Luận văn sư phạm Chéo hóa ma trận

Các phương pháp tính giá trị riêng và vectơ riêng của tự đồng cấu f .... Phương pháp trực giao trực chuẩn hóa Schmidt Phương pháp trực giao hóa Schmidt là phương pháp chuyển một hệ n vec

Trước hết, em xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, ban chủ nhiệm Khoa toán và Tổ hình học cùng với các quý thầy cô đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho em hoàn thành luận văn tốt nghiệp

Đặc biệt, em xin bày tỏ lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất của mình tới cô Đinh Thị Kim Thúy, người đã hướng dẫn tận tình và thường xuyên động viên em trong quá trình hoàn thành đề tài

Em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè

đã luôn bên em, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực hiện khóa luận này

Do thời gian có hạn, kiến thức của bản thân còn hạn chế nên trong nội dung khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót Em rất mong nhận

được sự đóng góp ý kiến và tiếp tục xây dựng đề tài của quý thầy cô và bạn đọc

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2013

Sinh viên

Trịnh Thị Lệ

Em xin cam đoan khóa luận được hoàn thành là kết quả nghiên cứu và tìm hiểu của bản thân, cùng với sự hướng dẫn tận tình của cô

Đinh Thị Kim Thúy

Khóa luận với đề tài: “Chéo hóa ma trận” này không trùng với kết quả của bất kì công trình nghiên cứu nào khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Hà Nội, tháng 5 năm 2013

Sinh viên

Trịnh Thị Lệ

A mở đầu 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Đối tượng nghiên cứu 1

4 Nhiệm vụ nghiên cứu 1

5 Phương pháp nghiên cứu 1

B nội dung 2

Chương 1: kiến thức chuẩn bị 2

1.1.Ma trận 2

1.2 Ma trận của đồng cấu tuyến tính 5

1.3 Cơ sở trực chuẩn 6

1.4 Vectơ riêng – giá trị riêng 8

1.5 Các phương pháp tính giá trị riêng và vectơ riêng của tự đồng

cấu f 11

Chương 2: chéo hóa ma trận 23

2.1 Chéo hóa ma trận của tự đồng cấu 23

2.2 Chéo hóa trực giao 29

2.3 Phương pháp chéo hóa ma trận 30

2.4 ứng dụng chéo hóa ma trận 46

2.7 Bài tập áp dụng 47

C kết luận 54

Tài liệu tham khảo 55

A mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Có thể nói Đại số tuyến tính là môn học khá quan trọng của sinh viên ngành Toán Nó được coi là môn học cơ sở cho tất cả các môn toán

mà sinh viên được học Trong đó ma trận và các bài toán liên quan đến

ma trận là phần kiến thức cơ bản, gây được nhiều hứng thú trong nội dung môn học này Có nhiều vấn đề khó liên quan đến ma trận, và chéo hóa ma trận là một trong những vấn đề như thế Do đó em muốn đi sâu vào tìm hiểu vấn đề này Được sự hướng dẫn nhiệt tình của cô Đinh Thị Kim Thúy cùng với lòng yêu thích môn học này em đã lựa chọn nghiên cứu đề tài “Chéo hóa ma trận”

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu và khắc sâu những kiến thức về ma trận chéo và phương pháp chéo hóa ma trận

3 Đối tượng nghiên cứu

Các vấn đề về chéo hóa ma trận

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu một số kiến thức liên quan đến vấn đề chéo hóa ma trận và hai bài toán chéo hóa ma trận

5 Phương pháp nghiên cứu

Tìm và tham khảo tài liệu, phân tích và tổng hợp bài tập minh họa, tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn

B nội dung Chương 1: kiến thức chuẩn bị 1.1.Ma trận

j j

mj

a a

Tập hợp tất cả các ma trận kiểu (m,n) với các phần tử thuộc trường

 được kí hiệu là Mat(mn,)

Phần tử đơn vị của vành Mat(nn,) là ma trận:

