t khác nhau 1, , m Khi đó h vect 1, ,m đ c l p tuy n tính

Ch ng minh : nh lí đ c ch ng minh quy n p theo m

V i m =1 vect riêng 10 nên h g m m t vect  1 đ c l p tuy n

tính

Gi s quy n p r ng đ nh lí đ c kh ng đ nh đ i v i h g m m -1 vect Xét h vect riêng 1, ,m ng m giá tr riêng đôi m t khác nhau

f vƠ ma tr n c a nó trong c s b t kì c a V chéo hóa đ c.฀

nh lí 1.18:

N u ma tr n vuông A đ c đ a v d ng chéo B thì các ph n t trên

đ ng chéo chính c a B ph i lƠ các giá tr riêng c a A

nh lí 1.19:

Cho V lƠ m t K- không gian vect n chi u vƠ f: V V lƠ m t t đ ng

c u c a V thì f chéo hóa đ c khi vƠ ch khi hai đi u ki n sau đơy th a mãn :

trong đó 1 , ,k là các vô h ng đôi m t khác nhau trong K

b rank (A -i.En) = n ậ mk đơy mi lƠ b i c a ixem nh lƠ nghi m

c a đa th c đ c tr ng ( )P X f

Ch ng minh:

Gi s f chéo hóa đ c.Khi đó ta ph i ch ng minh f th a mãn hai đi u

ki n a vƠ b

v i c s nƠy f có ma tr n chéo A v i mi ph n t n m trên đ ng chéo b ng

i ≠ j nƠo đó

Nên ta có:

Rank( f - i.idv) = rank (A -i.En) = n ậ mk v i i = 1, ,k

Gi s ng c l i, f th a mãn các đi u ki n a vƠ b Ta ph i ch ng minh f chéo hóa đ c

Xét không gian con riêng c a f ng v i giá tr riêng i là:

Vi = Ker( f ậ i.idv), i = 1,…, k

Ta có:

dim V = dim Ker( f ậ i.idv) = n - Rank( f - i.idv) = n ậ ( n - mi ) = mi

Theo đ nh lí 1.17, các vect riêng ng v i các giá tr riêng đôi m t khác nhau thì l p thƠnh m t h đ c l p tuy n tính nên :

H qu 1.20:

N u  lƠ nghi m b i mk k c a ph ng trình đ c tr ng c a ma tr n A vuông c p n vƠ n u :

Rank ( A -  Ek n) = n - mk

thì A có mk vect riêng đ c l p tuy n tính ng v i giá tr riêng  k

1.4 Chéo hóa tr c giao

nh ph ng pháp tr c chu n hóa Gram ậ Schmidt

n u

n u

2 2 2

3 3 3

1 2 2, ,

Nói cách khác, n u h vect c t c a A lƠ m t h tr c chu n trong Rn v i tích

vô h ng chính t c thì A lƠ ma tr n tr c giao

M nh đ 1.24:

Gi s A lƠ m t ma tr n th c, vuông c p n Khi đó các tính ch t sau là

t ng đ ng :

(i) A lƠ ma tr n tr c giao

(ii) A lƠ ma tr n kh ngh ch vƠ A-1

Cho ma tr n vuông A, n u t n t i ma tr n tr c giao Q sao cho

Q-1AQ lƠ ma tr n chéo thì ta nói A chéo hóa tr c giao đ c vƠ Q lƠ ma tr n lƠm chéo hóa tr c giao ma tr n A

+ Khi đó ta có : B = Q-1 .A.Q lƠ ma tr n chéo suy ra:

nh lí 1.26:

Phép bi n đ i tr c giao tuy n tính c a không gian vect Euclid h u

h n chi u E lƠ đ i x ng n u vƠ ch n u có m t c s tr c chu n c a E g m toƠn nh ng vect riêng c a

Ch ng minh :

N u E có m t c s tr c chu n g m nh ng vect riêng c a thì ma

tr n c a trong c s đó lƠ m t ma tr n chéo vƠ do đó đ i x ng

Ng c l i, gi s đ i x ng ta s ch ng minh b ng quy n p theo

K t lu n lƠ hi n nhiên đúng v i n = 1, vì khi đó m i vect khác nhau trong E đ u lƠ vect riêng c a

Gi s quy n p r ng k t lu n đúng v i m i không gian có s chi u nh

h n n Khi đó, s có m t giá tr riêng th c 1

Theo gi thi t quy n p s có m t c s tr c chu n e e 2, , ,3 en

tr c giao Q đ sao cho B = Q-1

Ch ng minh :

Ch n m t không gian Euclid E có s chi u n lƠ s hƠng vƠ s c t c a

ma tr n A G i lƠ m t t đ ng c u c a E nh n A lƠm ma tr n trong m t c

s tr c chu n nƠo đó (e e 1 , 2, ,en)

c a E Khi đó, lƠ m t phép bi n đ i đ i

x ng (vì A lƠ m t ma tr n đ i x ng)

Theo đ nh lí 1.27 thì có m t c s tr c chu n 1, ,n c a E g m các vect riêng c a Ma tr n B c a trong c s nƠy hi n nhiên lƠ m t ma tr n

chéo G i Q lƠ m t ma tr n chuy n t c s tr c chu n (e e 1 , 2, ,en)