En =

1 0 0

0 1 0

d Ma trận chéo

Đường chéo chứa các phần tử a a11, , ,22 ann của ma trận vuông A=(a )ij n được gọi là đường chéo chính của ma trận A, đường chéo còn lại

được gọi là đường chéo phụ

Ma trận vuông A=(a )ij n có tất cả các phần tử nằm ngoài đường chéo chính đều bằng 0 được gọi là ma trận chéo

Ví dụ: Xét ma trận

A = os sinsin os

t

A A 

Cho hai ma trận A và 'A cùng thuộc Mat(nn,) Hai ma trận A

và A là đồng dạng nếu có một ma trận khả nghịch CMat(nn,) sao 'cho: A C AC'  1

1.2 Ma trận của đồng cấu tuyến tính

Định nghĩa

Giả sử V, W là những  - không gian vectơ hữu hạn chiều,

 e e e 1, , ,2 en là một cơ sở của V,    1, , ,2 m là một cơ sở của W Mỗi đồng cấu tuyến tính f :V W được xác định duy nhất bởi

hệ vectơ f e f e   1 , 2 , , f e n  Các vectơ f e j lại được biểu thị tuyến tính một cách duy nhất qua cơ sở     1, , ,2 m của W:

 

1

m

j ij i i

của vectơ f e j , j = 1,2,…,n trong chính cơ sở  e đó Ma trận của phép biến đổi tuyến tính là ma trận vuông

1.3 Cơ sở trực chuẩn

1.3.1 Cơ sở trực chuẩn

Định nghĩa

a) Cho một cơ sở gồm n vectơ  e e  1, , ,2 e n của không gian Euclid

n chiều được gọi là một cơ sở trực giao nếu các vectơ của cơ sở đôi một vuông góc với nhau, tức là e e  i, j 0 nếu ij

b) Cho một cơ sở gồm n vectơ  e e  1, , ,2 e n của không gian Euclid

n chiều gọi là một cơ sở trực chuẩn nếu nó là một cơ sở trực giao và chuẩn của mọi vectơ trong cơ sở đều bằng 1

1.3.2 Phương pháp trực giao trực chuẩn hóa Schmidt

Phương pháp trực giao hóa Schmidt là phương pháp chuyển một hệ

n vectơ độc lập tuyến tính của không gian vectơ Euclid sang hệ n vectơ không chứa vectơ 0, trực giao với nhau từng đôi một và mỗi vectơ này biểu diễn tuyến tính qua hệ đã cho

Giả sử có một cơ sở bất kì  e e  1, , ,2 e n của không gian Euclid n chiều E Ta xây dựng hệ n vectơ trực giao     1, , ,2 nnhư sau:

Đặt :1e1 và  k1  b1 1    bk k   e k1 ,k1,n 1

trong đó: 1,

, ,

1 1

eb

Ta nhËn ®­îc c¬ së trùc giao  e e e   1 2, , 3cña hÖ       1, ,2 3 trong 4

ChuÈn hãa hÖ e e e  1, ,2 3 nh­ sau:

1 1

Vậy hệ vectơ trực chuẩn từ ba vectơ       1, ,2 3 là:           1, ,2 3

1.4 Vectơ riêng – giá trị riêng

1.4.1 Không gian con bất biến

Định nghĩa

Cho một không gian vectơ V trên trường  và f là một tự đồng cấu của V Không gian vectơ con U của V được gọi là một không gian con bất biến đối với f (hay một không gian con f - bất biến) nếu

f (U)U

Ví dụ: Đối với một tự đồng cấu f bất kì, các không gian con sau

đây đều là không gian con f - bất biến: {0}; V; Ker f ; Im f

1.4.2 Vectơ riêng - giá trị riêng

a Vectơ riêng phải là vectơ khác 0

b Nếu  là vectơ riêng của tự đồng cấu f thì giá trị riêng tương

c Nếu, là các vectơ riêng ứng với giá trị riêng  thì u.+(u) cũng là vectơ riêng ứng với giá trị riêng 