Gi s và  lƠ các vect riêng c a ma tr n đ i x ng A v i các giá

tr riêng khác nhau vƠ µ

gi i bƠi toán 1 ta ti n hƠnh theo các b c sau:

B c 1 : S d ng các ph ng pháp tìm các vect riêng - giá tr riêng

ch ng 1 đ tìm ra các giá tr riêng c a A lƠ 1, ,k có b i t ng ng lƠ

+ Trong tr ng h p b:

1 1 1

B c 3: i tìm các vect riêng t ng ng v i các giá tr riêng  , gi k

s tìm đ c mkvect riêng đ c l p tuy n tính 1 k, 2 k, , kk

Ma tr n lƠm chéo hóa ma tr n A là:

1 1 0

0 0 1

1 1 0 C

* Tr ng h p 1: A lƠ ma tr n th c

- N u ∆ > 0 thì A có hai giá tr riêng phơn bi t nên theo đi u ki n chéo hóa thì A chéo hóa đ c

- N u ∆ = 0 thì A có m t giá tr riêng duy nh t o A chéo hóa đ c thì A

ph i có hai vect riêng đ c l p tuy n tính  1   x x1, 2 ;  2   y y1, 2 Khi đó có:

o o

o o

T nh ng đi u ki n trên suy ra đi u ki n c n vƠ đ đ ma tr n

aaA

aa

thì c ng chéo hóa đ c trên các không gian con b t bi n c a

Kn V y đi u ki n c n vƠ đ đ f chéo hóa đ c lƠ:

- n ch n: LƠm t ng t nh tr ng h p n l ta có đi u ki n c n vƠ đ

đ f chéo hóa đ c lƠ:

gi i bƠi toán ta ti n hƠnh theo các b c sau:

B c 1 : S d ng các ph ng pháp tìm các vect riêng - giá tr riêng

ch ng 1 đ tìm ra các giá tr riêng c a A

B c 2: Tìm m t c s tr c chu n cho không gian riêng ng v i m i

giá tr riêng

a N u k b i mk = 1 thì l y m t vect riêng b t kì ng v i kr i chu n hóa nó

b N u k b i mk > 1 thì ta có th tìm c s tr c giao c a không gian riêng ng v i kb ng m t trong hai cách sau :

áp d ng quá trình tr c chu n hóa Gram- Schmidt đ đ c m t c s tr c chu n

- Cách 2:T công th c nghi m c a h (A-k.En)x = 0 ta l y m t vect a1

nƠo đó có chu n b ng 1 sau đó tìm m t vect nghi m khác a2

tr c chu n c a không gian riêng ng v i giá tr riêng k ( k 1,n) Và ghép

chúng l i ta đ c c s tr c chu n g m các vect riêng

B c 3: - L p ma tr n Q có c t th j lƠ t a đ c a vect th j trong c

s v a tìm đ c b c 2

- L p ma tr n chéo B có các ph n t trên đ ng chéo chính

lƠ các giá tr riêng c a A, còn các ph n t khác b ng không

) lƠ c s tr c chu n g m toƠn các vect riêng c a A

Ma tr n tr c giao lƠm chéo hóa ma tr n A là:

1 3 2 2

2

1 3 3 3

ii i

ii i

V i 1 ta d dƠng tìm đ c c s tr c chu n lƠ: 1

, 0, , 0,

10,0, ,

2

T đó suy ra ma tr n tr c giao C trong tr ng h p nƠy gi ng nh n

ch n

2.3 BƠi t p

Bài 1:

Trong các ma tr n A d i đơy ma tr n nƠo chéo hóa đ c? N u đ c

c Không chéo hóa đ c

d Không chéo hóa đ c

Ch ng minh r ng ma tr n vuông A giao hoán đ c v i t t c các ma

tr n vuông cùng c p thì chéo hóa đ c

11

C K T LU N

Trong khóa lu n t t nghi p nƠy em đã nghiên c u m t s v n đ c b n sau đơy: Ma tr n vƠ h ng c a ma tr n, vect riêng - giá tr riêng, chéo hóa ma

tr n, chéo hóa tr c giao vƠ hai bƠi toán chéo hóa ma tr n

Khóa lu n t t nghi p nƠy mang tính ch t t ng quan nh ng em đã trình

bày c th m t s ki n th c v chéo hóa ma tr n Em đã nêu ra m t s nh n

c p đ n Mong r ng nó s lƠ m t tƠi li u b ích cho nh ng b n quan tơm đ n

đ tƠi này

hoƠn thƠnh t t khóa lu n nƠy em xin chơn thƠnh c m n các th y cô

giáo trong t Hình h c, đ c bi t lƠ cô inh Th Kim Thúy đã t n tình giúp

đ em trong su t quá trình th c hi n đ tƠi nƠy

Do th i gian có h n, l n đ u tiên lƠm quen v i nghiên c u khoa h c,

kh n ng vƠ v n ki n th c c a b n thơn còn h n ch nên có th khóa lu n c a

em còn nhi u thi u sót Em hi v ng nh n đ c s đóng góp ý ki n c a th y

cô vƠ các b n

TÀI LI U THAM KH O

[1] Khu Qu c Anh - Nguy n Anh Ki t - T M n - Nguy n Doãn Tu n