Vô hướng  là một giá trị riêng của tự đồng cấu f :VV nếu

và chỉ nếu là một nghiệm của đa thức đặc trưng det( f -.idv) của f

Số thực  là giá trị riêng của A Mat(nn, ) khi và chỉ khi  là nghiệm của đa thức đặc trưng det(A-.En)

1.4.4 Định lý Cayley - Hamilton

Định lý: Mỗi ma trận vuông A đều là một nghiệm của đa thức đặc trưng của chính nó

Chứng minh:

Gọi B(X) là ma trận phụ hợp của ma trận (A - X.En) Vì phần bù

đại số của mọi phần tử trong (A - X.En) đều là một đa thức của X có bậc không vượt quá (n-1), nên ta có thể viết:

B(X) = Bn-1.Xn-1 + … + B1.X+ B0 trong đó B0,…,Bn-1 là những ma trận vuông cấp n với các phần tử trong  (không phụ thuộc X)

Mà ta có: (A - X.En).B(X) = det(A - X.En).En = PA(X).En

Thay X = A vào đẳng thức ta được:

PA(A).En = (A - A.En).B(A) = 0.B(A) = 0

Điều đó có nghĩa là: PA(A) = 0

1.4.5 Đa thức tối tiểu

a Đa thức tối tiểu của ma trận A được kí hiệu A X là đa thức với hệ số cao nhất bằng 1 và có bậc nhỏ nhất trong những đa thức khác 0 nhận A làm nghiệm

b Đa thức tối tiểu của tự đồng cấu f được kí hiệu f  X là đa thức với hệ số bậc cao nhất bằng 1 và có bậc nhỏ nhất trong những đa thức khác 0 nhận f làm nghiệm

1.5 Các phương pháp tính giá trị riêng và vectơ riêng của tự đồng cấu f

1.5.1 Phương pháp 1

Bước 1: Lấy một cơ sở {e} = (e e  1, , ,2 e n) trong V và tìm ma trận

A của f trong cơ sở đó

Bước 2: Lập đa thức đặc trưng det(A-.En) của ma trận A

Bước 3: Giải phương trình đa thức bậc n đối với ẩn : det(A-.En) = 0 Bước 4: Với mỗi nghiệm của phương trình Giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất suy biến:

Với mỗi nghiệm không tầm thường (c1,c2,… ,cn) của hệ này ta có:

 =c1.e 1+… +cn.e n là một vectơ riêng của f ứng với giá trị riêng 

Chän a=1 ta ®­îc vect¬ riªng 30,1,1 øng víi gi¸ trÞ riªng 3 = 3

VËy ma trËn A cã c¸c vect¬ riªng 16, 7,5 ,2  2,1,1,

Trong tập hợp các đa thức nhận A làm nghiệm sẽ tồn tại duy nhất

đa thức () có hệ số cao nhất bằng 1 và có bậc nhỏ nhất trong các đa thức khác không nhận A làm nghiệm là đa thức tối tiểu của ma trận A Với vectơ bất kì C(0)  ( C1(0), , Cn(0)) xác định hệ vectơ bất kì

Đây chính là hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất ẩn là 1,…,m

có định thức của ma trận hệ số khác không nên có nghiệm duy nhất là

các hệ số của đa thức () đồng thời cũng là các giá trị riêng của A

Tiếp theo tìm các vectơ riêng của ma trận A

Giả sử hệ C 0 , , C n 1

là hệ vectơ độc lập tuyến tính (trong trường hợp ngược lại, chúng ta lấy C 0 , , C m là hệ vectơ độc lập

tuyến tính tối đại của hệ trên) Khi đó vectơ riêng x i của ma trận A ứng

với giá trị riêng i sẽ tìm được ở dạng sau đây:

i

x  = 1  n 1 2. n 2  0

n

d C   d C    d CChú ý rằng : A x i  i i x  , C(i) = A.C(i-1) , i = 1,2,…,n

Tóm lại phương pháp Krylow gồm các bước sau:

Bước 1: Lấy vectơ C(0) (C1(0), ,Cn(0))bất kì, xác định hệ vectơ

4 3 0

P P P

013

VËy vect¬ riªng 1cã d¹ng: 1= 1.C(2) + (-4).C(1) + 3.C(0)

VËy vect¬ riªng 2cã d¹ng: 2 = 1.C(2) + (-3).C(1) + 0.C(0)

VËy vect¬ riªng  3cã d¹ng: 3 = 1.C(2) + (-1).C(1) + 0.C(0)

  = (2,3,1) - 1(1,1,0) + 0.(1,0,0)

Vậy ma trận A có các giá trị riêng là 1=0,2=1,3=3 và các vectơ riêng ứng với các giá trị riêng là :

1

 = (1,-1,1) , 2 = (-1,0,1) , 3 = (1,2,1) 1.5.3 Phương pháp 3 (Phương pháp Leverie)

được các giá trị riêng và các vectơ riêng của ma trận bằng phương pháp

đã biết Phương pháp Leverie là phương pháp đơn giản nhất về mặt lý tưởng để có thể áp dụng cho mọi trường hợp

Ví dụ: Hãy tìm đa thức đặc trưng của ma trận A bằng phương pháp Leverie, từ đó xác định giá trị riêng và vectơ riêng của ma trận A:

6

1 (14 6.6) 112

1 (36 6.14 11.6) 6

PPP

Hệ này có nghiệm không tầm thường là ( , 3 , 4 )a a a , a 0

Chọn a = 1 ta được vectơ riêng ứng với giá trị riêng 1 = 3 là :1= (1,3,4)

Hệ này có nghiệm không tầm thường là (a a a ) , , , a 0

Chọn a = 1 ta được vectơ riêng ứng với giá trị riêng 2 = 1 là  2  (1,1,1)

Chương 2: chéo hóa ma trận

2.1 Chéo hóa ma trận của tự đồng cấu

Định nghĩa 1

Tự đồng cấu f của - không gian vectơ hữu hạn chiều V được gọi

là chéo hóa được nếu ta tìm được một cơ sở của V gồm các vectơ riêng của f Nói cách khác f chéo hóa được nếu có một cơ sở của V mà ma trận của f đối với cơ sở đó là ma trận chéo

Gọi AMat(nn,) là ma trận của f trong một cơ sở bất kì của V

Từ định nghĩa ta suy ra rằng f chéo hóa được nếu và chỉ nếu tồn tại một

ma trận CMat(nn,), C không suy biến (det C  0) và C-1.A.C có dạng chéo, nghĩa là:

C-1.A.C =

1 2

Việc tìm một ma trận khả nghịch C (nếu có) để C-1.A.C là một

ma trận chéo gọi là việc chéo hóa ma trận

Định lý 1

Giả sử   1, , ,2 m là những vectơ riêng của tự đồng cấu f : VV ứng với những giá trị riêng đôi một khác nhau  1, , ,2 m Khi đó

hệ vectơ   1, , ,2 m độc lập tuyến tính

Chứng minh: Định lý được chứng minh quy nạp theo m

Với m = 1 vectơ riêng 1  0 nên hệ gồm một vectơ {1} độc lập tuyến tính

Giả sử quy nạp rằng định lý được khẳng định đối với hệ gồm m-1 vectơ Xét hệ vectơ riêng   1, , ,2 m ứng với m giá trị riêng đôi một khác nhau 1, , ,2 m

Nếu có    1 1  2 2    m m  0  (1) Thì f (    1 1  2 2    m m )  f (0) 

Suy ra :      1 1 1  2 2 2     m m m 0 (2) Nhân đẳng thức (1) với  rồi cộng vào đẳng thức (2) ta được: m

Hệ quả: a Nếu dimV = n và tự đồng cấu f : VV có n giá trị riêng đôi một khác nhau thì f chéo hóa được

b Nếu ma trận A  Mat(nn,) có n giá trị riêng đôi một khác nhau trong  thì A chéo hóa được trên 

Chứng minh:

a Gọi    1, , ,2  n là hệ gồm n vectơ riêng ứng với n giá trị riêng

f Vì dimV=n đúng bằng số vectơ của hệ nên hệ này lập nên một cơ sở của V Như vậy f và ma trận của nó trong cơ sở bất kì của V chéo hóa

Trước hết ta thấy ngay rằng U và W đều là những không gian con

V bất biến đối với f

Giả sử   U  W Vì   W nên f () = 0 Mặt khác

  U = Imf nên có   V để f( )  Khi đó ta có: ( ( )) ( )

f f    f   Vì f 2= f nên f( )  f( )  Do đó kết hợp với trên suy ra f ( )       0  Vậy UW={0 }

Với mỗi v   V đều có v f v         v f v  ( )   với f v U v f v W     ,   ( )  

Vì f v f v         f v     f v2( )   f v     f v     0 , do vậy ta có: V=UW

Lấy e e 1, , ,2 emlà một cơ sở của U Trong chứng minh phần trên

ta chỉ ra rằng f = idU U Vì thế các vectơ e e 1, , ,2 em đều là vectơ riêng của f ứng với giá trị riêng bằng 1

Giả sử  em1, em2, , en

là cơ sở của W Vì W = Ker f nên các vectơ e e m1, m2, , e n đều là vectơ riêng của f ứng với giá trị riêng bằng 0

Do V=UW cho nên  e e e e1 , ,m m 1, m 2, , en

là một cơ sở của

V Cơ sở này gồm toàn vectơ riêng của f cho nên f chéo hóa được

Định lý 3 (Điều kiện cần và đủ để tự đồng cấu chéo hóa được) Cho V là một  - không gian vectơ n chiều và f : VV là một tự

đồng cấu của V thì f chéo hóa được khi và chỉ khi hai điều kiện sau đây thỏa mãn:

Chứng minh:

Giả sử f chéo hóa được Khi đó ta có thể tìm được một cơ sở của

V sao cho đối với cơ sở này f có ma trận chéo là A với mi phần tử nằm trên đường chéo  , ,…,, trong đó n m   m và các , ,…,

   

1

1 1

Nên ta có: Rank( f -i.idV) = Rank(A-i.En)= n-mk ,i = 1,2,…,k Giả sử ngược lại, f thỏa mãn các điều kiện a và b Ta phải chứng minh f chéo hóa được

Xét không gian con riêng của f ứng với giá trị riêng i là:

Với mỗi i=1,2,…,k ta lấy  e i1, , e imilà một cơ sở của Vi rồi gộp

tất cả lại với nhau ta sẽ nhận được một cơ sở của V gồm các vectơ riêng của f

Vậy f chéo hóa được

Hệ quả: Nếu k là nghiệm bội mk của phương trình đặc trưng của

ma trận A vuông cấp n và nếu Rank(A-k.En)= n-mk thì A có mk vectơ riêng độc lập tuyến tính ứng với gia trị riêng k

Định lý 4 (Điều kiện cần và đủ để một ma trận chéo hóa được)

Điều kiện cần và đủ để ma trận A chéo hóa được là A có n vectơ riêng độc lập tuyến tính Khi đó C là ma trận chuyển từ cơ sở chính tắc

 e e  1 2, , , e n của n sang cơ sở gồm n vectơ riêng    1, , ,2 n của A Chứng minh:

A chéo hóa được tức là A đồng dạng với ma trận chéo B có dạng:

B =

1 2

Mà ta có ma trận tích A.C sẽ có các cột là Ac1,Ac2,…,Acn và ma trận C.B sẽ có các cột là 1c1,…,ncn

Tõ A.C = C.B  B = C-1.A.C Hay A chÐo hãa ®­îc

2.2 ChÐo hãa trùc giao

§Þnh nghÜa 1

Cho ma trËn vu«ng A, nÕu tån t¹i ma trËn trùc giao C sao cho

C-1.A.C lµ ma trËn chÐo th× A gäi lµ chÐo hãa trùc giao ®­îc, vµ C gäi lµ

ma trËn lµm chÐo hãa trùc giao ma trËn A